Невзоров В.Н., Сугак Е.В. Надежность машин и оборудования. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

îïèñàíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåì ýëåìåíòîâ è îïðåäåëåíèÿ íåêîòîðûõ ïàðàìåò-

ðîâ íàäåæíîñòè ìîæíî èñïîëüçîâàòü íåêîòîðûå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé

ëîãèêè, â ÷àñòíîñòè àëãåáðû ëîãèêè.

2.6.1. Основные понятия алгебры логики [24-26]

Ëîãè÷åñêîé ïåðåìåííîé (âûñêàçûâàíèåì) íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå, êî-

òîðîå ìîæåò ïðèíèìàòü èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå "È" (èñòèíà) èëè "Ë"

(ëîæü). Âìåñòî ýòèõ ñèìâîëîâ ÷àñòî óïîòðåáëÿþòñÿ ÷èñëà 1 è 0 ñîîòâåò-

ñòâåííî (îáû÷íî 1 îçíà÷àåò, ÷òî ñîáûòèå ïðîèçîøëî, 0 - íå ïðîèçîøëî).

Ëîãè÷åñêîé îïåðàöèåé íàçûâàåòñÿ ïîñòðîåíèå íîâûõ ëîãè÷åñêèõ ïåðå-

ìåííûõ (âûñêàçûâàíèé) ñ ïîìîùüþ ÷àñòèöû "íå", ñîþçîâ "è", "èëè", "åñëè

..., òî ..." è ò.ä. Çíàêè ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé íàçûâàþòñÿ ëîãè÷åñêèìè

ñâÿçêàìè. Â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è àëãåáðå ëîãèêè (àëãåáðå âûñêàçûâà-

íèé, áóëåâîé àëãåáðå) èñïîëüçóþòñÿ ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè îòðèöàíèÿ (îáî-

çíà÷åíèå`A), ëîãè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ (A

ÚA

èëè A

), ëîãè÷åñêîãî óì-

íîæåíèÿ (A

ÙA

èëè A

×A

), àíàëîãè÷íûå ñîîòâåòñòâóþùèì îïåðàöèÿì â

òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, à òàêæå íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå ëîãè÷åñêèå îïå-

ðàöèè. Â òàáë.2.2 ïðèâåäåíû îñíîâíûå äâóõìåñòíûå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè

è ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè, à òàêæå çíà÷åíèÿ ëîãè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ, îáðàçî-

âàííûõ ýòèìè ëîãè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè, ïðè âñåõ âîçìîæíûõ ñî÷åòàíèÿõ

çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ A

è A

Äëÿ îñíîâíûõ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ñïðàâåäëè-

âû ñëåäóþùèå îñíîâíûå çàêîíû ëîãèêè:

- çàêîíû àññîöèàòèâíîñòè:

A + (B+C) º (A+B) + C º A + B + C, A(BC) º (AB)C º ABC; (2.249)

- çàêîíû êîììóòàòèâíîñòè:

A + B º B + A, AB º BA; (2.250)

- çàêîíû äèñòðèáóòèâíîñòè:

A(B+C) º (AB) + (AC), A + (BC) º (A+B)(A+C); (2.251)

- çàêîíû èíâåðñèé (ïðàâèëà äå Ìîðãàíà):

A B AB AB A B+ º º +, ; (2.252)

- çàêîíû èäåìïîòåíòíîñòè:

A + A º A, AA º A; (2.253)

- çàêîíû ïîãëîùåíèÿ:

A(A+B) º A, A + (AB) º A; (2.254)

- çàêîíû ñêëåèâàíèÿ:

(A + B)(`A + B) º B; (AB)(`AB) º B; (2.255)

- çàêîí èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî:

A +`A º 1; (2.256)

- çàêîí ïðîòèâîðå÷èÿ:

A`A º 0. (2.257)

Êðîìå òîãî, äîñòàòî÷íî î÷åâèäíû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:

A + 1 º 1, A + 0 º A, A×1 º A, A×0 º 0. (2.258)

Ôîðìóëà àëãåáðû ëîãèêè (ÔÀË) - âûðàæåíèå, ñîñòàâëåííîå èç ëîãè-

÷åñêèõ ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê. Ôóíêöèÿ, âûðàæåííàÿ ñ

ïîìîùüþ ôîðìóëû àëãåáðû ëîãèêè, íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé àëãåáðû ëîãèêè.

Òàê êàê âñå ïåðåìåííûå, âõîäÿùèå â ÔÀË, - ëîãè÷åñêèå è ðåçóëüòàò ëþ-

áîé ëîãè÷åñêîé îïåðàöèè - òàêæå ëîãè÷åñêàÿ ïåðåìåííàÿ, òî è ÔÀË - ëî-

ãè÷åñêàÿ ïåðåìåííàÿ è ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ - 1 èëè 0.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïåðàöèé â ÔÀË èñïîëüçóþòñÿ

ñêîáêè. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî â îòñóòñòâèå ñêîáîê ïðèîðèòåò ïðèìåíåíèÿ ñâÿçîê

â ôîðìóëàõ ñëåäóþùèé (â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ):` , Ù(×), Ú(+), ®, «.

Ôîðìóëà àëãåáðû ëîãèêè ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà è óïðîùåíà ñ ïî-

ìîùüþ îñíîâíûõ çàêîíîâ ëîãèêè (2.249)-(2.258). Êðîìå òîãî, â àëãåáðå ëî-

ãèêè äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷å-

ðåç îïåðàöèè ëîãè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ (äèçúþíêöèè) Ú (èëè +), ëîãè÷åñêîãî

óìíîæåíèÿ (êîíúþíêöèè) Ù (èëè ×) è ëîãè÷åñêîãî îòðèöàíèÿ` .

Íàïðèìåð:

A ® B º

A + B, (A « B) º (

A + B)(A +

B). (2.259)

Òàêèì îáðàçîì, ëþáóþ ôîðìóëó ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó, ñîäåðæàùåìó òîëüêî îïå-

ðàöèè ëîãè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è îòðèöàíèÿ. Òàêàÿ ôîðìà ÔÀË íàçûâàåòñÿ

íîðìàëüíîé ôîðìîé. Íàïðèìåð:

(

)

(

)

A BC A ABC A ABC AB+ × ® º × × + º × × + ×

. (2.260)

2.6.2. Таблицы истинности формул алгебры логики [26]

Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèÿìè ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé, ìîæíî íàéòè çíà÷åíèå

ÔÀË ïðè äàííîì íàáîðå çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ. Óäîáíîé ôîðìîé çàïèñè

ïðè íàõîæäåíèè çíà÷åíèé ôîðìóëû, ñîîòâåòñòâóþùèõ âñåì âîçìîæíûì

íàáîðàì çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, ÿâëÿåòñÿ òàáëèöà èñòèííîñòè.

Òàáëèöà 2.2

ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ [8]

Îáîçíà÷åíèå

ëîãè÷åñêîé

Íàçâàíèå

ëîãè÷åñêîé îïåðàöèè

Çíà÷åíèå

ïðè A

è A

Íàèìåíîâàíèå

ëîãè÷åñêîé

îïåðàöèè èëè ñâÿçêè

èëè ñâÿçêè

îïåðàöèè

ÚA

èëè A

äèçúþíêöèÿ,

ëîãè÷åñêîå ñëîæåíèå,

ëîãè÷åñêîå "èëè"

0 1 1 1

èëè A

ÙA

èëè A

×A

èëè A

êîíúþíêöèÿ,

ëîãè÷åñêîå óìíîæåíèå,

ëîãè÷åñêîå "È"

0 0 0 1

è A

®A

èëè A

ÞA

èëè A

ÊA

èìïëèêàöèÿ,

ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå

1 1 0 1

åñëè A

, òî A

ÅA

èëè A

ðàçäåëèòåëüíàÿ

äèçúþíêöèÿ,

ðàçäåëèòåëüíîå "ÈËÈ"

0 1 1 0

ëèáî A

ºA

èëè A

«A

èëè A

ÛA

ýêâèâàëåíöèÿ,

ýêâèâàëåíòíîñòü,

òîæäåñòâåííîñòü

1 0 0 1

ýêâèâà-

ëåíòíî A

àíòèêîíúþíêöèÿ

1 1 1 0

íåâåðíî, ÷òî

è A

èëè A

`ÚA

àíòèäèçúþíêöèÿ

1 0 0 0

íè A

Â ïåðâûõ ñòîëáöàõ òàá-

ëèöû (òàáë.2.3) ïåðå÷èñëÿþò-

ñÿ âñå âîçìîæíûå ñî÷åòàíèÿ

çíà÷åíèé ëîãè÷åñêèõ ïåðå-

ìåííûõ, âõîäÿùèõ â ôîðìóëó.

Òàê êàê êàæäàÿ èç íèõ ìîæåò

ïðèíèìàòü äâà çíà÷åíèÿ (1 è

0), òî ïðè ÷èñëå ïåðåìåííûõ

n îáùåå êîëè÷åñòâî òàêèõ ñî-

÷åòàíèé ðàâíî 2

, ò.å. òàáëèöà

äîëæíà ñîäåðæàòü 2

ñòðîê.

Äëÿ óäîáñòâà ñðàâíåíèÿ òàáëèö ïðèíÿò ñëåäóþùèé ïîðÿäîê çàïîëíåíèÿ

ïåðâûõ ñòîëáöîâ: ïåðåìåííûå ðàñïîëàãàþòñÿ â àëôàâèòíîì ïîðÿäêå èëè â

ïîðÿäêå óâåëè÷åíèÿ çíà÷åíèé èíäåêñîâ; âåðõíÿÿ ïîëîâèíà ïåðâîãî ñòîëáöà

çàïîëíÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè 1, íèæíÿÿ - 0; âî âòîðîì ñòîëáöå ÷åðåäîâàíèå

çíàêîâ 1 è 0 ïðîèçâîäèòñÿ ÷åðåç ÷åòâåðòü ñòîëáöà, â òðåòüåì - ÷åðåç îäíó

âîñüìóþ è ò.ä., ò.å. ïåðèîä ÷åðåäîâàíèÿ çíà÷åíèé â êàæäîì ñëåäóþùåì

ñòîëáöå âäâîå ìåíüøå, ÷åì â ïðåäûäóùåì, â ñòîëáöå ïîñëåäíåé n-îé ïåðå-

ìåííîé çíà÷åíèÿ 1 è 0 ÷åðåäóþòñÿ ïîñòðî÷íî. Â ïîñëåäóþùèõ ñòîëáöàõ

òàáëèöû çàïèñûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ îïåðàöèé, âõîäÿùèõ â ôîðìóëó, â ïîðÿä-

êå èõ âûïîëíåíèÿ. Â ïîñëåäíèé ñòîëáåö òàáëèöû çàïèñûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ

ôîðìóëû â öåëîì. Ñîêðàùåííàÿ òàáëèöà èñòèííîñòè ñîñòîèò òîëüêî èç

ñòîëáöîâ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ è ñòîëáöà çíà÷åíèé ôîðìóëû â öåëîì.

2.6.3. Переключательные схемы [26,27]

Íàãëÿäíîé èëëþñòðàöèåé ôîðìóë àëãåáðû ëîãèêè è èõ èñïîëüçîâàíèÿ

ïðè ðåøåíèè òåõíè÷åñêèõ çàäà÷ ÿâëÿþòñÿ ïåðåêëþ÷àòåëüíûå ñõåìû.

Ïåðåêëþ÷àòåëüíàÿ ñõåìà - óñòðîéñòâî èç ïåðåêëþ÷àòåëåé (êîíòàêòîâ)

è ïðîâîäíèêîâ, ñâÿçûâàþùèõ äâà ïîëþñà - âõîä è âûõîä, èëè èñòî÷íèêà è

ïîòðåáèòåëÿ. Êàæäûé ïåðåêëþ÷àòåëü ìîæåò íàõîäèòüñÿ â äâóõ ñîñòîÿíèÿõ

- çàìêíóòîì è ðàçîìêíóòîì, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèÿì ëîãè÷åñêèõ ïå-

ðåìåííûõ, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå ïåðåêëþ÷àòåëåé, 1 è 0. Ñîñòîÿíèå

âñåé ñõåìû (çàìêíóòîå èëè ðàçîìêíóòîå, ò.å. òàêæå 1 èëè 0) îïðåäåëÿåòñÿ

ñòðóêòóðîé ñõåìû è ñî÷åòàíèåì ñîñòîÿíèé ïåðåêëþ÷àòåëåé. Ïåðåêëþ÷à-

òåëüíûå ñõåìû - àíàëîãè ñòðóêòóðíî-ëîãè÷åñêèõ ñõåì íàäåæíîñòè

(ñì.ãë.5).

Íà ðèñ.2.11 ïðåäñòàâëåíû äâà âîçìîæíûõ âàðèàíòà ñîåäèíåíèÿ äâóõ ïåðåêëþ÷àòå-

ëåé - ïîñëåäîâàòåëüíîå è ïàðàëëåëüíîå. Ïåðâîìó ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëà êîíúþíêöèè

(óìíîæåíèÿ) ÀÂ, âòîðîìó - ôîðìóëà äèçúþíêöèè (ñëîæåíèÿ) À+Â.

Ìàíèïóëèðóÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè è ïàðàëëåëüíûìè ñîåäèíåíèÿìè,

ìîæíî ñîñòàâèòü ñõåìó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ëþáîé ÔÀË, ïðè÷åì äëÿ ýòîãî

ìîæíî èñïîëüçîâàòü íå òîëüêî íåçàâèñèìûå ïåðåêëþ÷àòåëè, íî è ïåðå-

êëþ÷àòåëè, ñîñòîÿíèå êîòîðûõ çàâèñèò îò ñîñòîÿíèÿ äðóãèõ ïåðåêëþ÷àòå-

ëåé. Ïåðåêëþ÷àòåëè, êîòîðûå çàìûêàþòñÿ è ðàçìûêàþòñÿ îäíîâðåìåííî,

íàçûâàþòñÿ èäåíòè÷íûìè, à êîòîðûå ðàçìûêàþòñÿ, êîãäà äðóãèå çàìûêà-

þòñÿ, è íàîáîðîò,- èíâåðñíûìè. Èäåíòè÷íûå ïåðåêëþ÷àòåëè íà ñõåìàõ

îáîçíà÷àþòñÿ îäèíàêîâûìè ñèìâîëàìè, èíâåðñíûå - òåìè æå ñèìâîëàìè ñ

ãîðèçîíòàëüíîé ÷åðòîé (àíàëîãè÷íî îáîçíà÷åíèþ îïåðàöèè îòðèöàíèÿ).

Òàáëèöà 2.3.

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ ФОРМУЛЫ

(A`B)«(C®A)

A`B

C®A

(A`B)«(C®A)

1 1 1 0 0 1 0

1 1 0 0 0 1 0

1 0 1 1 1 1 1

1 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

0 1 0 0 0 1 0

0 0 1 1 0 0 1

0 0 0 1 0 1 0

Íà ðèñ.2.12 ïðèâåäåíà ñõåìà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôîðìóëå A×(C+`B)+B×(C+`A), ñî-

äåðæàùàÿ èäåíòè÷íûå (Ñ) è èíâåðñíûå (À è`A, Â è`B) ïåðåêëþ÷àòåëè.

Äëÿ ïåðåêëþ÷àòåëüíûõ ñõåì ìîæíî ñîñòàâëÿòü òàáëèöû èñòèííîñòè, ñ

íèìè ìîæíî ïðîèçâîäèòü òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è óïðîùåíèÿ,

àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàåòñÿ ñ ñàìèìè ôîðìóëàìè àëãåáðû ëîãèêè.

Òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ÔÀË îäíîâðåìåííî îçíà÷àþò è ïðåîáðà-

çîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé åé ïåðåêëþ÷àòåëüíîé ñõåìû. Èíîãäà ñ ïîìîùüþ

òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæíî ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü èñõîäíóþ

ïåðåêëþ÷àòåëüíóþ ñõåìó áåç èçìåíåíèÿ åå ñâîéñòâ è òàáëèöû èñòèííîñòè.

Íà ðèñ.2.13à ïðåäñòàâëåíà ñõåìà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôîðìóëå A(D+CE)+B(E+CD),

íà ðèñ.2.13á - ñõåìà ïî ôîðìóëå AD+ACE+BE+BCD. Ñõåìû îáëàäàþò îäèíàêîâûìè

ñâîéñòâàìè, íî èñõîäíàÿ ñîäåðæèò âîñåìü ïåðåêëþ÷àòåëåé, à ïðåîáðàçîâàííàÿ - ïÿòü.

Â àëãåáðå ëîãèêè äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëþáóþ ïåðåêëþ÷àòåëüíóþ ñõåìó,

ñîîòâåòñòâóþùóþ ôîðìóëå ñ n ïåðåìåííûìè, ìîæíî óïðîñòèòü äî âàðèàí-

òà, ñîäåðæàùåãî íå áîëåå 2

/n ïåðåêëþ÷àòåëåé.

Íàðÿäó ñ àíàëèçîì ïåðåêëþ÷àòåëüíûõ ñõåì âîçìîæåí è ñèíòåç ñõåìû ñ

çàäàííûìè ñâîéñòâàìè íà îñíîâàíèè ÔÀË èëè òàáëèöû èñòèííîñòè.

Íà ðèñ.2.14 ïðèâåäåíà ïåðåêëþ÷àòåëüíàÿ ñõåìà ïî ôîðìóëå ãîëîñîâàíèÿ "2 èç 3"

F º A

×`

C + A

×`

C + A

×`

C, (2.261)

åå òàáëèöà èñòèííîñòè ïðèâåäåíà â òàáë.2.4.

Îñíîâíûå îïåðàöèè è ôîðìóëû àëãåáðû ëîãèêè, òîæäåñòâåííûå ïðåîá-

ðàçîâàíèÿ ôîðìóë è ïåðåêëþ÷àòåëüíûõ ñõåì â òåîðèè íàäåæíîñòè èñïîëü-

çóþòñÿ ïðè àíàëèçå íàäåæíîñòè ñëîæíûõ òåõíè÷åñêèõ ñèñòåì (ñì.ãë.5).

à)

á)

Ðèñ.2.11.Ïîñëåäîâàòåëüíîå (à) è ïàðàëëåëüíîå Ðèñ.2.12. Ïåðåêëþ÷àòåëüíàÿ ñõåìà

(á) ñîåäèíåíèå ïåðåêëþ÷àòåëåé ñ èäåíòè÷íûìè è èíâåðñíûìè

ïåðåêëþ÷àòåëÿìè

à) á)

Ðèñ.2.13. Èñõîäíàÿ (à) è ïðåîáðàçîâàííàÿ (á) ïåðåêëþ÷àòåëüíûå ñõåìû

2.7. Элементы теории графов

Íåêîòîðûå ïðàêòè÷åñêèå è òåîðåòè÷åñêèå çàäà÷è íàäåæíîñòè ìîæíî

ñâåñòè ê ðàññìîòðåíèþ ñîâîêóïíîñòè âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé îáúåêòîâ è

ïåðåõîäîâ èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå. Òàêèå çàäà÷è ýôôåêòèâíî ðåøà-

þòñÿ ñ ïðèâëå÷åíèåì ìåòîäîâ òåîðèè ãðàôîâ.

2.7.1. Основные понятия и определения [28,29]

Ãðàôîì íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü òî÷åê (âåðøèí) è ðåáåð, ñîåäèíÿþ-

ùèõ âñå èëè íåêîòîðûå âåðøèíû ìåæäó ñîáîé (ðèñ.2.15). Âåðøèíû, ñî-

åäèíåííûå ðåáðîì, à òàêæå ðåáðà, èìåþùèå îáùóþ âåðøèíó, íàçûâàþòñÿ

ñìåæíûìè, à ðåáðî è ëþáàÿ èç äâóõ åãî âåðøèí - èíöèäåíòíûìè.

Ðåáðî, äëÿ êîòîðîãî çàäàíî íà-

ïðàâëåíèå, íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðî-

âàííûì èëè äóãîé. Ãðàô, ñîäåðæà-

ùèé òîëüêî äóãè, íàçûâàåòñÿ îðè-

åíòèðîâàííûì, ñîäåðæàùèé òîëü-

êî íåîðèåíòèðîâàííûå ðåáðà - íå-

îðèåíòèðîâàííûì. Ðåáðî, íà÷è-

íàþùååñÿ è çàêàí÷èâàþùååñÿ â îäíîé âåðøèíå, íàçûâàåòñÿ ïåòëåé.

Ñìåæíûå âåðøèíû ãðàôà ìîãóò ñîåäèíÿòüñÿ íåñêîëüêèìè ðåáðàìè èëè äó-

ãàìè îäíîãî íàïðàâëåíèÿ. Òàêèå ðåáðà è äóãè íàçûâàþòñÿ êðàòíûìè

(êðàòíîñòü - ÷èñëî êðàòíûõ ðåáåð èëè äóã îäíîãî íàïðàâëåíèÿ).

Íåïðåðûâíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåáåð íàçûâàåòñÿ öåïüþ (â îðèåíòè-

ðîâàííîì ãðàôå - ïóòåì), öåïè èëè ïóòè, â êîòîðûõ íè îäíî ðåáðî èëè äó-

ãà íå âñòðå÷àþòñÿ äâàæäû, - ïðîñòûìè öåïÿìè èëè ïóòÿìè. Çàìêíóòûå

öåïè èëè ïóòè íàçûâàþòñÿ öèêëîì èëè êîíòóðîì.

Ãðàô, â êîòîðîì ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ âåðøèíàìè ñóùåñòâóåò öåïü èëè

ïóòü, íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì. Ñâÿçíûé ãðàô, íå èìåþùèé öèêëîâ èëè êîíòó-

ðîâ, íàçûâàåòñÿ äåðåâîì, à åãî íà÷àëüíàÿ âåðøèíà - êîðíåì.

2.7.2. Матричный способ задания графов [28]

Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ñïîñîáîâ çàäàíèÿ ãðàôîâ. Îäèí èç ñàìûõ ðàñ-

ïðîñòðàíåííûõ è óäîáíûõ - ìàòðè÷íûé.

Òàáëèöà 2.4

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ ФОРМУЛЫ

F º A B`C + A`B C +`A B C

A B C F

1 1 1 1

1 1 0 1

1 0 1 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

B C

Ðèñ.2.14. Ïåðåêëþ÷àòåëüíàÿ ñõåìà

"ãîëîñîâàíèÿ 2 èç 3"

Ðèñ.2.15. Îðèåíòèðîâàííûé ãðàô

Ìàòðèöåé ñìåæíîñòè íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû

êðàòíîñòè ðåáåð èëè äóã, ñîåäèíÿþùèõ âåðøèíû ñ íîìåðàìè, ñîâïàäàþ-

ùèìè ñ íîìåðàìè ñòðîê è ñòîëáöîâ. ×èñëî ñòðîê è ñòîëáöîâ òàêîé ìàòðè-

öû ðàâíî ÷èñëó âåðøèí ãðàôà. Åñëè âåðøèíû ãðàôà íå ñîåäèíåíû äðóã ñ

äðóãîì, òî ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíò ìàòðèöû ðàâåí íóëþ.

Íàïðèìåð, ìàòðèöà ñìåæíîñòè ãðàôà íà ðèñ.2.15:

A a

= =

1000

1011

0000

0100

. (2.262)

Äëÿ îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà íîìåð ñòðîêè ýëåìåíòà ñîâïàäàåò ñ íîìå-

ðîì âåðøèíû, èç êîòîðîé äóãà âûõîäèò, à íîìåð ñòîëáöà - ñ íîìåðîì âåð-

øèíû, â êîòîðóþ îíà âõîäèò. Äëÿ íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà ìàòðèöà

ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé äèàãîíàëè è a

= a

Ìàòðèöà ñìåæíîñòè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ñòðóêòóðó ãðàôà. Ñóììà

ýëåìåíòîâ ñòðîêè ìàòðèöû ðàâíà êîëè÷åñòâó äóã, âûõîäÿùèõ èç ñîîòâåòñò-

âóþùåé âåðøèíû, ñóììà ýëåìåíòîâ ñòîëáöîâ - âõîäÿùèõ â íåå.

Åñëè ìàòðèöó ñìåæíîñòè âîçâåñòè â êâàäðàò (ò.å. óìíîæèòü ñàìó íà

ñåáÿ ïî ïðàâèëàì óìíîæåíèÿ ìàòðèö), òî êàæäûé ýëåìåíò ìàòðèöû A

a aa

ikkj

()2

(2.263)

è áóäåò ðàâåí ÷èñëó ïóòåé äëèíû 2, èäóùèõ èç âåðøèíû i â âåðøèíó j.

Íàïðèìåð, äëÿ ãðàôà íà ðèñ.2.15 êâàäðàò ìàòðèöû ñìåæíîñòè (2.262):

A a

1000

1100

0000

1011

= =

(2)

. (2.264)

Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü ìàòðèöó, ýëåìåíòû êîòîðîé áóäóò ðàâíû

÷èñëó ïóòåé äëèíû 3, 4 è ò.ä. Ýëåìåíòû a

(m)

ìàòðèöû A

ðàâíû ÷èñëó

ïóòåé äëèíû m, èäóùèõ èç âåðøèíû i â âåðøèíó j .

Ìàòðèöåé èíöèäåíòíîñòè íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà, ýëåìåíòû êîòîðîé

ðàâíû +1, åñëè âåðøèíà ñ íîìåðîì, ñîâïàäàþùèì ñ íîìåðîì ñòðîêè, ÿâ-

ëÿåòñÿ íà÷àëüíîé âåðøèíîé äóãè ñ íîìåðîì, ñîâïàäàþùèì ñ íîìåðîì

ñòîëáöà, –1 - êîíå÷íîé âåðøèíîé è 0 - åñëè âåðøèíà è äóãà íå èíöèäåíò-

íû. Î÷åâèäíî ÷èñëî ñòðîê òàêîé ìàòðèöû ðàâíî ÷èñëó âåðøèí, à ÷èñëî

ñòîëáöîâ - ÷èñëó äóã.

Íàïðèìåð, ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè ãðàôà íà ðèñ.2.15:

B b

= =

+ + + -

- +

1 1 0 0 0

0 1 1 1 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 1

. (2.265)

Òàê êàê êàæäàÿ äóãà, çà èñêëþ÷åíèåì ïåòåëü, èíöèäåíòíà äâóì âåðøè-

íàì, òî êàæäûé ñòîëáåö ìàòðèöû ëèáî ñîäåðæèò ïàðó ýëåìåíòîâ +1 è -1,

ëèáî òîëüêî îäèí ýëåìåíò +1 (äëÿ ïåòåëü). Ó íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà

ìàòðèöà ñîäåðæèò ýëåìåíòû ñî çíà÷åíèÿìè òîëüêî 0 è +1.

Ìàòðèöåé äîñòèæèìîñòè íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâ-

íû 1, åñëè âåðøèíà ñ íîìåðîì, ðàâíûì íîìåðó ñòîëáöà, äîñòèæèìà èç âåð-

øèíû ñ íîìåðîì, ðàâíûì íîìåðó ñòðîêè, è 0 - åñëè íå äîñòèæèìà. Î÷å-

âèäíî ÷èñëî ñòðîê è ñòîëáöîâ òàêîé ìàòðèöû ðàâíî ÷èñëó âåðøèí ãðàôà.

Äëÿ ãðàôà íà ðèñ.2.15 ìàòðèöà äîñòèæèìîñòè èìååò âèä:

R r

= =

1000

1111

0010

1111

. (2.266)

Ìàòðèöà äîñòèæèìîñòè ñâÿçíîãî íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà ñîäåðæèò òîëüêî ýëå-

ìåíòû, ðàâíûå 1.

2.8. Элементы комбинаторики [2,8,10]

Íàäåæíîñòü òåõíè÷åñêîãî îáúåêòà, ñîñòîÿùåãî èç áîëüøîãî ÷èñëà ñî-

ñòàâíûõ ÷àñòåé (ýëåìåíòîâ), îïðåäåëÿåòñÿ åãî ñòðóêòóðîé è íàäåæíîñòüþ

ýëåìåíòîâ. Ïîêàçàòåëè íàäåæíîñòè ðàññ÷èòûâàþòñÿ èñõîäÿ èç âåðîÿòíî-

ñòåé ðàçëè÷íûõ ñî÷åòàíèé (êîìáèíàöèé) ðàáîòîñïîñîáíûõ è íåðàáîòîñïî-

ñîáíûõ ñîñòîÿíèé ýëåìåíòîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäîâ êîìáèíàòîðèêè.

Êîìáèíàòîðèêà èçó÷àåò ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâ â ñîîò-

âåòñòâèè ñî ñïåöèàëüíûìè ïðàâèëàìè è ìåòîäû ðàñ÷åòà âñåõ âîçìîæíûõ

ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ýòè ðàñïîëîæåíèÿ ìîãóò áûòü îñóùåñòâëåíû. Â êà÷å-

ñòâå ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâ ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïðåäìåòû, òàê è ñî-

áûòèÿ, íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòêàçîâ óçëîâ è äåòàëåé òåõíè÷åñêî-

ãî óñòðîéñòâà - óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ñîáûòèé.

Ðàçìåùåíèÿìè íàçûâàþòñÿ óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà ýëåìåíòîâ, îò-

ëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà íàáîðîì ýëåìåíòîâ èëè èõ ïîðÿäêîì. Íàïðèìåð,

âîçìîæíûå ðàçìåùåíèÿ èç 3 ýëåìåíòîâ (A, B è Ñ) ïî 2: AB, AC, BC, BA,

CA è CB. ×èñëî âñåõ âîçìîæíûõ ïåðåìåùåíèé èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ

ïî m ýëåìåíòîâ

( ) ( )

A nn n m

= - - + =

××× -

1 1

...

(2.267)

Ïåðåñòàíîâêàìè íàçûâàþòñÿ óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà ýëåìåíòîâ,

îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ïîðÿäêîì. Íàïðèìåð, âîçìîæíûå ïå-

ðåñòàíîâêè èç 3 ýëåìåíòîâ: ABC, BCA, CAB, CBA, BAC è ACB. ×èñëî

âñåõ âîçìîæíûõ ïåðåñòàíîâîê èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ

= 1×2×...×n = A

= n! . (2.268)

Åñëè ñðåäè ýëåìåíòîâ èìåþòñÿ îäèíàêîâûå, òî

PPP

abc

× × ×

× × ×...

! ! !...

(2.269)

ãäå a, b, c è ò.ä. - ÷èñëî îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ A, B, C è ò.ä.

Ñî÷åòàíèÿìè íàçûâàþòñÿ ìíîæåñòâà ýëåìåíòîâ, îòëè÷àþùèåñÿ äðóã

îò äðóãà òîëüêî íàáîðîì ýëåìåíòîâ. Íàïðèìåð, âîçìîæíûå ñî÷åòàíèÿ èç 3

ýëåìåíòîâ ïî 2: AB, AC è BC. ×èñëî âñåõ âîçìîæíûõ ñî÷åòàíèé èç n

ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïî m ýëåìåíòîâ

(

)

(

)

( )

nn n m

mn m

- - +

×××

= =

1 1

...

! !

(2.270)

Î÷åâèäíî C

= n, C

= C

= 1, C

n–m

= C

×èñëà C

ñîîòâåòñòâóþò êîýôôèöèåíòàì â ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà

è íàçûâàþòñÿ áèíîìèàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Èõ çíà÷åíèÿ ìîãóò áûòü

îïðåäåëåíû òàêæå ïî òàáëèöå òðåóãîëüíèêà Ïàñêàëÿ (ñì.ïðèë.I).

Äëÿ áîëüøèõ ÷èñåë n ïðè ðàñ÷åòå ôóíêöèè n! â ôîðìóëàõ (2.267)-(2.270) ìîæíî

òàêæå âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé Ñòèðëèíãà:

( ) ( )

n n n n n

! !»

» +

- +2

2p p, ln ln ln .

(2.271)

Ëèòåðàòóðà

1. Íàäåæíîñòü è ýôôåêòèâíîñòü â òåõíèêå: Ñïðàâî÷íèê: Â 10 ò. Ò.2. Ìàòåìàòè÷å-

ñêèå ìåòîäû â òåîðèè íàäåæíîñòè è ýôôåêòèâíîñòè.-Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå,1987.- 280 ñ.

2. Ãèõìàí È.È., Ñêîðîõîä À.Â., ßäðåíêî Ì.È. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè-

÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà.- Êèåâ: Âèùà øêîëà, 1988.- 439 ñ.

3. Èâàíîâà Â.Ì. è äð. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà.-Ì.: Âûñø.øêîëà, 1975.- 398 ñ.

4. Èâàøåâ-Ìóñàòîâ Î.Ñ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà.- Ì.:

Íàóêà, 1979.- 256 ñ.

5. Âåíòöåëü Å.Ñ., Îâãàðîâ Ë.À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé.- Ì.: Íàóêà, 1973.- 260 ñ.

6. Íàäåæíîñòü òåõíè÷åñêèõ ñèñòåì: Ñïðàâî÷íèê / Ïîä ðåä. È.À.Óøàêîâà.- Ì.: Ðà-

äèî è ñâÿçü, 1985. - 608 ñ.

7. Áàðçèëîâè÷ Å.Þ. è äð. Âîïðîñû ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè íàäåæíîñòè.- Ì.: Ðàäèî

è ñâÿçü, 1983.- 376 ñ.

8. Áðîíøòåéí È.Í., Ñåìåíäÿåâ Ê.À. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ èíæåíåðîâ è

ó÷àùèõñÿ âòóçîâ.- Ì.: Íàóêà, 1981.- 720 ñ.

9. Ãìóðìàí Â.Å. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà.- Ì.:

Âûñø.øêîëà, 1972.- 368 ñ.

10. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå (äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæå-

íåðîâ).- Ì.: Íàóêà, 1977.- 832 ñ.

11. Ðîçàíîâ Þ.À. Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ.-Ì.:Íàóêà, 1982.- 127 ñ.

12. Ãíåäåíêî Á.Â., Áåëÿåâ Þ.Ê., Ñîëîâüåâ À.Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â òåî-

ðèè íàäåæíîñòè: Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè íàäåæíîñòè è èõ ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç.-

Ì.: Íàóêà, 1965.- 524 ñ.

13. Êîçëîâ Ì.À., Ïðîõîðîâ À.Â. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòàòèñòèêó.- Ì.: Èçä-

âî ÌÃÓ, 1987.- 263 ñ.

14. Êîâàëåíêî È.Í., Ôèëèïïîâà À.À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòà-

òèñòèêà.- Ì.: Âûñø.øêîëà, 1982.- 256 c.

15. Áåññîíîâ À.À., Ìîðîç À.Â. Íàäåæíîñòü ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâà-

íèÿ.- Ë.: Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1984.- 216 ñ.

16. Õàçîâ Á.Ô., Äèäóñåâ Á.À. Ñïðàâî÷íèê ïî ðàñ÷åòó íàäåæíîñòè ìàøèí íà ñòàäèè

ïðîåêòèðîâàíèÿ.- Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1986.- 224 ñ.

17. Êàïóð Å., Ëàìáåðñîí Ë. Íàäåæíîñòü è ïðîåêòèðîâàíèå ñèñòåì.- Ì.: Ìèð,

1980.- 604 ñ.

18. Õàí Ã., Øàïèðî Ñ. Ñòàòèñòè÷åñêèå ìîäåëè â èíæåíåðíûõ çàäà÷àõ.- Ì.: Ìèð,

1969.- 396 ñ.

19. Õèììåëüáëàó Ä. Àíàëèç ïðîöåññîâ ñòàòèñòè÷åñêèìè ìåòîäàìè.- Ì.: Ìèð, 1973.-

958 ñ.

20. Òðóõàíîâ Â.Ì. Ìåòîäû îáåñïå÷åíèÿ íàäåæíîñòè èçäåëèé ìàøèíîñòðîåíèÿ.- Ì.:

Ìàøèíîñòðîåíèå, 1995.- 304 ñ.

21. Ñîòñêîâ Á.Ñ. Îñíîâû òåîðèè è ðàñ÷åòà íàäåæíîñòè ýëåìåíòîâ è óñòðîéñòâ àâ-

òîìàòèêè è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè.- Ì.: Âûñø.øê., 1970.- 272 ñ.

22. Ñïðàâî÷íèê ïî íàäåæíîñòè. Òîì 1.- Ì.: Ìèð, 1969.- 340 ñ.

23. Áåëÿåâ Þ.Ê., Áîãàòûðåâ Â.À., Áîëîòèí Â.Â. è äð. Íàäåæíîñòü òåõíè÷åñêèõ

ñèñòåì: Ñïðàâî÷íèê.- Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1985.- 608

24. Êîëìîãîðîâ À.Í., Äðàãàëèí À.Ã. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó.- Ì.: Èçä-

âî ÌÃÓ, 1982.- 120 ñ.

25. Ìåíäåëüñîí Ý. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó.-Ì.: Íàóêà, 1976.- 320 ñ.

26. Íèêîëüñêàÿ È.Ë. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà.- Ì.: Âûñø.øêîëà, 1981.-127 ñ.

27. ßãëîì È.Ì. Áóëåâà ñòðóêòóðà è åå ìîäåëè.- Ì.: Ñîâ.ðàäèî, 1980.- 192 c.

28. Îðå Î. Òåîðèÿ ãðàôîâ.- Ì.: Íàóêà, 1980.- 336 ñ.

29. Óèëñîí Ð. Ââåäåíèå â òåîðèþ ãðàôîâ.- Ì.: Ìèð, 1977.- 208 ñ.

Глава 3.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАДЕЖНОСТИ

3.1. Физика отказов

Äëÿ îöåíêè íàäåæíîñòè òåõíè÷åñêèõ îáúåêòîâ èñïîëüçóåòñÿ, êàê ïðà-

âèëî, ìåòîäîëîãèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè [1-6].

Â ýòîì ñëó÷àå âñå âîçìîæíûå ñîñòîÿíèÿ ýëåìåíòîâ è îáúåêòîâ ñâîäÿòñÿ,

êàê ïðàâèëî, ê äâóì - ðàáîòîñïîñîáíîìó è íåðàáîòîñïîñîáíîìó (ñîñòîÿíèþ

îòêàçà), ïîêàçàòåëÿì íàäåæíîñòè ïðèäàåòñÿ ñìûñë ôóíêöèé ñëó÷àéíîé âå-

ëè÷èíû (íàðàáîòêè äî îòêàçà), à ìîäåëÿì íàäåæíîñòè - ñìûñë ðàñïðåäåëå-

íèÿ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Âåðîÿòíîñòíûå ìåòîäû íàõîäÿò ïðàêòè÷å-

ñêîå ïðèìåíåíèå ïðè îöåíêå ïîêàçàòåëåé íàäåæíîñòè ðàçëè÷íûõ òåõíè÷å-

ñêèõ ñèñòåì, àíàëèçå ïðîåêòíûõ âàðèàíòîâ, íàçíà÷åíèè îïòèìàëüíûõ ðåã-

ëàìåíòîâ ýêñïëóàòàöèè, ðàçðàáîòêå ïðîãðàìì èñïûòàíèé è êîíòðîëå êà÷å-

ñòâà ïðîäóêöèè.

Âåðîÿòíîñòíûé ïîäõîä ïðè îöåíêå íàäåæíîñòè òåõíè÷åñêèõ îáúåêòîâ

ó÷èòûâàåò ñòðóêòóðó ñëîæíûõ ñèñòåì êàê ñîåäèíåíèÿ ýëåìåíòîâ è íå êàñà-

åòñÿ ôèçè÷åñêî-õèìè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà ýëåìåíòîâ, íå ó÷èòûâàåò ôè-

çè÷åñêóþ ïðèðîäó èõ âçàèìîäåéñòâèÿ è ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â ýëåìåí-

òàõ ïîä âîçäåéñòâèåì âíåøíèõ è âíóòðåííèõ ôàêòîðîâ è ïðèâîäÿùèõ ê èõ

îòêàçàì. Â ñâÿçè ñ ýòèì âåðîÿòíîñòíûé ïîäõîä è ïðèìåíåíèå ñòàòèñòè÷å-

ñêîé òåîðèè íàäåæíîñòè èìååò ðÿä ïðèíöèïèàëüíûõ îãðàíè÷åíèé [7,8]:

- íåâîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ äëÿ àíàëèçà íàäåæíîñòè åäèíè÷íûõ îáú-

åêòîâ (íàïðèìåð äëÿ íåêîòîðûõ òåõíè÷åñêèõ ñèñòåì, íå èìåþùèõ àíàëî-

ãîâ, íà ñòàäèè ïðîåêòèðîâàíèÿ íîâîãî èçäåëèÿ);

- íåâîçìîæíîñòü â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ îïðåäåëåíèÿ âèäà îòêàçà èñõî-

äÿ òîëüêî èç ôîðìàëüíî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ãèïîòåç;

- íåâîçìîæíîñòü ó÷åòà âëèÿíèÿ ðàçëè÷íûõ âíåøíèõ âîçäåéñòâèé (ìå-

õàíè÷åñêèõ, õèìè÷åñêèõ, ýëåêòðè÷åñêèõ, òåïëîâûõ è äð.);

- íåâûïîëíèìîñòü â îáùåì ñëó÷àå ãèïîòåçû î íåèçìåííîé ïðèðîäå îò-

êàçà ïðè èçìåíåíèè óðîâíÿ íàãðóçêè íà îáúåêò;

- ñëîæíîñòü ó÷åòà íåñêîëüêèõ îäíîâðåìåííî ïðîòåêàþùèõ ïðîöåññîâ

ðàçðóøåíèÿ ñ ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè (÷òî îáóñëàâëèâàåò íåëèíåéíîñòü

çàêîíîâ ñóììèðîâàíèÿ ïîâðåæäåíèé).

Ýòè îãðàíè÷åíèÿ, à òàêæå ïîâûøåíèå ñëîæíîñòè, ñíèæåíèå ìàòåðèàëî-

åìêîñòè è çàïàñîâ ïðî÷íîñòè òåõíè÷åñêèõ îáúåêòîâ, óñëîæíåíèå óñëîâèé

èõ ðàáîòû âûçâàëè íåîáõîäèìîñòü ðàçâèòèÿ ôèçè÷åñêîé òåîðèè íàäåæíî-

ñòè ("ôèçèêè îòêàçîâ"), êîòîðàÿ ðàññìàòðèâàåò äåòåðìèíèðîâàííûå èëè

ôóíêöèîíàëüíûå çàêîíîìåðíîñòè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, âëèÿþùèõ íà íà-

äåæíîñòü òåõíè÷åñêèõ îáúåêòîâ [7-9].

3.1.1. Основные положения физической теории надежности

Â ïðîöåññå ýêñïëóàòàöèè òåõíè÷åñêèå îáúåêòû íàõîäÿòñÿ ïîä âîçäåé-

ñòâèåì áîëüøîãî ÷èñëà âíóòðåííèõ è âíåøíèõ ôàêòîðîâ, â ìàòåðèàëàõ

ýëåìåíòîâ ïðîèñõîäÿò ðàçëè÷íûå îáðàòèìûå è íåîáðàòèìûå ôèçèêî-

õèìè÷åñêèå ïðîöåññû è ÿâëåíèÿ, êîíå÷íûì ðåçóëüòàòîì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ

îòêàç. Ñîñòîÿíèå îáúåêòà è åãî ïàðàìåòðû X

, îïðåäåëÿþùèå ñâîéñòâà íà-

äåæíîñòè (íàïðèìåð, çàïàñ ìåõàíè÷åñêîé, ýëåêòðè÷åñêîé èëè òåïëîâîé

ïðî÷íîñòè), ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèåé âõîäíûõ ïàðàìåòðîâ Z

è âðåìåíè (èëè

íàðàáîòêè) t

= f(Z

, Z

, ..., Z

, t), (3.1)

ïðè÷åì â ÷èñëå ïàðàìåòðîâ Z

ó÷èòûâàþòñÿ ïàðàìåòðû, õàðàêòåðèçóþùèå

óñëîâèÿ ýêñïëóàòàöèè (íàãðóçêè, òåìïåðàòóðà, õàðàêòåðèñòèêè ñðåäû è

ò.ä.), ñîñòîÿíèå ìàòåðèàëà (ìåõàíè÷åñêèå, ýëåêòðè÷åñêèå, ìàãíèòíûå è

äðóãèå ñâîéñòâà) è äðóãèå ôàêòîðû.

Îäíàêî ïðè íàëè÷èè òîëüêî ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè (3.1), äàæå

äîñòàòî÷íî äîñòîâåðíî îïèñûâàþùåé ñîñòîÿíèå è ôóíêöèîíèðîâàíèå îáú-

åêòà, íåëüçÿ òî÷íî ïðåäñêàçàòü åãî ïîâåäåíèå è ìîìåíò îòêàçà, òàê êàê

ñàìè àðãóìåíòû Z

, Z

, ..., Z

è, òåì áîëåå, îïðåäåëÿþùèå ïàðàìåòðû X

ÿâëÿþòñÿ, êàê ïðàâèëî, ñëó÷àéíûìè èëè ïîëóñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.

Äåéñòâèòåëüíî, â ïðîöåññå ýêñïëóàòàöèè îáû÷íî ïðîèñõîäÿò íåïðåäâèäåí-

íûå ñëó÷àéíûå èçìåíåíèÿ è êîëåáàíèÿ íàãðóçîê è óñëîâèé ýêñïëóàòàöèè,

ýëåìåíòû îáúåêòîâ ìîãóò áûòü èçãîòîâëåíû ñ ðàçëè÷íûìè äîïóñêàìè íà

ãåîìåòðè÷åñêèå ðàçìåðû, îòêëîíåíèÿìè òåõíîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, ñî-

ñòàâà, ñòðóêòóðû è ñâîéñòâ ìàòåðèàëîâ è ò.ä. Êðîìå òîãî, áîëüøèíñòâî

ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ÿâëåíèé, ïðîèñõîäÿùèõ â ìàòåðèàëàõ, èìåþò ôè-

çèêî-ñòàòèñòè÷åñêóþ ïðèðîäó. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîäõîä ê àíàëèçó ñîñòîÿíèÿ

òåõíè÷åñêèõ îáúåêòîâ äîëæåí áûòü, êàê ïðàâèëî, ñòðóêòóðíî-âåðîÿòíîñò-

íûì, ò.å. äîëæåí ó÷èòûâàòü êàê ôèçè÷åñêóþ ñòðóêòóðó îáúåêòîâ è ìàòå-

ðèàëîâ, òàê è ñòàòèñòè÷åñêèå êèíåòè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè ïðîöåññîâ [10].

Ôóíêöèîíàëüíûå çàâèñèìîñòè âèäà (3.1) õîòÿ è çíà÷èòåëüíî èäåàëèçè-

ðóþò ðåàëüíûå ïðîöåññû è ëèøü ñ èçâåñòíîé ñòåïåíüþ ïðèáëèæåíèÿ îò-

ðàæàþò èõ ôèçè÷åñêóþ ñóùíîñòü, íî ïîçâîëÿþò ïðåäñêàçûâàòü âîçìîæíûé

îáùèé õîä ïðîöåññîâ ïðè ðàçëè÷íûõ óñëîâèÿõ. Òàê, íàïðèìåð, ïîäñòàíîâêà

â óðàâíåíèå (3.1) ñðåäíèõ çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ Z

, Z

, ..., Z

äàåò îöåíêó

ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïàðàìåòðà X

, à èñõîäÿ èç äèñïåðñèé ñëó÷àé-

íûõ àðãóìåíòîâ ìîæíî îöåíèòü åãî äèñïåðñèþ ïàðàìåòðà. Ïîýòîìó ôèçè-

÷åñêàÿ òåîðèÿ íàäåæíîñòè ("ôèçèêà îòêàçîâ"), èçó÷àþùàÿ çàêîíîìåðíîñòè

èçìåíåíèÿ ñâîéñòâ ìàòåðèàëîâ è ýëåìåíòîâ òåõíè÷åñêèõ ñèñòåì â óñëîâè-

ÿõ ýêñïëóàòàöèè, ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé äëÿ èçó÷åíèÿ è îöåíêè õàðàêòåðèñòèê

íàäåæíîñòè è ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé îòêàçîâ [8].

Âûðàáîòêà ðåñóðñà èçäåëèé è âîçíèêíîâåíèå îòêàçîâ ñâÿçàíû, ãëàâíûì

îáðàçîì, ñ íàêîïëåíèåì íåîáðàòèìûõ ïîâðåæäåíèé è èçìåíåíèåì (ñòàðå-

íèåì) èõ ýëåìåíòîâ (äåòàëåé è óçëîâ). Îïðåäåëÿþùåå âëèÿíèå íà ñòàðå-

íèå îêàçûâàþò ðàçëè÷íûå ôèçèêî-õèìè÷åñêèå ïðîöåññû è ÿâëåíèÿ. Ïî-

âðåæäåíèÿ ìîãóò áûòü êàê ìåõàíè÷åñêîãî (óñòàëîñòü, òðåùèíîîáðàçîâàíèå,

èçíîñ, íàêîïëåíèå ïëàñòè÷åñêèõ äåôîðìàöèé è ò.ä.), òàê è ôèçèêî-