Невзоров В.Н., Сугак Е.В. Надежность машин и оборудования. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
61
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè Dt®0, ïîëó÷èì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îò-
íîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé p
0
(t), p
1
(t), ..., p
n
(t):
(
)
() ()
()
() ( ) () ()
()
() ()
dpt
dt
pt pt
dpt
dt
p t pt p t
dpt
dt
p t pt
k
k k k
n
n n
0
0 1
1 1
1
=- +
= - + +
= -
ì
í
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
- +
-
l m
l l m m
l m
,
...
,
...
.
(2.189)
Èíòåãðèðóÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (2.189) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè p
0
(0)=1,
p
1
(0)=p
2
(0)=...=p
n
(0)=0, ìîæíî íàéòè âåðîÿòíîñòè âñåõ âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé.
Âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðè-
ñòèêè ñèñòåì, ñòàáèëüíî ðàáîòàþùèõ äîñòàòî÷íî äëèòåëüíîå âðåìÿ. Òàê êàê ôóíêöèÿ
X(t) ýðãîäè÷íà è äëÿ íåå ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (2.161), òî ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè
t®¥ è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè i®¥ p
k
(t)®p
k
, èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.189) ïîëó÷èì:
( )
- + =
- + + =
- =
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
- +
-
l m
l l m m
l m
p p
p p p
p p
k k k
n n
0 1
1 1
1
0
0
0
,
...
,
...
.
(2.190)
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (2.190) ëèíåéíî çàâèñèìà, ïîýòîìó äëÿ åå ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî
îäíî èç óðàâíåíèé (íàïðèìåð, ïîñëåäíåå) çàìåíèòü íîðìèðóþùèì óñëîâèåì (2.164):
( )
( )
( )
-
+
=
- + + =
- + + =
- + + =
+ + + =
ì
í
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
- -
l
m
l l m m
l l m m
l l m m
p p
p p p
p p p
p p p
p p p
n n n
n
0 1
0 1 2
1 2 3
2 1
0 1
0
0
0
0
1
,
,
,
...
,
... .
(2.191)
Ïîñëåäîâàòåëüíî èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.191) äëÿ íàõîæäåíèÿ p
1
, p
2
, ...,
p
n
, ìîæíî ïîëó÷èòü äëÿ ëþáîãî k (0<k£n)
p
k
= (l/m)
k
p
0
= j
k
p
0
, (2.192)
ãäå j = l/m.
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (2.192) â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.191), ïîëó÷èì
( )
p p p p
k
k
n
k
k
n
n
n
=
=
+
å å
= = + + + + =
-
-
=
0
0
0
0
2
0
1
1
1
1
1j j j j
j
j
...
, (2.193)
îòêóäà
p
n
0
1
1
1
=
-
-
+
j
j
. (2.194)
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèÿ (2.194) â ôîðìóëó (2.192), ïîëó÷èì
( )
(
)
( )
p
k
k
n
k
n
=
-
-
=
-
-
+ +
j
j
j
lm
l
m
lm
1
1
1
1
1 1
. (2.195)
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2.195), ìîæíî ïî ôîðìóëàì (2.170) è (2.171) îïðåäåëèòü ìà-
òåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ÷èñëà òðåáîâàíèé â ñèñòåìå M(k), â óçëå îáñëóæèâàíèÿ M(s),
â íàêîïèòåëå M(m), ÷èñëî ñâîáîäíûõ óçëîâ îáñëóæèâàíèÿ M(l) è âåðîÿòíîñòü ïîëó÷å-
íèÿ îòêàçà p
îòê
:
( )
(
)
( )
( )
()
Mk kp A k
n n
Ms kp rp p p p
k
k
n
k
k
n
n
n
k
k
r
k
kr
n
k
k
n
n
n
= = =
--+
- -
= + = + =- =
-
-
= =
+
+
= =+ =
+
å å å å å
0 0
1
1
0 1
1
2
0
1
1
1 1
1
1
1
j
j j j
j j
j
j
j
,
, (2.196)
( ) () ()
(
)
( )
( )
() ()
( )
Mm Mk Ms
n n
Ml Ms p p
n
n
n
= - =
- - +
- -
=- =- - = =
-
-
+
+
+
j j j j
j j
j
j
1 2
1
0 0
1
1 1
1 11
1
1
,
, (2.197)
p p
n
n
n
îòê
= =
-
-
+
j
j
j
1
1
1
. (2.198)
62
Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ äëÿ ÷èñòîé ñèñòåìû ñ îæèäàíèåì ñ îäíèì îáñëóæè-
âàþùèì óñòðîéñòâîì, îòëè÷àþùåéñÿ îò ïðåäûäóùåé îòñóòñòâèåì îãðàíè÷åíèÿ íà
÷èñëî òðåáîâàíèé â ñèñòåìå, ïðè îïðåäåëåíèè ïðåäåëüíûõ âåðîÿòíîñòåé p
0
, p
1
è ò.ä.
ïðèâîäÿò ê ñèñòåìå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà óðàâíåíèé âèäà
( )
-
+
=
- + + =
ì
í
ï
î
ï
- +
l
m
l l m m
p p
p p p
k k k
0 1
1 1
0
0
,
...
,
...
(2.199)
êîòîðàÿ ñ ó÷åòîì íîðìèðîâî÷íîãî óñëîâèÿ (2.164) èìååò ðåøåíèå â âèäå
( )
( ) ( )
p
k
k k
k
k
k
= = - = -
=
¥
å
j j j j lm lm
0
1 1
(2.200)
(âûðàæåíèå (2.200) ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì âûðàæåíèÿ (2.195) ïðè n®¥).
Âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìó-
ëàìè (2.170) è (2.171)
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Mk kp k Mm k p k
k
k
k
k
k
k
k
k
= = - =
-
= - = - - =
-
=
¥
=
¥
=
¥
=
¥
å å å å
0 0 1 1
2
1
1
1 1 1
1
j j
j
j
j j
j
j
,
, (2.201)
M(s) = M(k) – M(m) = j, M(l) = 1 – M(s) = 1 – j = p
0
. (2.202)
Äëÿ ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ áåç îæèäàíèÿ ñ r îáñëóæèâàþùèìè óñò-
ðîéñòâàìè ñèñòåìà r+1 óðàâíåíèé äëÿ ïðåäåëüíûõ âåðîÿòíîñòåé p
0
, p
1
, ..., p
r
èìååò
âèä
( ) ( )
- + =
- + + + =
- =
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
- +
-
l m
l l m m
l m
p p
p kp k p
p rp
k k k
r r
0 1
1 1
1
0
1 0
0
,
...
,
...
.
(2.203)
Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû j = l/m
r
= l/(rm), ðåøåíèå ñèñ-
òåìû (2.207) èìååò âèä (ôîðìóëà Ýðëàíãà)
p p
r
k
r
k
r
k
k
kk
kk
kk
k
r
= =
å
0
j
j
j
!
!
!
=0
. (2.204)
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèÅ ÷èñëà òðåáîâàíèé â ñèñòåìå M(k), ðàâíîå â äàííîì ñëó-
÷àå ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ ÷èñëà òðåáîâàíèé â óçëå îáñëóæèâàíèÿ M(s), ìàòåìà-
òè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà ñâîáîäíûõ îáñëóæèâàþùèõ óñòðîéñòâ M(l) è âåðîÿòíîñòü îò-
êàçà p
îòê
âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
() () () () ( )
Mk Ms kp
r
k
r p
r
r
Ml rMs r p
r
r
kk
k
r
r r r r
= = = - =- = - +
=
+
+
+
+
å
0
0
0
1 1
0
1 1
1
j
j
j
j
j
! !
!
,
, (2.205)
p p p
r
r
r
rr
îòê
!
= =
0
j
. (2.206)
Äëÿ ÷èñòîé ñèñòåìû ñ îæèäàíèåì ñ r îáñëóæèâàþùèìè óñòðîéñòâàìè ñèñòåìà
áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà óðàâíåíèé, èç êîòîðûõ ïåðâûå r óðàâíåíèé íå îòëè÷àþòñÿ îò ïåð-
âûõ r óðàâíåíèé ñèñòåìû (2.203), èìååò âèä
( ) ( )
( )
- + =
- + + + =
- + + =
ì
í
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
- +
- +
l m
l l m m
l l m m
p p
p kp k p
p rp rp
k k k
k k k
0 1
1 1
1 1
0
1 0
0
,
...
,
...
,
... .
(2.207)
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (2.212) èìååò äâà ðåøåíèÿ: äëÿ 0 £ k £ s è k ³ s
63
( ) ( )
p
r
k
r
k
r
r
p
r
r
r
k
r
r
k
kk
kk
k
r rr
k
rk
kk
k
r rr
=
+
-
=
+
-
- -
å å
j
j j
j
j
j j
j
!
! !
!
! !
=
0
=
0
1 1
1 1
,
, . (2.208)
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2.213), ìîæíî ïî ôîðìóëàì (2.170) è (2.171) âû÷èñëèòü ìà-
òåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ÷èñëà òðåáîâàíèé â íàêîïèòåëå M(m), â óçëå îáñëóæèâàíèÿ
M(s), â ñèñòåìå M(k), è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà ñâîáîäíûõ óçëîâ îáñëóæèâà-
íèÿ M(l), à òàêæå âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â ñèñòåìå M(t) è â íàêîïèòåëå M(t
îæ
):
( ) ( )
( )
()
Mm k rp
r
r
p Ms kp rp r
k
kr
rr
k
k
r
k
kr
= - =
-
= + =
=
¥
+
= =+
¥
å å å
j
j
j
1
2
0
0 1
1!
,
, (2.209)
() ( ) ()
( )
() () ( )
Mk Mm Ms
r
r
p r Ml r Ms r
rr
= - =
-
+ = - = -
+
j
j
j j
1
2
0
1
1
!
,
, (2.210)
() ()
( )
( )
( )
( )
Mt Mk
p
r
r
Mt Mm
p
r
r
r r r r
= = ×
-
+ = = ×
-
-
-
1
1
1 1
1
0
1
2
0
1
2
l m
j
j
m l m
j
j!
,
!
îæ
. (2.211)
Õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ñ îäíèì îáñëóæèâàþùèì óñòðîéñòâîì ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì
ñëó÷àåì õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû ñ r îáñëóæèâàþùèìè óñòðîéñòâàìè ïðè r=1.
2.4. Элементы математической статистики
Îñíîâíûå êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè íàäåæíîñòè îöåíèâàþòñÿ ïî
ðåçóëüòàòàì èñïûòàíèé ïîñëå èõ îáðàáîòêè ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäîâ ìà-
òåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Ïðè ýòîì äèñêðåòíûå ñòàòèñòè÷åñêèå âåëè÷èíû,
îïèñûâàþùèå ïðîöåññû âîçíèêíîâåíèÿ îòêàçîâ, àïïðîêñèìèðóþòñÿ íåïðå-
ðûâíûìè ôóíêöèÿìè ñòàíäàðòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ
îöåíêîé òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè è ïðîâåðêîé ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç.
2.4.1. Основные понятия и определения [2,3,13]
Ïðè èññëåäîâàíèè ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé èñïîëüçóåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ
èíôîðìàöèÿ î ñëó÷àéíûõ ñîáûòèÿõ, ïîýòîìó ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ýì-
ïèðè÷åñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÿâëÿþòñÿ íà ñàìîì äåëå
ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè è èõ íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ íà ïðàêòèêå çàìåíÿ-
þòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèìè îöåíêàìè.
Äëÿ îöåíêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ÷àùå âñåãî èññëåäóåòñÿ íå âñÿ
ñóùåñòâóþùàÿ ñîâîêóïíîñòü îáúåêòîâ (ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü), à åå
÷àñòü - âûáîðî÷íàÿ ñîâîêóïíîñòü (âûáîðêà), îòîáðàííàÿ ïî îïðåäåëåííîé
ìåòîäèêå, îáåñïå÷èâàþùåé åå ðåïðåçåíòàòèâíîñòü (ïðåäñòàâèòåëüíîñòü),
ò.å. âîçìîæíîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñ äîñòàòî÷íîé
äîñòîâåðíîñòüþ íà âñþ ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü.
Ëþáîå ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïîçâîëÿþùåå ñ
äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ ñóäèòü î åå èñòèííîì çíà÷åíèè, íàçûâàåòñÿ òî-
÷å÷íîé îöåíêîé. Òî÷å÷íûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ äîëæíû îáëàäàòü òðåìÿ
ñâîéñòâàìè: íåñìåùåííîñòüþ, ýôôåêòèâíîñòüþ è ñîñòîÿòåëüíîñòüþ.
Îöåíêà x* ïàðàìåòðà x íàçûâàåòñÿ íåñìåùåííîé, åñëè åå ìàòåìàòè÷å-
ñêîå îæèäàíèå ðàâíî ýòîìó ïàðàìåòðó:
M(x*) = x. (2.212)
64
Âûïîëíåíèå òðåáîâàíèÿ íåñìåùåííîñòè ãàðàíòèðóåò îòñóòñòâèå ïðè
îöåíêå ïàðàìåòðîâ ñèñòåìàòè÷åñêèõ îøèáîê, çàâûøàþùèõ èëè çàíèæàþ-
ùèõ èñòèííîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Íåñìåùåííàÿ îöåíêà x* ïàðàìåòðà x íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíîé, åñëè
îíà èìååò íàèìåíüøóþ äèñïåðñèþ ñðåäè âñåõ âîçìîæíûõ íåñìåùåííûõ
îöåíîê ýòîãî ïàðàìåòðà, âû÷èñëåííûõ ïî âûáîðêàì îäíîãî è òîãî æå îáú-
åìà. Òàê êàê äèñïåðñèÿ D(x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû õàðàêòåðèçóåò åå ðàñ-
ñåèâàíèå îêîëî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, òî âûïîëíåíèå òðåáîâàíèÿ
ýôôåêòèâíîñòè îçíà÷àåò îáåñïå÷åíèå ìèíèìàëüíîãî îòëè÷èÿ îöåíêè îò
ïàðàìåòðà, ò.å. ìàêñèìàëüíîé òî÷íîñòè îöåíèâàíèÿ.
Îöåíêà x* ïàðàìåòðà x íàçûâàåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè îíà ïîä÷èíÿ-
åòñÿ çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë, ò.å. ïðè ëþáûõ e > 0 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî:
{
}
lim *
n
Px x
®¥
- < =e 1. (2.213)
Ñâîéñòâî ñîñòîÿòåëüíîñòè îçíà÷àåò, ÷òî ÷åì áîëüøå îáúåì âûáîðêè,
òåì òî÷íåå îöåíêà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ïîýòîìó â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ
ñîñòîÿòåëüíûõ îöåíîê åñòåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà îïû-
òîâ èëè èñïûòàíèé ñ öåëüþ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ.
Ïðè îöåíêå ïàðàìåòðîâ íå âñåãäà óäàåòñÿ óäîâëåòâîðèòü îäíîâðåìåííî
òðåáîâàíèÿì íåñìåùåííîñòè, ýôôåêòèâíîñòè è ñîñòîÿòåëüíîñòè. Òàê, íà-
ïðèìåð, ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî äëÿ ïðîñòîòû ðàñ÷åòîâ öåëåñîîáðàçíî èñ-
ïîëüçîâàòü îöåíêó ñ íåçíà÷èòåëüíûì ñìåùåíèåì. Îäíàêî â ëþáîì ñëó÷àå
âûáîð îöåíêè äîëæåí ñîïðîâîæäàòüñÿ åå âñåñòîðîííèì êðèòè÷åñêèì àíà-
ëèçîì.
Ëþáàÿ òî÷å÷íàÿ îöåíêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèøü ÷àñòíîå çíà÷åíèå
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òî÷íîñòè îöåíèâàíèÿ ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí è ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå äîâåðèòåëü-
íîãî èíòåðâàëà (x,`x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x, â êîòîðîì èñòèííîå çíà÷å-
íèå ýòîé âåëè÷èíû íàõîäèòñÿ ñ çàäàííîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ
P
ä
, ò.å.
P(x £ x £`x) ³ P
ä
, (2.214)
ãäå x,`x - íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ äîâåðèòåëüíûå ãðàíèöû (îöåíêè) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x.
Âåëè÷èíà äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè P
ä
îáû÷íî ïðèíèìàåòñÿ â èíòåð-
âàëå îò 0,90 äî 0,99 â çàâèñèìîñòè îò íåîáõîäèìîé òî÷íîñòè. Ñîîòâåòñò-
âåííî, óðîâåíü çíà÷èìîñòè îöåíêè a = 1 – P
ä
âûáèðàåòñÿ èç èíòåðâàëà
îò 0,01 äî 0,10 (ò.å. îò 1 äî 10%), ïðè÷åì óðîâíè çíà÷èìîñòè a è`a äëÿ
íèæíåé è âåðõíåé äîâåðèòåëüíûõ ãðàíèö ìîãóò áûòü ðàçíûìè.
Âûáîð ìåòîäà îïðåäåëåíèÿ äîâåðèòåëüíûõ ãðàíèö çàâèñèò îò âèäà ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è õàðàêòåðà èñõîäíûõ äàííûõ. Íàïðèìåð,
äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè a =`a = a
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
x M x tPk
D x
n
x M x tPk
D x
n
ä ä
= - = +* ,
*
, * ,
*
, (2.215)
ãäå M*(x) è D*(x) - âûáîðî÷íûå îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ñëó-
÷àéíîé âåëè÷èíû x, t(P
ä
,k)- êâàíòèëè t-ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà äëÿ äîâåðèòåëüíîé
âåðîÿòíîñòè P
ä
= 1 è ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû k = n – 1 (ñì.ðàçä.2.4.3).
65
2.4.2. Оценка параметров распределения случайных величин [3,9]
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òî÷å÷íûõ îöåíîê ïî äàííûì èñïûòàíèé èñïîëüçóåòñÿ
íåñêîëüêî ìåòîäîâ, îñíîâíîé èç íèõ - ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäî-
áèÿ, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì â êà÷åñòâå ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêè x* ïàðà-
ìåòðà x ïðèíèìàåòñÿ çíà÷åíèå, ïðè êîòîðîì ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ
( ) ( )
Lxx xx fxx
n i
i
n
1 2
1
, ,..., ,* ,*=
=
Õ
(2.216)
ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå.  ôîðìóëå (2.216) f(x
i
,x*) - âåðîÿò-
íîñòü çíà÷åíèÿ x
i
(äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí) èëè ïëîòíîñòü âå-
ðîÿòíîñòè (äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí). Îöåíêà x*, ïîëó÷åííàÿ
òàêèì ìåòîäîì, íàçûâàåòñÿ îöåíêîé ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.
 ñëó÷àå, åñëè ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ L äèôôåðåíöèðóåìà, íàõîæäå-
íèå îöåíêè x* ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ
¶L/¶x* = 0 (2.217)
èëè áîëåå óäîáíîãî äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
1
0
L
L
x
L
x
× = =
¶
¶
¶
¶
*
ln
*
, (2.218)
ïîñêîëüêó ôóíêöèè L è lnL äîñòèãàþò ýêñòðåìóìà ïðè îäíîì çíà÷åíèè x*.
Åñëè ôóíêöèÿ L íåäèôôåðåíöèðóåìà, òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ îöåíîê èñïîëüçóþòñÿ
äðóãèå ìåòîäû, ÷òî èíîãäà ñâÿçàíî ñ âû÷èñëèòåëüíûìè òðóäíîñòÿìè.  ìàòåìàòè÷åñêîé
ñòàòèñòèêå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îöåíêè, ïîëó÷åííûå ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäî-
áèÿ, ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿòåëüíûìè è àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûìè îêîëî
ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ (îäíàêî íå âñåãäà íåñìåùåííûìè), èìåþò íàèáîëüøóþ ýô-
ôåêòèâíîñòü.
Íàèáîëåå âàæíûìè ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ. Íåñìåùåííîé è ñîñòîÿ-
òåëüíîé îöåíêîé ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñðåäíåå àðèôìåòè-
÷åñêîå çíà÷åíèå âñåõ íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû:
( )
M x
n
x
i
i
n
* .=
=
å
1
1
(2.219)
Ýôôåêòèâíîñòü îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ðàññ÷èòàííîé ïî
ôîðìóëå (2.219), çàâèñèò îò âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: ïðè
íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè îíà ýôôåêòèâíà, ïðè äðóãèõ âèäàõ ðàñïðåäåëå-
íèÿ - íå îáÿçàòåëüíî.
Íåñìåùåííîé, ñîñòîÿòåëüíîé è ýôôåêòèâíîé îöåíêîé äèñïåðñèè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îöåíêà
( ) ( )
[ ]
Dx
n
x Mx
i
i
n
* = -
=
å
1
2
1
, (2.220)
äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîòîðîé íåîáõîäèìî çíà÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
M(x). Åñëè îíî íåèçâåñòíî, òî äëÿ íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêè
äèñïåðñèè ïîëüçóþòñÿ èñïðàâëåííîé âûáîðî÷íîé äèñïåðñèåé
( ) ( )
[ ]
D x
n
x M x
i
i
n
* *=
-
-
=
å
1
1
2
1
, (2.221)
êîòîðàÿ îòëè÷àåòñÿ îò ñìåùåííîé âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè
66
( ) ( )
[ ]
D x
n
x M x
i
i
n
* *= -
=
å
1
2
1
(2.222)
ñîìíîæèòåì n/(n
-
1) (ïîïðàâêîé Áåññåëÿ), êîòîðîé ïðè n>50 ìîæíî ïðå-
íåáðå÷ü.
Èñïðàâëåííàÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ (2.221) ïðè ñðàâíèòåëüíî íå-
áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n íå ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíîé, îíà ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè-
÷åñêè ýôôåêòèâíîé (ïðè n®¥) .
2.4.3. Проверка статистических гипотез [3,14]
Âèä ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòî áûâàåò çàðàíåå íå èçâåñòåí, è âîç-
íèêàåò íåîáõîäèìîñòü åãî îïðåäåëåíèÿ ïî ýìïèðè÷åñêèì äàííûì. Ïðåäïî-
ëîæåíèå (ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèïîòåçà) î âèäå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
F(x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x ìîæåò áûòü ñäåëàíî èç õàðàêòåðà ýêñïåðèìåí-
òàëüíûõ äàííûõ èëè èç êàêèõ-ëèáî äîïîëíèòåëüíûõ ñîîáðàæåíèé (íàïðè-
ìåð, èç ôèçè÷åñêîé ñóùíîñòè íàáëþäàåìûõ ÿâëåíèé).
Òèï ôóíêöèè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ïðè àíà-
ëèçå ýêñïåðèìåíòàëü-
íûõ äàííûõ îáû÷íî
óñòàíàâëèâàåòñÿ ïî
âíåøíåìó âèäó ãèñòî-
ãðàììû, ïîñòðîåííîé
íà íåáîëüøèõ èíòåð-
âàëàõ èçìåíåíèÿ ñëó-
÷àéíîé âåëè÷èíû, èëè
ïî àïïðîêñèìèðóþùåé
êðèâîé (ðèñ.2.10).
×èñëî èíòåðâàëîâ ãè-
ñòîãðàììû m âûáèðà-
åòñÿ äîâîëüíî ïðîèç-
âîëüíî, íî ðåêîìåíäóåòñÿ, ÷òîáû äëÿ ïåðâîãî è ïîñëåäíåãî èíòåðâàëîâ âû-
ïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî np
i
*³1, äëÿ îñòàëüíûõ np
i
*³5 (îáû÷íî 5£m£20).
Ìîæíî òàêæå âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåêîìåíäóåìûìè ñîîòíîøåíèÿìè m »
1+3,21ln(n) [5,15], m » 1+3,3lg(n) [16], m » 4[0,75(n-1)
2
]
0,2
[17-19].
Âûñîòà ïðÿìîóãîëüíèêà â ãèñòîãðàììå ïðîïîðöèîíàëüíà ÷àñòîòå p
i
*
ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â i-é èíòåðâàë:
p
n
n
n n
i
i
i i
i
m
*
= =
å
=1
, (2.223)
ãäå n
i
- ÷èñëî ïîïàäàíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â i-é èíòåðâàë.
Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè õàðàêòåðèñòèê ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ïî
ôîðìóëàì (2.219)-(2.222), êîòîðûå äëÿ ãèñòîãðàììû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå:
( ) ( ) ( )
[ ]
M x xp D x x M x p
ii
i
m
i
i
m
i
* , *
* *
= = -
= =
å å
1
2
1
* , (2.224)
ãäå`x
i
= (x
i+1
+ x
i
)/2 - ñåðåäèíà i-ãî èíòåðâàëà.
x
1
x
2
x
i
-1
x
i
x
i
+1
... x
m
x
m-
1
p
i
p
Ðèñ.2.10. Àïïðîêñèìàöèÿ ãèñòîãðàììû
67
Êðîìå òîãî, âèä ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü óñòàíîâëåí ñ ïîìîùüþ âåðî-
ÿòíîñòíûõ ñåòîê - ñïåöèàëüíûõ áëàíêîâ ñ íåëèíåéíûì ìàñøòàáîì ïî êîîðäèíàòíûì
îñÿì [20-22].
Äëÿ êàæäîãî âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ îñè ïîñòðîåíû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ãðàôèê
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F(x) îáðàòèëñÿ â ïðÿìóþ ëèíèþ. Íàïðèìåð, äëÿ ýêñïîíåíöè-
àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ F(x)=1–exp(–lx) èçîáðàçèòñÿ ïðÿìîé,
åñëè ïî îñè àáñöèññ èñïîëüçîâàòü ëèíåéíûé ìàñøòàá x, à ïî îñè îðäèíàò - ëîãàðèôìè-
÷åñêèé ìàñøòàá: y=ln[1-F(x)]=-lx.
Íà áëàíêàõ âåðîÿòíîñòíûõ ñåòîê èçîáðàæàåòñÿ ñåìåéñòâî n òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè
(x
i
,F
i
), ãäå i - íîìåð ýêñïåðèìåíòàëüíîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â ïîðÿäêå âîç-
ðàñòàíèÿ,
`
F
i
= i/n - íàêîïëåííàÿ ÷àñòîòà ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â èíòåðâàë
(-¥,x
i
). Òèï ñåòêè, íà êîòîðîé ýêñïåðèìåíòàëüíûå òî÷êè ðàñïîëàãàþòñÿ îêîëî ïðÿìîé
ëèíèè, óêàçûâàåò íà íàèëó÷øèé àïïðîêñèìèðóþùèé òåîðåòè÷åñêèé çàêîí.
Ïîðÿäîê ïîñòðîåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ êîîðäèíàòíûõ ñåòîê è íàõîæäåíèÿ ïàðàìåòðîâ
(ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ) íåêîòîðûõ ñàìûõ ðàñïðîñòðàíåííûõ â òåîðèè íàäåæ-
íîñòè ðàñïðåäåëåíèé ïðèâåäåíû â ïðèë.II è III.
Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç, ò.å. ïðîâåðêà ñîîòâåòñòâèÿ çíà÷åíèé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïàðàìåòðàì ïðåäïîëàãàåìîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ êðèòåðèåâ ñîãëàñèÿ.
Êðèòåðèé Ñòüþäåíòà t ñëóæèò äëÿ ñðàâíåíèÿ ñðåäíåãî àðèôìåòè÷å-
ñêîãî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû`x c ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ðàñïðåäåëåíèÿ:
(
)
t
x Mx
x
=
-
s
. (2.225)
Çíà÷åíèå t ñðàâíèâàåòñÿ ñ òàáëè÷íûì t
êð
(k,P
ä
), âûáèðàåìûì ïî ÷èñëó
ñòåïåíåé ñâîáîäû k = n-1 è çíà÷åíèþ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè P
ä
(ñì.ïðèë.I). Åñëè t £ t
êð
(k,P
ä
), òî ãèïîòåçà ïðèíèìàåòñÿ.
Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà ïîçâîëÿåò îöåíèòü äîïóñòèìîñòü ìàêñèìàëüíî-
ãî îòêëîíåíèÿ ãèïîòåòè÷åñêîé (ðàñ÷åòíîé) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F(x) îò
ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çíà÷åíèé`F(x). Äëÿ ïðîâåðêè ìàêñèìàëüíîå îòêëîíå-
íèå
(
)
(
)
D Fx Fx
i
n
i i
= -
£
£
max
1
(2.226)
ñðàâíèâàåòñÿ ñ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì D
êð
(n,a), êîòîðîå âûáèðàåòñÿ ïî
òàáëèöàì èñõîäÿ èç ÷èñëà ýêñïåðèìåíòîâ n è óðîâíÿ çíà÷èìîñòè a
(ñì.ïðèë.I). Ãèïîòåçà ïðèíèìàåòñÿ, åñëè D < D
êð
(n,a).
Êðèòåðèé Ïèðñîíà (êðèòåðèé ñîîòâåòñòâèÿ c
2
) îïðåäåëÿåò îòêëîíåíèå
èñòèííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îò ãèïîòåòè÷åñêîãî è ïîçâîëÿåò ïðîâåðèòü ñîîò-
âåòñòâèå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïðåäïîëàãàåìîé ôóíêöèè. Ðàñ÷åòíîå
çíà÷åíèå êðèòåðèÿ Ïèðñîíà
(
)
c
2
2
2
1
1
=
-
= -
=
=
åå
n np
np
m
np
n
i i
i
i
i
i
m
i
m
(2.227)
(p
i
- ðàñ÷åòíàÿ âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â i-é èíòåðâàë)
ñðàâíèâàåòñÿ ñ òàáëè÷íûì êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì c
2
êð
(k,P
l
) äëÿ ÷èñëà
ñòåïåíåé ñâîáîäû k = m-1 è äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè P
ä
èëè óðîâíÿ
çíà÷èìîñòè a = 1–P
ä
(ñì.ïðèë.I). Ãèïîòåçà î ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè-
íèìàåòñÿ, åñëè c
2
< c
2
êð
(k,P
l
).
68
2.5. Преобразование Лапласа [12]
Äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âìåñòî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå,
êîòîðîå îáû÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, â òåîðèè íàäåæ-
íîñòè óäîáíåå âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà L[f(t)], êîòîðîå
êàæäîé ôóíêöèè (îðèãèíàëó) f(t) äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé t ñòàâèò â
ñîîòâåòñòâèå ôóíêöèþ (èçîáðàæåíèå) j(z) êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z:
()
[ ]
() () ( )
Lft z ft ztdt= = -
¥
ò
j exp
0
. (2.228)
Ïî èçâåñòíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ Ëàïëàñà j(z) ìîæíî âîññòàíîâèòü ñàìó
ôóíêöèþ f(t) ïî ôîðìóëå îáðàùåíèÿ:
() () ( )
ft
i
z ztdz
ci
ci
=
-¥
+
¥
ò
1
2p
j exp , (2.229)
ãäå èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé Rez=c.
Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îïåðàöèåé, ò.å. èçîáðàæå-
íèå ñóììû ôóíêöèé ðàâíî ñóììå èçîáðàæåíèé ýòèõ ôóíêöèé, èçîáðàæåíèå
ïðîèçâåäåíèÿ ôóíêöèè íà ÷èñëî ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ èçîáðàæåíèÿ íà ýòî
÷èñëî:
() ()
[ ]
()
[ ]
()
[ ]
() ( ) () ( )
Lft ft Lft Lft ft ztdt ft ztdt
1 2 1 2 1
0
2
0
+ = + = - + -
¥
¥
ò ò
exp exp , (2.230)
()
[ ]
()
[ ]
() ( )
LCft CLft Cft ztdt= = -
¥
ò
exp
0
. (2.231)
Èçîáðàæåíèå èíòåãðàëà ôóíêöèè f(t) îò 0 äî t ðàâíî èçîáðàæåíèþ
ôóíêöèè L[f(t)], äåëåííîìó íà àðãóìåíò z:
() ()
[ ]
() ( )
Lft
z
Lft
z
ft ztdt
t
0 0
1 1
ò ò
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
= = -
¥
exp . (2.232)
Èçîáðàæåíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè L[f¢(t)] ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ èçî-
áðàæåíèÿ ôóíêöèè L[f(t)] íà àðãóìåíò z, óìåíüøåííîìó íà íà÷àëüíîå çíà-
÷åíèå ôóíêöèè f(0):
()
[ ]
()
[ ]
() () ( ) ()
Lft zLft f zft ztdt f
¢
= - = - -
¥
ò
0 0
0
exp . (2.233)
Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (2.233) íåñêîëüêî ðàç, ìîæíî ïîëó÷èòü èçîáðàæåíèå
äëÿ n-îé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè:
L[f
(n)
(t)] = z
n
L[f(t)] – z
n–1
f(0) – ... – f
(n–1)
(0), (2.234)
Ýòî ñâîéñòâî ïðåîáðàçîâàíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðåøåíèè ëèíåéíûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, òàê êàê ïåðåõîäÿ îò íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé ê èõ
èçîáðàæåíèÿì, ìîæíî ïîëó÷èòü ëèíåéíûå àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.
Ïðè ñäâèãå ãðàôèêà ôóíêöèè f(t) âïðàâî íà âåëè÷èíó t åå èçîáðàæåíèå
óìíîæàåòñÿ íà exp(–zt) (òåîðåìà çàïàçäûâàíèÿ):
69
( )
[ ]
( ) ()
[ ]
( ) () ( )
Lft z Lft z ft ztdt- = - × = - -
¥
ò
t t texp exp exp
0
. (2.235)
Ïðè óìíîæåíèè ôóíêöèè f(t) íà ýêñïîíåíòó exp(–lt) àðãóìåíò åå èçî-
áðàæåíèÿ z óâåëè÷èâàåòñÿ íà âåëè÷èíó l (òåîðåìà ñìåùåíèÿ):
( ) ()
[ ]
( ) () ( )
[ ]
L tft z ft z dtexp exp- × = + = - +
¥
ò
l j l l
0
. (2.236)
Èçîáðàæåíèå ñâåðòêè äâóõ ôóíêöèé f(t) è g(t)
( ) () () ()
ft g d ftgt
t
- = *
ò
t t t
0
(2.237)
ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ èõ èçîáðàæåíèé:
() ()
[ ]
( )() ()
[ ]
()
[ ]
Lftgt Lft g d Lft Lgt
t
* = -
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
= ×
ò
t t t
0
. (2.238)
Ýòèì ñâîéñòâîì óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðè ðåøåíèè èíòåãðàëüíûõ óðàâíå-
íèé, ñîäåðæàùèõ èíòåãðàëû òèïà ñâåðòêè.
Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðåäåëüíûå ñî-
îòíîøåíèÿ:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
lim lim lim lim
z t z t
zz ft f zz ft f
® ®¥ ®¥ ®
=
=
¥
=
=
0 0
0
j
j
,
. (2.239)
 òàáë.2.1 ïðèâåäåíû íåêîòîðûå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèé Ëàïëàñà, êî-
òîðûå èñïîëüçóþòñÿ ïðè ðàñ÷åòàõ íàäåæíîñòè.
 òåîðèè íàäåæíîñòè èñêîìûå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé èëè ñîñòîÿíèé
÷àñòî âûðàæàþòñÿ íåêîòîðûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè, èíòåãðàëüíûìè èëè
ñìåøàííûìè ëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè. Ïðèìåíÿÿ ê ýòèì óðàâíåíèÿì ïðå-
îáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, ìîæíî ïîëó÷èòü áîëåå ïðîñòûå äëÿ ðåøåíèÿ óðàâ-
íåíèÿ, èç êîòîðûõ çàòåì íàõîäÿòñÿ èçîáðàæåíèÿ èñêîìûõ ôóíêöèé, à çà-
òåì ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ - îðèãèíàëû èëè èõ õàðàêòåðè-
ñòèêè (ìîìåíòû, àñèìïòîòè÷åñêèå èëè ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ è ò.ä.).
Åñëè x - ïîëîæèòåëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
F(t) è ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f(t)
F(t) = p{x<t}, f(t) = F¢(t), (2.240)
òî ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà äëÿ ýòîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ èçîáðàæåíèå
ïëîòíîñòè f(t):
() ()
[ ]
() ( ) ( )
[ ]
j
x
z Lft ft ztdt M zx= = - = -
¥
ò
exp exp
0
. (2.241)
Ôóíêöèÿ j
x
(z) îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
() () ( ) () ( ) () ()
( )
j j j
x x x
ftdt tftdt Mx tftdtMx0 1 0 0
0
0
2 2
0
= =
¢
=- =-
¢¢
= =
¥
¥
¥
ò ò ò
, , (2.242)
èëè â îáùåì âèäå
j
(n)
(0) = (-1)
n
M(x
n
), (2.243)
70
ñëåäîâàòåëüíî, ïî èçâåñòíîìó èçîáðàæåíèþ ìîæíî íàéòè âñå ìîìåíòû
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, â òîì ÷èñëå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ.
Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà äëÿ ñóììû íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí x è y
j
x+y
(z) = M{exp[-z(x+y)]} = M[exp(-zx)]M[exp(-zy)] = j
x
(z)j
y
(z), (2.244)
ò.å. åñëè íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñêëàäûâàþòñÿ, òî èõ èçîáðà-
æåíèÿ óìíîæàþòñÿ.
Äëÿ ëèíåéíîé ôóíêöèè ax+b ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà
j
y
(z) = M{exp[-(ax+b)z]} = exp(-bz)M(-azx) = exp(-bz)j
x
(az). (2.245)
Äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (2.71)
() ( ) ( )
j l l
l
l
x
z x zxdx
z
= - - =
+
¥
ò
exp exp
0
. (2.246)
Äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (2.74)
()
( )
j
s p
m
s
m
s
x
z
x
zxdx z
z
= -
-
-
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
= - +
æ
è
ç
ö
ø
÷
¥
ò
1
2
2
2
2
2
0
22
exp exp . (2.247)
Äëÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ (2.84)
()
( )
j
x
b
b
b
z
a b
x
x
a
zxdx
az
=
+
- -
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
¥
+
ò
1
1
1
1
1
0
1
G
exp . (2.248)
2.6. Элементы математической логики
Ñîñòîÿíèå òåõíè÷åñêîãî îáúåêòà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïåðåìåí-
íóþ, êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü äâà äèñêðåòíûõ çíà÷åíèÿ - 1 (ðàáîòîñïî-
ñîáíîå ñîñòîÿíèå) è 0 (íåðàáîòîñïîñîáíîå ñîñòîÿíèå, îòêàç). Ïîýòîìó äëÿ
Òàáëèöà 2.1
ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА [23]
Îðèãèíàë
f(t)
Èçîáðàæåíèå
L[f(t)]=j(z)
Îðèãèíàë
f(t)
Èçîáðàæåíèå
L[f(t)]=j(z)
af
1
(t)+bf
2
(t)
aj
1
(z)+bj
2
(z) (-1)
n
t
n
f(t) j
(n)
(z)
f¢(t) zj(z)-f(0) f(t)×exp(at) j(z
-
a)
()
ftdtC
t
0
ò
+
[j(z) + C]/z
f(at), a > 0
j(z/a)/a
f(t–t)
j(z)×exp(-tz)
() ( )
f ft d
t
1 2
0
t t t-
ò
j
1
(z)×j
2
(z)
( )
t
n
n
-
-
1
1!
, n=1,2,...
1/z
n
( )
( )
t
n
at
n
-
-
1
1!
exp
, n=1,2,...
1/(z-a)
n
sin(at)
a
z
a
2 2
+
cos(at)
z
z
a
2 2
+
sh(at)
a
z
a
2 2
-
ch(at)
z
z
a
2 2
-