Невзоров В.Н., Сугак Е.В. Надежность машин и оборудования. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
31
Ëèòåðàòóðà
1. ÃÎÑÒ 15467-79. Óïðàâëåíèå êà÷åñòâîì ïðîäóêöèè. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Òåðìèíû è
îïðåäåëåíèÿ.
2. Íàäåæíîñòü è ýôôåêòèâíîñòü â òåõíèêå: Ñïðàâî÷íèê:  10 ò. Ò.7. Êà÷åñòâî è íà-
äåæíîñòü â ïðîèçâîäñòâå.- Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1989.- 376 ñ.
3. Ïðîíèêîâ À.Ñ. Íàäåæíîñòü ìàøèí.- Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1978.- 592 ñ.
4. Êàðïîâ Â.Ñ., Áåëåíîâ Å.À., Íîâèêîâ Þ.À. Ñòðóêòóðà è ïðèíöèïû ïðîåêòèðîâà-
íèÿ îáúåêòîâ õèìè÷åñêîé òåõíèêè. Ó÷åá.ïîñîáèå.- Ì.: ÌÈÕÌ, 1984.- 136 ñ.
5. Ñóãàê Å.Â. Îñíîâû ïðîåêòèðîâàíèÿ õèìè÷åñêèõ ïðåäïðèÿòèé. Ìåòîäû ïðîåêòèðî-
âàíèÿ è îïòèìèçàöèè îáúåêòîâ õèìè÷åñêîé òåõíèêè. - Êðàñíîÿðñê: ÊÏÈ, 1989.- 80 ñ.
6. ÃÎÑÒ 27.002-89. Íàäåæíîñòü â òåõíèêå. Òåðìèíû è îïðåäåëåíèÿ.
7. Íàäåæíîñòü è ýôôåêòèâíîñòü â òåõíèêå: Ñïðàâî÷íèê:  10 ò. Ò.1. Ìåòîäîëîãèÿ,
îðãàíèçàöèÿ, òåðìèíîëîãèÿ.- Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1986.- 224 ñ.
8. Ãðåáåíèê Â.Ì., Öàïêî Â.Ê. Íàäåæíîñòü ìåòàëëóðãè÷åñêîãî îáîðóäîâàíèÿ: Ñïðà-
âî÷íèê.- Ì.: Ìåòàëëóðãèÿ, 1980.- 344 ñ.
9. Õàçîâ Á.Ô., Äèäóñåâ Á.À. Ñïðàâî÷íèê ïî ðàñ÷åòó íàäåæíîñòè ìàøèí íà ñòàäèè
ïðîåêòèðîâàíèÿ.- Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1986.- 224 ñ.
10. Êàíàð÷óê Â.Å. Îñíîâû íàäåæíîñòè ìàøèí.- Êèåâ: Íàóêîâà äóìêà, 1982.- 248 ñ.
11. Áîëîòèí Â.Â. Ïðîãíîçèðîâàíèå ðåñóðñà ìàøèí è êîíñòðóêöèé.- Ì.: Ìàøèíî-
ñòðîåíèå, 1984.- 312 ñ.
12. Îäèíîêîâ Ì.Þ. Íàäåæíîñòü òåõíè÷åñêèõ ñèñòåì (îñíîâû òåîðèè).- Êàçàíü: Êàçàíñêèé
àâèàöèîííûé èí-ò, 1988.- 88 ñ.
13. Íàäåæíîñòü è ýôôåêòèâíîñòü â òåõíèêå: Ñïðàâî÷íèê:  10 ò. Ò.5. Ïðîåêòíûé
àíàëèç íàäåæíîñòè. - Ì.:Ìàøèíîñòðîåíèå,1988.- 316 ñ.
14. Øóëüö Â.Â. Òåîðèÿ íàäåæíîñòè ìàøèí: Ó÷åá.ïîñîáèå.- Ë.: ËÈÑÈ, 1983.- 75 ñ.
15. Ñîòñêîâ Á.Ñ. Îñíîâû òåîðèè è ðàñ÷åòà íàäåæíîñòè ýëåìåíòîâ è óñòðîéñòâ àâòî-
ìàòèêè è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè.- Ì.: Âûñø.øê., 1970.- 272 ñ.
16. Êîñòåöêèé Á.È. è äð. Íàäåæíîñòü è äîëãîâå÷íîñòü ìàøèí.- Êèåâ: Òåõíèêà,
1975.- 408 ñ.
17. Êàôàðîâ Â.Â. è äð. Îáåñïå÷åíèå è ìåòîäû îïòèìèçàöèè íàäåæíîñòè õèìè÷åñêèõ
è íåôòåïåðàáàòûâàþùèõ ïðîèçâîäñòâ.- Ì.: Õèìèÿ, 1987.-272 ñ.
18. Êóáàðåâ À.È. Íàäåæíîñòü â ìàøèíîñòðîåíèè.- Ì.:Èçä-âî ñòàíäàðòîâ,1989.-224 ñ.
19. Çóáîâà À.Ô. Íàäåæíîñòü ìàøèí è àïïàðàòîâ õèìè÷åñêèõ ïðîèçâîäñòâ.- Ë.: Ìà-
øèíîñòðîåíèå, 1978.- 214 ñ.
20. ×åðíûøåâ À.À. Îñíîâû íàäåæíîñòè ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ïðèáîðîâ è èíòåãðàëü-
íûõ ìèêðîñõåì.- Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1988.- 256 ñ.
21. Áàðçèëîâè÷ Å.Þ. è äð. Âîïðîñû ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè íàäåæíîñòè.- Ì.: Ðàäèî
è ñâÿçü, 1983.- 376 ñ.
22. Íàóìîâ Â.À. Îñíîâû íàäåæíîñòè è äîëãîâå÷íîñòè â ìàøèíîñòðîåíèè.- Îìñê:
Îìñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò, 1972.- 332 ñ.
23. Íàóìîâ Â.À. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû îöåíêè íàäåæíîñòè òåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ
ïî ðàáîòîñïîñîáíîñòè.- Îìñê: Çàïàäíî-Ñèáèðñêîå êí.èçä-âî, 1975.- 160 ñ.
24. Êîçëîâ Á.À., Óøàêîâ È.À. Ñïðàâî÷íèê ïî ðàñ÷åòó íàäåæíîñòè.- Ì.: Ñîâ.ðàäèî,
1966.- 470 ñ.
25. Êàïóð Å., Ëàìáåðñîí Ë. Íàäåæíîñòü è ïðîåêòèðîâàíèå ñèñòåì.- Ïåð.ñ àíãë.- Ì.:
Ìèð, 1980.- 604 ñ.
26. Çàéöåâ À.Ì. Îáåñïå÷åíèå íàäåæíîé ðàáîòû äåòàëåé àâèàöèîííûõ äâèãàòåëåé.-
Ì.: Òðàíñïîðò, 1971.- 196 ñ.
27. Äðóæèíèí Ã.Â. Íàäåæíîñòü àâòîìàòèçèðîâàííûõ ïðîèçâîäñòâåííûõ ñèñòåì.- Ì.:
Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1986.- 480 ñ.
28. Êîíäðàøêîâà Ã.À., Ôåñåíêî Å.Ï. Íàäåæíîñòü èçìåðèòåëüíûõ óñòðîéñòâ â öåë-
ëþëîçíî-áóìàæíîé ïðîìûøëåííîñòè.- Ì.: Ëåñíàÿ ïðîìûøëåííîñòü, 1978.- 160 ñ.
29. ÃÎÑÒ 27.003-90. Íàäåæíîñòü â òåõíèêå. Ñîñòàâ è îáùèå ïðàâèëà çàäàíèÿ òðåáî-
âàíèé ïî íàäåæíîñòè.
30. Ìåòîäèêà âûáîðà íîìåíêëàòóðû íîðìèðóåìûõ ïîêàçàòåëåé íàäåæíîñòè òåõíè÷å-
ñêèõ óñòðîéñòâ. ÌÓ-3-69.- Ì.: Ñòàíäàðòãèç, 1970.- 38 ñ.
31. Íàäåæíîñòü òåõíè÷åñêèõ ñèñòåì: Ñïðàâî÷íèê/Ïîä ðåä. È.À.Óøàêîâà.- Ì.: Ðàäèî
è ñâÿçü, 1985. - 608 ñ.
32. ÃÎÑÒ 4.113-84. Ñèñòåìà ïîêàçàòåëåé êà÷åñòâà ïðîäóêöèè. Îáîðóäîâàíèå õèìè÷å-
ñêîå. Íîìåíêëàòóðà îñíîâíûõ ïîêàçàòåëåé.
32
Глава 2.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
Ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò òåîðèè íàäåæíîñòè áàçèðóåòñÿ íà îñíîâíûõ
ïîëîæåíèÿõ è òåîðåìàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, òåîðèè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé
è ïðîöåññîâ, ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, êîìáè-
íàòîðèêè è òåîðèè ãðàôîâ [1].
2.1. Случайные события и их характеристики
Îñíîâíîå ÿâëåíèå, ðàññìàòðèâàåìîå â òåîðèè íàäåæíîñòè - îòêàç îáú-
åêòà, - ñ÷èòàåòñÿ, êàê ïðàâèëî, ñëó÷àéíûì ñîáûòèåì è ìîæåò õàðàêòåðèçî-
âàòüñÿ ñ ïîìîùüþ îñíîâíûõ ïîíÿòèé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.
2.1.1. Основные понятия теории вероятностей [2-5]
Ñëó÷àéíîå ñîáûòèå - ñîáûòèå, êîòîðîå ìîæåò ïðîèçîéòè èëè íå ïðî-
èçîéòè â äåéñòâèòåëüíîñòè. Ñîáûòèå, êîòîðîå ïðîèçîéäåò îáÿçàòåëüíî, íà-
çûâàåòñÿ äîñòîâåðíûì, êîòîðîå íå ìîæåò ïðîèçîéòè - íåâîçìîæíûì. Ñî-
âìåñòíûìè íàçûâàþòñÿ ñîáûòèÿ, ïîÿâëåíèå îäíîãî èç êîòîðûõ íå èñêëþ-
÷àåò âîçìîæíîñòè ïîÿâëåíèÿ äðóãîãî, íåñîâìåñòíûìè - ñîáûòèÿ, ïîÿâëå-
íèå îäíîãî èç êîòîðûõ èñêëþ÷àåò ïîÿâëåíèå äðóãîãî. Çàâèñèìûìè íàçû-
âàþòñÿ ñîáûòèÿ, ïîÿâëåíèå îäíîãî èç êîòîðûõ âëèÿåò íà ïîÿâëåíèå äðóãî-
ãî, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Ïðîòèâîïî-
ëîæíîå èëè äîïîëíèòåëüíîå ñîáûòèå - ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â íåïîÿâëåíèè
äðóãîãî ñîáûòèÿ. Ïîëíàÿ ñîâîêóïíîñòü (ãðóïïà) ñîáûòèé - ñîâîêóïíîñòü
ñîáûòèé, õîòÿ áû îäíî èç êîòîðûõ ïðîèçîéäåò îáÿçàòåëüíî.
Ñóììà (èëè îáúåäèíåíèå) ñîáûòèé - ñîáûòèå, ïîÿâëåíèå êîòîðîãî ýê-
âèâàëåíòíî ïîÿâëåíèþ õîòÿ áû îäíîãî èç ýòèõ ñîáûòèé:
AA A A A
n i
i
n
= Ú ÚÚ =
=
1 2
1
... ,
U
(2.1)
ãäå A - ñóììà (îáúåäèíåíèå) ñîáûòèé A
1
,A
2
,...,A
n
, Ú - çíàê ëîãè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ, U -
çíàê ëîãè÷åñêîé ñóììû.
Åñëè ñîáûòèÿ A
i
(i=1,2,...n) ñîñòàâëÿþò ïîëíóþ ñîâîêóïíîñòü, òî, î÷å-
âèäíî, èõ ñóììà îáðàçóåò äîñòîâåðíîå ñîáûòèå:
A Å
i
i
n
=
=
1
U
, (2.2)
ãäå Å - îáîçíà÷åíèå äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ.
Ñóììà ïðîòèâîïîëîæíûõ ñîáûòèé òàêæå äîñòîâåðíîå ñîáûòèå:
A Ú
`
A = E, (2.3)
ãäå
`
A - ñîáûòèå, ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèþ À.
Äëÿ ëîãè÷åñêîé ñóììû ñîáûòèé ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
A Ú A = A, A Ú e = A, A Ú E = E, (2.4)
ãäå e - îáîçíà÷åíèå íåâîçìîæíîãî ñîáûòèÿ.
33
Ïðîèçâåäåíèå (èëè ïåðåñå÷åíèå) ñîáûòèé - ñîáûòèå, ïîÿâëåíèå êîòî-
ðîãî ýêâèâàëåíòíî ïîÿâëåíèþ âñåõ ýòèõ ñîáûòèé îäíîâðåìåííî:
AA A A A
n i
i
n
= Ù ÙÙ =
=
1 2
1
... ,
I
(2.5)
ãäå A - ïðîèçâåäåíèå (ïåðåñå÷åíèå) ñîáûòèé A
1
,A
2
,...,A
n
, Ù - çíàê ëîãè÷åñêîãî óìíîæå-
íèÿ ñîáûòèé, Ç - çíàê ëîãè÷åñêîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñîáûòèé.
Äëÿ ëîãè÷åñêîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñîáûòèé ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
A Ù A = A, A Ù e = e, A Ù E = A, A Ù`A = e. (2.6)
×àñòî âìåñòî çíàêîâ ëîãè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ è ëîãè÷åñêîãî óìíîæåíèÿ
èñïîëüçóþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå àðèôìåòè÷åñêèå ñèìâîëû. Òîãäà ñâîéñòâà
ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ñîáûòèé (2.3)-(2.5) çàïèøóòñÿ â âèäå:
A +
`
A = E, A + A = A, A + e = A, A + E = E, (2.7)
A`A = e, AA = A, Ae = e, AE = A. (2.8)
Äëÿ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îñíîâíûå çàêîíû:
- ñî÷åòàòåëüíûé (àññîöèàòèâíûé) çàêîí:
A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C, A(BC) = (AB)C = ABC; (2.9)
- ïåðåìåñòèòåëüíûé (êîììóòàòèâíûé) çàêîí:
A+B = B+A, AB = BA; (2.10)
- ðàñïðåäåëèòåëüíûé (äèñòðèáóòèâíûé) çàêîí:
A(B+C) = (AB)+(AC), A+(BC) = (A+B)(A+C); (2.11)
- çàêîí èíâåðñèé (äâîéñòâåííîñòè):
(
) , .ÀÂ ÀÂ ÀÂÀÂ+ = = + (2.12)
Âåðîÿòíîñòüþ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâàÿ õàðàêòåðè-
ñòèêà ñòåïåíè âîçìîæíîñòè åãî ïîÿâëåíèÿ. Âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáû-
òèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè:
P(e) = 0, P(E) = 1, 0 £ P(A) £ 1, P(A) + P(`A) = 1, (2.13)
ãäå Ð(å), Ð(Å) è Ð(À) - âåðîÿòíîñòè, ñîîòâåòñòâåííî, íåâîçìîæíîãî, äîñòîâåðíîãî è
ïðîèçâîëüíîãî ñîáûòèÿ À.
Óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ,
âû÷èñëåííàÿ â ïðåäïîëîæåíèè íàñòóïëåíèÿ äðóãîãî ñîáûòèÿ. Äëÿ ëþáûõ
ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé A
1
è A
2
( )
(
)
( )
PAA
PAA
PA
1 2
12
2
= , (2.14)
ãäå P(A
1
/A
2
) - óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A
1
ïðè íàñòóïëåíèè ñîáûòèÿ A
2
.
Î÷åâèäíî äëÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé A
1
è A
2
P(A
1
/A
2
) = P(A
1
/`A
2
) = P(A
1
), P(A
2
/A
1
) = P(A
2
/`A
1
) = P(A
2
). (2.15)
Êîýôôèöèåíò ðåãðåññèè õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü çàâèñèìîñòè îäíîãî
ñîáûòèÿ îò äðóãîãî. ×èñëåííî êîýôôèöèåíò ðåãðåññèè ðàâåí ðàçíîñòè ìå-
æäó óñëîâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè îäíîãî èç ñîáûòèé (A
1
) â ñëó÷àå íàñòóïëå-
íèÿ è â ñëó÷àå íåíàñòóïëåíèÿ äðóãîãî ñîáûòèÿ (A
2
è`A
2
) [3,6]:
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
r AA PA A PA A
PAA PAPA
PAPA
1 2 1 2 1 2
12 1 2
2 2
, / / ,= - =
-
(2.16)
ãäå r(A
1
,A
2
)- êîýôôèöèåíò ðåãðåññèè ñîáûòèÿ A
1
îòíîñèòåëüíî ñîáûòèÿ A
2
.
34
 îáùåì ñëó÷àå -1 £ r(A
1
,A
2
) £ +1, äëÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé r(A
1
,A
2
)
= r(A
2
,A
1
)=0. Êîýôôèöèåíòû ðåãðåññèè r(A
1
,A
2
) è r(A
2
,A
1
) òàêæå ðàâíû
ìåæäó ñîáîé, åñëè P(A
1
) = P(A
2
) èëè P(`A
1
) = 1–P(A
1
)=P(A
2
). Ïðè ýòîì
r(A
1
,A
2
) = r(A
2
,A
1
) = +1, åñëè ñîáûòèÿ A
1
è A
2
ïðîèñõîäÿò ñîâìåñòíî, ò.å.
P(A
1
/A
2
) = 1 è P(A
1
/`A
2
) = 0 èëè P(A
2
/A
1
) = 1 è P(A
2
/`A
1
) = 0, è
r(A
1
,A
2
) = r(A
2
,A
1
) = –1, åñëè ñîáûòèÿ A
1
è`A
2
èëè A
2
è`A
1
ïðîèñõîäÿò
ñîâìåñòíî [3].
Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü âçàèìíîé çàâèñèìî-
ñòè ñîáûòèé äðóã îò äðóãà è ðàâåí ñðåäíåìó ãåîìåòðè÷åñêîìó çíà÷åíèþ
êîýôôèöèåíòîâ ðåãðåññèè r(A
1
,A
2
) è r(A
2
,A
1
) [3,6]:
( ) ( )( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
rAA AA AA
PAA PAPA
PAPAPAPA
1 2 1 2 2 1
12 1 2
1 1 2 2
, , , ,=± =
-
r r (2.17)
ãäå r(A
1
,A
2
) - êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñîáûòèé A
1
è A
2
.
 îáùåì ñëó÷àå –1 £ r(A
1
,A
2
) £ +1. Äëÿ ëþáûõ ñîáûòèé r(A
1
,A
2
) =
r(A
2
,A
1
), äëÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé r(A
1
,A
2
) = r(A
2
,A
1
) = 0, äëÿ ñîâìåñò-
íûõ ñîáûòèé r(A
1
,A
2
) = r(A
2
,A
1
) = +1, äëÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñîáûòèé
r(A
1
,A
2
) = r(A
2
,A
1
) = –1. Êðîìå òîãî, êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè îáëàäàåò
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
r(A
1
,A
2
) = 1, r(A,`A) = –1, r(A
1
,A
2
) = r(`A
1
,`A
2
),
r(A
1
,A
2
) = –r(`A
1
,A
2
) = –r(A
1
,`A
2
). (2.18)
2.1.2. Теоремы сложения вероятностей [3,4]
Âåðîÿòíîñòü ñóììû íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé (ò.å. âåðîÿòíîñòü ïîÿâëå-
íèÿ õîòÿ áû îäíîãî èç ñîáûòèé)
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
PAA A P A PA PA PA PA
n i
i
n
n i
i
n
1 2
1
1 2
1
11 1 1 1 1+ ++ =
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=-- - - =- -
=
=
Õ
... ... .
U
(2.19)
Äëÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé
P(A
1
+A
2
) = P(A
1
) + P(A
2
) – P(A
1
)P(A
2
) = P(A
1
) + P(A
2
) – P(A
1
A
2
). (2.20)
Âåðîÿòíîñòü ñóììû íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé
( ) ( )
PA A A P A PA
n i
i
n
i
i
n
1 2
1 1
+ + + =
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
= =
å
... .
U
(2.21)
Äëÿ íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé, ñîñòàâëÿþùèõ ïîëíóþ ñîâîêóïíîñòü,
( )
P A PE
i
i
n
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
= =
1
1
U
. (2.22)
2.1.3. Теоремы умножения вероятностей [3,4]
Âåðîÿòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ñîáûòèé (ò.å. âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ âñåõ
ñîáûòèé)
( ) ( )
( ) ( )
PAA A P A PAPA A PA AA A
n i
i
n
n n12
1
1 1 2 12 1
... / ... / ... .=
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
=
-
I
(2.23)
Äëÿ äâóõ ñîáûòèé
35
P(A
1
A
2
) = P(A
1
)P(A
1
/A
2
). (2.24)
Âåðîÿòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé
( ) ( )( ) ( ) ( )
PAA A P A PAPA PA PA
n i
i
n
n i
i
n
12
1
1 2
1
... ... .=
æ
è
ç
ö
ø
÷
= =
=
=
ÕI
(2.25)
Äëÿ íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé, ñîñòàâëÿþùèõ ïîëíóþ ñîâîêóïíîñòü,
( )
()
PAA A P A Pe
n i
i
n
12
1
0... .=
æ
è
ç
ö
ø
÷
= =
=
I
(2.26)
Åñëè ñîáûòèå A
o
ìîæåò íàñòóïèòü ëèøü ïðè óñëîâèè ïîÿâëåíèÿ îäíîãî
èç íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé A
1
,A
2
,...,A
n
, òî åãî âåðîÿòíîñòü (ôîðìóëà ïîë-
íîé âåðîÿòíîñòè):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
PA PAPAA PAPAA PAPAA PAPA A
n n i i
i
n
0 1 0 1 2 0 2 0 0
1
= + ++ =
=
å
... / . (2.27)
2.1.4. Предельные теоремы теории вероятностей [3]
Ïðåäåëüíûå òåîðåìû óñòàíàâëèâàþò çàâèñèìîñòü ìåæäó ñëó÷àéíîñòüþ
è íåîáõîäèìîñòüþ, ñâÿçü òåîðèè ñ åå ïðàêòè÷åñêèì ïðèìåíåíèåì.
Òåîðåìà Áåðíóëëè. Åñëè ïðîâîäèòñÿ n íåçàâèñèìûõ îïûòîâ è â êàæ-
äîì èç íèõ ñîáûòèå ïîÿâëÿåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ p, òî îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòî-
òà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ m/n ïðè n®¥ ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê p, ò.å.
äëÿ ëþáîãî e>0
lim ,
n
P
m
n
p
®¥
- ³
æ
è
ç
ö
ø
÷
=e 0 (2.28)
ãäå m - ÷èñëî ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ èç îáùåãî ÷èñëà îïûòîâ n.
Ïî òåîðåìå Áåðíóëëè ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ÷èñëå îïûòîâ îòíîñè-
òåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ ïðèáëèæàåòñÿ ê åãî âåðîÿòíîñòè, ò.å.
ïðè n-êðàòíîì ïîâòîðåíèè îïûòà ñîáûòèå ïðîèçîéäåò np ðàç.
Òåîðåìà Ïóàññîíà. Åñëè ïðîâîäèòñÿ n íåçàâèñèìûõ îïûòîâ è â êàæ-
äîì èç íèõ ñîáûòèå ïîÿâëÿåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ p
i
(i - íîìåð îïûòà), òî îò-
íîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ m/n ïðè n®¥ ñõîäèòñÿ ïî âåðî-
ÿòíîñòè ê ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó âåðîÿòíîñòåé p
i
, ò.å. äëÿ ëþáîãî e>0
lim
n
P
m
n n
p
i
i
n
®¥
- ³
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
å
1
1
e , (2.29)
ãäå m - ÷èñëî ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ èç îáùåãî ÷èñëà îïûòîâ n.
Òåîðåìà Ïóàññîíà èìååò ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå, òàê êàê óñëîâèÿ ïðî-
âåäåíèÿ èñïûòàíèé èëè îïûòîâ ÷àñòî íåïîñòîÿííû è âåðîÿòíîñòü ïîÿâëå-
íèÿ êàêîãî-ëèáî ñîáûòèÿ ÿâëÿåòñÿ ïåðåìåííîé âåëè÷èíîé. Ïî òåîðåìå Ïó-
àññîíà â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ ïðèáëèæàåòñÿ ê
ñðåäíåé âåðîÿòíîñòè, õàðàêòåðíîé äëÿ äàííîé ãðóïïû ñîáûòèé.
Ôîðìóëà Áåðíóëëè ñâÿçûâàåò âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ m ðàç â
n îïûòàõ ñ âåðîÿòíîñòüþ åãî ïîÿâëåíèÿ â êàæäîì èç îïûòîâ p:
P
n
m
= C
n
m
p
m
(1 - p)
n–m
, (2.30)
ãäå C
n
m
- áèíîìèàëüíûé êîýôôèöèåíò èç n ïî m (0 £ m £ n) (ñì.ðàçä.2.6).
36
Î÷åâèäíî âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ íå áîëåå m ðàç
( )
P Cp p
n
km
n
kk
nk
k
m
£
-
=
= -
å
1
0
, (2.31)
âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ áîëåå m ðàç
( )
P Cp p
n
km
n
kk
nk
k
m
n
>
-
=
+
= -
å
1
1
. (2.32)
Ïðè m = n
P
n
k
£
m
= 1, P
n
k>m
= 0. (2.33)
Âû÷èñëåíèÿ ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè (2.30) ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n è m ñâÿçàíû ñ
îïðåäåëåííûìè òðóäíîñòÿìè, ïîýòîìó â ýòèõ ñëó÷àÿõ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèáëè-
æåííûìè ôîðìóëàìè Ëàïëàñà:
- ëîêàëüíàÿ ôîðìóëà Ëàïëàñà:
( ) ( )
P
np p
m np
np p
n
m
»
-
-
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
1
1 1
j ;
(2.34)
- èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Ëàïëàñà:
( ) ( )
P
b np
np p
a np
np p
n
amb£ £
»
-
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
-
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
Ô Ô
1 1
,
(2.35)
ãäå j(x) è Ô(x) - ôóíêöèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì.ðàçä.2.2). Ïðè x ³ 4 ñ òî÷-
íîñòüþ äî 0,0001 ìîæíî ñ÷èòàòü j(x) = 0 è Ô(x) = 0,5.
Òåîðåìà Ëàïëàñà - ïðåäåëüíûé ñëó÷àé ôîðìóëû Áåðíóëëè ïðè n®¥:
( )
() ()
lim
n
Pa
m np
np p
b b a
®¥
<
-
-
<
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
= -
1
Ô Ô . (2.36)
2.2. Случайные величины и функции распределения
Ïîñêîëüêó îòêàç òåõíè÷åñêîãî îáúåêòà ñ÷èòàåòñÿ ñëó÷àéíûì ñîáûòèåì
è íåêîòîðûå ïàðàìåòðû ïðîöåññîâ è ÿâëåíèé - ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, òî
è õàðàêòåðèñòèêè íàäåæíîñòè (íàðàáîòêà íà îòêàç èëè äî îòêàçà, ðåñóðñ,
ñðîê ñëóæáû, íåêîòîðûå õàðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòîâ è ñèñòåì è äð.) ÿâëÿ-
þòñÿ òàêæå ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè è îïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè
ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
2.2.1. Основные понятия и определения [2-4]
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà - âåëè÷èíà, çíà÷åíèå êîòîðîé ìîæåò ñëó÷àéíûì
îáðàçîì ìåíÿòüñÿ îò îïûòà ê îïûòó. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ìîæåò ïðè-
íèìàòü òîëüêî êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé, òî îíà íàçûâà-
åòñÿ äèñêðåòíîé, åñëè ëþáûå çíà÷åíèÿ èç çàìêíóòîãî èëè îòêðûòîãî (â
òîì ÷èñëå áåñêîíå÷íîãî) èíòåðâàëà - òî íåïðåðûâíîé.
Èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ - âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó-
÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèìåò çíà÷åíèå x
i
, ìåíüøå ôèêñèðîâàííîãî x:
F(x) = p(x
i
<x). (2.37)
Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóþò åå îñíîâíûå ñâîéñòâà:
F(–¥) = 0, F(+¥) = 1, 0 £ F(x) £ 1, p(a<x
i
<b) = F(b) - F(a). (2.38)
37
Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (äèôôåðåíöèàëüíàÿ
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èëè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè) - ïðåäåë îòíîøåíèÿ
âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèìåò çíà÷åíèå, ëåæàùåå â
ìàëîì èíòåðâàëå, ê âåëè÷èíå ýòîãî èíòåðâàëà ïðè åå ñòðåìëåíèè ê íóëþ:
( )
(
)
(
)
(
)
( )
fx
Fx x Fx
x
dFx
dx
Fx
x
=
+
-
= =
¢
®
lim .
D
D
D
0
(2.39)
Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x fxdx Fx dFx fxdx
x x
-¥< <+¥³ = = =
-¥
+¥
-¥ -¥
ò ò ò
0 1, , , (2.40)
( ) () () ( )
pa x b Fb Fa fxdx
a
b
< < = - =
ò
. (2.41)
Óñëîâíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåò-
ñÿ îòíîøåíèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ê âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà ïðåâûñèò ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå:
( )
(
)
{ }
(
)
( )
l x
fx
px x
fx
Fx
i
.=
>
=
-1
(2.42)
Åñëè â êà÷åñòâå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàññìîòðåòü íàðàáîòêó îáúåêòà
äî îòêàçà, òî èíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò âåðîÿò-
íîñòü îòêàçà, ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ - ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íàðà-
áîòêè, óñëîâíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ - èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ
(ñì.ãë.1).
2.2.2. Характеристики случайных величин [2-4]
Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èíîãäà óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ
íå ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ, à êîëè÷åñòâåííûìè ïîêàçàòåëÿìè, ñîäåðæà-
ùèìè äîñòàòî÷íóþ èíôîðìàöèþ î åå ðàñïðåäåëåíèè. Îñíîâíûìè õàðàêòå-
ðèñòèêàìè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñ-
ïåðñèÿ, ìîìåíòû, ìîäà, ìåäèàíà è êîýôôèöèåíò âàðèàöèè.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå - ñðåäíåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû:
- äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí:
(
)
(
)
Mx x xpx
ñ i i
i
= =
å
ð
; (2.43)
- äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí:
( ) ( ) ( )
Mx xfxdx xdFx= =
-¥
+¥
-¥
+¥
ò ò
; (2.44)
- äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí:
( ) ( )
[ ]
( )
Mx Fxdx pxdx= - =
¥
¥
ò ò
1
0
0
. (2.45)
Èç îïðåäåëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñëåäóþò åãî îñíîâíûå ñâîéñòâà:
M(c+x) = c + M(x), M(cx) = cM(x), (2.46)
M(x+y) = M(x) + M(y), M(x×y) = M(x)×M(y), (2.47)
ãäå c - êîíñòàíòà, õ è ó - íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.
38
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÿâëÿåòñÿ òàêæå íà÷àëüíûì ìîìåíòîì ïåðâî-
ãî ïîðÿäêà ðàñïðåäåëåíèÿ F(x). Íà÷àëüíûé ìîìåíò n-ãî ïîðÿäêà
( ) ( )
Mx xdFx
n
n
=
-¥
+¥
ò
. (2.48)
Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû - ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà
åå îòêëîíåíèÿ îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:
D(x) = M[x-M(x)]
2
= M(x
2
) - M
2
(x). (2.49)
Äëÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
( ) ( )
[ ]
( )
Dx x Mx dFx= -
-¥
+¥
ò
2
. (2.50)
Èç îïðåäåëåíèÿ äèñïåðñèè ñëåäóþò åå îñíîâíûå ñâîéñòâà:
D(c+x) = D(x), D(cx) = c
2
D(x), D(x+y) = D(x) + D(y), (2.51)
D(x×y) = M(x)×M(y) + M
2
(x)×D(y) + M
2
(y)×D(x). (2.52)
Äèñïåðñèÿ õàðàêòåðèçóåò ðàçáðîñ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è ÿâëÿåòñÿ öåí-
òðàëüíûì ìîìåíòîì âòîðîãî ïîðÿäêà ðàñïðåäåëåíèÿ F(x). Öåíòðàëüíûé
ìîìåíò n-ãî ïîðÿäêà
( ) ( )
[ ]
( )
Dx x Mx dFx
n
n
= -
-¥
+¥
ò
. (2.53)
Íåäîñòàòêîì äèñïåðñèè êàê õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ åå ðàçìåðíîñòü êâàäðàòà ýòîé âåëè÷èíû, ïîýòîìó ðàç-
áðîñ ÷àñòî õàðàêòåðèçóåòñÿ ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì, êî-
òîðîå èìååò ðàçìåðíîñòü ñàìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû:
(
)
s .
x
Dx= (2.54)
Êîýôôèöèåíò âàðèàöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû - îòíîøåíèå ñðåäíåãî
êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ:
v
x
= s
x
/M(x). (2.55)
Ìåäèàíà (ñðåäèííîå çíà÷åíèå) - çíà÷åíèå íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âå-
ëè÷èíû, ïðè êîòîðîì èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà 0,5. Ìå-
äèàíà - ÷àñòíûé ñëó÷àé êâàíòèëè: êâàíòèëüþ óðîâíÿ p íàçûâàåòñÿ âåëè-
÷èíà u
p
, ïðè êîòîðîé p(x£u
p
)=F(u
p
)=p, ò.å. êâàíòèëü - êîðåíü óðàâíåíèÿ
F(u
p
)=p (ìåäèàíà - êâàíòèëü óðîâíÿ p = 0,5).
Ìîäà - çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïðè êîòîðîì ïëîòíîñòü ðàñïðå-
äåëåíèÿ ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå.
Ïðè òàáóëèðîâàíèè íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëå-
íèÿ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ öåíòðèðîâàíèå è íîðìèðîâàíèå ñëó÷àéíûõ âåëè-
÷èí. Öåíòðèðîâàííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîëó÷àåòñÿ èç èñõîäíîé âû-
÷èòàíèåì èç åå çíà÷åíèÿ çíà÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
x¢ = x - M(x), (2.56)
íîðìèðîâàííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà - äåëåíèåì íà ñðåäíåå êâàäðàòè÷å-
ñêîå îòêëîíåíèå
`x = x/s
x
. (2.57)
39
2.2.3. Законы распределения дискретных случайных величин [2-4,7]
Äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íàèáîëåå ÷àñòî â òåîðèè íàäåæíî-
ñòè èñïîëüçóþòñÿ áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå è ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà.
Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå õàðàêòåðèçóåò ÷èñëî óñïåøíûõ èñïûòà-
íèé õ èç îáùåãî ÷èñëà èñïûòàíèé n. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå çàäàåò-
ñÿ ôîðìóëîé Áåðíóëëè
( )
( )
( ) ( )
Px
n
xn x
p p Cp p x n
x
nx
n
xx
nx
=
-
- = - =
- -
!
! !
,,...,1 1 01, (2.58)
èëè ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
( ) ()
( )
( ) ( )
Fx Pi
i
in i
p p Cp p
i
ni
i
x
i
x
n
ii
ni
i
x
= =
-
- = -
-
=
=
-
=
åå å
!
! !
,1 1
0
0
0
(2.59)
ãäå p - âåðîÿòíîñòü îäíîãî óñïåøíîãî èñïûòàíèÿ, P(x) - âåðîÿòíîñòü õ óñïåøíûõ èñïû-
òàíèé ïðè îáùåì ÷èñëå èñïûòàíèé n, C
n
x
- áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû.
Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:
() () ( )
Mx np Dx np p v
p
np
= = - =
-
, , . 1
1
(2.60)
Áèíîìèàëüíîìó çàêîíó, â ÷àñòíîñòè, ïîä÷èíÿåòñÿ ÷èñëî îáúåêòîâ, îò-
êàçàâøèõ çà ôèêñèðîâàííîå âðåìÿ. Îíî ïðèìåíÿåòñÿ òàêæå ïðè îãðàíè-
÷åííîé èíôîðìàöèè î íàäåæíîñòè äëÿ ñîðòèðîâêè ïàðòèè îáúåêòîâ íà ãîä-
íûå è íåãîäíûå.
Åñëè n®¥ è p®0 ïðè np=const, òî áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðè-
áëèæàåòñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì l = np.
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà çàäàåòñÿ ôîðìóëîé âèäà
( ) ( )
Px
x
x
x
= - =
l
l
!
exp , ,, ,...012 (2.61)
è èíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
( ) ( )
Fx
i
i
i
x
= -
=
å
l
l
!
1
exp , (2.62)
ãäå l=np.
Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà:
( ) ( )
Mx Dx v= = =l
l
, .
1
(2.63)
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà îïèñûâàåò êîëè÷åñòâî îòêàçîâ çà ïðîìåæóòîê
âðåìåíè äëÿ îáúåêòîâ ñ ïîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòüþ îòêàçîâ l. Îñîáåííî-
ñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæè-
äàíèÿ è äèñïåðñèè, ÷òî ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïðîâåðêè ñîîòâåòñòâèÿ èñ-
ñëåäóåìîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ïóàññîíà.
Ïðè l > 9 ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà õîðîøî àïïðîêñèìèðóåòñÿ íîð-
ìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è äèñïåðñèåé l.
Îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (ðàñïðåäåëåíèå Ïàñêà-
ëÿ) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
( ) ( )
Px C p p x k
kx
x k
x
= - =
+-1
1 01, ,,..., (2.64)
40
èëè ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
( ) ( )
Fx C p p
ki
i k
i
i
x
= -
+-
=
å
1
0
1 . (2.65)
Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàñêàëÿ:
( )
(
)
( )
(
)
( )
Mx
k p
p
Dx
k p
p
v
k p
=
-
=
-
=
-
1 1
1
1
2
, , .
(2.66)
Ðàñïðåäåëåíèå Ïàñêàëÿ ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ÷èñëà "íåóñïåõîâ",
ïðåäøåñòâóþùèõ k-ìó "óñïåõó" â ñõåìå íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè.
Îíî èñïîëüçóåòñÿ ïðè ïëàíèðîâàíèè âûïóñêà èçäåëèé äëÿ ïîëó÷åíèÿ çà-
äàííîãî êîëè÷åñòâà èñïðàâíûõ èçäåëèé ïðè èçâåñòíîì ïðîöåíòå áðàêà.
Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå - îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðå-
äåëåíèå ïðè çíà÷åíèè ïàðàìåòðà k = 1.
Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ
íàäåæíîñòè ïðîäóêöèè ïðè âûáîðî÷íîì êîíòðîëå êà÷åñòâà è îïðåäåëÿåò
âåðîÿòíîñòü ÷èñëà ãîäíûõ èçäåëèé â âûáîðêå îáúåìà n èç ïàðòèè îáúåìîì
N, ñîäåðæàùåé M ãîäíûõ èçäåëèé:
( ) ( )
Px
CC
C
x nM
M
x
NM
nx
N
x
= £ £
-
-
, min, . 1 (2.67)
Òîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
( )
Fx
CC
C
M
i
NM
ni
N
i
i
x
=
-
-
=
å
.
0
(2.68)
Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:
( ) ( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
Mx
nM
N
Dx
nMN MN n
NN
v
N MN n
nMN
= =
- -
-
=
- -
-
, , .
2
1
1
(2.69)
Ïðè n < 0,1N è M < 0,1N ðàñïðåäåëåíèå õîðîøî àïïðîêñèìèðóåòñÿ
ðàñïðåäåëåíèåì Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì l = nM/N, ïðè N ® ¥ , n < 0,1N
è M/np ® p - áèíîìèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñ ïàðàìåòðàìè n è p =
M/N, ïðè nM/N ® ¥ - íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñ ìàòåìàòè÷åñêèì
îæèäàíèåì è äèñïåðñèåé (2.69).
2.2.4. Законы распределения непрерывных случайных величин [2,3,4]
Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå â òåîðèè íàäåæíîñòè õàðàêòåðèçóåò ïà-
ðàìåòðû ýëåìåíòîâ è ñèñòåì (íàïðèìåð, ïðî÷íîñòü) èëè íàãðóçêó, âåëè÷è-
íà êîòîðûõ ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå ñëó÷àéíîå çíà÷åíèå â èçâåñòíîì èí-
òåðâàëå (a,b) (ðèñ.2.1):
( ) ( )
Fx
x a
b
a
fx
b
a
a x b=
-
-
=
-
£ £, ,
1
. (2.70)
Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:
( ) ( )
( ) ( )
( )
Mx
a b
Dx
b a
v
b a
a b
x
=
+
=
-
=
-
+
2 12
2
3
2
, ,
. (2.71)
Ýêñïîíåíöèàëüíîå (ïîêàçàòåëüíîå) ðàñïðåäåëåíèå (ðèñ.2.2) â òåîðèè
íàäåæíîñòè èñïîëüçóåòñÿ äëÿ õàðàêòåðèñòèêè íàðàáîòêè îáúåêòà äî ïåðâî-
ãî îòêàçà èëè ìåæäó îòêàçàìè ïðè èõ ïîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòè l = const