Найханова Л.В., Дамбаева С.В. Методы и алгоритмы принятия решений в управлении учебным процессом в условиях неопределенности
Подождите немного. Документ загружается.
111
68.
Родионова Н.В.Семантический дифференциал (обзор литературы) //
Социология: 4М. - № 7. - С. 161-183.
69.
Романец В.А. и др. Методика научно-обоснованного составления учебного плана. - М.:
НИИВШ, 1976.
70.
Романец В.А. и др. Методические указания по совершенствованию методики научно
обоснованного составления учебного плана специальности. - М.: МИСиС, 1981.
71.
Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы
и нечеткие системы. М.: Горячая линия - Телеком, 2004. - 452с.
72.
Слейгл Д. Искусственный интеллект. Подход на основе эвристического
программирования М Мир 1973г. 320с.
73.
Создание общеевропейского пространства высшего образования. Коммюнике
Конференции министров, ответственных за высшее образование в Берлине, 19 сентября
2003 г. http://www.shishlov.info/education/ bolognia/index.phtml?id=289.
74.
Соколов А.Ю. Знаниеориентированные модели и методы в системах
управления принятия решений. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е.
Жуковского «ХАИ». http://sumschool.sumdu.edu.ua/is-02/rus/lectures/ sokolov/sokolov.htm
75.
Соколова М.С. Исследование и разработка моделей и процессов принятия решений по
определению требований к специалистам и формированию учебных планов: Дис…канд.
тех. наук. - М., 1999. - 137 с.
76.
Сумароков Л.Н., Мухин Э.В., Романенко А.Г. В целях оптимизации обучения// Вестник
высшей школы. - №2 - 1968.
77.
Сумароков Л.Н., Мухин Э.В., Романенко А.Г. В целях равномерной загрузки
студентов//Вестник высшей школы. - №9. - 1968.
78.
Текст Болонской декларации. http://iic.dgtu.donetsk.ua/russian/ovs/ bologna.html.
79.
Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка решений: Научно-практическое издание.
Серия «Информатизация России на пороге XXI века». – М.: Синтег, 1998. – 376 с.
80.
Трофимова О.К. Автоматизация процесса составления учебных планов вузов:
Дис…канд. тех. наук. - М., 1999. - 140 с.
81.
Уемов А.И. Системный подход и общая теория систем. М.: Мысль, 1978.-272с.
82.
Федеральный закон «Об утверждении федеральной программы развития образования» от
10 апреля 2000 г. № 51-ФЗ.
83.
Хоанг Чинь Минь. Исследование и разработка моделей составления оптимального
учебного плана: Дис…канд. экон. наук. – Л., 1990. - 150с.
84.
Черкасов Б.П. Совершенствование учебных планов и программ на базе сетевого
планирования. - М.: Высшая школа, 1975.
85.
Шуйкова И.А. Разработка подсистемы принятия решений для информационно-
управляющей системы промышленного предприятия на основе комбинаторного метода
бинарных отношений: Дис…канд. тех. наук. - Липецк, 2000. - 149 с.
86.
Ющенко А.С. Нечеткое управление роботами в экстремальных условиях. Теоретические
и прикладные вопросы современных информационных технологий: Материалы всерос.
конф. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2004. С.9-14.
87.
Ющенко А.С. Ситуационное управление роботами в неопределенной ситуации на основе
нечеткой логики. Теоретические и прикладные вопросы современных информационных
технологий: Материалы всерос. конф. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2000. - С.164-165.
88.
Ядов В.А. Социологическое исследование: методология, программа, методы. - М.: Наука,
1987.
89.
Ямпольский В.З.,Тузовский А.Ф. Системы управления знаниями в образовании:
Материалы науч-практ конф. «Современные средства и системы автоматизации –
гарантия высокой эффективности производства» (14-15 ноября 2002 г.). - Томск, 2002. -
С. 295-298.
90.
Bellman R., Kalaba K., Zadeh L.A. Abstraction and pattern classification. J.Math. Anal. and
Appl.- V.13. - No1. - Jan, 1966.
112
91.
Gorzalczany M.B. Interval-Valued Decisional Rule in Signal Transmission Problems //Arhiwum
automatyki i telemechaniki. – T.XXX. - N2. – 1985. - P.159-168.
92.
Zadeh L.A. Fuzzy sets. Contr. - Vol.8. – 1965. - P. 338-353.
93.
Mamdani E. H. Advances in the Linguistic Synthesis of Fuzzy Controller // Int. J. Man-Machine
Studies. -1976.-Vol. 8.-P.669-678.
94.
Zadeh L. The role of fuzzy logic in the management of uncertainty in expert systems // Fuzzy
Sets a. Systems. -1983. - Vol. 11. - N 3. - P. 199-227.
95.
Zimmermann H.J., Zysno P. Quantifying vagueness in decision models // European Journal of
Operational Reseach. - N22. – 1985. - P.148-158.
113
Приложение А
Основные понятия теории нечетких множеств
1. Нечеткие множества и нечеткие отношения
Нечетким множеством А в U называется совокупность пар вида )/)((
A
uu
µ
, где u
∈
U,
а
)(
A
u
µ
– функция принадлежности нечеткого множества А,
[]
1,0:
A
→U
µ
. Здесь U –
некоторое множество (в обычном смысле) элемент ов, которое называется
универсальным множеством. Для любого элемента U функция принадлежности определяет
степень принадлежности. Записать нечеткое множество можно следующим образом:
A =
Uu∈
Υ
A
µ
(u)/u.
(А.1.1)
Например, U = (a, b, c, d, e, f); M = (0, 0.5, 1). Тогда А можно представить в виде:
А = (0/a, 1/b, 0.5/c, 0/d, 0.5/c, 0/f).
Здесь неважен порядок следования элементов в U и M, комбинация элементов U и M
должна быть такой, что в А каждый элемент принадлежит и U и M.
Физический смысл функции принадлежности. Спектр мнений по этому вопросу
чрезвычайно широк. Так, например, очень часто на функцию принадлежности накладывается
условие нормировки, тем самым выбирая в качестве функции принадлежности плотность
распределения вероятности. В работе [41] под значением функции принадлежности
)(
A
u
µ
нечеткого множества А для любого u
∈
U понимается вероятность того, что лицо,
принимающее решение (ЛПР), отнесет элемент u к множеству А. В работе [52]
предполагается, что функция принадлежности это некоторое “невероятностное субъективное
измерение неточности” и что она отлична от плотности вероятности и от функции
распределения вероятности. Иногда под функцией принадлежности понимают возможность
или полезность того или иного события.
Обычные множества составляют подкласс множества нечетких множеств. Функцией
принадлежности обычного множества B
⊂
U является функция:
∉
∈
=
Buесли
Buесли
u
B
,0
,1
)(
µ
(А.1.2)
Нечеткое множество называется пустым, если µ
Ø
(u) = 0,
∀
u
∈
U.
Носителем нечеткого множества А, которое обозначается как sup A или S(A),
называется множество (в обычном смысле) вида:
{}
}0)(,|
A
>∈= uUuuASup
µ
(А.1.3)
Нечеткое множество называется нормальным, если
1)(sup =
∈
u
A
Uu
µ
. В противном
случае нечеткое множество называется субнормальным. Однако субнормальное множество
(если оно не пусто) всегда можно нормализовать, разделив функцию принадлежности
)(
A
u
µ
этого множества на величину
)(sup u
A
Uu
µ
∈
.
Нечеткое отношение R на множествах X и Y описывается с помощью функции
принадлежности двух переменных следующим образом:
),/(),(
),(
yxyxR
R
YXyx
µ
×∈
=
Υ .
(А.1.4)
В общем случае n–арное отношение есть нечеткое подмножество декартова
произведения X
1
×X
2
×…×X
n
, причем:
114
),...,/(),...,(
11
...),...,(
11
nnR
XXXX
xxxxR
nn
µ
××∈
=
Υ
(А.1.5)
В зависимости от того, для чего используются нечеткие отношения, вводятся
нечеткие отношения сходства и нечеткие отношения предпочтения.
Для примера предположим, что X = {яблоко, груша}, Y = {айва, апельсин} Бинарное
нечеткое отношение сходства между элементами множеств X и Y можно записать в виде:
сходство = {0.8/(яблоко, айва); 0.6/(яблоко, апельсин); 0.2/(груша, айва); 0.9/(груша,
апельсин)}.
Данное отношение можно представить в виде так называемой матрицы отношения
=
9,02,0
6,08,0
R
, в которой (i,j)–й элемент равен значению функции
),(
R
yx
µ
для i-го значения
Х и j-го значения Y.
В том случае, когда нечеткое отношение используется для описания предпочтения,
следует рассматривать отношение предпочтения. При этом
),(
R ji
yx
µ
содержательно
интерпретируется как степень уверенности в том, что x
i
не менее предпочтительнее, чем y
j
.
Введем понятие композиции отношений. Если R отношение X→Y, а S – отношение
Y→Z, то композиция R○S определяется как максиминное произведение следующего вида:
),(,
),/())),(),,(max(min(
ZXzx
SR
zxzyyxSR
∈
=
µ
µ
Υ
ο
.
(А.1.6)
По существу максиминное произведение определяется как обычное произведение
матриц, где вместо операции умножения вводится min, а вместо операции сложения – max.
Ниже рассмотрен пример выполнения композиции отношений.
Пусть
=
9,06,0
8,03,0
R ,
=
1,04,0
9,05,0
S , тогда
max(min(0.3, 0.5), min(0.8, 0.4)) = 0.4, max(min(0.3, 0.9), min(0.8, 1)) = 0.8,
max(min(0.6, 0.5), min(0.9, 0.4)) = 0.5, max(min(0.6, 0.9), min(0.9, 1)) = 0.9.
=
9,05,0
8,04,0
SR ο .
2. Нечеткая и лингвистическая переменные
Целью введения нечеткого множества чаще всего является формализация нечетких
понятий и отношений ЕЯ. Данную формализацию можно выполнить, воспользовавшись
понятиями нечеткой и лингвистической переменных.
Нечеткой переменной называется совокупность (кортеж) вида
>< XU,X,
~
,
(А.2.1)
где
X – наименование нечеткой переменной;
U = {u} область ее определения (обычное множество);
Υ
Uu
X
uuX
∈
= /)(
~
~
µ
- нечеткое множество на U, описывающее ограничение на
возможные числовые значения нечеткой переменной X.
Лингвистической переменной называется кортеж вида
<β, T, U, G, M>,
(А.2.2)
где
β – наименование лингвистической переменной;
115
Т – множество ее значений (термов), представляющих собой наименование нечетких
переменных, областью определения каждой из которой является множество U;
U – универсальное множество лингвистической переменной;
G – синтаксическая процедура, описывающая процесс образования из множества Т
новых, осмысленных для данной задачи значений лингвистической переменной;
М – семантическая процедура, позволяющая приписать каждому новому значению,
образованному процедурой G, некоторую семантику путем формирования соответствующего
нечеткого множества, т.е. отобразить новое значение в нечеткую переменную.
Множество Т будем называть базовым терм-множеством лингвистической
переменной.
В зависимости от характера множества U лингвистическая переменная может быть
разделена на числовые и нечисловые. Числовой называют лингвистическую переменную, у
которой U
⊂
R
1
, R
1
=(-∞, ∞), и которая имеет измеримую базовую переменную. Нечеткие
переменные, соответствующие значениям числовой лингвистической переменной, называют
нечеткими числами.
Скорость – это числовая лингвистическая переменная, причем нечеткие переменные
из ее терм-множества – нечеткие числа.
В качестве примера нечисловой лингвистической переменной можно привести
понятие “сложность” со значениями: низкая, средняя, умеренная, высокая.
Зависимости между двумя лингвистическими переменными X и Y чаще всего
описываются набором высказываний, например:
если Х мало, то Y велико;
если Х не очень мало, то Y очень велико;
если Х не мало и не велико, то Y не очень велико и т.п.
Приведенное отношение между нечеткими переменными Х и Y являются простыми в
том смысле, что их можно записать как множество высказываний вида “из А следует В”. Для
описания более сложной зависимости Y от Х могут потребоваться нечеткие алгоритмы.
3. Операции с нечеткими множествами
Отрицание НЕ, союзы И, ИЛИ, неопределенности типа очень, весьма, больше,
меньше и другие термины, которые входят в определение значений лингвистической
переменной, могут рассматриваться как символы различных операций, определенных на
нечетких подмножествах U. Наиболее существенные из этих операций:
пусть А и В - нечеткие множества; S(A), S(B) – их носители. Обычно вводится два
набора определений основных операций над нечеткими множествами: максиминный (mm) и
вероятностный (p) .
1. Объединением нечетких множеств А и В в U называют нечеткое множество А
∪
В с
функцией принадлежности вида:
∈⋅−+
∈
=
).p(Uu),u()u()u(
)mm(Uu),u(),u(max(
)u(
BABA
BA
BA
µµµµ
µµ
µ
Υ
(А.3.1)
Объединение соответствует союзу ИЛИ. Таким образом, если X и Y – символы
нечетких множеств, то
Υ
YXYилиX
def
=
.
(А.3.2)
2. Пересечением нечетких множеств А и В в U называют нечеткое множество А∩В с
функцией принадлежности вида:
∈⋅
∈
=
).p(Uu),u()u(
)mm(Uu)),u(),u(min(
)u(
BA
BA
BA
µµ
µµ
µ
Ι
(А.3.3)
116
Пересечение соответствует союзу И. Таким образом, если X и Y – символы нечетких
множеств, то
Ι
YXYиX
def
=
.
(A.3.4)
3. Дополнением нечеткого множества А называют нечеткое множество
A
с
функцией принадлежности:
),(),(1)( pmmUuuu
AA
∈−
=
µ
µ
.
(A.3.5)
Операция дополнения соответствует операции НЕ, т.е.
Υ
U
X
def
xXXне /))1(
µ
−==
.
(A.3.6)
4. Разность нечетких множеств А и В определяется введением двух независимых
операций:
<
≥−
=
−
)()(,0
)()(),()(
)(
uuесли
uuеслиuu
u
BA
BABA
BA
µµ
µµµµ
µ
(A.3.7)
Ι
BABA =−
.
(A.3.8)
5. Декартово произведение –
n
AAA
×
×
×
Κ
21
нечетких множеств А
i
в U, i = 1,..,.n
определяется как нечеткое множество А в декартовом произведении
n
UUUU
×
××=
Κ
21
c
функцией принадлежности вида:
{
}
{
}
Uuuuuuu
nnAAA
n
∈
=
=
,,)(,),(min)(
11
1
Κ
Κ
µ
µ
µ
.
(A.3.9)
6. Обычным множеством α – уровня нечеткого множества А называют:
]1,0[},)(,:{
∈
≥∈=
α
α
µ
α
гдеuUuuS
A
.
(A.3.10)
Отметим, что нечеткое множество может быть определено объединением своих α-
уровневых подмножеств по всем α ∈[0,1], т.е.
А =
α
α
α
SΥ
, где
α
α
µ
S
(u) = α
α
α
µ
S
(u).
(A.3.11)
Покажем это на примере:
пусть U = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), A = (0/0, 0.1/1, 0.3/2, 0.5/3, 0.7/4, 0.9/5, 1/6).
Для А можно записать следующие подмножества α – уровня:
S
0
= (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)
S
0.1
= (1, 2, 3, 4, 5, 6)
S
0.3
= (2, 3, 4, 5, 6)
S
0.5
= (3, 4, 5, 6)
S
0.7
= (4, 5, 6)
S
0.9
= (5, 6)
S
1
= (6).
Теперь нечеткое множество А можно представить в виде:
А = 0(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)∪ 0.1(1, 2, 3, 4, 5, 6) ∪ 0.3(2, 3, 4, 5, 6) ∪ 0.5(3, 4, 5, 6) ∪ 0.7(4,
5, 6) ∪0.9(5, 6) ∪1(6).
7. Степенью нечеткого множества А называют нечеткое множество А
α
с функцией
принадлежности:
)(u
A
α
µ
= )(u
A
α
µ
, u ∈U, α>0.
(A.3.12)
При α = 2 получаем операцию концентрирования (CON):
117
CON(A) = A
α
. (A.3.13)
В результате применения этой операции к множеству А снижается степень
нечеткости описания, причем для элементов с высокой степенью принадлежности это
уменьшение относительно мало, а для элементов с малой степенью принадлежности
относительно велико.
При α = 0,5 получаем операцию растяжения (DIL):
DIL(A) = A
0,5
. (A.3.14)
Эта операция увеличивает степень нечеткости исходного нечеткого множества.
Операция контрастной интенсификации (INT) определяется с помощью функции
принадлежности следующим образом:
[]
[]
≤≤−−
≤≤
.1)u(5,0если,)u(11
5,0)u(0если,)u(2
)u(
A
2
A
A
2
A
A
µµ
µµ
µ
(A.3.15)
Эта операция отличается от концентрирования тем, что она увеличивает значения
)u(
A
µ
, которые больше 0,5, и уменьшает те, которые меньше 0,5. Таким образом,
контрастная интенсификация по существу уменьшает нечеткость А.
4. Лингвистические неопределенности
Как уже отмечалось, значения лингвистической переменной являются символами
нечетких подмножеств, которые представляют собой фразы или предложение формального
или естественного языка.
Например, если U есть набор целых чисел U = (0, 1, 2, . . . , 100) и возраст есть
лингвистическая переменная, тогда значение лингвистической переменной могут
определяться словосочетаниями молодой, не молодой, очень молодой, не очень молодой,
старый и т.д.
Основная проблема, которая возникает при использовании лингвистической
переменной, заключается в следующем: пусть дано значение любого элементарного термина
nix
i
,,1, Κ= , в составном термине
n
xxu
Κ
1
=
, который представляет собой значение
лингвистической переменной. Требуется вычислить значение u в смысле нечеткого
множества.
Рассмотрим более простую задачу – вычисление значения составного термина вида u
= hx, где h – неопределенность, а x – термин с фиксированным значением. Например, u =
очень высокий человек, где h = очень, а х = высокий человек.
Будем рассматривать h как оператор, который переводит нечеткое множество M(x),
представляющее значение x, в нечеткое М(hx) [17]. Теперь неопределенности выполняют
функции генерации большого множества значений для лингвистической переменной из
небольшого набора первичных элементов. Например, использование неопределенности
очень в сочетании с отрицанием НЕ и первичным термином высокий мы можем
интерпретировать нечеткие множества очень высокий, не очень высокий и т.п.
Для определения h удобно использовать некоторые основные операции,
определенные ранее, особенно операции степень, CON, DIL, INT. Покажем, как это можно
сделать для естественной неопределенности очень и искусственных неопределенностей плюс
и минус. Аналогичным образом можно определить неопределенности больше, меньше,
много, слабо, вроде, вполне и другие.
В обычном использовании неопределенность очень не имеет четко определенного
значения. Она действует как усилитель, генерируя подмножества того множества, к
которому она применяется. Аналогичным образом действует операция концентрирования.
Поэтому очень u, где u – некоторый термин, может быть определено как квадрат u, т.е.
118
очень u = u
2
=
U
Υ
)(
2
u
u
µ
/u.
(A.4.1)
Например, если u = маленький возраст = {1/1, 0.8/2, 0.6/3, 0.4/4, 0.2/5}, тогда
очень маленький возраст = {1/1, 0.64/2, 0.36/3, 0.16/4, 0.04/5}.
Рассматриваемый как оператор очень может сочетаться с самим собой. Так,
например:
очень очень маленький = (1/1, 0.4/2, 0.1/3).
Заметим, что порядок следования элементарных терминов в составном термине
существенно влияет на результат. Так, например:
u = очень не точно =
2
)(точно
(A.4.2)
и
u = не очень точно =
2
)(точно
(A.4.3)
не одно и то же.
Искусственные неопределенности плюс и минус служат для придания более слабых
степеней концентрации и растяжения, чем те, которые определяются операциями CON и
DIV.
плюс = u
1.25
= )(
25.1
u
U
U
µ
Υ /u
(A.4.4)
минус u = u
0.75
= )(
75.0
u
U
U
µ
Υ /u
(A.4.5)
Вследствие (А.4.4) и (А.4.5) мы имеем приближенные тождества, которыми часто
пользуются на практике
плюс u ≈ минус очень u
(A.4.6)
минус очень очень u ≈ плюс плюс очень u. (A.4.7)
Проиллюстрируем это на примере:
Если неопределенность в высшей степени определена как минус очень очень, тогда
можно записать:
в высшей степени u = плюс плюс очень u. (A.4.9)
119
Приложение Б
Описание формализма нечетких продукционных моделей
1. Нечеткие продукции
Продукционные системы были разработаны в рамках исследований по методам
искусственного интеллекта и нашли широкое применение для представления знаний и
вывода заключений в экспертных системах, основанных на правилах. Поскольку нечеткий
вывод реализуется на основе нечетких продукционных правил, рассмотрение базового
формализма нечетких продукционных моделей приобретает самостоятельное значение. При
этом нечеткие правила продукций не только во многом близки к логическим моделям, но и,
что наиболее важно, позволяют адекватно представить практические знания экспертов в той
или иной проблемной области.
В общем случае под правилом нечеткой продукции или просто — нечеткой
продукцией понимается выражение следующего вида:
,,,;;;:)( NFSBAPQi ⇒
(Б.1.1)
где (i) – имя нечеткой продукции; Q – сфера применения нечеткой продукции; Р –
условие применимости ядра нечеткой продукции;
BA ⇒ – ядро нечеткой продукции, в
котором A – условие ядра (или антецедент); B – заключение ядра (или консеквент); «⇒» –
знак логической секвенции (или следования); S – метод или способ определения
количественного значения степени истинности заключения ядра; F – коэффициент
определенности или уверенности нечеткой продукции; N – постусловия продукции.
По аналогии с обычным правилом продукции в качестве имени (i) нечеткой
продукции может выступать та или иная совокупность букв или символов, позволяющая
однозначным образом идентифицировать нечеткую продукцию в системе нечеткого вывода
или базе нечетких правил. В качестве имени нечеткой продукции может использоваться ее
номер в системе.
Сфера применения нечеткой продукции Q, условие применимости ядра нечеткой
продукции Р и постусловие нечеткой продукции N определяются аналогично обычной не
нечеткой продукции.
Аналогично обычным правилам продукций ядро
BA ⇒ также является
центральным компонентом нечеткой продукции. Ядро продукции записывается в более
привычной форме: «если
A, то B» или в наиболее распространенном виде: if A, then B,, где A
и B – некоторые выражения нечеткой логики, которые наиболее часто представляются в
форме нечетких высказываний, при этом секвенция интерпретируется в обычном логическом
смысле как знак логического следования заключения B из условия A. В качестве выражений
A и B могут использоваться составные логические нечеткие высказывания, т.е. элементарные
нечеткие высказывания, соединенные нечеткими логическими связками, такими как
нечеткое отрицание НЕ (А.3.6), нечеткая конъюнкция И (А.3.4) и нечеткая дизъюнкция ИЛИ
(А.3.2), описание которых приводится в разделе 3 Приложения А.
S – метод или способ определения количественного значения степени истинности
заключения B на основе известного значения степени истинности условия B. Данный способ
в общем случае определяет так называемую схему или алгоритм нечеткого вывода в
продукционных нечетких системах и называется также методом композиции или методом
активации согласно Стандарту IEC 1131-7. В настоящее время для этой цели предложено
несколько способов, основные из которых рассматриваются в разделе 2 данного
Приложения.
F— коэффициент определенности или уверенности, выражающий количественную
120
оценку степени истинности или относительный вес нечеткой продукции. Коэффициент
уверенности принимает свое значение из интервала [0,1] и часто называется весовым
коэффициентом нечеткого правила продукции.
Продукционная нечеткая система или система нечетких правил продукций
представляет собой некоторое согласованное множество отдельных нечетких продукций или
правил нечетких продукций в форме «если
A, то B» (или в виде: «if A then B», как определено
в Стандарте IEC 1131-7). Далее обе эти формы записи будут использоваться как
эквивалентные в зависимости от удобства в том или ином контексте.
Основная проблема приближенных рассуждений с использованием нечетких правил
продукций заключается в том, чтобы на основе некоторых нечетких высказываний с
известной степенью истинности, которые являются условиями нечетких правил продукций,
оценить степень истинности других нечетких высказываний, являющимися заключениями
соответствующих нечетких правил продукций.
Взаимосвязь между условием и заключением в нечетком правиле продукции в
общем случае представляет собой некоторое бинарное нечеткое отношение на декартовом
произведении универсальных множеств соответствующих лингвистических переменных.
Этот подход и будет использоваться в дальнейшем для определения различных схем или
методов нечеткого вывода на основе продукционных нечетких систем.
В общем случае для формального определения различных методов нечеткого вывода
применительно к нечеткому правилу продукции рассмотрим два нечетких множества A и B,
заданных соответственно на универсальных множествах U и V. При этом нечеткое
множество A интерпретируется как условие некоторого нечеткого правила продукции, а
нечеткое множество B – как заключение этого же правила.
Основная идея заключается в том, что нечеткое множество A можно рассматривать
как унарное отношение на универсальном множестве U, а нечеткое множество В можно
рассматривать как унарное отношение на универсальном множестве V. В этом случае первое
отношение определяется функцией принадлежности
)u(
A
µ
, а второе отношение – функцией
принадлежности
)v(
B
µ
.
Теперь предположим, что некоторым образом определено бинарное нечеткое
отношение на декартовом произведении универсальных множеств U и V:
)}v,u/()v,u({Q
Q
µ
=
, где
Uu ∈ и Vv
∈
. Если дополнительно известны значения функции
принадлежности множества А
µ
А
(u), то функция принадлежности
)v(
B
µ
второго множества
может быть определена в результате нечеткой композиции соответствующих нечетких
отношений с использованием любой из приведенных ниже композиций.
Max-min композиция или максиминная нечеткая свертка:
)}}v,u(),u({min{max)v(
QA
Xx
B
>
<
=
∈
µ
µ
µ
.
(Б.1.2)
Max-prod композиция:
)}v,u(*)u({max)v(
QA
Xx
B
>
<
=
∈
µ
µ
µ
.
(Б.1.3)
Min-max композиция:
)}}v,u(),u({max{min)v(
QA
Xx
B
>
<
=
∈
µ
µ
µ
.
(Б.1.4)
Max-max композиция:
)}}v,u(),v({max{max)v(
QA
Xx
B
>
<
=
∈
µ
µ
µ
.
(Б.1.5)
Min-min композиция:
)}}v,u(),u({min{min)v(
QA
Xx
B
>
<
=
∈
µ
µ
µ
.
(Б.1.6)
Max-average композиция:
)}v,u()u({max*5,0)v(
QA
Xx
B
>
<
+
=
∈
µ
µ
µ
.
(Б.1.7)
Sum-prod композиция: