Мироновский Л.А. Моделирование линейных систем Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

111

Решение. выписываем дифференциальные уравнения для от-

дельных блоков схемы

1 1 22 2

3 344 34 123

, ,.

x x xx x u

x x x x x x uy x x x

=- + =- +

=- + =- - + = + +



следовательно, матрицы описания в пространстве состояний

имеют вид

[ ]

11 0 0 0

0 10 0 1

0 0 11 0

00 11 1

11 1 0

é ù éù

ê ú êú

ë û ëû

Поскольку матрица А имеет клеточно-диагональную струк-

туру, ее характеристический полином

()Qp

равен произведению

характеристических полиномов диагональных клеток:

( )

11 11

1 22

0 11 1

( ) ( ).

ap p p p

+- +-

= =+ ++

для получения передаточной функции воспользуемся форму-

лой

() ( ) .Qp p

=-cEA b

найдем сначала матрицу

:()p

-EA

Рис. 4.14. Блок-схема для примера 8



Q





Q



V









Q





Q











s



s















112

110 0

0 10 0

0 0 11

001 1

11 0 0

0 10 0

0 0 11

00 1 1

()

éù

êú

-= =

êú

ëû

éù

êú

=×

êú

ëû

домножая справа и слева на матрицы b и с, получаем переда-

точную функцию модели

[ ]

222

2 2 432

11 10

111 1

1 22 22

1 1 1 343

1 22 4762

() ( )

,, ,

()

Qp p

p pppp

ppp

p pppppp

=- =-´

éù

êú

´=

êú

+ ++ ++

êú

ëû

+++

= +- =

+ ++ ++++

cEA b

найдем ту же передаточную функцию с помощью формулы

Мэзона. Анализ схемы показывает, что в ней имеется один замк-

нутый контур с передаточной функцией L = –W

и три прямых

пути от входа до выхода P

= W

, P

= W, P

= –W

. Миноры этих

путей соответственно равны

12 3

1,.∆ ∆ ∆∆== =

определитель схемы ∆ находится по формуле 1–L = 1 + W

Подставляя все эти значения в формулу Мэзона

() / ,

Qp P∆∆=

получаем

( )

2 22 2

11 1

1 22

() /

()

Qp W W W W W W

p pp

∆∆ ∆

∆

= + - = +- =

= +-

+ ++

Применяя к последнему выражению обратное преобразование

Лапласа, находим весовую функцию системы

( )

1( ) si n sin .

t tt t

q t e te e t e t t

- -- -

= + - = +-

113

Пример 9. система задана описанием в пространстве состоя-

ний

,,uy=+ =



X AX b cX

010

001

155

éù

êú

---

ëû

[ ]

0 011

éù

êú

ëû

требуется составить схему моделирования и найти ее переда-

точную функцию.

Решение. Матричному описанию соответствует сигнальный

граф, показанный на рис. 4.15.

s

s













s



Рис. 4.15. Сигнальный граф для примера 9

найдем передаточную функцию, используя формулу Мэзона.

выпишем контуры, прямые пути и определитель графа:

12 3

55 1

;,,LL L

=- =- =-























1 

123

5 51

1 .

ppp

LLL

∆

+ ++

=- - - =

Миноры всех путей равны единице: ∆

= ∆

= 1.

отсюда получаем передаточную функцию

( )

11223344

1 21

5 51

() .

Qp P P P P

ppp

∆∆∆∆

∆

= +++ =

+ ++

114

Передаточная функция имеет совпадающие нуль и полюс –1,

поэтому ее порядок может быть понижен путем сокращения на

общий множитель

1:p +

1 41 41

()

() .

( )( )

ppp pp

+ ++ ++

Пример 10. на рис. 4.16 приведена блок-схема автоматизиро-

ванного электропривода постоянного тока.

требуется найти передаточную функцию

()Wp

при следую-

щих значениях параметров:

0 1 2 3 4 56

12 3

2 4 8 8 3 2 0 02 0 016;

05 044 02

, , ,, ,, , , ,

,, , , ,.

k k k k k kk

TT T

= = = = = ==

== =

Решение. чтобы воспользоваться формулой Мэзона перейдем

от структурной схемы к сигнальному графу (рис. 4.17), обозна-

чив

123

, ,,.

(4.16)

выпишем выражения для замкнутых контуров сигнального

графа и его определителя:

1 412 2 056123

,,L k WW L k kk WWW=- =-

1 2 1 2 4 056 3

11( ),L L WW k k k k W∆ =- - =+ +

Рис. 4.16. Структура электропривода













s



T p +

Рис. 4.17. Сигнальный граф электропривода

V

















115

а также для прямого пути и его минора:

1 05 1 2 3 1

1,.P k kWWW ∆==

Подставив эти выражения в формулу Мэзона:

05 1 2 3

1 2 4 056 3

() ,

()

k k WWW

Wp P

WW k k k k W

∆

с учетом обозначений (4.16) получаем

( )

01235

123 13 12 23

1243 1 2 3 124 012356

()

kkkkk

TTT p TT TT TT p

kkkT T T T p kkk kkkkkk

+ ++ +

+ +++ + +

Подстановка численных значений параметров дает

81 92

9 273 29 11 40 04

() .

, ,,

ppp

+ ++

выполним моделирование электропривода в пакете MATLAB.

для этого вводим коэффициенты числителя и знаменателя пере-

даточной функции W(p) и с помощью команд tf и step получаем

график переходной характеристики (рис. 4.18).

Пример 11. на рис. 4.19 показана структурная схема серво-

привода пятого порядка с двумя входами, пропорциональными

регуляторами тока и скорости. требуется найти его передаточ-

ную функцию и описание в пространстве состояний.

Рис. 4.18. Переходная характеристика электропривода

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1.5

2.5

S tep R es ponse

T ime (sec)

Amplitude

116

Решение.

1. операторное описание сервопривода имеет вид

1122

() () () .y p W pu W pu=+

найдем передаточные функции W

(p) и W

(p) с помощью фор-

мулы Мэзона. для этого нарисуем сигнальный граф (рис. 4.20),

на котором обозначено

1 23

, ,,

Q QQ

pT pT pT

pT pT

= ==

выпишем прямые пути от входов u

, u

до выхода у:

1 1123 2 3

,.P kQQQ P Q= =-

граф содержит три контура с передачами:

1 124 2 423 3 11235

, ,.L QQQ L kQQ L kQQQQ=- =- =-

Рис. 4.20. Сигнальный граф электропривода































Рис. 4.19. Структурная схема сервопривода































pT+

117

искомые передаточные функции определяются формулами

1 11 2 22

, /,W P WP∆ ∆∆

∆

= =-

(4.17)

где ∆ – определитель графа; ∆

и ∆

– определители путей

è:PP

( )

1 2 3 124 423 11235

1 2 1 124

1 11

L L L QQQ kQQ kQQQQ

L QQQ

∆

∆∆

=- + + =+ + +

= =- =+

Подставив их в формулы (4.17), получим:

1123

124 423 11235

3 124

124 423 11235

()

kQQQ

QQQ kQQ kQQQQ

Q QQQ

QQQ kQQ kQQQQ

+++

(4.18)

2. для матричного описания примем в качестве переменных

состояния

,,xx…

выходные сигналы отдельных блоков и за-

пишем уравнения для каждого из них:

1 1 1 5 4 2 1 43

3 22 4 2

5 33

( ( ) ), ( ),

( ), ,

x k u x x x x kx

pT pT

x xu x x

pT pT

x x yx

= -- = -

=-=

Произведем перегруппировку членов в уравнениях, выделив

в левых частях члены вида

1 11 5 4 1

2 1 43 2

3 22 4 2 4

3 44

5 35 3

(( ) ) ,

( ),

( ), ,

px k u x x x

px x k x x

px x u px x x

T TT

px x x y x

= ---

= --

= - =-

=- =

118

Учитывая, что умножение на р соответствует взятию произ-

водной, нетрудно перейти к дифференциальным уравнениям для

переменных

,,xx…

. Поскольку они очевидны, приведем сразу

выражения для матриц A, b, c:

2 12

1 11

3 34

22 2

0 000

00 0

k kk

T TT

k kk

TTT

éù

êú

- --

êú

ëû

[ ]

00100

éù

êú

ëû

от них можно перейти к операторному описанию, используя

формулу

() ( ) ().yp p up

=-cEA b

Подставим в передаточные функции (4.18) единичные значе-

ния всех параметров:

( )

5432

4 7 8 62

ppppp

+ + + ++

( )

5432

1 3 32

4 7 8 62

pppp

ppppp

+ + ++

+ + + ++

119

дополнительный анализ показывает, что эти передаточные

функции неминимальны. После сокращения общих сомножите-

лей числителя и знаменателя получаем

2 22

ppp

+ ++

( )

1 2 22

p pp

pppp

+ ++

+ + ++

графики переходных характеристик, полученные в MATLAB,

показаны на рис. 4.21.

из них видно, что при выбранных значениях параметров пе-

реходные процессы затянуты и имеет место большое перерегули-

рование.

4.6. канонические реализации передаточных функций

каждой модели, заданной структурной схемой, соответствует

одна передаточная функция. в то же время обратный переход

неоднозначен – одной и той же передаточной функции можно

поставить в соответствие много схем моделирования (много эк-

вивалентных реализаций). среди них выделяют так называемые

канонические реализации (канонические формы), обладающие

особенно простой структурой.

Рис. 4.21. Переходные характеристики сервопривода

0 5 10 15 20 25

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

S tep R es ponse

T ime (sec)

Amplitude

t, с

120

канонические реализации должны удовлетворять условиям

существования и единственности, которые означают, что реа-

лизация указанного вида существует для каждой передаточной

функции, и притом ровно одна. кроме того, предполагается, что

каноническая реализация должна быть «красивой», матрицы ее

описания в пространстве состояний или другие системные ма-

трицы должны иметь простой вид с большим числом нулевых

элементов.

для скалярных систем, заданных передаточной функцией:

1 10

()

() ,

()

b p bp b

p a p ap a

++ +

+ ++ +

…

(4.19)

известно несколько десятков канонических схем моделирования.

их можно разделить на четыре группы – фробениусовы (сопрово-

ждающие), модальные, цепные и сбалансированные. дадим их

кратную характеристику.

Фробениусовы канонические формы. так называются реали-

зации, параметрами которых служат коэффициенты

чис-

лителя и знаменателя передаточной функции (4.19). в подразд.

4.2 были рассмотрены две такие реализации, получаемые мето-

дом непосредственного интегрирования и методом комбинирова-

ния производных. их структурные схемы и сигнальные графы

приведены на рис. 4.4 и 4.5. Матрица А описания в пространстве

состояний первой из этих реализаций имеет фробениусов вид

(4.12). Аналогичная матрица для второй получается путем ее

транспонирования. другие названия этих реализаций – иденти-

фикационная каноническая форма и каноническая форма фазо-

вых переменных. в пакете MATLAB фробениусовы реализации

могут быть получены с помощью команд ss и canon.

Модальные канонические формы. Параметрами модальных

реализаций служат корни характеристического полинома систе-

мы. наиболее известны параллельная и последовательная реали-

зации передаточной функцией. Параллельная реализация полу-

чается путем разложения передаточной функции (4.19) на сумму

элементарных дробей

…()

pp pp

= ++

(для простоты считаем все корни полинома

()Ap

вещественными

и различными).