Михайлов В.П., Гущин А.К. Уравнения математической физики. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 2

Краевые задачи

для эллиптических уравнений

§ 1. Вторая и третья краевые задачи

для уравнения второго порядка

Рассмотрим следующую краевую задачу

−

i,j=1



(x)u



i=1

(x)u

+ a(x)u = f (x), x ∈ Q, (1)



i,j=1

(x)u

(x) + σ(x)u





∂Q

= ϕ(x), (2

)

где A(x) = ka

(x)k

i,j=1,...,n

– вещественная симметрическая квад-

ратная n × n-матрица, элементы которой a

(x) ∈ C

( Q ), i, j =

1, . . . , n; эту матрицу для всех x ∈ Q считаем положительно опре-

деленной (условие эллиптичности уравнения (1)): т.е. существует

постоянная γ > 0 такая, что при всех x ∈ Q и при любом векто-

ре ξ = (ξ

, . . . , ξ

) ∈ C

имеет место неравенство

i,j=1

(x)ξ

> γ

i=1

|ξ

. (3)

Функция a(x) ∈ C( Q ), функции a

(x) ∈ C

( Q ), i = 1, . . . , n,

σ(x) ∈ C(∂Q), ν = ν(x) = (ν

(x), . . . , ν

(x)) – вектор единичной

нормали к ∂Q, внешней по отношению к области Q. На граничной

поверхности ∂Q

i,j=1

(x)u

(x) =

i=1

j=1

(x)ν

(x) = A(x)

∂u

∂ν

52 Глава 2

где ν

– единичный вектор внешней конормали, связанной с опе-

ратором в (1), к поверхности ∂Q:

= ν

(x) =



(x), . . . , ν

(x)



j=1

(x)ν

(x)

A(x)

, i = 1, . . . , n,

A(x) =



i=1



j=1

(x)ν

(x)



1/2

(легко проверить, что A(x) > 0 для всех x ∈ ∂Q, а векторы ν и ν

составляют острый угол).

В связи со сказанным граничное условие (2

) можно перепи-

сать в виде



A(x)

∂u

∂ν

+ σ(x)u





∂Q

= ϕ(x). (2)

Под классическим решением задачи (1), (2) (при σ(x) ≡ 0

задача (1), (2) называется второй краевой задачей, а в противном

случае – третьей краевой задачей для уравнения (1)) понимается

функция u(x) ∈ C

(Q)

( Q ), удовлетворяющая условиям (1)

и (2); для существования такого решения, очевидно, необходимо,

чтобы f(x) ∈ C(Q), ϕ(x) ∈ C(∂Q).

Пусть u(x) – классическое решение задачи (1), (2), принадле-

жащее C

( Q ); в этом случае f ∈ C( Q ). Умножим (1) на произ-

вольную функцию v(x) ∈ C

( Q ) и проинтегрируем полученное

равенство по Q. С помощью формулы Остроградского получим

равенство



i,j=1

(x)u



i=1

(x)u

+ a(x)u



∂Q

σuv dS =

f(x)v dx +

∂Q

ϕ(x)v dS, (4

)

§ 1. Вторая и третья краевые задачи 53

или эквивалентное ему (но более удобное для нас в дальнейшем)

равенство



i,j=1

(x)u

+ u



−

i=1



(x)v



+ a(x)v



∂Q



σ +

i=1

(x)ν

(x)



uv dS =

f(x)v dx +

∂Q

ϕ(x)v dS,

(4)

которые в силу плотности множества C

( Q ) в H

(Q) справедли-

вы и для любой функции v(x) ∈ H

(Q).

Верно также и следующее утверждение: если принадлежа-

щая C

( Q ) функция u(x) удовлетворяет при всех v(x) ∈ H

(Q)

равенству (4) (или (4

)), то она является классическим решением

задачи (1), (2).

Действительно, равенство (4

), которому функция u(x) удо-

влетворяет, при v ∈ C

( Q ) имеет вид



i,j=1

(x)u



i=1

(x)u

+ au



f(x)v dx, v ∈ C

( Q ),

или после интегрирования по частям в первом члене левой части



−

i,j=1



(x)u



i=1

(x)u

+ a(x)u − f(x)



v dx = 0, v ∈ C

( Q ),

откуда вытекает, что функция u(x) удовлетворяет уравнению (1).

После этого равенство (4) при любой функции v ∈ C

( Q ) можно

переписать следующим образом



−

i,j=1



(x)u



i=1

(x)u

+ a(x)u − f(x)



v dx

∂Q



A(x)

∂u

∂ν

+ σ(x)u − ϕ(x)



v dS = 0, v ∈ C

( Q ),

54 Глава 2

и, тем самым,

∂Q



A(x)

∂u

∂ν

+ σ(x)u − ϕ(x)



v dS = 0, v ∈ C

( Q ),

откуда в силу произвольности функции v(x) ∈ C

( Q ) следует

выполнение граничного условия (2).

Из сказанного следует, что равенством (4) ((4

)) естествен-

но воспользоваться для определения обобщенного решения зада-

чи (1), (2).

При определении обобщенного решения и при работе с ним

нет необходимости в тех требованиях на данные задачи (1), (2),

которые были на них наложены при определении классического

решения.

В дальнейшем будем считать, что матрица A(x) ∈ L

∞

(Q),

т.е. a

(x) ∈ L

∞

(Q) для всех i, j = 1, . . . , n, a(x) ∈ L

∞

(Q),

σ(x) ∈ L

∞

(∂Q), и при этом, естественно, считаем, что нера-

венство (3) выполняется лишь для почти всех x ∈ Q; функции

(x), i = 1, . . . , n, будем по-прежнему считать принадлежащи-

ми C

( Q ), хотя и на них можно было бы ослабить требования;

функции f(x), x ∈ Q, и ϕ(x), x ∈ ∂Q, будут считаться такими,

чтобы линейный функционал

f,ϕ

(v) =

f(x)v dx +

∂Q

ϕ(x)v dS, v ∈ H

(Q), (5)

был ограничен на H

(Q).

Функция u(x) ∈ H

(Q) называется обобщенным решением за-

дачи (1), (2), если она при всех v(x) ∈ H

(Q) удовлетворяет ра-

венству



i,j=1

(x)u

+ u



−

i=1



(x)v



+ a(x)v



∂Q



σ +

i=1

(x)ν

(x)



uv dS = l

f,ϕ

(v), v(x) ∈ H

(Q),

(6)

§ 1. Вторая и третья краевые задачи 55

Рассмотрим сначала частный случай задачи (1), (2) – задачу

−

i,j=1



(x)u



+ a(x)u = f (x), x ∈ Q, (7)



A(x)

∂u

∂ν

+ σ(x)u





∂Q

= ϕ(x). (2)

Обобщенное решение этой задачи – функция u(x) ∈ H

(Q),

удовлетворяющая равенству



i,j=1

(x)u

+ a(x)uv



dx +

∂Q

σuv dS

f(x)v dx +

∂Q

ϕ(x)v dS, (8)

при любой функции v ∈ H

(Q).

Предположим дополнительно, что a(x) > 0 п.в. в Q и σ(x) > 0

п.в. на ∂Q, причем mes{a(x) > 0} + mes{σ(x) > 0} > 0. Тогда ле-

вую часть равенства (8) можно согласно теореме 1 параграфа § 9

предыдущей главы принять за скалярное произведение в H

(Q)

(u, v)

(Q)



i,j=1

(x)u

+ a(x)uv



dx +

∂Q

σuv dS,

а само равенство (8) переписать в виде

(u, v)

(Q)

= l

f,ϕ

(v), (9)

где l

f,ϕ

(v) – линейный функционал над H

(Q), определенный ра-

венством (5).

Поскольку функционал l

f,ϕ

(v) ограничен в H

(Q), то по тео-

реме Рисса в H

(Q) существует единственная функция F (x), для

которой при всех v ∈ H

(Q) имеет место равенство

f,ϕ

(v) = (F, v)

(Q)

, (10)

при этом

kF k

(Q)

= kl

f,ϕ

В частности, если f ∈ L

(Q), ϕ ∈ L

(∂Q), то

f,ϕ

(v)| 6 kfk

(Q)

kvk

(Q)

+ kϕk

(∂Q)

kvk

(∂Q)

6 (C

kfk

(Q)

+ C

kϕk

(∂Q)

)kvk

(Q)

56 Глава 2

где C

> 0 и C

> 0 – постоянные из соответствующих теорем

вложения, т.е. в этом случае

kF k

(Q)

= kl

f,ϕ

k 6 C

kfk

(Q)

+ C

kϕk

(∂Q)

Из (9) и (10) следует, что единственным обобщенным решени-

ем u(x) задачи (7), (2) является функция F (x), u(x) = F (x), и это

решение удовлетворяет неравенству

kuk

(Q)

6 kl

f,ϕ

k, (11)

(на самом деле, kuk

(Q)

= kl

f,ϕ

k), а в частном случае, когда f ∈

(Q) и ϕ ∈ L

(∂Q)

kuk

(Q)

6 C

kfk

(Q)

+ C

kϕk

(∂Q)

. (11

)

Неравенства (11) и (11

) выражают непрерывную зависимость

решения от данных задачи (функций f и ϕ). Таким образом, до-

казано следующее утверждение

Теорема 1. Пусть a(x) > 0 п.в. в Q, σ(x) > 0 п.в. на ∂Q

и mes{a(x) > 0} + mes{σ(x) > 0} > 0. Тогда существует и един-

ственно обобщенное решение u(x) задачи (7), (2). Это решение

удовлетворяет неравенству (11)

kuk

(Q)

6 kl

f,ϕ

k, (11)

где l

f,ϕ

(v) – линейный ограниченный на H

(Q) функционал, за-

данный формулой (5), и, в частности, если f ∈ L

(Q), ϕ ∈

(∂Q), то обобщенное решение u(x) удовлетворяет неравен-

ству неравенству (11

)

kuk

(Q)

6 C

kfk

(Q)

+ C

kϕk

(∂Q)

, (11

)

положительные постоянные C

и C

в котором не зависят от f

и ϕ.

Рассмотрим теперь более общий случай – граничную зада-

чу (1), (2). Интегральное равенство (6), определяющее обобщен-

ное решение этой задачи представим в виде



i,j=1

(x)u

+ uv



dx − l

(v) + l

(v) = l

f,ϕ

(v), (12)

§ 1. Вторая и третья краевые задачи 57

в котором линейные по v ∈ H

(Q) функционалы l

(v) и l

(v)

имеют вид

(v) =



(1 − a)v +

i=1



dx,

(v) =

∂Q



σ +

i=1

(x)



v dS,

а функционал l

f,ϕ

(v) определен равенством (5).

Первое слагаемое левой части равенства (12) примем, исполь-

зуя теорему 2 § 9 предыдущей главы, за скалярное произведение

в H

(Q)



i,j=1

(x)u

+ uv



dx = (u, v)

(Q)

. (13)

При каждом u ∈ L

(Q) функционал l

(v), v ∈ H

(Q), ограни-

чен:

(v)| 6 C

kuk

(Q)

kvk

(Q)

Следовательно, по теореме Рисса для каждого u ∈ L

(Q) суще-

ствует функция U

(x) ∈ H

(Q), для которой

(v) = (U

, v)

(Q)

, (14)

причем

(Q)

= kl

k 6 C

kuk

(Q)

Это означает, что на L

(Q) определен линейный оператор A

из L

(Q) в H

(Q), действующий по формуле

u = U

, (15)

причем оператор A

ограничен: kA

k 6 C

Сужение оператора A

на H

(Q) (мы его по-прежнему будем

обозначать через A

) является вполне непрерывным оператором:

любое ограниченное в H

(Q) множество является по теореме 1 § 6

главы 1 компактным в L

(Q) и, следовательно, переводится огра-

ниченным из L

(Q) в H

(Q) оператором A

в компактное в H

(Q)

множество. Окончательно, из (14) и (15) имеем равенство

(v) = (A

u, v)

(Q)

. (16)

58 Глава 2

Совершенно аналогично получаем равенство

(v) = (A

u, v)

(Q)

, (17)

в котором A

– линейный ограниченный оператор из L

(∂Q)

в H

(Q), являющийся согласно теореме 1 из § 8 предыдущей гла-

вы вполне непрерывным оператором из H

(Q) в H

(Q) (сужение

на H

(Q) оператора A

мы обозначаем той же буквой).

Как и прежде, обозначим через F (x) единственную функцию

из H

(Q), с помощью которой согласно теореме Рисса реализует-

ся в скалярном произведении пространства H

(Q) значение огра-

ниченного на H

(Q) функционала l

f,ϕ

(v)

f,ϕ

(v) = (F, v)

(Q)

, (10)

при этом

kF k

(Q)

= kl

f,ϕ

Из равенств (12), (16), (17) и (10) получаем, что обобщенное реше-

ние задачи (1), (2) есть решение в H

(Q) операторного уравнения

u − Au = F, u ∈ H

(Q), (18)

где линейный вполне непрерывный оператор A из H

(Q) в H

(Q)

определяется равенством

A = A

− A

Из теорем Фредгольма следует, что для существования реше-

ния уравнения (18) при любой функции F ∈ H

(Q) необходимо и

достаточно, чтобы число 1 не было характеристическим числом

оператора A; при этом решение уравнения единственно и удовле-

творяет неравенству

kuk

(Q)

6 CkF k

(Q)

= Ckl

f,ϕ

k (19)

с постоянной C > 0, не зависящей от f и ϕ,и, в частности, при f ∈

(Q) и ϕ ∈ L

(∂Q)

kuk

(Q)

6 C

kfk

(Q)

+ C

kϕk

(∂Q)

. (20)

Если 1 является характеристическим числом оператора A, то

размерности линейных подпространств N = ker(E − A) и N

∗

§ 1. Вторая и третья краевые задачи 59

ker(E − A

∗

) пространства H

(Q), состоящих, соответственно, из

решений однородного уравнения

u − Au = 0, u ∈ H

(Q), (18

)

и однородного уравнения

∗

− A

∗

= 0, u

∗

∈ H

(Q), (18

∗

)

где A

∗

– оператор, сопряженный оператору A, одинаковы и ко-

нечны; эта размерность называется, напомним, кратностью ха-

рактеристического числа. При этом для существования решения

уравнения (18) необходимо и достаточно выполнения условия

F ⊥ N

∗

При выполнении этого условия в подпространстве N

⊥

простран-

ства H

(Q), состоящем из всех функций пространства H

(Q), ор-

тогональных подпространству N, N

⊥

– ортогональное дополне-

ние подпространства N, существует единственное решение урав-

нения (18); это решение удовлетворяет при некоторой постоян-

ной C > 0 неравенству (19) или, в частности, неравенству (20),

если f ∈ L

(Q), ϕ ∈ L

(∂Q). Общее же решение уравнения (18)

в этом случае отличается от найденного решения из N

⊥

добавле-

нием к нему произвольного элемента из N.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Задача нахождения обобщенного решения зада-

чи (1), (2) есть задача решения в пространстве H

(Q) опера-

торного уравнения

u − Au = F,

в котором A – линейный вполне непрерывный оператор из H

(Q)

в H

(Q), а F (x) – функция из H

(Q), определенная равен-

ством (10).

Если число 1 не является характеристическим числом опе-

ратора A, то обобщенное решение задачи (1), (2) существует,

единственно и удовлетворяет неравенству

kuk

(Q)

6 Ckl

f,ϕ

k, (19)

и, в частности, если f ∈ L

(Q) и ϕ ∈ L

(∂Q) – неравенству

kuk

(Q)

6 C

kfk

(Q)

+ C

kϕk

(∂Q)

, (20)

в которых C > 0, C

> 0 и C

> 0 – не зависящие от f и ϕ

постоянные.

60 Глава 2

Пусть число 1 – характеристическое число оператора A,

а N = ker(E − A) и N

∗

= ker(E − A

∗

) – собственные подпро-

странства пространства H

(Q) для операторов A и A

∗

соот-

ветственно, отвечающие характеристческому числу 1. Для су-

ществования обобщенного решения задачи (1), (2) в этом случае

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

F ⊥ N

∗

;

при выполнении этого условия обобщенное решение задачи (1),

(2) существует и единственно в подпространстве N

⊥

, состо-

ящем из всех функций из H

(Q), ортогональных (в скалярном

произведении (13) пространства H

(Q)) подпространству N .

Это решение удовлетворяет неравенству (19) и, в частности,

при f ∈ L

(Q) и ϕ ∈ L

(∂Q) – неравенству (20). Общее обобщен-

ное решение задачи (1), (2) есть сумма этого решения и произ-

вольной функции из N .

Рассмотрим важный пример. Пусть a(x) ≡ 0, a

(x) ≡ 0, i =

1, . . . , n, для x ∈ Q, и σ(x) ≡ 0 для x ∈ ∂Q, т.е. речь пойдет

о второй краевой задаче

−

i,j=1



(x)u



= f(x), x ∈ Q, (7

)



i,j=1

(x)u

(x)





∂Q

= ϕ(x). (2

)

В этом случае

(v) = (u, v)

(Q)

, l

(v) = 0,

и, следовательно, линейный вполне непрерывный оператор A

из H

(Q) в H

(Q) в уравнении (18) удовлетворяет равенству

(Au, v)

(Q)

= (u, v)

(Q)

скалярное произведение в H

(Q) в котором определено форму-

лой (13). Таким образом, для всех u и v из H

(Q)

(Au, v)

(Q)

= (u, v)

(Q)

= (v, u)

(Q)

= (Av, u)

(Q)

= (u, Av)

(Q)

т.е. оператор A в рассматриваемом случае самосопряженный –

A = A

∗