Михайлов В.П., Гущин А.К. Уравнения математической физики. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

Введение 11

Таким образом, задачи нахождения функций, реализующих

минимумы функционалов J

и J

эквивалентны нахождению

функций, удовлетворяющим интегральным тождествам (6) и (5).

Можно доказать, что при достаточной гладкости данных за-

дачи (функций k(x), a(x), . . . , ϕ(x) и границы области) функ-

ции u(x), реализующие минимальные значения функционалов J

и J

, принадлежат C

(

Q ). Тогда эти функции удовлетворяют не

только интегральным тождествам (6) и (5), но и являются реше-

ниями следующих краевых задач: в случае свободной границы –

задачи

−div



k(x)∇u



+ a(x)u = f (x), x ∈ Q,



k(x)

∂u

∂ν

+ a

(x)u





∂Q

= f

(x),

(7)

где ν = (ν

, . . . , ν

) – единичный вектор нормали к ∂Q, внешней

по отношению к области Q, а в случае закрепленной границы –

задачи

−div



k(x)∇u



+ a(x)u = f (x), x ∈ Q,



∂Q

= ϕ(x).

(8)

Действительно, если функция u(x) ∈ C

( Q ) и удовлетворяет

при всех v ∈ C

( Q ), v



∂Q

= 0, равенству (5), то это равенство

можно переписать в виде



−div



k(x)∇u



+ au − f



v dx = 0,

поскольку k(∇u, ∇v) = div(kv · ∇u) − v · div(k∇u), а по формуле

Остроградского

div



k(x)v(x) · ∇u



dx =

∂Q

∂u

∂ν

dS = 0.

Следовательно, функция u(x) является решением задачи Дирих-

ле (8).

Аналогично доказывается, что если функция u(x) удовлетво-

ряет при всех v ∈ C

( Q ) равенству (6) и принадлежит C

( Q ), то

(при достаточно гладких данных задачи) она является решением

краевой задачи (7).

Очевидно, верно и такое утверждение. Если функция u(x) ∈

( Q ) и является решением задачи (8) или задачи (7), то в пер-

вом случае она удовлетворяет интегральному тождеству (5) при

12 Введение

всех v(x) из C

( Q ), удовлетворяющих условию (1

), и интеграль-

ному тождеству (6) при всех v(x) ∈ C

( Q ) во втором случае.

Действительно, пусть, например, u(x) есть решение задачи (7).

Умножая первое равенство в (7) на v(x) ∈ C

( Q ) и интегрируя

полученное равенство по Q, получим равенство

f(x)v(x) dx =



a(x)uv − div(k(x)∇u) · v





a(x)uv + k(x)(∇u, ∇v)



dx −

∂Q

k(x)v

∂u

∂ν



a(x)uv + k(x)(∇u, ∇v)



dx +

∂Q



(x)uv − f

(x)v



dS,

совпадающее с тождеством (6).

Интегральное тождество (6) фактически является тожде-

ством, с помощью которого ниже (во второй главе) будет опреде-

лено обобщенное решение задачи (7), а с помощью интегрального

тождества (5) – обобщенное решение задачи (8).

Таким образом, как об этом уже говорилось в начале введения,

решение задачи о равновесии мембраны определяется с помощью

обобщенного решения соответствующей краевой задачи.

Определение обобщенного решения краевой задачи будет да-

но во второй главе. Там же получены и результаты, из которых,

в частности, вытекают существование и единственность решений

обсуждавшихся выше задач, связанных с состоянием равнове-

сия мембраны. При этом, как мы увидим, удобно пользоваться

не пространствами типа C

( Q ) непрерывно дифференцируемых

функций, а банаховыми пространствами обобщенно дифференци-

руемых функций – пространствами Соболева. Необходимые для

второй главы сведения об этих пространствах изложены в первой

главе.

Глава 1

Пространства Соболева

и теоремы вложения

Вначале договоримся об обозначениях и терминологии.

Прежде всего области Q, D, Ω, . . . n-мерного вещественного

пространства R

, в которых задаются те или иные функции f(x),

x = (x

, . . . , x

) ∈ Q, D, Ω, . . . , будут, если противоположное не

оговорено особо, считаться ограниченными.

Как обычно, множество всех комплекснозначных функций,

имеющих в области Q все частные производные до порядка k

включительно, непрерывные в Q, где k – некоторое целое неотри-

цательное число, будем обозначать через C

(Q), а подмножество

этого множества, состоящее из всех функций, все частные произ-

водные которых непрерывны в Q, обозначим через C

( Q ).

( Q ) есть банахово пространство с нормой

kfk

( Q )

|α|6k

max

x∈Q

f(x)|,

где α = (α

, . . . , α

) – вектор с целыми неотрицательными ком-

понентами, |α| = α

+ ··· + α

, а

f(x) =

∂

|α|

f(x)

∂x

. . . ∂x

Множество всех функций, принадлежащих всем C

(Q), обо-

значим через C

∞

(Q), т.е. C

∞

(Q) =

∞

k=1

(Q). Аналогично,

∞

( Q ) =

∞

k=1

( Q ).

Множество всех финитных в Q функций из C

(Q) будем

обозначать через C

(Q), а пересечение всех этих множеств

∞

k=1

(Q) – через C

∞

(Q).

Множество всех измеримых в области Q функций, p -ые степе-

ни модулей которых интегрируемы по любой строго внутренней

подобласти Q

области Q, Q

b Q, где p > 1, будем обозначать

через L

p,loc

(Q), а подмножество этого множества, состоящее из

14 Глава 1. Пространства Соболева и теоремы вложения

функций, модули p -ых степеней которых интегрируемы по обла-

сти Q, обозначим через L

(Q). При этом, как обычно, различа-

ющиеся на множестве меры нуль функции будем отождествлять,

т.е. считать одним и тем же элементом пространства L

p,loc

(Q)

(Q)). Множество L

(Q) есть банахово пространство с нормой

kfk

(Q)



|f(x)|



1/p

(Q) ⊂ L

(Q) при p > p

(напомним, что Q – ограниченная

область).

Подмножество пересечения

p>1

(Q), состоящее из всех су-

щественно ограниченных функций, т.е. функций f(x), для каж-

дой из которых существует такая постоянная M, что |f(x)| 6 M

для п.в. x ∈ Q, будем обозначать через L

∞

(Q). L

∞

(Q) – банахово

пространство с нормой

kfk

∞

(Q)

= vrai sup

x∈Q

|f(x)| = inf

mes{|f(x)|>M }=0

Под (n − 1)-мерной замкнутой поверхностью S мы будем по-

нимать ограниченную замкнутую (n −1)-мерную поверхность без

края класса C

при некотором k > 1, т.е. лежащее в R

связное

ограниченное замкнутое множество S = S, обладающее следую-

щим свойством: для любой точки x

∈ S существует ее (n-мерная)

окрестность U

и принадлежащая C

) функция F

(x), для

которой ∇F

) 6= 0, такие, что множество S ∩ U

описыва-

ется уравнением F

(x) = 0 (т.е. все точки множества S ∩ U

удовлетворяют уравнению F

(x) = 0 и любая удовлетворяющая

уравнению F

(x) = 0 точка из U

принадлежит S).

Граница рассматриваемых областей будет предполагаться со-

стоящей из конечного числа непересекающихся замкнутых (n−1)-

мерных поверхностей (класса C

Заметим, что если замкнутая (n − 1)-мерная поверхность S

принадлежит классу C

, то для любой ее точки x

существует

столь малая ее окрестность U

, что пересечение S ∩ U

одно-

значно проектируется на некоторую (n − 1)-мерную область D

с границей класса C

, лежащую в одной из координатных плос-

костей, т.е. описывается при некотором i, i = 1, . . . , n, уравнением

= ϕ

, . . . , x

i−1

, x

i+1

, . . . , x

i−1

, x

i+1

, . . . , x

) ∈ D

, ϕ

∈ C

( D

Глава 1. Пространства Соболева и теоремы вложения 15

Пересечение S ∩U

будем называть простым куском поверх-

ности S.

Так как S ограничена и замкнута, то из покрытия {U

, x ∈ S}

поверхности S можно выбрать конечное подпокрытие. Совокуп-

ность соответствующих такому конечному покрытию простых

кусков S

, . . . , S

будем называть покрытием поверхности S

простыми кусками.

Под (n − 1)-мерной поверхностью S класса C

будем пони-

мать связную поверхность, которую можно так покрыть конеч-

ным числом (n-мерных) областей U

, i = 1, . . . , N , что каждое из

множеств S

= S ∩ U

, i = 1, . . . , N, однозначно проектируется

на некоторую (n − 1)-мерную область D

с границей класса C

лежащую в одной из координатных плоскостей, т.е. при некото-

ром p = p(i), 1 6 p 6 n, описывается уравнением

= ϕ

, . . . , x

p−1

, x

p+1

, . . . , x

p−1

, x

p+1

, . . . , x

) ∈ D

, ϕ

∈ C

( D

Совокупность поверхностей S

– простых кусков поверхно-

сти S будем называть покрытием поверхности S простыми кус-

ками. В дальнейшем под (n − 1)-мерной поверхностью мы бу-

дем понимать (n −1)-мерную поверхность класса C

при некото-

ром k > 1.

Пусть S – простой кусок некоторой лежащей в Q поверхности

класса C

при некотором k > 1 и пусть

= ϕ(x

, . . . , x

n−1

) = ϕ(x

), x

∈ D, ϕ(x

) ∈ C

( D ),

– уравнение этого куска.

Заданную на S функцию f (x) = f(x

, . . . , x

), x ∈ S, бу-

дем считать принадлежащей множеству C

(S), f (x) ∈ C

(S), ес-

ли f(x

, ϕ(x

)) ∈ C

( D ).

Пусть теперь S – замкнутая лежащая в Q поверхность клас-

са C

, k > 1, (в частности, S = ∂Q), а S

, . . . , S

– ее покры-

тие простыми кусками. Заданную на S функцию f(x), x ∈ S,

считаем принадлежащей множеству C

(S), f(x) ∈ C

(S), если

f(x) ∈ C

) при всех i = 1, . . . , N. Нетрудно убедиться в том,

что принадлежность функции f(x) множеству C

(S) не зависит

от покрытия поверхности S простыми кусками.

16 Глава 1. Пространства Соболева и теоремы вложения

Определим в Q функцию r(x), r(x) = min

y∈∂Q

|x − y|. Оче-

видно, r(x) ∈ C( Q ). Обозначим через Q

, δ > 0, множество то-

чек {x ∈ Q : r(x) > δ}, а через Q

, δ > 0, множество

∈Q

{|x −

| < δ}.

Пусть ω

(t), t ∈ R

– бесконечно дифференцируемая чет-

ная неотрицательная функция переменного t ∈ R

, равная нулю

для |t| > 1 и такая, что

(|x|) dx =

|x|<1

(|x|) dx = σ

(r)r

n−1

dr = 1,

где σ

= 2π

n/2

Γ(n/2) – площадь поверхности единичной сферы

в R

, n > 1 (σ

= 2). В качестве ω

(t) можно взять, например,

функцию

(t) =







−

1−t

, |t| < 1,

0, |t| > 1,

с соответствующим образом подобранной постоянной C

Функция

(|x|) =



|x|/h



, x ∈ R

где число h > 0, называется ядром усреднения.

Очевидны следующие свойства ядра усреднения:

а) ω

(|x|) ∈ C

∞

), ω

(|x|) > 0 в R

б) ω

(|x|) ≡ 0 для |x| > h

в)

(|x|) dx = 1,

г) для любого α = (α

, . . . , α

), где α вектор с целочисленными

неотрицательными компонентами, при всех x ∈ R



(|x|)



n+|α|

с постоянной c

> 0, не зависящей от h.

Для любой функции f ∈ L

(Q) при всех h > 0 определена

функция

(x) =

f(y)ω

(|x − y|) dy, x ∈ R

называемая усредненной функцией для функции f (усреднением

функции f ). Ясно, что f

(x) ∈ C

∞

). Усредненные функции

будут играть в наших дальнейших рассмотрениях важную роль.

§ 1. Обобщенные производные и усредненные функции 17

§ 1. Обобщенные производные

и усредненные функции

Пусть непрерывная в Q функция f(x) имеет непрерывную в Q

производную f

(x). Тогда для любой g(x) ∈ C

( Q ) имеет место

равенство

f(x)g

(x) dx = −

(x)g(x) dx.

Оказывается этим равенством поизводная f

(x) функции f(x)

полностью определяется: легко видеть, что если для функции

f(x) ∈ C

(Q) существует функция h

(x) ∈ C(Q) такая, что для

любой g(x) ∈ C

( Q ) имеет место равенство

f(x)g

(x) dx = −

(x)g(x) dx, (1)

то функция h

(x), x ∈ Q, является производной f

(x) функ-

ции f(x).

Если в равенстве (1) отказаться от непрерывности функций f

и h

, а потребовать их интегрируемость, то мы приходим к вве-

денному С. Л. Соболевым понятию обобщенной производной.

Пусть α = (α

, . . . , α

) – вектор с целыми неотрицатель-

ными компонентами. Функция f

∈ L

1,loc

(Q) называется α-ой

обобщенной производной (о.п.) функции f ∈ L

1,loc

(Q), если для

всех g(x) ∈ C

|α|

(

Q ) имеет место равенство

f(x)D

g(x) dx = (−1)

|α|

(x)g(x) dx, (2)

Этим равенством о.п. определяется (как элемент пространства

1,loc

(Q)) однозначно: если существует еще одна функция f

(x) ∈

1,loc

(Q), для которой выполняется тождество (2), то функ-

ция f

(x) −f

(x), принадлежащая при любой Q

b Q простран-

ству L

), удовлетворяет равенству



(x) − f

(x)



g(x) dx = 0

для всех g(x) ∈ C

|α|

( Q

). Поэтому f

(x) = f

(x) в Q

, а значит,

и в Q.

18 Глава 1

Приведенное определение обобщенной производной по суще-

ству такое же как и определение производной обобщенной функ-

ции. Функцию f (x) из L

1,loc

(Q) также можно рассматривать как

обобщенную функцию (регулярную обобщенную функцию). При

этом у нее существуют все производные любых порядков, явля-

ющиеся обобщенными функциями. В нашей ситуации производ-

ная D

f является не просто обобщенной функцией, а регулярной

обобщенной функцией, принадлежащей L

1,loc

(Q).

Поскольку для функции f(x) ∈ C

|α|

(Q) равенство (2) выпол-

няется с функцией f

= D

f(x), где D

f(x) обычная произ-

водная функции f , то эта производная является и соответствую-

щей обобщенной производной функции f. Поэтому в дальнейшем

о.п. f

функции f будем обозначать через D

f, для о.п. первого,

второго и т.д. порядков будем также пользоваться обозначения-

ми f

, f

, . . . .

Отметим несколько просто доказываемых утверждений.

Поскольку для гладких функций g(x) производная D

g не за-

висит от поряка дифференцирования, то и о.п. D

f не зависит

от порядка дифференцирования.

Если функции f

, i = 1, 2, имеют о.п. D

, i = 1, 2, то

функция f = C

+ C

при любых постоянных C

, C

име-

ет о.п. D

f = C

+ C

Если D

f – о.п. функции f в области Q, а область Q

⊂ Q,

то D

f, x ∈ Q

, является о.п. функции f в Q

Если для функции f ∈ L

1,loc

(Q) существует о.п. D

f = F , а

у функции F существует о.п. D

F , то функция D

F является

о.п. D

α+β

f функции f.

Функция f(x) = |x

| в n-мерном шаре {|x| < 1} имеет

о.п. f

= sgn x

, и f

= 0, i = 2, . . . , n.

Функция f (x) = sgn x

в шаре {|x| < 1} обобщенной произ-

водной f

не имеет, а обобщенные производные по остальным

переменным существуют и f

= 0, i = 2, . . . , n.

О.п. D

f функции f, в отличие от обычной производной,

определяется сразу для порядка |α| без предположения о суще-

ствовании соответствующих младших производных. Для функ-

ции f(x) = sgn x

+ sgn x

в n-мерном шаре {|x| < 1} существует

о.п. f

= 0, но о.п. f

и f

не существует.

Несколько сложнее доказывается следующее утверждение: ес-

ли функция f имеет о.п. D

f в областях Q

и Q

и Q = Q

∪ Q

§ 1. Обобщенные производные и усредненные функции 19

тоже область, то D

f существует и в Q (доказательство см., на-

пример, в [1], [2]).

В нашем курсе основную роль будут играть пространства, свя-

занные с квадратичной интегрируемостью. Поэтому мы, как пра-

вило, будем формулировать те или иные результаты и доказывать

их лишь для случая, когда степень интегрируемости p = 2, хотя

зачастую они справедливы и для других p.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Если f(x) ∈ L

(Q), то f

(x) → f(x) в L

(Q)

при h → 0.

Наряду с теоремой 1 имеют место и аналогичные утвержде-

ния, отличающиеся от теоремы 1 тем, что в их формулировках

пространство L

(Q) заменено на L

(Q) при p > 1 или на C( Q ).

Доказательство теоремы 1. Считая функцию f(x) про-

долженной нулем вне Q, имеем

|f(x) − f

(x)|



|x−y|<h



f(x) − f(y)



(|x − y|) dy



|x−y|<h

|f(x) − f(y)|

dy ·

const

|z|<h

|f(x) − f(x + z)|

и, тем самым,

kf − f

(Q)

const

|z|<h

|f(x) − f(x + z)|

dx. (3)

Как известно, принадлежащая L

(Q) функция f(x) непрерыв-

на в метрике L

(Q), т.е. по любому ε > 0 найдется такое h

> 0,

что

|f(x) − f(x + z)|

dx 6 ε

для всех z, |z| 6 h

(f(y) = 0 для y ∈ R

\Q). Поэтому из нера-

венства (3) вытекает, что при всех h ∈ (0, h

]

kf − f

(Q)

6 const · ε.

Что и требовалось установить.

20 Глава 1

Следствие. Множество C

∞

(Q) всюду плотно в L

(Q).

Действительно, для функции f ∈ L

(Q) по любому ε > 0 най-

дется такое δ > 0, что kf − f

k 6 ε, где финитная в Q

функ-

ция f

(x) = f(x) для x ∈ Q

и f

(x) = 0 для x ∈ Q \ Q

В силу теоремы 1 существует столь малое h, h < δ/2, что фи-

нитная в Q усредненная функция (f

)

(x) обладает свойством

k(f

)

(x) −f

(Q)

6 ε. Следовательно, k(f

)

(x) −fk

(Q)

6 2ε

для выбранных δ и h.

Теорема 2. Пусть f ∈L

(Q) и существует о.п. D

f ∈L

(Q).

Тогда для любой подобласти Q

b Q

(x) − D

f(x)k

)

→ 0 при h → 0.

Действительно, по теореме 1

f − (D

(Q)

→ 0 при h → 0.

С другой стороны, для x ∈ Q

(x) =

f(y)ω

(|x − y|) dy

= (−1)

|α|

f(y)D

(|x − y|) dy

поскольку при таких x функция (переменного y) ω

(|x − y|) ∈

∞

(Q). Поэтому для x ∈ Q

(x) =

f(y)D

(|x − y|) dy = D



(x)



Следовательно, для любой области Q

b Q имеет место доказы-

ваемое соотношение.

Из теоремы 2 немедленно вытекает

Следствие 1. Если финитная в Q функция f ∈ L

(Q) и

у нее существует о.п. D

f ∈ L

(Q), то

(x) − D

f(x)k

(Q)

→ 0 при h → 0.

Следствие 2. Если у функции f(x) ∈ L

(Q) все первые обоб-

щенные производные f

= 0, i = 1, . . . , n, то f = const.