Михайлов В.П., Гущин А.К. Уравнения математической физики. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

§ 4. Непрерывность по Гёльдеру 141

§ 4. Непрерывность по Гёльдеру

решений эллиптического уравнения

Пусть u – любое решение (в Q) уравнения (1). Возьмем про-

извольный шар B

b Q и обозначим

ω(ρ) = ω

(ρ) = vrai sup

x∈B

u(x) − vrai inf

x∈B

u(x).

Лемма 1. Существует такое число λ = λ(n, γ) < 1, что для

любого решения уравнения (1) и любого шара B

b Q справедливо

неравенство

ω(ρ/4) 6 λω(ρ). (14)

Доказательство. Пусть ω(ρ) = 2M. Поскольку прибавле-

ние к решению постоянной не меняет значения ω, не ограничивая

общность, можно считать, что

M = vrai sup

x∈B

u(x) = −vrai inf

x∈B

u(x).

Рассмотрим решения w

(x) = (M ± u(x))/M. Они неотрица-

тельны в рассматриваемом шаре, причем

vrai sup

x∈B

(x) = 2, vrai inf

x∈B

(x) = 0,

(ρ) = ω

−

(ρ) =

(ρ ).

Кроме того, если

mes{x ∈ B

ρ/2

: w

−

(x) > 1} <

mes B

ρ/2

то

mes{x ∈ B

ρ/2

: w

(x) > 1} >

mes B

ρ/2

. (15)

Если w

не удовлетворяет (15), то ему удовлетворяет w

−

Т.е. по крайней мере одна из функций w

удовлетворяет (15).

Пусть это будет w

. Применяя к ней теорему 1 § 3, получаем

vrai inf

ρ/4

(x) > c = c(n, γ) > 0. Следовательно,

(ρ/4) = Mω

(ρ/4) 6 (2 − c)M = (1 − c/2)ω

(ρ)

и мы получили (14) с λ = λ(n, γ) = 1 − c/2.

142 Глава 5

Отметим, что из леммы 1 легко следует справедливость тео-

ремы Лиувилля и в случае уравнения (1) с измеримыми и огра-

ниченными коэффициентами (задача 3, глава 5).

Теорема 1. Существуют такие зависящие только от раз-

мерности пространства n и постоянной эллиптичности γ по-

стоянные α и C , что для любого решения в Q уравнения (1) и

любых Q

b Q

b Q справедливо неравенство

|u(x) − u(y)| 6 Cd

−

−α

|x − y|

kuk

)

для п.в. x и y из Q,

(16)

в котором d = dist{Q

, ∂Q

} – расстояние между подобла-

стью Q

и границей подобласти Q

Доказательство. Пусть x ∈ Q

, y ∈ Q

и |x − y| < d/2.

Обозначим r

= d/2, r

= 4

−k

, k = 1, 2, . . . . Пусть m – такое

натуральное число, что r

m+1

6 |x − y| < r

. Применим к ша-

ру B

(y) лемму 1 этого параграфа. С помощью теоремы 1 § 2

этой главы имеем

|u(x) − u(y)| 6 ω(r

) 6 λω(r

m−1

) 6 ··· 6 λ

ω(r

)

6 2λ

vrai sup

z∈B

(y)

|u(z)| 6 λ

C(n, γ)d

−n

kuk

)

Положим α = α(n, γ) = −log

λ > 0. Поскольку

= 4

m log

= (4

−m

)

− log

= (4

−m

)









m+1

|x − y|

имеем (16) для |x − y| < d/2.

Пусть теперь x ∈ Q

, y ∈ Q

и |x − y| > d/2. В этом случае

оценка (16) немедленно вытекает из теоремы 1 § 2. Действитель-

но,

|u(x) − u(y)| 6 2kuk

∞

)

6 C(n, γ)d

−n

kuk

)

6 C(n, γ)d

−n



2|x − y|



kuk

)

Таким образом, теорема доказана.

Задачи к главе 5 143

Задачи к главе 5

Задача 1. Докажите утверждение теоремы 2 § 1 в случае

счетного множества точек излома функции f (точек разрыва про-

изводной функции f).

В силу теоремы 1 § 4 значения решения уравнения (1) можно

так изменить на множестве меры нуль, что оно будет непрерыв-

ным внутри рассматриваемой области. Т.е. в этом классе отож-

дествляемых функций имеется непрерывная функция. Ее есте-

ственно и понимать под решением уравнения.

Задача 2. Докажите строгий принцип максимума. Если

решение уравнения (1) с измеримыми и ограниченными коэффи-

циентами достигает наибольшего значения во внутренней точке

области, то оно постоянно.

Задача 3. Докажите теорему Лиувилля. Ограниченное во

всем пространстве R

решение уравнения (1) постоянно.

144 Список литературы

Список литературы

[1] E. DeGiorgi, “Sulla diﬀerenziabilita e l’analiticita delle estremali degli

integrali multipli regolari”, Mem. Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat.

Natur., 3 (1957), 25–43.

[2] J. Nash, “Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations”,

Amer. J. Math., 80 (1958), 931–954.

[3] О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные

уравнения эллиптического типа, Наука, М., 1973.

[4] Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные

уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М.,

1989.

[5] J. Moser, “A new proof of De Giorgi’s theorem concerning the regu-

larity problem for elliptic diﬀerential equations”, Comm. Pure Appl.

Math., 17 (1964), 101–134.

[6] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций

и функционального анализа, Наука, М., 1972.

[7] К. Иосида, Функциональный анализ, Мир, М., 1967.

[8] В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд. Ленинградского

университета, Л., 1985.

[9] И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными производны-

ми, Государственное изд. технико-теоретической литературы, М.,

1953.

[10] В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, Наука,

М., 1981.

[11] В. С. Владимиров, В. В. Жаринов, Уравнения математической

физики, Физико-математическая литература, М., 2000.

[12] В. П. Михайлов, Дифференциальные уравнения в частных произ-

водных, Наука, М., 1983.

[13] В. П. Михайлов, Лекции по уравнениям математической физики,

Физматлит, М., 2001.

[14] В. С. Владимиров, Обобщенные функции в математической фи-

зике, Наука, М., 1979.

[15] Ю. Н. Дрожжинов, Б. И. Завьялов, Введение в теорию обобщен-

ных функций, Лекционные курсы НОЦ, 5, Математический ин-

ститут им. В. А. Стеклова РАН, М., 2006.

Научное издание

Лекционные курсы НОЦ

Выпуск 7

Валентин Петрович Михайлов,

Анатолий Константинович Гущин

Дополнительные главы курса

“Уравнения математической физики”

Компьютерная верстка: С. А. Поликарпов

Сдано в набор 01.12.2006. Подписано в печать 01.03.2007.

Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 9,125. Тираж 200 экз.

Отпечатано в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН

Москва, 119991, ул. Губкина, 8.

http://www.mi.ras.ru/noc/ e-mail: pavlov@mi.ras.ru