Михайлов В.П., Гущин А.К. Уравнения математической физики. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

§ 3. Задача о собственных значениях и собственных функциях 81

в нем лишь роль пространства H

(Q) играет его подпростран-

ство

(Q). Проводя на основании равенства (13) те же рассуж-

дения, что выше были проведены на основании равенства (5), ко-

нечно, с естественной заменой H

(Q) на

(Q), убедимся в спра-

ведливости следующего утверждения.

Теорема 2. Пусть коэффициенты a

(x), i, j = 1, . . . , n, a(x)

в (1) вещественнозначные функции, a

(x) = a

(x) ∈ L

∞

(Q),

i, j = 1, . . . , n, a(x) ∈ L

∞

(Q). Тогда множество всех собствен-

ных значений задачи (1), (11) есть счетное множество веще-

ственных чисел

6 λ

6 ··· 6 λ

6 . . . ,

при этом λ

> −vrai min

x∈Q

a(x) и λ

→ ∞ при n → ∞.

В этой последовательности каждое собственное значение

повторяется столько раз, какова его кратность. Соответству-

ющая последовательность обобщенных собственных функций

(x), u

(x), . . . , u

(x), . . .

образует ортонормированный в скалярном произведении (14) ба-

зис пространства

(Q). Система

(x)

(Q)

(x)

(Q)

, . . . ,

(x)

(Q)

, . . .

является ортонормированным базисом пространства L

(Q).

82 Список литературы

Список литературы

Цитированная литература

[1] С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального анализа

в математической физике, Наука, М., 1988.

[2] В. П. Михайлов, Дифференциальные уравнения в частных произ-

водных, Наука, М., 1983.

[3] Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального ис-

числения, т. 1, ГИТТЛ, М., 1951.

[4] В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, Наука,

М., 1988.

[5] В. С. Владимиров, В. В. Жаринов, Уравнения математической

физики, Физико-математическая литература, М., 2000.

[6] С. Л. Соболев, Уравнения математической физики, ГИТТЛ, М.,

1954.

[7] В. П. Михайлов, Лекции по уравнениям математической физики,

Физматлит, М., 2001.

Рекомен дуемые учебники

по общим вопросам теории функций

и функционального анализа

[8] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций

и функционального анализа, Наука, М., 1972.

[9] Л. А. Люстерник, В. И. Соболев, Элементы функционального ана-

лиза, Наука, М., 1965.

[10] Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ в нор-

мированных пространствах, ГИТТЛ, М., 1959.

[11] В. С. Владимиров, Обобщенные функции в математической фи-

зике, Наука, М., 1979.

[12] Ю. Н. Дрожжинов, Б. И. Завьялов, Введение в теорию обобщен-

ных функций, Лекционные курсы НОЦ, 5, Математический ин-

ститут им. В. А. Стеклова РАН, М., 2006.

[13] О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский, Интегральные пред-

ставления функций и теорем ы вложения, Наука, М., 1975.

[14] Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь, Лекции по функциональному ана-

лизу, ИЛ, М., 1954.

[15] И. П. Натансон, Теория функций веществен ной переменной,

ГИТТЛ, М., 1957.

Часть II

В первой части курса были установлены основные свойства

пространств Соболева и изучена разрешимость краевых задач

для линейных эллиптических уравнений второго порядка. Вторая

часть посвящена доказательству более тонких свойств обобщен-

ных решений этих уравнений. В частности, в ней доказывается,

что обобщенное решение однородного уравнения с измеримыми

и ограниченными коэффициентами, принадлежащее по опреде-

лению пространству W

2,loc

(Q), на самом деле непрерывно внут-

ри рассматриваемой области Q, а для решений задачи Дирихле

справедлив принцип максимума. Более того, решение непрерыв-

но по Гёльдеру внутри Q. Доказательство этого фундаменталь-

ного результата Е. Де Джорджи и Дж. Нэша (см. [1], [2]) явля-

ется основной целью данной части и его потребности во многом

о пределили выбор материала. О роли этого результата в разви-

тии теории квазилинейных уравнений, а также в решении 19-ой

и 20-ой проблем Гильберта, см., например, [3], [4].

Теорема о гёльдеровой непрерывности справедлива и для ре-

шений общего (в том числе и неоднородного) эллиптического

уравнения второго порядка. Однако мы ограничимся простей-

шим случаем уравнения в самосопряженной форме без млад-

ших членов, в котором легче увидеть основные идеи доказатель-

ства. С возможными обобщениями этого результата можно озна-

комиться, например, в книгах [3], [4]. В основе изложения лежит

доказательство, предложенное Мозером (см. [5]). Оно потребует

знания некоторых дополнительных свойств пространств Соболе-

ва; их изложению посвящена глава 3. Доказательству принципа

максимума и вытекающего из него утверждения об однозначной

разрешимости задачи Дирихле посвящена глава 4. Там же рас-

смотрены пространства с отрицательным показателем гладкости

и доказана теорема об изоморфизме. Последняя глава содержит

слабое неравенство Гарнака и доказательство теоремы о гёльде-

ровой непрерывности решений.

Глава 3

Некоторые дополнительные сведения

из теории пространств Соболева

В этой главе будут приведены некоторые свойства про-

странств Соболева, которые нам понадобятся при изучении

свойств решений эллиптических уравнений. Будет доказан крите-

рий принадлежности измеримой функции пространству L

∞

(Q),

установлена теорема вложения W

(Q) в L

(Q) и получена специ-

альная оценка нормы в L

(Q) через интеграл Дирихле и норму

в L

по множеству заданной меры. Кроме того, мы рассмотрим не

изучавшийся в первой части вопрос об обобщенных производных

сложной функции.

§ 1. Пространства L

и L

∞

Пусть E ⊂ R

, n > 2, – измеримое (относительно меры Ле-

бега в R

) множество, mes E > 0, mes – мера Лебега. Всюду

в этой части мы будем рассматривать только вещественнознач-

ные функции. Напомним, что пространство L

(E ), p > 1, состоит

из определенных в E измеримых функций, p-ая степень модуля

которых суммируема (по E ); при этом функции из L

(E ) счита-

ются равными (образуют один элемент этого пространства), если

их значения совпадают почти всюду. Норму в L

(E ) будем далее

обозначать через k·k

(E )

или через k·k

kfk

(E )

= kfk



|f(x)|



1/p

Известно, что L

(E ) является сепарабельным банаховым про-

странством. Напомним, что метрическое пространство называет-

ся сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное

множество, т.е. замыкание этого счетного множества совпадает

со всем пространством (см., например, [6], [7]).

86 Глава 3

Для любых функций f ∈ L

(E ) и g ∈ L

(E ), где 1/p + 1/q = 1,

их произведение fg принадлежит L

(E ) и справедливо неравен-

ство Гёльдера

|f(x)g(x)|dx 6 kfk

kgk

Если мера множества E конечна (mes E < +∞), то из неравенства

Гёльдера немедленно следует, что семейство пространств L

(E ),

p > 1, монотонно убывает по вложению: если p

< p

, то L

(Q) ⊂

(Q), при этом для всех f ∈ L

(E ) справедлива оценка

kfk

6 (mes E )

−p

kfk

Далее нам потребуется следующее обобщенное неравенство

Гёльдера.

Лемма 1. Пусть f

∈ L

(E ), f

∈ L

(E ), . . . , f

∈ L

(E ),

где 1/p

+ 1/p

+ ··· + 1/p

= 1. Тогда произведение f

. . . f

∈

(E ) и

(x)f

(x) . . . f

(x)|dx 6 kf

. . . kf

. (1)

Доказательство естественно провести индукцией по числу

функций в системе. При m = 2 утверждение верно (оно совпадает

с неравенством Гёльдера). Предположим, что оно справедливо

при m = k − 1, и докажем его при m = k. В силу неравенства

Гёльдера

(x)f

(x) . . . f

(x)|dx



(x)|



1/p



(x) . . . f

(x)|



1/q

, (2)

где 1/p

+ 1/q

= 1. Возьмем r

= p

, i = 2, . . . , k. Так

как 1/r

+ ··· + 1/r

= q

(1/p

+ ··· + 1/p

) = 1, то по индук-

ционному предположению

(x)|

. . . |f

(x)|

dx 6 k|f

. . . k|f

Подставляя полученное неравенство в (2), получаем (1).

§ 1. Пространства L

и L

∞

Перейдем теперь к изучению пространства существенно огра-

ниченных функций L

∞

(E ). Напомним, что это пространство со-

стоит из всех измеримых функций f, каждая из которых удо-

влетворяет условию: существует такая постоянная M = M(f),

что mes{x ∈ E : |f(x)| > M } = 0. Легко видеть, что это условие

эквивалентно условию ограниченности множества чисел K, для

которых mes{x ∈ E : |f(x)| > K} > 0. Наименьшая из постоян-

ных M (равная, очевидно, точной верхней грани чисел K) назы-

вается нормой f в L

∞

(E ); будем обозначать ее через kfk

∞

(E )

или через kfk

∞

kfk

∞

(E )

= kfk

∞

= min



M : mes{x ∈ E : |f (x)| > M} = 0



= sup



K : mes{x ∈ E : |f(x)| > K} > 0



= vrai sup

|f|.

Конечно, как и для пространств L

(E ), функции из L

∞

(E ) счи-

таем равными, если их значения совпадают почти всюду в E .

Будем предполагать, что mes E < +∞. Тогда пространство

∞

(E ) вложено во все пространства L

(E ). Нетрудно убедить-

ся, что L

∞

(E ) не совпадает с пересечением L

(Q), p > 1. Далее

нам понадобится следующий критерий принадлежности функции

пространству L

∞

(E ).

Теорема 1. Функция f принадлежит пространству L

∞

(E )

тогда и только тогда, когда она принадлежит всем простран-

ствам L

(E ), p > 1, и существует такая постоянная C , что

для всех p > 1 kf k

6 C . При этом

kfk

→ kfk

∞

при p → ∞. (3)

Доказательство. Прежде всего заметим, что выражение



mes E

|f(x)|



1/p

= kfk

задает эквивалентную норму в пространстве L

(E ). В силу

неравенства Гёльдера для любой функции f из пересечения

p>1

(E ) семейство норм kfk

монотонно не убывает (по p).

А так как kfk

∼ kfk

при p → ∞, то в доказательстве теоремы

можно рассматривать как нормы kfk

, так и нормы kfk

Утверждение о необходимости очевидно: из ограниченности

измеримой функции f следует суммируемость |f|

. А так как

88 Глава 3

kfk

6 kfk

∞

, то ограничено, а следовательно, и сходится при

p → ∞ семейство норм функции f в L

(E ). При этом

lim

p→∞

kfk

= lim

p→∞

kfk

6 kfk

∞

. (4)

Докажем утверждение о достаточности. Пусть функция f

принадлежит пересечению пространств L

(E ), p > 1, и с некото-

рой постоянной C выполняется условие: kfk

6 C для всех p > 1.

Возьмем произвольное неотрицательное число K, для которого

мера множества E

= {x ∈ E : |f (x)| > K} положительна. По-

скольку для всех p

mes E

|f(x)|

dx 6

|f(x)|

dx,

то каждое такое число K должно удовлетворять оценкe

K 6 lim

p→∞

kfk

(mes E

)

1/p

= lim

p→∞

kfk

6 C.

Следовательно, f ∈ L

∞

(E ) и

kfk

∞

= sup{K : mes E

> 0} 6 lim

p→∞

kfk

Последнее неравенство вместе с (4) дают (3).

§ 2. Вложение пространства W

(Q) в L

(Q) 89

§ 2. Вложение пространства W

(Q) в L

(Q)

Пусть Q – ограниченная область R

, n > 2; гладкость ее

границы (если это не оговорено особо) мы предполагать не бу-

дем. В этом параграфе будут доказаны теоремы вложения про-

странств

(Q) и W

(Q) в L

(Q); при этом мы будем следить

за зависимостью постоянной от области Q. Кроме того. В § 9 гла-

вы 1 были доказаны теоремы об эквивалентных нормировках про-

странств W

(Q) и

(Q), из которых следовали оценки квадрата

нормы в L

(Q) через сумму интеграла Дирихле и квадрата ин-

теграла по Q от рассматриваемой функции из W

(Q) (неравен-

ство Пуанкаре) и через интеграл Дирихле для функций из

(Q)

(неравенство Стеклова). Из этих теорем (точнее, из теоремы 1 § 9

главы 1) нетрудно получить и оценку интеграла по Q от квадра-

та функции f (из W

(Q)) через сумму интеграла Дирихле этой

функции и интеграла от f по некоторому множеству положитель-

ной меры. В конце этого параграфа мы убедимся (см. лемму 1),

что постоянная в обсуждаемой оценке зависит не от вида и рас-

положения в Q этого множества, а только от его меры (счита-

ем, что область Q фиксирована). Более подробную информацию

о пространствах Соболева, в частности, теоремы вложения при

минимальных предположениях относительно гладкости границы

области можно найти, например, в [8].

Прежде всего, договоримся, что мы будем понимать под про-

странствами W

(Q) и

(Q); определения этих пространств бы-

ли даны для случая области с гладкой границей, а мы от это-

го требования отказались. Рассмотрим множество C

∞

) беско-

нечно дифференцируемых во всем пространстве R

и финитных

функций. Под C

∞

( Q ) будем понимать множество сужений на Q

функций из C

∞

). На C

∞

( Q ) введем скалярное произведение

(f, g)

(Q)



∇f(x), ∇g(x)



+ f(x)g(x)



dx; (5)

напомним, что мы договорились рассматривать вещественнознач-

ные функции. Если последовательность фундаментальна в полу-

ченном нормированном пространстве, то она, очевидно, фунда-

ментальна в L

(Q). Добавим к функциям из C

∞

( Q ) пределы

(элементы L

(Q)) всех фундаментальных (в норме, порожден-

ной скалярным произведением (5)) последовательностей функ-

ций из C

∞

( Q ). Полученное таким образом замыкание C

∞

( Q )

90 Глава 3

по норме, порожденной скалярным произведением (5), является

гильбертовым пространством с тем же скалярным произведени-

ем (оно изоморфно пополнению C

∞

( Q )); его мы и будем обо-

значать через W

(Q). Отметим, что в случае области с гладкой

границей приведенное определение эквивалентно (в силу теоре-

мы 4 § 2 главы 1) определению, использованному в первой части.

Под пространством

(Q) будем понимать замыкание по той же

норме множества финитных бесконечно дифференцируемых в Q

функций. Если граница ∂Q области Q состоит (как в части I) из

конечного числа гладких поверхностей, то след на ∂Q функций

из

(Q), очевидно, равен нулю. А теорема 2 § 4 главы 1 да-

ет справедливость в этом случае и обратного утверждения: если

след на ∂Q функции из W

(Q) равен нулю, то она является преде-

лом (в норме, порожденной скалярным произведением (5)) неко-

торой последовательности функций из C

∞

(Q). Таким образом,

и новое определение пространства

(Q) является расширением

определения из главы 1 на области с негладкой границей. Отме-

тим также, что в приведенных определениях вместо бесконечно

дифференцируемых функций можно рассматривать непрерывно

дифференцируемые функции: функция из C

( Q ), очевидно, при-

надлежит W

(Q), а если она еще и финитна, то и

(Q). Так же

естественно определить пространства W

(Q) и

(Q) и в случае

неограниченной области Q; заметим, что если Q = R

, то так

определенные пространства W

(Q) и

(Q) совпадают.

Аналогично, под пространством W

(Q) естественно понимать

замыкание C

∞

( Q ) по норме этого пространство (см. часть I);

(Q) – это замыкание C

∞

(Q) по той же норме.

Начнем изучение указанных в названии параграфа вложений

со случая пространства

(Q). В этом случае нет необходимости

требовать ограниченность области Q.

Теорема 1. Пусть размерность пространства n не меньше

трех. Тогда

(Q) ⊂ L

n−2

(Q). При этом для любой функции f

из

(Q) справедлива оценка

kfk

n−2

(Q)

2(n − 1)

n − 2

k|∇f |k

(Q)

. (6)

Если n = 2 и mes Q < ∞, то для всех p > 1

(Q) ⊂ L

(Q) и

kfk

(Q)

(mes Q)

1/p

k|∇f |k

(Q)

, f ∈

(Q). (6

)