Михайлов В.П., Гущин А.К. Уравнения математической физики. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

§ 2. Пространства

−1

(Q) и W

−1

(Q) 111

Однозначная разрешимость (существование и единственность

решения) задачи Дирихле (4), (8

) немедленно вытекает из тео-

ремы Рисса о представлении линейного ограниченного функцио-

нала скалярным произведением, поскольку правая часть (10) яв-

ляется линейным непрерывным функционалом (η – его аргумент)

на пространстве

(Q).

Ясно, что множество правых частей g уравнения (4), для кото-

рых существует решение рассматриваемой задачи, является мно-

жеством всех линейных непрерывных функционалов на

(Q);

причем действие функционалов следует реализовывать, как это

принято в теории обобщенных функций, исходя из скалярного

произведения в L

(Q).

Легко видеть, что условие принадлежности правой части g

пространству L

(Q), достаточное для ограниченности задаваемо-

го ей функционала l

, ηi =

g(x)η(x) dx, (11)

не является необходимым; hl

, ηi – значение функционала l

на

элементе η пространства

(Q). Например, его можно ослабить,

потребовав принадлежность g пространству L

n+2

(Q) при n > 3

и пространству L

(Q) с каким-нибудь p > 1 при n = 2, задачи 1

и 2 этой главы. Кроме того, линейный непрерывный функционал

на

(Q) может задаваться и нерегулярной обобщенной функ-

цией: определенный равенством

, ηi = −



∇η(x), F (x)



dx, (12)

где F = (f

, . . . , f

) ∈ [L

(Q)]

, линейный функционал l

также

является ограниченным функционалом на

(Q), а его норма

не превосходит нормы |F| в L

(Q). Действительно, для всех η ∈

(Q)

|hl

, ηi| 6 k|∇η|k

(Q)

k|F |k

(Q)

= kηk

(Q)

k|F |k

(Q)

;

(η, u)

(Q)



∇η(x), ∇u(x)



dx, kηk

(Q)

= (η, η)

(Q)

(13)

112 Глава 4

Функционал l

с f

= f ∈ L

(Q) и f

= 0 при j 6= i, бу-

дем называть производной функции f по переменной x

и обозна-

чать ∂f /∂x

; отметим, что так определенная производная не яв-

ляется обобщенной производной, мы не требуем ее регулярность

(принадлежность L

1,loc

(Q)). В общем случае задаваемый форму-

лой (11) функционал l

будем называть дивергенцией векторного

поля F и обозначать (∇ , F ) = div F .

Из ограниченности функционала l

= div F , F ∈ [L

(Q)]

немедленно следует однозначная разрешимость задачи (4), (8

) и

в случае g = div F ; под решением такой задачи естественно по-

нимать функцию u из

(Q), удовлетворяющую интегральному

тождеству



∇η(x), A(x)∇u(x)



dx =



∇η(x), F (x)



dx (14)

для всех η ∈

(Q).

Множество всех обобщенных функций g из D

(Q) (g – линей-

ный непрерывный функционал на пространстве основных функ-

ций D(Q)), для которых справедлива оценка

|hg, ηi| 6 Ckηk

(Q)

для всех η ∈ C

∞

(Q) (15)

с некоторой постоянной C = C(g), будем называть простран-

ством

−1

(Q); hg, ηi – значение обобщенной функции g на основ-

ной функции η. Очевидно, что каждая такая обобщенная функ-

ция продолжается по непрерывности (напомним, что по опреде-

лению C

∞

(Q) всюду плотно в

(Q)) до ограниченного функ-

ционала на

(Q). Наименьшая из постоянных C, с которыми

справедливо (15), является нормой этого функционала; будем на-

зывать ее нормой g в

−1

(Q) и обозначать kgk

−1

(Q)

kgk

−1

(Q)

= sup

η∈

(Q),η6=0

|hg, ηi|

kηk

(Q)

. (16)

А так как на

−1

(Q) любой линейный ограниченный функци-

онал можно рассматривать, как удовлетворяющую условию (15)

обобщенную функцию (сужение этого функционала на C

∞

(Q);

из (15), очевидно, следует непрерывность этого сужения в топо-

логии D (Q)), то введенное пространство

−1

(Q) является сопря-

женным к пространству

(Q), а следовательно, гильбертовым

пространством.

§ 2. Пространства

−1

(Q) и W

−1

(Q) 113

Определение 1. Обобщенным решением задачи (4), (8

)

с g ∈

−1

(Q) будем называть функцию из

(Q), которая удо-

влетворяет тождеству



∇η(x), A(x)∇u(x)



dx = hη, gi для всех η ∈

(Q). (14

)

Тождество (14

) – это реализация функционала η в гильбер-

товом пространстве

(Q) в виде скалярного произведения (9).

Поэтому и в этом случае обобщенное решение существует для

любой g ∈

−1

(Q) и единственно.

Следующая теорема дает общий вид линейного ограниченного

функционала на

(Q).

Теорема 1.

g ∈

−1

(Q) ⇔ g = −div F,

где F ∈ [L

(Q)]

Доказательство. То, что заданный формулой (12) с F ∈

(Q)]

линейный функционал l

является ограниченным, т.е.

является элементом

−1

(Q), доказано выше. Докажем обратное

утверждение. Пусть g – произвольный линейный ограниченный

функционал на

(Q). Обозначим через w такой элемент про-

странства

(Q), который реализует функционал g в скалярном

произведении (13), т.е.

hg, ηi =



∇w(x), ∇η(x)



dx, для всех η ∈

(Q)

(w – решение задачи Дирихле с однородным граничным условием

для уравнения Пуассона − 4 w = g). А последнее тождество и

означает, что g = −div F с F = ∇w ∈ [L

(Q)]

Замечание 1. На самом деле доказано более сильное утвер-

ждение: для любого g ∈

−1

(Q) существует и единственно та-

кое потенциальное векторное поле F

= ∇w

с принадлежащим

пространству

(Q) потенциалом w

, что g = −div F

; при

этом

(g, h)

−1

(Q)

= (F

, F

)

(Q)]

114 Глава 4

Определим теперь оператор L

(Q) →

−1

(Q) следую-

щим правилом: для каждой функции u из

(Q) L

u = −div F ,

где F = A∇ u ∈ [L

(Q)]

. Оценка

−1

(Q)

= kdiv F k

−1

(Q)

= sup

η∈

(Q),η6=0

|hdiv F, ηi|

kηk

(Q)

6 k|F |k

(Q)

= k|A∇u|k

(Q)

6 C



i,j

∞

(Q)



kuk

(Q)

доказывает ограниченность этого оператора. Область значений

оператора L

совпадает со всем пространством

−1

(Q), посколь-

ку решение задачи (4), (8

) существует для всех g ∈

−1

(Q).

А так как решение этой задачи единственно, то оператор L

обра-

тим. Обратный оператор (он ставит в соответствие каждому эле-

менту g из

−1

(Q) решение u = L

−1

g задачи Дирихле (4), (8

)

с правой частью g) будем обозначать символом L

−1

. Более того,

из (14

) следует также равенство

kuk

(Q)

= kL

−1

(Q)

для любого u ∈

(Q), (17)

где k·k

(Q)

– норма в

(Q), порожденная скалярным произ-

ведением (9). Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Отображение L

(Q) 7→

−1

(Q) является

изоморфизмом гильбертовых пространств

(Q) и

−1

(Q).

Напомним, что каждая функция g из L

(Q) задает функ-

ционал l

∈

−1

(Q) равенством (11); при этом kl

−1

(Q)

kgk

(Q)

. В силу плотности множества функций из

(Q) в про-

странстве L

(Q) каждый такой функционал задается единствен-

ной функцией. Отождествляя такие функционалы l

с задающи-

ми их функциями g, получаем вложение L

(Q) в

−1

(Q).

Итак, мы имеем вложения

(Q) ⊂ L

(Q) ⊂

−1

(Q) = L

(Q).

Причем первое из них (

(Q) в L

(Q)) вполне непрерывно (тео-

рема 1 § 6 главы 1). Докажем, что и второе вложение вполне

непрерывно.

Теорема 3. Оператор вложения L

(Q) в

−1

(Q) вполне

непрерывен.

§ 2. Пространства

−1

(Q) и W

−1

(Q) 115

Доказательство. Нужно доказать, что единичный шар

в L

(Q) является компактным множеством в

−1

(Q) (тогда, оче-

видно, и любое ограниченное в L

(Q) множество будет компакт-

ным в

−1

(Q)).

Возьмем произвольную последовательность {f

} элементов

единичного шара в L

(Q): kf

(Q)

6 1, k = 1, 2, . . . . В силу

слабой компактности ограниченного множества в гильбертовом

пространстве из этой последовательности можно выделить сла-

бо сходящуюся подпоследовательность. Чтобы не загромождать

формулы индексами, обозначим эту подпоследовательность снова

через {f

}. Ее слабый предел обозначим через f ∈ L

(Q):

− f, η)

(Q)

→ 0 при k → ∞ для всех η ∈ L

(Q). (18)

Докажем, что

kf − f

−1

(Q)

= sup

kηk

(Q)

|(f − f

, η)

(Q)

| → 0, k → ∞.

(19)

(сходимость равномерна по единичной сфере в

(Q)).

Предположим, что (19) не верно, т.е. ∃ε > 0 ∀N ∃k > N

и ∃η

∈

(Q), kη

(Q)

= 1, для которых |(f −f

, η

)

(Q)

| > ε.

Т.е. найдется подпоследовательность, снова обозначим ее {f

и лежащая на единичной сфере в

(Q), а следовательно, огра-

ниченная в

(Q) последовательность {η

}, для которых

|(f − f

, η

)

(Q)

| > ε. (20)

В силу компактности вложения

(Q) в L

(Q) из последователь-

ности {η

} можно выделить сходящуюся (сильно) в L

(Q) подпо-

следовательность {η

→ η в L

(Q) при m → ∞. (21)

Возьмем соответствующую ей подпоследовательность {f

Для них в силу (20), (18) и (21) имеем

0 < ε 6 |(f − f

, η

)

(Q)

6 |(f

, η − η

)

(Q)

| + |(f − f

, η)

(Q)

| + |(f, η

− η)

(Q)

6 2kη − η

(Q)

+ |(f − f

, η)

(Q)

| → 0 при m → ∞.

Полученное противоречие доказывает (19), а следовательно, и

теорему 3.

116 Глава 4

Кратко остановимся на сопряженном к W

(Q) пространстве

−1

(Q). Так как

(Q) является подпространством простран-

ства W

(Q), то согласно теореме Хана–Банаха каждый линей-

ный непрерывный функционал на

(Q) может быть продол-

жен на W

(Q) с сохранением нормы. Например, можно доопре-

делить этот функционал нулем на ортогональном дополнении

(Q). Продолжение функционала, конечно, не единственно;

произвол в выборе продолжения определяется пространством ли-

нейных ограниченных функционалов на ортогональном дополне-

нии к

(Q) в W

(Q).

Пространство W

−1

(Q) естественно рассматривать как множе-

ство всех обобщенных функций g из D

) с носителями в Q,

для которых справедлива оценка

|hg, ηi| 6 Ckηk

(Q)

для всех η ∈ C

∞

) (15

)

с некоторой постоянной C = C(g). Действительно, если g – линей-

ный непрерывный функционал на W

(Q), то он, конечно, опре-

делен и на всех η ∈ C

∞

( Q ) ⊂ W

(Q). Следовательно, его мож-

но отождествить с обобщенной функцией из D

) с носите-

лем в Q, для которой справедлива оценка (15

): каждой функ-

ции η ∈ C

∞

) ставится в соответствие значение функциона-

ла g на сужении этой функции на Q. Если же g – удовлетво-

ряющая (15

) обобщенная функция, то этот функционал распро-

страняется по непрерывности на все пространство W

(Q); напом-

ним, что множество C

∞

( Q ) (множество сужений на Q функций

из C

∞

)) всюду плотно в W

(Q).

Наименьшую из постоянных C, с которыми справедливо (15

)

будем называть нормой g в W

−1

(Q) и обозначать kgk

−1

(Q)

kgk

−1

(Q)

= sup

η∈W

(Q),η6=0

|hg, ηi|

kηk

(Q)

. (16

)

Легко видеть, что формулы (11) с g ∈ L

(Q) и (12) с F ∈

(Q)]

определяют ограниченные функционалы и на W

(Q).

Однако, в отличии от пространства

−1

(Q) не все элемен-

ты W

−1

(Q) задаются формулой (12). Чтобы в этом убедиться,

достаточно заметить, что все заданные формулой (12) функцио-

налы имеют равное нулю значение на функции η = const ∈ W

(Q)

(область Q мы считаем ограниченной). Общий вид линейного

непрерывного функционала на W

(Q) дает следующая

§ 2. Пространства

−1

(Q) и W

−1

(Q) 117

Теорема 2

g ∈ W

−1

(Q) ⇔ g = −div F + f,

где F ∈ [L

(Q)]

, а f ∈ L

(Q).

Доказательство. То, что заданные формулами (12) с F ∈

(Q)]

и (11) с f ∈ L

(Q) линейные функционалы l

и l

явля-

ется ограниченными, т.е. являются элементами W

−1

(Q), доказа-

но выше. Докажем обратное утверждение. Пусть g – произволь-

ный линейный ограниченный функционал на W

(Q). Обозначим

через w такой элемент пространства W

(Q), который реализует

функционал g в скалярном произведении

(η, w)

(Q)



∇η(x), ∇w(x)



+ ηw



dx, (13

)

т.е.

hg, ηi =



∇w(x), ∇η(x)



+ ηw



dx, для всех η ∈ W

(Q)

(w – решение задачи Неймана с однородным граничным условием

для уравнения − 4 w + w = g). Последнее тождество означает,

что функционал g = −div F + l

с F = ∇w ∈ [L

(Q)]

и f = w ∈

(Q).

118 Глава 4

§ 3. Теоремы об однозначной разрешимости

задачи Дирихле

В этом параграфе мы докажем две теоремы об однозначной

разрешимости задачи Дирихле для эллиптического уравнения

второго порядка в произвольной ограниченной области Q ⊂ R

При этом правую часть уравнения будем брать из простран-

ства

−1

(Q). В силу теоремы 1 § 2 этой главы ее можно записать

в виде −div F с F ∈ [L

(Q)]

Рассмотрим задачу Дирихле для общего линейного уравнения

второго порядка

−



∇, A(x)∇u



−



∇, B(x)u





C(x), ∇u



+ c(x)u = −div F (x), x ∈ Q, (1)

u |

∂Q

= ϕ. (8)

Здесь, как и выше, A(x) = (a

i,j

(x)) – симметрическая, рав-

номерно (по x ∈ Q) положительно определенная n × n-матрица

с измеримыми и ограниченными коэффициентами, векторные по-

ля B, C и скалярное поле c измеримы и ограничены в Q. Гранич-

ную функцию ϕ будем считать определенной в области Q и при-

надлежащей пространству W

(Q). Под решением рассматривае-

мой задачи (1), (8) будем понимать функцию u из W

(Q), кото-

рая удовлетворяет уравнению (1) в смысле равенства обобщенных

функций, т.е.



∇η(x), [A(x)∇u(x) + B(x)u(x)]



+ η(x)



C(x), ∇u(x)



+ c(x)u(x)



dx =



∇η(x), F (x)



)

для всех η ∈ C

∞

(Q), и удовлетворяет граничному условию (8)

в следующем смысле:

u − ϕ ∈

(Q). (8

)

В случае области с гладкой границей условие (8

) эквивалент-

но условию (8), понимаемому в обычном смысле: следы на ∂Q

функций u и ϕ совпадают. Отметим также, что интегральное тож-

дество (1

) выполняется для всех η из

(Q).

§ 3. Теоремы об однозначной разрешимости задачи Дирихле 119

Как и в § 2 главы 2 первой части курса сведем задачу к случаю

однородных краевых условий: функция v = u − ϕ принадлежит

пространству

(Q) и удовлетворяет уравнению

−



∇, A(x)∇v



−



∇, B(x)v





C(x), ∇v



+ c(x)v = g(x) − div G(x), x ∈ Q, (22)

в котором

g =



C(x), ∇ϕ



+ c(x)ϕ ∈ L

(Q),

G = F (x) + A(x)∇ϕ + B(x)ϕ ∈ [L

(Q)]

Отметим очевидные оценки

kgk

(Q)

6 constkϕk

(Q)

, (23)

kGk

(Q)]

6 const



kF k

(Q)]

+ kϕk

(Q)



, (24)

в которых постоянные зависят только от норм в L

∞

(Q) коэффи-

циентов уравнения.

Перепишем изучаемую задачу в виде L v = g −div G, где опе-

ратор L , действующий из

(Q) в

−1

(Q), определен равен-

ством

L w = −div[A(x)∇w + B(x)w] +



C(x), ∇w



+ c(x)w ∈

−1

(Q)

для всех w ∈

(Q), а g − div G ∈

−1

(Q). Так как осуществ-

ляемое оператором L

−1

отображение пространства

−1

(Q) на

(Q) является изоморфизмом, то задача (22), (8) эквивалентна

следующему уравнению в пространстве

(Q)

v + B

v = h, (25)

в котором операторы B

, B

и B

(действующие в

(Q)) опре-

делены равенствами

w = −L

−1

div(Bw), (26

)

w = L

−1

(C, ∇w), (26

)

w = L

−1

(cw), (26

)

а h = L

−1

(g − div G). В силу (17), (23) и (24) имеем оценку

khk

(Q)

6 const



kF k

(Q)]

+ kϕk

(Q)



(27)

120 Глава 4

для всех F ∈ [L

(Q)]

и всех ϕ ∈ W

(Q), в которой постоянная

зависит только от постоянной эллиптичности γ и норм коэффи-

циентов в L

∞

(Q).

Лемма. Операторы B

, B

и B

вполне непрерывны.

Доказательство. По теореме 1 § 6 главы 1 (теорема о ком-

пактности вложения

(Q) в L

(Q)) любое ограниченное множе-

ство в

(Q) компактно в L

(Q). Оператор умножения на функ-

цию B ∈ L

∞

(Q), очевидно, ограничен в L

(Q), оператор div, как

доказано в § 2, ограничен из L

(Q) в

−1

(Q), а оператор L

−1

является ограниченным оператором из

−1

(Q) в

(Q) (теоре-

ма 2 § 2 этой главы). Поэтому оператор B

переводит ограничен-

ные множества в компактные.

Столь же просто доказывается полная непрерывность опера-

тора B

. Оператор w 7→ (C, ∇w) ограничен из

(Q) в L

(Q).

А так как вложение L

(Q) в

−1

(Q) вполне непрерывно (теоре-

ма 3 § 2), то этот оператор переводит каждое ограниченное мно-

жество пространства

(Q) в компактное множество в

−1

(Q).

Полная непрерывность B

теперь немедленно следует из огра-

ниченности оператора L

−1

из

−1

(Q) в

(Q). Утверждение

о полной непрерывности оператора B

очевидно.

Итак, мы свели (как и в первой части) задачу Дирихле

к операторному уравнению (25) с вполне непрерывным операто-

ром B

в пространстве

(Q). В силу теорем Фредголь-

ма для разрешимости такого уравнения необходима и достаточ-

на ортогональность правой части h уравнения (25) подпростран-

ству решений сопряженной однородной задачи. В частности, если

решение (25) единственно (тогда однородная сопряженная зада-

ча имеет только тривиальное решение), то оно существует для

всех h ∈

(Q). При этом для всех h ∈

(Q) справедлива оцен-

ка

kvk

(Q)

6 const khk

(Q)

с зависящей только от коэффициентов уравнения постоянной. Из

нее и (27) следует оценка

kuk

(Q)

6 const



kF k

(Q)]

+ kϕk

(Q)



(28)

для всех F ∈ [L

(Q)]

и ϕ ∈ W

(Q).