Михайлов В.П., Гущин А.К. Уравнения математической физики. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

§ 3. Теоремы об однозначной разрешимости задачи Дирихле 121

Таким образом, если доказать единственность решения зада-

чи (1), (8), то получим ее разрешимость для всех F ∈ [L

(Q)]

ϕ ∈ W

(Q), а также справедливость оценки (28). Единственность

решения немедленно вытекает из принципа максимума (теоре-

ма 1 § 1 главы 4, см. следствие 1 из этой теоремы). Тем самым мы

доказали следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения (1) удовлетво-

ряют условию



c(x)η(x) +



B(x), ∇η(x)



dx > 0

для всех неотрицательных функций η из C

∞

(Q). Тогда для лю-

бых F ∈ [L

(Q)]

и ϕ ∈ W

(Q) существует решение зада-

чи (1), (8). Это решение единственно и для него справедлива

оценка

kuk

(Q)

6 const



kF k

(Q)]

+ kϕk

(Q)



с независящей от F и ϕ постоянной.

Другое достаточное условие однозначной разрешимости дает

следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть коэффициенты уравнения (1) удовлетво-

ряют условию



c(x)η(x) +



B(x) + C(x), ∇η(x)





dx > 0 (29)

для всех неотрицательных функций η из C

∞

(Q). Тогда для лю-

бых F ∈ [L

(Q)]

и ϕ ∈ W

(Q) существует решение зада-

чи (1), (8). Это решение единственно и для него справедлива

оценка

kuk

(Q)

6 const



kF k

(Q)]

+ kϕk

(Q)



с независящей от F и ϕ постоянной.

Доказательство. Прежде всего заметим, что неравенство

(29) справедливо для всех η ∈

(Q). Для доказательства это-

го факта достаточно приблизить произвольную функцию η, при-

надлежащую

(Q), функциями из C

∞

(Q); напомним, что по

принятому в этой части определению множество бесконечно диф-

ференцируемых и финитных в Q функций всюду плотно во всех

соболевских пространствах.

122 Задачи к главе 4

Пусть u – решение однородной задачи (1

), (8

), т.е. u ∈

(Q)

и удовлетворяет интегральному тождеству (1

) для всех пробных

функций η из

(Q). Подставляя в это тождество η = u, получим

0 =



∇u(x), [A(x)∇u(x) + B(x)u(x)]



+ u(x)



C(x), ∇u(x)



+ c(x)u(x)





∇u(x), A(x)∇u(x)







B(x) + C(x), ∇u

(x)



+ c(x)u

(x)



dx.

Так как согласно условию (29) (с η = u

∈

(Q)) второе слага-

емое в правой части последнего равенства неотрицательно, то



∇u(x), A(x)∇u(x)



dx 6 0.

Откуда в силу (2) u = 0, что и доказывает единственность реше-

ния.

Задачи к главе 4

Задача 1. Пусть Q – область R

, n > 2, а g ∈ L

n+2

(Q). До-

кажите, что определенный формулой

, ηi =

η(x)g(x) dx

функционал l

является линейным непрерывным функционалом

на пространстве

(Q).

Задача 2. Пусть g ∈L

n+2

(Q), а Q – ограниченная область R

n > 2, с гладкой границей. Докажите, что определенный форму-

лой

, ηi =

η(x)g(x) dx

функционал l

является линейным непрерывным функционалом

на пространстве W

(Q).

Задачи к главе 4 123

Задача 3. Пусть Q – ограниченная область R

, а g ∈ L

(Q)

с некоторым p > 1. Докажите, что определенный формулой

, ηi =

η(x)g(x) dx

функционал l

является линейным непрерывным функционалом

на пространстве

(Q).

Задача 4. Пусть Q – ограниченная область R

с гладкой гра-

ницей, а g ∈ L

(Q) с некоторым p > 1. Докажите, что определен-

ный формулой

, ηi =

η(x)g(x) dx

функционал l

является линейным непрерывным функционалом

на пространстве W

(Q).

Задача 5. Докажите, что множество заданных равенством

(11) функционалов l

, g ∈ L

(Q), всюду плотно в сопряженном

(Q) пространстве.

Задача 6. Докажите, что пространство векторных полей

(Q)]

разлагается в прямую сумму двух ортогональных под-

пространств

J(Q) и G(Q), где

J(Q) – подпространство потенци-

альных векторных полей с принадлежащим

(Q) потенциалом

J(Q) =



F = ∇w, w ∈

(Q)



а G(Q) – пространство соленоидальных векторных полей

G(Q) = {F ∈ [L

(Q)]

: div F = 0}.

Глава 5

Непрерывность по Гёльдеру

решений эллиптических уравнений

Известно, что решение эллиптического уравнения с доста-

точно гладкими коэффициентами принадлежит пространству

k+2

2,loc

(Q), если правая часть принадлежит W

2,loc

(Q), k > 0 (см.,

например, [12]). Из этого утверждения и теорем вложения (§ 9

первой главы) следует гладкость решения и в классических тер-

минах. Однако, от условия гладкости коэффициентов в теоре-

ме о принадлежности решения W

k+2

(Q), как нетрудно увидеть,

освободиться нельзя. Тем не менее, некоторой гладкостью реше-

ние обладает и без дополнительных условий; как утверждает тео-

рема Е. Де Джорджи и Дж. Нэша оно непрерывно по Гёльдеру

внутри рассматриваемой области. Доказательству этого резуль-

тата и посвящена настоящая глава.

Мы ограничимся случаем однородного уравнения без млад-

ших членов

−



∇, A(x)∇u



= 0, x ∈ Q. (1)

Область Q ⊂ R

будем считать ограниченной, хотя основной ре-

зультат о внутренней непрерывности по Гёльдеру имеет локаль-

ный характер и поэтому справедлив в произвольной области. Как

и ранее, мы будем предполагать, что коэффициенты уравнения –

элементы a

i,j

симметрической матрицы A – измеримые и ограни-

ченные функции. Напомним, что мы всегда предполагаем выпол-

ненным условие равномерной эллиптичности: существует такая

постоянная γ > 0, что для почти всех x ∈ Q и всех ξ ∈ R

имеют

место неравенства

γ|ξ|



ξ, A(x)ξ



6 γ

−1

|ξ|

. (2)

126 Глава 5

§ 1. Субрешения эллиптического уравнения

В этом параграфе мы будем изучать свойства субрешений

уравнения (1). В теореме 1 § 3 главы 3 было доказано, что супер-

позиция v = f ◦u гладкого отображения f : R 7→ R и u ∈ W

2,loc

(Q)

принадлежит W

2,loc

(Q), если производная функции f ограниче-

на. Условие ограниченности f

, как легко видеть, существенно;

без него функции

∂v

∂x

(x) = f



u(x)



∂u

∂x

(x)

не обязаны принадлежать L

2,loc

(Q). В этом параграфе будет дока-

зано (теорема 2), что если u – неотрицательное субрешение урав-

нения (1), а функция f монотонно не убывает и выпукла вниз,

то от условия ограниченности производной f можно отказаться,

заменив его требованием принадлежности сложной функции v

пространству L

2,loc

(Q). Более того, функция v также будет суб-

решением. Доказательство этого результата опирается на оценку

интеграла Дирихле субрешения через его норму в L

. С этого

утверждения, имеющего и самостоятельное значение, мы начнем

изучение обсуждаемых вопросов.

Прежде всего напомним определение субрешения. Принадле-

жащая пространству W

2,loc

(Q) функция v называется субреше-

нием уравнения (1) в области Q, если для всех неотрицательных

пробных функций η ∈ C

∞

(Q) выполняется неравенство



∇η(x), A(x)∇v(x)



dx 6 0. (3)

Если u ∈ W

2,loc

(Q) и для всех η ∈ C

∞

(Q) выполняется равенство



∇η(x), A(x)∇u(x)



dx = 0, (1

)

то функция u называется обобщенным решением уравнения (1)

в Q. Далее мы будем рассматривать только обобщенные реше-

ния. Поэтому прилагательное “обобщенное” обычно будем опус-

кать. Как отмечалось выше, неравенство (3) выполняется для

всех неотрицательных финитных функций из W

(Q). Аналогич-

но, и равенство (1

) справедливо для всех финитных функций

§ 1. Субрешения эллиптического уравнения 127

из W

(Q). Конечно, решение уравнения (1) является его субре-

шением. Отметим также, что если функция v является слабым

пределом в W

) для всех Q

b Q последовательности субре-

шений, то и она является субрешением.

Теорема 1. Пусть v – неотрицательное субрешение уравне-

ния (1). Тогда для любой точки x

∈ Q и всех положительных

чисел ρ и σ, удовлетворяющих условию ρ+σ < dist(x

, ∂Q), спра-

ведлива оценка

)

|∇v(x)|

dx 6

ρ+σ

)

(x) dx. (4)

Здесь и всюду далее B

) – шар в R

радиуса r с центром

в точке x

, dist(x

, ∂Q) – расстояние от точки x

до множества ∂Q.

Доказательство. Возьмем функцию

ζ(x) =











1 в B

ρ + σ − |x − x

при ρ 6 |x − x

| 6 ρ + σ,

0 вне шара B

ρ+σ

Эта функция финитна в Q, удовлетворяет условию Липшица

и |∇ζ(x)| 6 1/σ для п.в. x. Функция η = ζ

v неотрицательна, фи-

нитна в Q и, как легко видеть, принадлежит пространству W

(Q).

Подставляя ее в (3), получим

0 >



∇ζ

(x)v(x), A(x)∇v(x)





∇



ζ(x)v(x)



, A(x)∇



ζ(x)v(x)



−

(x)



∇ζ(x), A(x)∇ζ(x)



dx, (5)

поскольку



∇(ζ

v), A∇v





ζ∇(ζv) + ζv∇ζ, A∇v





∇(ζv), A∇(ζv)



− v



∇(ζv), A∇ζ



+ v



∇ζ, A∇(ζv)



− v

(∇ζ, A∇ζ) =



∇(ζv), A∇(ζv)



− v

(∇ζ, A∇ζ).

128 Глава 5

Оценка (4) вытекает из (5) в силу (2):

)

|∇v(x)|

dx 6 γ



∇



ζ(x)v(x)







∇



ζ(x)v(x)



, A(x)∇



ζ(x)v(x)



(x)



∇ζ(x), A(x)∇ζ(x)



dx 6

γσ

ρ+σ

)

(x) dx.

Замечание 1. Если субрешение v является решением урав-

нения (1), то утверждение теоремы 1 справедливо и без условия

его неотрицательности.

Перейдем теперь к изучению суперпозиции отображений. Бу-

дем рассматривать кусочно гладкие функции f (f непрерывна на

всей оси и ее производная существует и непрерывна всюду, кроме,

быть может, конечного числа точек, в которых она имеет преде-

лы слева и справа). Будем также предполагать, что функция f

выпукла вниз (ее производная f

монотонно не убывает).

Теорема 2. Пусть f – неотрицательная, кусочно гладкая,

выпуклая вниз функция, u ∈ W

2,loc

(Q) и v = f ◦ u ∈ L

2,loc

(Q).

Тогда справедливы следующие утверждения

1) если u – решение уравнения (1) в Q, то v – субрешение урав-

нения (1) в Q (в частности, v ∈ W

2,loc

(Q)); при этом

∇v(x) = f



u(x)



∇u(x); (6)

2) если u – субрешение уравнения (1) в Q и, дополнительно,

производная f

функции f неотрицательна, то v – субреше-

ние уравнения (1) в Q; при этом справедливо равенство (6).

Доказательство. 1. Докажем сначала утверждение теоре-

мы при более жестких ограничениях на функцию f. Пусть f ∈

(R), для всех t ∈ R f(t) > 0, f

(t) > 0, и пусть существует

такое число M, что

(t) = 0 для всех t ∈ (−∞, −M) ∪ (M, +∞). (7)

В этом случае требование v ∈ L

2,loc

(Q), конечно, излишне.

Так как из (7) следует ограниченность производной функ-

ции f, то по теореме 1 § 3 главы 3 v = f ◦ u ∈ W

2,loc

(Q), и спра-

ведливо равенство (6). По той же причине f

◦ u ∈ W

2,loc

(Q) и

∇(f

◦ u) = (f

◦ u)∇u. (6

)

§ 1. Субрешения эллиптического уравнения 129

Нужно доказать, что v – субрешение уравнения (1). Пусть u –

субрешение уравнения (1), а f

(t) > 0 для всех t ∈ R. Возьмем

произвольную неотрицательную пробную функцию η из C

∞

(Q).

В силу (6) и (6

)



∇η(x), A(x)∇v(x)



dx =



u(x)



∇η(x), A(x)∇u(x)





∇



u(x)



η(x)



, A(x)∇u(x)



−



u(x)





∇u(x), A(x)∇u(x)



dx 6 0;

первое слагаемое в правой части последнего неравенства непо-

ложительно, поскольку функция (f

◦ u)η ∈ W

(Q), финитна и

неотрицательна в Q, а u – субрешение. Неположительность вто-

рого слагаемого вытекает из эллиптичности уравнения и выпук-

лости функции f. Аналогично доказывается и первое утвержде-

ние: если u – решение уравнения (1), то первое слагаемое равно

нулю (условие неотрицательности функций f

и η в этом случае

не нужно).

2. Освободимся от условия гладкости функции f . Пусть функ-

ция f удовлетворяет условиям теоремы 2 и, дополнительно, ли-

нейна при t > M и при t < −M .

Прежде всего заметим, что и в этом случае выполнены усло-

вия, гарантирующие принадлежность сложной функции v про-

странству W

2,loc

(Q) и справедливость равенства (6). Нужно до-

казать, что v – субрешение уравнения (1) в области Q.

Возьмем произвольное положительное число h и рассмотрим

усреднение

+∞

−∞

(|t − τ |)f (τ ) dτ =

+∞

−∞

(|τ|)f(t − τ ) dτ

функции f с неотрицательным ядром ω

(t) = ω(t/h) (см. § 1 гла-

вы 1). При любом h > 0 функция f

бесконечно дифференци-

руема, неотрицательна и монотонно не убывает, если монотон-

но не убывает функция f (второе утверждение теоремы). А так

как (f

)

= (f

)

, то и функция f

монотонно не убывает. И нако-

нец, f

(t) = 0 при |t| > M + h, поскольку усреднением линейной

функции является сама усредняемая функция. По доказанному

130 Глава 5

в п. 1 функции v

= f

◦ u являются субрешениями (и для них

справедливы равенства (6)).

Так как f

равномерно на всей оси сходится к f при h → +0

(t) = f(t) для |t|> M + h), то f

◦u →f ◦u в L

) для любой

подобласти Q

, компактно принадлежащей Q. Пусть точка x тако-

ва, что функция f

непрерывна в u(x). Тогда f

(u(x)) → f

(u(x))

при h → +0. На множестве {x : u(x) – точка разрыва функции f

}

|∇u(x)| = 0 п.в. (замечание 2 § 3 главы 3). Поэтому

(u(x))∇u(x) → f

(u(x))∇u(x)

п.в. в Q при h → +0. А так как |f

(u(x))|

|∇u(x)|

мажорируется

суммируемой функцией const|∇u(x)|

, то по теореме Лебега



∇f



u(x)



− ∇f



u(x)





dx → 0 при h → +0

для любой Q

b Q. Таким образом, функция v является субреше-

нием уравнения (1), как предел субрешений.

3. Докажем теперь утверждения теоремы 2 в общем случае.

Возьмем положительное число M

столь большим, чтобы были

выполнены следующие три условия:

1) все точки излома функции f (точки разрыва f

) лежат в ин-

тервале (−M

, M

2) если lim

t→+∞

(t) > 0 (в частности, если f (t) → +∞ при

t → +∞), то f

) > 0 (а следовательно, f

(t) > 0 для всех

t > M

3) если lim

t→−∞

(t) < 0 (в частности, если f(t) → −∞ при

t → −∞), то f

(−M

) < 0 (а следовательно, f

(t) < 0 для

всех t 6 −M

Для каждого M > M

определим кусочно гладкую функ-

цию f

(M)

следующим образом.

Для |t| 6 M

(M)

(t) = f(t).

Для t > M

(M)

(t) = f(M), если lim

t→+∞

(t) 6 0,

(M)

(t) = f

(M), если lim

t→+∞

(t) > 0.