Михайлов В.П., Гущин А.К. Уравнения математической физики. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

§ 1. Обобщенные производные и усредненные функции 21

Действительно, в любой подобласти Q

b Q при достаточно

малых h имеем равенства (f

)

= (f

)

= 0, i = 1, . . . , n, из

которых вытекает, что f

= const = c(h) в Q

для таких h. Так

как kf

− fk

)

= kc(h) − f k

)

→ 0 при h → 0, то

kc(h

) − c(h

)

= |c(h

) − c(h

mes Q

→ 0

при h

, h

→ 0. Следовательно, c(h) = f

при h → 0 сходится

равномерно в Q

(и тем более в L

)) к некоторой постоянной,

т.е. f = const в Q

, и тем самым, в Q.

С помощью теорем 1 и 2 нетрудно получить следующее необ-

ходимое и достаточное условие существования обобщенной про-

изводной.

Теорема 3. Для того чтобы функция f ∈ L

(Q) имела

о.п. D

f необходимо и достаточно, чтобы для любой подоб-

ласти Q

b Q существовали такие постоянные C(Q

) > 0

и h(Q

) > 0, что kD

)

6 C(Q

) для всех h 6 h(Q

Доказательства этой теоремы мы проводить не будем, по-

скольку она не будет использована в дальнейших построениях.

С ее доказательством можно познакомиться в [2]. В [2] есть и еще

один критерий существования о.п., связанный со свойствами со-

ответствующего конечноразностного отношения.

22 Глава 1

§ 2. Пространства Соболева

Множество функций f (x), принадлежащих L

p,loc

(Q), p > 1,

и имеющих все принадлежащие L

p,loc

(Q) о.п. до k-го порядка

включительно образуют пространство Соболева W

p,loc

(Q); в слу-

чае, когда функция f и все ее о.п. принадлежат L

(Q), это мно-

жество обозначается через W

(Q). При этом, как и в случае про-

странства L

(Q), функции из W

p,loc

(Q) и W

(Q), различающие-

ся на множестве меры нуль, отождествляются; при p = 2 (этим

случаем мы, в основном, и будем интересоваться) наряду с при-

веденными обозначениями W

2,loc

(Q) и W

(Q) пользуются также

обозначениями H

loc

(Q) и H

(Q).

Из определения обобщенной производной вытекает, что мно-

жество W

(Q), p > 1, k > 0 (при k = 0 W

(Q) = L

(Q)) является

банаховым пространством с нормой

kfk

(k)

(Q)



|α|6k

(Q)



1/p

а множество H

(Q) – гильбертовым пространством со скалярным

произведением

(f, g)

(Q)

|α|6k

f, D

(Q)

и порождаемой им нормой

kfk

(Q)



|α|6k

(Q)



1/2

Отметим некоторые очевидные свойства пространств H

(Q).

1. Если область Q

⊂ Q и f ∈ H

(Q), то f ∈ H

2. Если f ∈ H

(Q) и a(x) ∈ C

( Q ), то af ∈ H

(Q). При этом

любая о.п. вычисляется по обычным правилам дифферен-

цирования, например, (af)

= a

f + af

Свойства 1 и 2 немедленно вытекают из соответствующих

свойств обобщенных производных. Следующее свойство есть тео-

рема о возможности продолжения функции с сохранением глад-

кости в более широкую область.

Теорема 1. Пусть граница области Q ∂Q ∈ C

при неко-

тором целом k > 1. Тогда в любой области Q

c Q для любой

§ 2. Пространства Соболева 23

функции f(x) ∈ H

(Q) (f(x) ∈ C

( Q )) существует финитная

в Q

функция F(x) ∈ H

) (F (x) ∈ C

( Q

)), совпадающая с f

на Q. При этом существует такая постоянная C > 0, не зави-

сящая от f , что

kF k

)

6 Ckf k

(Q)



kF k

( Q

)

6 Ckf k

( Q )



Эта теорема для случая пространства C

( Q ) есть классиче-

ская теорема Уитни–Хестинса (см. [3]). Доказательство ее для

случая пространства H

(Q), почти полностью совпадающее с до-

казательством в [3], проведено в [2].

Полезным является также утверждение о возможности про-

должить функцию с границы.

Теорема 2. Пусть ϕ(x) ∈ C

(∂Q). Тогда существует функ-

ция f(x) ∈ C

( Q ) ⊂ H

(Q) такая, что f



∂Q

= ϕ. При этом

имеет место неравенство

kfk

( Q )

6 Ckϕk

(∂Q)

в котором постоянная C > 0 не зависит от ϕ.

С доказательством этой теоремы также можно познакомиться

в [3] и [2].

Из следствия 1 теоремы 2 предыдущего параграфа вытекает

Теорема 3.

1. Пусть f ∈ H

(Q) при некотором целом k > 1, а Q

b Q.

Тогда kf

− fk

)

→ 0 при h → 0.

2. Для любой финитной функции f ∈ H

(Q), k > 1, имеет

место соотношение kf

− fk

(Q)

→ 0 при h → 0.

В качестве следствия из теоремы 3 и теоремы 1 отметим сле-

дующее утверждение.

Теорема 4. Пусть ∂Q ∈ C

при некотором k > 1. Тогда

множество C

∞

( Q ) всюду плотно в H

(Q).

Для доказательства возьмем произвольную (ограниченную)

область Q

c Q. По теореме 1 для любой функции f(x) ∈ H

(Q)

существует финитная в Q

функция F (x) ∈ H

), совпада-

ющая с функцией f(x) при x ∈ Q. Согласно п. 2 теоремы 3

− F k

)

→ 0 при h → 0 и тем более, kF

− F k

(Q)

24 Глава 1

− fk

(Q)

→ 0 при h → 0, что и требовалось установить,

поскольку при любом h > 0 функция F

(x) ∈ C

∞

( Q ).

Функции из пространства W

(Q) при любых p и k (напомним,

что H

(Q) = W

(Q)) определены в Q с точностью до произволь-

ного множества меры нуль. Это означает, что каждую функцию

из W

(Q) можно произвольно изменить на любом множестве ме-

ры нуль, оставляя ее тем же элементом этого пространства. Т.е.

каждой функции из W

(Q) можно произвольно приписать любые

значения на каком угодно множестве меры нуль, в частности, на

граничной поверхности или, тем более, на поверхностях меньшей

размерности, например, в отдельных точках.

Поскольку в W

(Q) наряду с “не очень хорошими” функци-

ями есть и гладкие в классическом смысле функции, “испорчен-

ные”, быть может, на каком-то множестве меры нуль, то возни-

кает естественный вопрос, как отобрать их из числа всех осталь-

ных. Оказывается, гарантией возможности такого отбора являет-

ся наличие у функции достаточного числа обобщенных производ-

ных, интегрируемых в достаточно высокой степени. В частности,

принадлежность функции пространству W

(Q) при достаточно

больших p и k (пространству H

(Q) при достаточно большом k)

позволяет, изменив эту функцию на надлежащем множестве ме-

ры нуль, сделать ее достаточно гладкой в классическом смыс-

ле слова: например, обладающей граничными значениями на по-

верхностях той или иной размерности, непрерывно переходящими

друг в друга при непрерывном перемещении этих поверхностей

и, в частности, непрерывной и даже непрерывно дифференциру-

емой достаточное число раз в каждой точке рассматриваемой об-

ласти. Такого сорта результаты составляют основное содержание

так называемых теорем вложения. Метод доказательства этих

теорем, принятый в наших лекциях, следующий. Для произволь-

ной функции f(x) из H

(Q) (W

(Q)) берется последовательность

гладких функций, сходящаяся к f (x) в норме этого пространства.

Затем доказывается, что при соответствующих предположениях

о k (k и p) эта последовательность сходится еще и, скажем, в нор-

ме пространства C

( Q ) при некотором l. Это и означает, что взя-

тая функция допускает такое ее изменение на некотором множе-

стве меры нуль, в результате которого она становится функцией

из C

( Q ). Формулировке и доказательству некоторых из теорем

вложения, используемых далее в нашем курсе, посвящены после-

дующие параграфы этой главы.

§ 3. След функций из H

(Q) 25

§ 3. След функций из H

(Q)

За счет перенесения начала координат область Q в силу

ее ограниченности можно считать расположенной вместе с неко-

торой ее объемлющей областью Q

, Q b Q

, в первом координат-

ном углу: Q b Q

⊂ {0 < x

, i = 1, . . . , n}.

Рассмотрим сначала случай, когда размерность простран-

ства n > 1; более простой случай n = 1 будет рассмотрен в § 5.

Пусть S некоторая n−1-мерная поверхность класса C

, лежащая

в Q (в частности, S = ∂Q), а S

, . . . , S

, – ее покрытие просты-

ми кусками, S =

i=1

. Пусть простой кусок S

однозначно

проектируется на n −1-мерную область D

координатной плоско-

сти {x

= 0}, а

= ϕ(x

), x

= (x

, . . . , x

n−1

) ∈ D

, ϕ(x

) ∈ C

( D

– уравнение этого куска.

Возьмем произвольную функцию f(x) ∈ C

( Q ), продолжим

ее согласно теореме 1 из § 2 в область Q

, а затем продолжим

полученную функцию нулем в R

; эту функцию, принадле-

жащую C

), по-прежнему будем обозначать через f (x). По

формуле Ньютона–Лейбница имеем



, ϕ(x

)



ϕ(x

)

∂f (x

, ξ

)

∂ξ

dξ

откуда





, ϕ(x

)





6 ϕ(x

)

ϕ(x

)



∂f (x

, ξ

)

∂ξ



dξ

Проинтегрируем это неравенство по D

, предварительно умно-

жив его на

1 + |∇ϕ(x

. В результате, снова используя теоре-

му о продолжении функций (теорему 1 предыдущего параграфа),

получим неравенство

|f(x)|

dS 6

ϕ(x

)

1 + |∇ϕ(x

ϕ(x

)



∂f (x

, ξ

)

∂ξ



dξ

6 Ckf k

)

6 C

kfk

(Q)

в котором постоянная C

не зависит от f. Аналогичное нера-

венство имеет место и для любого другого простого куска S

26 Глава 1

k = 2, . . . , N, поверхности S и, тем самым, существует постоян-

ная C

> 0 такая, что для любой f ∈ C

( Q ) имеет место нера-

венство

|f(x)|

dS = kfk

(S)

6 C

kfk

(Q)

. (1)

Возьмем теперь функцию f(x) ∈ H

(Q). В силу плотности

множества C

( Q ) в H

(Q) (теорема 4 предыдущего парагра-

фа) найдется последовательность f

(x), . . . , f

(x), . . . , функций

из C

( Q ), сходящаяся к f (x) в норме H

(Q). Для функции f

−f

неравенство (1) имеет вид

− f

(S)

6 C

− f

(Q)

. (2)

Так как kf

−f

(Q)

→ 0 при p, q → ∞, то и kf

−f

(S)

→ 0

при p, q → ∞. Это означает, что последовательность значений



, p = 1, . . . , функций f

(x) на поверхности S является фун-

даментальной в норме L

(S), и, следовательно, существует функ-

ция f



∈ L

(S), к которой она сходится в норме L

(S). Переходя

в (2) к пределу при q → ∞, получим

− f



(S)

6 C

− fk

(Q)

. (3)

Покажем, что функция f



не зависит от выбора последо-

вательности f

(x), . . . , аппроксимирующей функцию f(x). Дей-

ствительно, пусть f

(x), . . . другая последовательность функций

из C

(

Q ), kf

−f k

(Q)

→ 0, p → ∞, а f



– предел в норме L

(S)

последовательности f



, p = 1, 2, . . . . Тогда





− f





(S)





− f



(S)

+ kf

− f

(S)



− f





(S)

6 C



kf − f

(Q)

+ kf

− f

(Q)

+ kf

− fk

(Q)



→ 0

при p → ∞, т.е. f



= f



Функцию f



(как элемент L

(S)) будем называть следом

на S функции f ∈ H

(Q); L

(S)-норму следа f



будем обозна-

чать kfk

(S)

В силу плотности множества C

( Q ) в H

(Q) неравенство (1),

установленное для любой функции f из C

( Q ), справедливо и

для любой функции f ∈ H

(Q), причем в левой части этого нера-

венства стоит квадрат L

(S)-нормы следа функции f . Таким об-

разом, установлена

§ 3. След функций из H

(Q) 27

Теорема 1. Каждая функция f(x) ∈ H

(Q) на любой по-

верхности S (класса C

) имеет след f



∈ L

(S). При этом

справедливо неравенство

|f(x)|

dS = kfk

(S)

6 C

kfk

(Q)

, (1)

в котором постоянная C

> 0 не зависит от f .

На доказанное утверждение можно смотреть и следующим

образом. Каждой функции f(x) ∈ H

(Q) поставлена в соответ-

ствие функция f



∂Q

∈ L

(∂Q) – след функции f на граничной

поверхности (аналогично, ее след f



на некоторой принадлежа-

щей классу C

поверхности S ⊂ Q ). Это означает, что на H

(Q)

задан оператор J, переводящий H

(Q) в L

(∂Q), оператор вло-

жения H

(Q) в L

(∂Q): для каждой f ∈ H

(Q) Jf = f



∂Q

. Этот

оператор, очевидно, линейный и в силу теоремы 1 ограниченный:

kJfk

(∂Q)





∂Q



(∂Q)

6 C

kfk

(Q)

причем kJk 6 C

. Ниже, в § 8, будет доказано, что оператор J

вполне непрерывный.

Вернемся к началу нашего рассмотрения в этом параграфе,

при этом будем считать, что поверхность S

из покрытия поверх-

ности S простыми кусками имеет вид {|x − x

| < r} ∩ S, где x

–

некоторая точка поверхности S, а r – достаточно малое число

(т.е. считаем, что поверхность S покрыта достаточно мелкими

простыми кусками).

Пусть S

– некоторый простой кусок поверхности S, времен-

но нам его удобно переобозначить через Γ

, Γ

= S

= {x =

, . . . , x

n−1

, x

) = (x

, x

), x

= ϕ(x

), x

∈ D

}, ϕ(x

) ∈ C

( D

и пусть δ

> 0 столь мало, что область Ω

= {ϕ(x

) − δ

< x

ϕ(x

), x

∈ D

} ⊂ Q (аналогично рассматривается случай, когда

область Ω

= {ϕ(x

) < x

< ϕ(x

) + δ

, x

∈ D

} ⊂ Q). Для

любого δ ∈ (0, δ

] “параллельная” Γ

поверхность Γ

= {x

ϕ(x

) − δ, x

∈ D

} лежит в Q и пусть x

= (x

, ϕ(x

) − δ) – точ-

ка этой поверхности, а x

= (x

, ϕ(x

)) – лежащая над ней точка

поверхности Γ

Для любой функции f(x) ∈ C

( Q ) имеем равенство

f(x

) − f (x

) =

ϕ(x

)

ϕ(x

)−δ

∂f (x

, ξ

)

∂ξ

dξ

, (4)

28 Глава 1

из которого, как и прежде, получаем неравенство

kf(x

) − f (x

(Γ

)

6 Cδkfk

(Ω

)

, (5)

и неравенство

kf(x

) − f (x

(Γ

)

6 Cδkfk

(Ω

)

, (5

)

в которых постоянная C не зависит ни от f, ни от δ. Следова-

тельно, неравенства (5) и (5

) имеют место и для любой функ-

ции f ∈ H

(Q) (в левых частях этих неравенств стоят следы

функции f на поверхностях Γ

и Γ

). Эти неравенства выража-

ют определенную непрерывность следов функции f ∈ H

(Q) на

семействе поверхностей Γ

относительно сдвигов этих поверх-

ностей.

Из равенства (4) для f(x) ∈ C

( Q ) вытекает также и нера-

венство

kfk

(Γ

)

6 2kfk

(Γ

)

+ 2Cδkfk

(Ω

)

интегрируя которое по δ в пределах от 0 до δ, получим неравен-

ство

kfk

(Ω

)

6 2δkfk

(Γ

)

+ 2Cδ

kfk

(Ω

)

, (6)

с постоянной C > 0, не зависящей ни от f, ни от δ.

Пусть теперь поверхность S есть граница ∂Q области Q,

а {S

, . . . , S

} – множество простых кусков, покрывающее гра-

ницу ∂Q. Для простого куска S

мы получили неравенство (6);

аналогичные неравенства есть и для любого другого куска S

, k =

2, . . . , N:

kfk

(Ω

)

6 2δkfk

)

+ Cδ

kfk

(Ω

)

где Ω

, 0 < δ 6 δ

, – подобласть области Q, построенная по по-

верхности S

, k = 2, . . . , N , аналогично тому, как область Ω

, 0 <

δ 6 δ

построена по поверхности S

= Γ

Суммируя эти неравенства по k, k = 1, . . . , N, и пользуясь

тем, что при достаточно малом δ

> 0 для всех δ, 0 < δ 6 δ

справедливы включения Q \ Q

δ/2

⊂

k=1

Ω

⊂ Q \ Q

2δ

, получим,

что для любой f ∈ C

( Q ) имеет место неравенство

kfk

(Q\Q

δ/2

)

6 C



δkfk

(∂Q)

+ δ

kfk

(Q\Q

2δ

)



, (7)

§ 3. След функций из H

(Q) 29

в котором постоянная C не зависит ни от f, ни от δ. Следова-

тельно, последнее неравенство справедливо и для любой функ-

ции f(x) ∈ H

(Q).

Поскольку в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебе-

га для любой функции f (x) ∈ H

(Q) kfk

(Q\Q

2δ

)

→ 0 при δ → 0,

то из неравенства (7) вытекает следующее утверждение, которым

мы воспользуемся в следующем параграфе.

Лемма. Для функции f(x) ∈ H

(Q), след которой на границе

равен нулю, f



∂Q

= 0, справедливо соотношение

kfk

(Q\Q

)

= o(δ) при δ → 0.

Если функция f(x) ∈ H

(Q), k > 1, то любая ее обобщенная

производная D

f, |α| < k, принадлежит H

(Q) и, следовательно,

имеет след на поверхности S, о которой идет речь в теореме 1,

при этом имеет место неравенство

(S)

6 Ckf k

|α|+1

(Q)

6 Ckf k

(Q)

Отметим еще формулу интегрирования по частям: для любых f

и g из H

(Q) справедливы равенства

g dx =

∂Q

fgν

dS −

dx, i = 1, . . . , n, (8)

в которых f и g, стоящие под знаком интеграла по ∂Q являют-

ся следами на ∂Q соответствующих функций, ν

= ν

(x) – i-ая

компонента вектора внешней по отношению к области Q единич-

ной нормали ν = (ν

, . . . , ν

) к поверхности ∂Q. Для получения

этой формулы аппроксимируем f и g в норме H

(Q) последова-

тельностями f

(x), . . . , f

(x), . . . , и g

(x), . . . , g

(x), . . . , функций

из C

( Q ) и перейдем к пределу при s → ∞ и k → ∞ в равен-

ствах

dx =

∂Q

dS −

dx, i = 1, . . . , n.

Из формул (8) вытекает формула Остроградского: для лю-

бого вектора f(x) = (f

(x), . . . , f

(x)), компоненты которо-

го f

(x), i = 1, . . . , n, принадлежат H

(Q) имеет место равен-

ство

div f(x) dx =

∂Q



f(x), ν(x)



dS.

30 Глава 1

§ 4. Пространство

(Q)

Обозначим через

(Q) множество функций из H

(Q), след

которых на границе ∂Q равен нулю.

(Q) – очевидно, линей-

ное подмножество пространства H

(Q) и, тем самым, являет-

ся предгильбертовым пространством в скалярном произведении

пространства H

(Q). Имеет место

Теорема 1.

(Q) – подпространство пространства H

(Q).

Для доказательства теоремы достаточно установить замкну-

тость множества

(Q).

Пусть f

(x), . . . , f

(x), . . . , где f

(x) ∈

(Q) для всех k > 1, –

последовательность функций, сходящаяся в норме H

(Q): kf

−

(Q)

→ 0 при k, s → ∞. Предельная функция f(x) принад-

лежит H

(Q). Для того чтобы доказать, что ее след на ∂Q ра-

вен нулю, воспользуемся теоремой 1 предыдущего параграфа: для

любого k > 1 имеет место неравенство

kfk

(∂Q)

= kf − f

(∂Q)

6 C

kf − f

(Q)

в котором постоянная C

не зависит от k. Но правая часть этого

неравенства может быть сделана при достаточно больших k сколь

угодно малой. Следовательно, kfk

(∂Q)

= 0.

Поскольку функция f(x) = 1 ∈ H

(Q), но не содержится

в пространстве

(Q), то

(Q) – истиное подпространство про-

странства H

(Q), т.е. подпространство, не совпадающее с самим

(Q).

Важное значение имеет следующее утверждение.

Теорема 2. Множество C

∞

(Q) всюду плотно в

(Q).

Легко проверить, что при любом δ > 0 функция

(x) =

3δ

δ/4

(|x − y|) dy, x ∈ R

обладает следующими свойствами:

а) 0 6 ζ

(x) 6 1 для всех x ∈ R

б) ζ

(x) = 1 для x ∈ Q

в) ζ

(x) = 0 вне Q

δ/2

г)



∂ζ

(x)

∂x



x ∈ R

, i = 1, . . . , n, где C – некоторая поло-

жительная не зависящая от δ постоянная.