Михайлов В.П., Гущин А.К. Уравнения математической физики. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

§ 4. Пространство

(Q) 31

Пусть функция f(x) ∈

(Q). Тогда функция f(x) ζ

(x) ∈

(Q) и равна нулю вне Q

δ/2

. Кроме того, в силу леммы преды-

дущего параграфа

kf − fζ

(Q)

|f(1 − ζ

i=1

(1 − ζ

) − f ζ

δx

Q\Q

|f|

dx + 2

i=1

Q\Q

+ 2

i=1

Q\Q

|f|

|ζ

δx

Q\Q

|f|

dx + 2

i=1

Q\Q

|f|

dx = o(1) при δ → 0.

Т.е. по любому ε > 0 можно найти δ > 0 такое, что принадле-

жащая H

(Q), равная нулю вне Q

δ/2

функция fζ

отличается от

функции f по норме H

(Q) меньше, чем на ε: kf −fζ

(Q)

6 ε.

По теореме 3 из § 2 k(fζ

)

− f ζ

(Q)

→ 0 при h → 0, при-

чем при h < δ/2 функция (fζ

)

– финитная в Q, т.е. можно

найти столь малое h > 0, что k(fζ

)

− fζ

(Q)

< ε, отку-

да kf − (fζ

)

(Q)

6 2ε. Теорема доказана.

32 Глава 1

§ 5. Вложение H

(a, b) в C([a, b])

В § 3 рассматривался вопрос о следах функций из H

(Q) для

областей Q ⊂ R

при n > 1. Обратимся теперь к случаю n = 1.

Пусть область Q = (a, b), где −∞ < a < b < ∞. Легко проверить,

что для любой функции f(x) ∈ C

([a, b]) имеет место равенство

f(x) =

(y) sgn(x − y) dy, x ∈ [a, b],

из которого вытекает справедливое для всех x ∈ [a, b] неравенство

|f(x)| 6

√

b − a

(a,b)

т.е. неравенство

kfk

C([a,b])

√

b − a

kfk

(a,b)

С помощью этого неравенства получим аналогичное неравен-

ство

kfk

C([a,b])

6 C

kfk

(a,b)

, (1)

с не зависящей от f постоянной C

и справедливое для лю-

бой функции f(x) ∈ C

([a, b]): для этого продолжим согласно

теореме 1 из § 2 функцию f(x) ∈ C

([a, b]) на больший отре-

зок [a

, b

], −∞ < a

< a < b < b

< ∞, функцией F (x) ∈ C

, b

]

и воспользуемся неравенством kF k

)

6 C

kfk

(a,b)

, в кото-

ром постоянная C

не зависит от f.

Поскольку множество C

([a, b]) по теореме 4 из § 2 всюду плот-

но в H

(a, b), то для произвольной функции f(x) ∈ H

(a, b) най-

дется последовательность функций f

(x), . . . , f

(x), . . . , где f

(x)

∈ C

([a, b]) для всех k > 1, сходящаяся к функции f (x) в норме

пространства H

(a, b). Из неравенства (1) для функции f

(x) −

(x) получаем, что взятая последовательность фундаментальна

в норме пространства C([a, b]), и следовательно, она равномерно

сходится на [a, b] к функции из C([a, b]), п.в. совпадающей с функ-

цией f(x). Это означает, что функцию f(x) можно изменить на

множестве меры нуль так, что в результате она станет непре-

рывной на [a, b], и, тем самым, любая функция f(x) из H

(a, b)

принадлежит C([a, b]) и для нее имеет место неравенство (1), в ко-

тором постоянная C

не зависит от f. Для получения этого нера-

венства воспользуемся неравенством (1) для функции f

(x) из

взятой выше последовательности и перейдем в нем к пределу

при n → ∞.

§ 5. Вложение H

(a, b) в C([a, b]) 33

Таким образом, имеет место вложение пространства H

(a, b)

в пространство C([a, b]): H

(a, b) ⊂ C([a, b]), при этом опера-

тор вложения J, действующий из H

(a, b) в C([a, b]) по формуле

Jf = f, очевидно, линейный, является в силу (1) ограниченным:

kfk

C([a,b])

= kJfk

C([a,b])

6 C

kfk

(a,b)

и kJk 6 C

Докажем, что этот оператор вполне непрерывен, т.е. что он

переводит любое ограниченное в H

(a, b) множество M во мно-

жество, компактное в C([a, b]). Действительно, для любой f(x) ∈

([a, b]) и любых двух точек x

и x

из [a, b] имеем

f(x

) − f (x

) =

(y) dy,

откуда

|f(x

) − f (x

)| 6

− x

|kf

(a,b)

Повторяя далее предыдущие рассуждения, получим, что для лю-

бой функции f(x) ∈ H

(a, b) (она, как было выше установлено,

непрерывна на [a, b]) при любых x

, x

∈ [a, b] имеет место нера-

венство

|f(x

) − f (x

)| 6 C

− x

|kf k

(a,b)

с постоянной, не зависящей от f. Это означает, что каждая функ-

ция из H

(a, b) не только непрерывна, но и удовлетворяет усло-

вию Гёльдера порядка 1/2.

Поскольку множество M ограничено в H

(a, b), т.е. при неко-

торой постоянной C

> 0 для всех f ∈ M

kfk

(a,b)

6 C

то для всех f ∈ M и всех x

, x

∈ [a, b]

|f(x

) − f (x

)| 6 C

− x

Из этого неравенства вытекает, что множество функций M

равностепенно непрерывно: при произвольном ε > 0 для всех

f ∈ M и всех x

, x

∈ [a, b] таких, что |x

− x

| 6 ε

/(C

)

имеем неравенство |f (x

) − f(x

)| 6 ε. Поскольку равномерная

ограниченность в C([a, b]) этого множества вытекает из неравен-

ства (1), то по теореме Арцела множество M компактно в C([a, b]).

Таким образом, имеет место

Теорема 1. Пространство H

(a, b) вкладывается в про-

странство C([a, b]) и соответствующий оператор вложения

вполне непрерывен.

34 Глава 1

§ 6. Вложение H

(Q) в L

(Q)

Из определения пространства H

(Q) вытекает, что каж-

дая функция, принадлежащая H

(Q), принадлежит и L

(Q).

Это означает, что пространство H

(Q) вложено в простран-

ство L

(Q), и соответствующий оператор вложения J, оператор

из H

(Q) в L

(Q), ставящий каждой функции f(x) ∈ H

(Q) в со-

ответствие ее же, как функцию из L

(Q), очевидно, линейный

и ограниченный; его норма kJk 6 1 (при введенной нами норми-

ровке пространств H

(Q) и L

(Q)). Имеет место также следую-

щая

Теорема 1. Оператор вложения J пространства H

(Q)

в L

(Q) вполне непрерывен.

Другими словами, любое ограниченное множество функций

в пространстве H

(Q) является компактным множеством в L

(Q).

Доказательство. Пусть M = {f(x)} ограниченное в H

(Q)

множество функций, т.е. множество, для которого существует по-

стоянная C

> 0 такая, что

kfk

(Q)

6 C

для всех f ∈ M. (1)

Предположим вначале, что M ⊂

(Q). Продолжим все

функции из M нулем вне Q и пусть f

(x) – усреднененная функ-

ция для f(x) ∈ M. Тогда

− fk

(Q)



|x−y|<h



f(y) − f (x)



(|x − y|) dy



|z|<h

|f(x + z) − f (x)|

dx (2)

Для функции f(x) ∈ C

( Q ), также продолженной нулем

вне Q, при любом векторе z ∈ R

имеет место равенство

f(x + z) − f (x) =

df(x + tz)

dt =



∇f(x + tz), z



dt.

Значит,

|f(x + z) − f (x)|

6 |z|

|∇f(x + tz)|

§ 6. Вложение H

(Q) в L

(Q) 35

и, тем самым,

|f(x + z) − f (x)|

dx 6 |z|

kfk

(Q)

. (3)

Неравенство (3) справедливо и для любой функции f ∈

(Q),

поскольку множество C

( Q ) функций f(x), для которых выпол-

нено неравенство (2), всюду плотно в

(Q). Для f ∈ M из (2)

и (3) в силу (1) имеем

− fk

(Q)

kfk

(Q)

|z|<h

dz 6 C

, (4)

где постоянная C

ни от h, ни от f ∈ M ⊂

(Q) не зависит.

Множество функций



(x) =

f(y)ω

(|x − y|) dy, x ∈ Q; f ∈ M



при любом фиксированном h > 0 в силу теоремы Арцела ком-

пактно в C( Q ), поскольку для всех f ∈ M имеют место неравен-

ства

(x)| =



f(y)ω

(|x − y|) dy



|f(y)|dy

kfk

(Q)

kfk

(Q)

(x)| 6

n+1

|f(y)|dy 6

n+1

, i = 1, . . . , n,

в которых постоянные C

, i 6 7, не зависят от f

∈ M

. Тем более,

каждое множество M

, h > 0, компактно в L

(Q).

Возьмем произвольное ε > 0. В силу L

(Q)-компактности

множества M

= M



h=ε

по теореме Хаусдорфа в M

суще-

ствует конечная ε-сеть, т.е. в M

существует конечное чис-

ло N = N(ε) таких функций f

(x), . . . , f

(x), что для любой

функции f

(x) из M

найдется функция f

(x), удовлетворяю-

щая неравенству kf

(x) − f

(x)k

(Q)

6 C

ε. Покажем, что мно-

жество f

(x), . . . , f

(x) функций из M, обладающих свойством:

(x) − f

(x)k

(Q)

6 C

ε для всех k = 1, . . . , N , (f

(x) – функ-

ция из M, для которой f

(x) есть ε-усредненная функция) явля-

ется (2C

+1)ε-сетью для множества M, и, тем самым, по теореме

36 Глава 1

Хаусдорфа множество M L

(Q)-компактно. Действительно, для

любой f ∈ M имеем kf(x) − f

(x)k

(Q)

6 C

ε, а для f

(x) най-

дется функция f

(x) такая, что kf

(x) − f

(x)k

(Q)

6 ε. Следо-

вательно, kf − f

(Q)

6 kf − f

(Q)

+ kf

− f

(Q)

+ kf

−

(Q)

6 (2C

+ 1)ε.

Пусть теперь M ∈ H

(Q). Обозначим через M

множество

функций F (x) из

), полученных в результате продолже-

ния функций f(x) из M в некоторую область Q

c Q. Посколь-

ку kF k

)

6 constkfk

(Q)

с постоянной, не зависящей от f,

то множество M

ограничено в

). По только что доказан-

ному, оно компактно в L

). Значит множество M компактно

в L

(Q). Теорема доказана.

§ 7. Компактность вложения H

(Q) в L

(∂Q) 37

§ 7. Компактность вложения H

(Q) в L

(∂Q)

В § 3 доказано, что любая функция f(x) ∈ H

(Q) имеет на

граничной поверхности ∂Q (так же как и на любой лежащей в Q

(n − 1)-мерной поверхности S класса C

) след f



∂Q

∈ L

(∂Q), и

что, тем самым, на H

(Q) определен линейный оператор J, опе-

ратор вложения H

(Q) в L

(∂Q), ставящий в соответствие функ-

ции f ее след на ∂Q: Jf = f



∂Q

. Там же доказано, что оператор J

ограничен. Докажем его компактность. Имеет место

Теорема 1. Оператор вложения J пространства H

(Q)

в пространство L

(∂Q) вполне непрерывен.

Доказательство. Пусть M = {f(x)} ограниченное в H

(Q)

множество функций, т.е. пусть существует постоянная C > 0 та-

кая, что неравенство

kfk

(Q)

6 C (1)

имеет место для всех f ∈ M. Нам нужно доказать, что множество

следов этих функций на ∂Q компактно в L

(∂Q).

Пусть S

– простой кусок поверхности ∂Q, и пусть

= ϕ(x

), x

= (x

, . . . , x

n−1

) ∈ D, ϕ(x

) ∈ C

( D ),

– уравнение этого куска.

Существует такое δ

> 0, что для всех δ ∈ (0, δ

] область Ω

{ϕ(x

) − δ < x

< ϕ(x

), x

∈ D} ⊂ Q (или область Ω

= {ϕ(x

) +

δ > x

> ϕ(x

), x

∈ D} ⊂ Q). Для любой функции f (x) ∈ C

( Q )

при любом t ∈ (0, δ], δ ∈ (0, δ

] имеет место равенство



, ϕ(x

)



− f



, ϕ(x

) − t



ϕ(x

)

ϕ(x

)−t

∂f (x

, ξ

)

∂ξ

dξ

из которого вытекает неравенство





, ϕ(x

)





6 2







, ϕ(x

) − t





ϕ(x

)

ϕ(x

)−t

∂f (x

, ξ

)

∂ξ

dξ





38 Глава 1

6 2







, ϕ(x

) − t





+ t

ϕ(x

)

ϕ(x

)−t



∂f (x

, ξ

)

∂ξ



dξ



6 2







, ϕ(x

) − t





+ δ

ϕ(x

)

ϕ(x

)−δ



∂f (x

, ξ

)

∂ξ



dξ



проинтегрировав которое по t ∈ (0, δ), получим





, ϕ(x

)





6 2





, ϕ(x

) − t





+ 2δ

ϕ(x

)

ϕ(x

)−δ



∂f (x

, ξ

)

∂ξ



dξ

Умножим последнее неравенство на

1 + ϕ

+ ··· + ϕ

n−1

и про-

интегрируем его по D:

|f(x)|

dS 6 2

|f(x)|

dx + 2δ

kfk

(Ω

)

6 2kfk

(Q)

+ 2δ

kfk

(Q)

. (2)

Поскольку ∂Q ⊂

i=1

, где S

, i = 1, . . . , N , – совокупность

простых кусков, покрывающих поверхность ∂Q, для каждого из

которых имеет место неравенство, аналогичное неравенству (2),

то для любой функции f(x) ∈ C

( Q ) получаем справедливое для

всех δ ∈ (0, δ

] неравенство

kfk

(∂Q)

kfk

(Q)

+ C

δkfk

(Q)

, (3)

в котором постоянная C

не зависит от f и δ. В силу плотности

в H

(Q) множества C

( Q ) это неравенство имеет место и для

любой функции f(x) ∈ H

(Q).

Из теоремы 1 § 6 следует, что множество M компактно

в L

(Q). Поэтому из произвольной последовательности f

(x), . . . ,

(x), . . . , функций из M можно выбрать подпоследовательность

(будем считать, что это сама взятая последовательность), кото-

рая фундаментальна в L

(Q). Это означает, что по любому ε,

0 < ε 6 δ

, найдется такое N

, что kf

− f

(Q)

6 ε для

§ 7. Компактность вложения H

(Q) в L

(∂Q) 39

всех k, s > N

. Но тогда в силу (3) и (1) при любом δ, 0 < δ < δ

имеет место неравенство

− f

(∂Q)

+ C

δkf

− f

(Q)

+ C



(Q)

+ kf

(Q)



+ 4C

δ,

из которого при δ = ε получим, что

− f

(∂Q)

6 C

для всех k, s > N

. Что и требовалось доказать.

40 Глава 1

§ 8. Вложение H

(Q) в C

( Q )

В этом параграфе будет изучаться взаимоотношение про-

странств H

(Q) и C

( Q ). Будет показано, что если функция при-

надлежит пространству H

(Q) при достаточно большом k, то она

принадлежит и пространству C

( Q ), т.е. ее можно так изменить

на множестве меры нуль, что она будет непрерывна вместе со

всеми производными до порядка l в Q.

Пусть функция f(x) ∈ C

( Q ). Тогда для любой точки x ∈ Q

имеет место равенство

f(x) =

U(x − y)∆f (y) dy, x ∈ Q, (1)

где U(x) – фундаментальное решение уравнения Лапласа:

U(x) =











−

(n − 2)σ

|x|

n−2

при n > 2,

ln|x|

2π

при n = 2,

а σ

= 2π

n/2

Γ(n/2) – площадь поверхности (n − 1)-мерной еди-

ничной сферы.

Это равенство вытекает из хорошо известной (см., напри-

мер, [2], [4] или [5]) формулы Грина: для f(x) ∈ C

( Q ) в любой

точке x ∈ Q имеет место равенство

f(x) =

U(x − y)∆f (y) dy

∂Q



f(y)

∂U (x − y)

∂ν

−

∂f (y)

∂ν

U(x − y)



в котором ν – единичный вектор внешней по отношению к обла-

сти Q нормали к поверхности ∂Q (напомним, что ∂Q ∈ C

Если функция f более гладкая, f ∈ C

( Q ), то наряду с (1)

для нее имеют место и представления через производные k-го по-

рядка. Для получения этих представлений нам потребуется сле-

дующее простое утверждение.