Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
282
что при
ρ
= 0 превращается в формулу (6.15). В общем случае вид
уравнения (6.79) не позволяет получить решение для
b*
в явной фор-
ме. Однако если
α
= 1 (величины скачков распределены экспоненци-
ально), решение имеет вид
ρ−δ+
++=
c
a
b
4
11
2
1
* . (6.82)
Случай
α
=
−
½ рассмотрен выше в § 3.
Для каждого фиксированного
α
можно определить параметры
а
,
b
и
с
методом моментов. Таким образом, можно считать известными
µ
,
σ
и третий центральный момент
Х
(1), который удобно записать как
γσ
3
(
γ
является коэффициентом асимметрии). Эти три момента можно
записать с помощью формул (6.73)
−
(6.75) в форме следующих ра-
венств
µ
=
c
b
a
cdxxxq −
+αΓ
=−
+α
∞
∫
1
0
)1(
)(,
σ
2
=
2
0
2
)2(
)(
+α
∞
+αΓ
=
∫
b
a
dxxqx
,
и
γσ
3
=
3
0
3
)3(
)(
+α
∞
+αΓ
=
∫
b
a
dxxqx
.
Из этих равенств получим
b
= (
α
+ 2)
/γσ
(при определении стоимости
финансовой производной это
b
нужно заменить на
b*
)
а
=
α+α
+α
σγ+αΓ
+α
2
2
)2(
)2(
(6.83)
и
с =
µ−
γ
σ
+α
+α
1
2
. (6.84)
Формулы для отрицательных корней уравнения (6.78)
При предположениях
v
= 0 и
q
(
x
) =
ах
α
−
1
e
−
bx
,
x
> 0, уравнение
(6.78) превращается в следующее:
δ=θ−−
∫
∞
−−αθ
cdxexeea
bxxhx
0
1*
)1(
или
283
.)1(
0
*1
a
c
dxexe
xbx
θ+δ
=−
∫
∞
−−αθ
(6.85)
Явное выражение интеграла в левой части равенства (6.85) можно по-
лучить с помощью ПФМ случайной величины
Y
(
t
).
Если
α
= 0, то равенство (6.85) приобретает форму
.
*
*
a
c
e
b
b
δ+θ
=
θ−
(6.86)
Подстановка
b*
, полученного из формулы (6.86), в выражение
(6.81) приводит к равенству
e
−
c
θ
/a
+
θ
[
e
δ
/a
−
e
−
(
c
−ρ
)
/a
] =
e
δ
/a
.
С помощью формул (6.83) и (6.84) получаем
4
1
2
γ
=
a
и .
22
µγ
−σ
γ
=
a
c
Если
α
≠
0 и
α > −
1, то уравнение (6.85) приобретает вид
,
)(
*
1
)*(
1
αΓ
θ+δ
=−
θ−
αα
a
c
bb
(6.87)
где
b*
определяется из уравнения (6.80). Уравнение (6.87) упростится
при
α
= 1 к виду
,
*
1
*
1
a
c
bb
θ+δ
=−
θ−
(6.88)
что является квадратным уравнением относительно
θ
, а
b*
определя-
ется из (6.82),
а
=
σγ
3
2
27
и
с
= .
2
3
µ−
γ
σ
В случае отсутствия дивидендов (
ρ
= 0) положительный корень
уравнения (6.88) равен
θ
1
= 1, а отрицательный корень выражается в
виде
θ
0
=
−δ b*
/
с
.
284
ЛИТЕРАТУРА
Основная
Artzner P., Delbaen F.
Term Structure of Interest Rates: The Martingale Approach //
Advances in Applied Mathematics. 1989. Vol. 10. P. 95–129.
Black F., Scholes M., The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Po-
litical Economy. 1973. Vol. 81. P. 637– 654.
Cox J. C., Ross S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes //
Journal of Financial Economics. 1976. Vol. 3. Р. 145–166.
Gerber H. U., Shiu E.S. Option Pricing by Esscher Transforms // Transactions of Soci-
ety of Actuaries. 1994. Vol. XLVI. P. 99–191.
Gerber H. U., Shiu E.S. Martingale Approach to Pricing Perpetual American Options //
ASTIN Bulletin. 1994. Vol. 24. No. 2. P. 195–220.
Harrison J. M., Kreps D. M. Martingales and Arbitrage in Multiperiod Securities Mar-
kets // Journal of Economic Theory. 1979. Vоl. 20. P. 381−408.
Harrison J. M., Pliska S. R. Martingales and Stochastic Integrals in the Theory of Con-
tinuous Trading // Stochastic Processes and Applications. 1981. Vol.
11. P. 215–260.
Merton R. Theory of Rational Option Pricing // Bell Journal of Economics and Man-
agement Science. 1973. Vol. 4. P. 141–183.
Merton R. Continuous-Time Finance. Oxford: Blackwell, 1990.
Дополнительная
Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: В 2 т. М.: Наука,
1969. Т. 1.
Гирсанов И. В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью
абсолютно непрерывной замены меры // Теория вероятностей и ее примене-
ния. 1960. Т. 5. № 3. С. 314–330.
Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. Ки-
ев: Наук. думка. 1972.
Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука. 1974.
Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов. М.: Наука. 1986.
Медведев Г. А. Математические модели финансовых рисков: В 2 ч. Ч. 1: Риски из -
за неопределенности процентных ставок. Мн.: БГУ, 1999.
Терпугов А. Ф. Математика рынка ценных бумаг. Томск: Изд-во ТГПУ, 2000.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: В 2 т. М.: Мир,
1967. Т. 2.
Шарп У. Ф., Александер Г . Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции. М.: Инфра-М, 1997.
Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.
285
Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики: В 2 т. Т. 1: Факты.
Модели. Т. 2: Теория. М.: Фазис, 1998.
Cox J., Ingersoll J., Ross S. A theory of the Term Structure of Interest Rates // Econo-
metrica. 1985. Vol. 53. No. 2. P. 385−407.
Duffie D. Dynamic Asset Pricing. Princeton: Princeton University Press, 1992.
Fama E. F. Portfolio Analysis in a Stable Paretian Market // Management Science.
1965. Vol. 311. No. 2. P. 409–419.
Ilieva N. G. The Comparative Analysis of the Term Structure Models of the Affine
Yield Class // Proceedings of 10-th Intern. AFIR Symposium. Tromsø. 2000.
P. 367–393.
Ilieva N. G. On Some Yield Interest Rate Models of the Affine Class Term Structures //
EURO Working Group on Financial Modelling. 26-th Meeting. Trondheim. 2000.
P. 1–19.
Modigliani F., Miller M. The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of
Investment // American Economic Review. 1958. Vol.
48 (June). P. 261–297.
Panjer H., Willmot G. Insurance Risk Models. Schaumburg: Society of Actuaries, 1992.
Samuelson P. A. Rational Theory of warrant Pricing // Industrial Management Review.
1965. Vol.
6. P. 13–31.
286
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ
……………………………………………………….
…
..….3
ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
………………... ..….4
ВВЕДЕНИЕ
………………………………………………………………. ..….5
Глава 1. АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ
§ 1. Математические и экономические предположения в моделях
непрерывного времени ………………………………………………..
.…..9
§ 2. Процессы с непрерывными выборочными траекториями без
редких событий ………………………………………………………..
…
...19
§ 3. Процессы с «редкими событиями» и непрерывными
выборочными траекториями ……………………………………….…
.
.…36
§ 4. Процессы с «редкими событиями» и разрывными выборочными
траекториями …………………………………………………………..
.
.…41
Глава 2. МОДЕЛЬ БЛЭКА – ШОУЛСА И ЕЕ МОДИФИКАЦИИ
§ 1. Финансовые производные …………………………………………
…
..50
§ 2. Определение цен опционов. Модель Блэка – Шоулса .………….
…
..52
§ 3. Модель Блэка – Шоулса: вывод Мертона …………………………
.
….58
§ 4. Распространение модели Блэка – Шоулса на случай выплаты
дивидендов и изменения цены исполнения …………………………
…
..70
§ 5. Определение стоимости американских оционов-пут ……………
.
….75
§ 6. Определение стоимости опциона-колл «down-and-out»…………
.
….78
§ 7. Определение стоимости отзываемого опциона …………………..
…
..81
§ 8. Разрывные стохастические процессы изменения цен акций ……
…
..83
§ 9. Определение стоимости опционов для разрывных
стохастических процессов ……………………………………………
…
..90
§ 10. Задачи определения стоимости опционов ………………………
…
..95
§ 11. Процесс цены актива с произвольной нижней отражающей
границей ………………………………………………………………..
...108
Глава 3. МАРТИНГАЛЫ И АРБИТРАЖ НА РЫНКАХ
ЦЕННЫХ БУМАГ
§ 1. Основные определения …………………………………………….
…
116
§ 2. Жизнеспособность и арбитраж …………………………………….
…
120
§ 3. Модели рынка ценных бумаг ……………………………………… ...125
287
§ 4. Конечная модель ……………………………………………………
…
132
§ 5. Диффузионный случай ……………………………………………..
…
134
§ 6. Другие торговые стратегии ………………………………………
…
…
140
§ 7. Обобщения …………………………………………………………..
…
143
Глава 4. МАРТИНГАЛЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛ
Ы
В ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНОЙ ТОРГОВЛИ
§ 1. Постановки основных задач ……………………………………….
.
...151
§ 2. Конечная теория …………………………………………………….
...161
§ 3. Непрерывная торговля ……………………………………………..
…
173
§ 4. Процессы доходности и полумартингальная экспонента ………..
…
188
§ 5. Многомерная диффузионная модель ……………………………..
…
190
§ 6. Иллюстративные примеры …………………………………………
…
198
Глава 5. ВРЕМЕННАЯ СТРУКТУРА ПРОЦЕНТНЫХ
СТАВОК: МАРТИНГАЛЬНЫЙ ПОДХОД
§ 1. Процесс дисконтированной цены облигации как мартингал ……
…
206
§ 2. Случай, когда процесс мгновенной процентной ставки
адаптирован к броуновскому движению …………………………….
…
217
§ 3. Случай, когда мгновенная процентная ставка является
диффузионным процессом ……………………………………………
...227
Глава 6. МАРТИНГАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
ЦЕН ОПЦИОНОВ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЭСШЕРА
§ 1. Понятие о преобразовании Эсшера ……………………………….....237
§ 2. Нейтральное к риску преобразование Эсшера …………………… ...240
§ 3. Формулы вычисления цен опционов ………………………………
…
244
§ 4. Опционы на несколько рисковых активов ………………………..
…
251
§ 5. Логарифмы цен акций как многомерный винеровский процесс ..
…
257
§ 6. Цены активов, выплачивающих дивиденды ………………………
…
260
§ 7. Определение цены бессрочного американского опциона ……….
…
265
§ 8. Логарифм цены акции как винеровский процесс ………………
…
…
271
§ 9. Русский опцион ……………………………………………………..
…
276
§ 10. Квазинепрерывные выборочные траектории ……………………
…
278
ЛИТЕРАТУРА
……………………………………………………………
…
284