Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
272
(
r
−
ρ
−
σ
2
/2)
θ
+
σ
2
θ
2
/2 =
r
,
или
σ
2
θ
2
+ (2
r
−
2
ρ
−
σ
2
)
θ
−
2
r
= 0. (6.53)
Корнями этого квадратного уравнения являются
θ =
()()
2
2
2
22
2
82222
σ
σ+σ−ρ−−σ−ρ−− rrr
(6.54)
и
θ =
()()
2
2
2
22
2
82222
σ
σ+σ−ρ−+σ−ρ−− rrr
. (6.55)
Формула (6.55) получена Х. МакКином (1965), который изучал
определение цен опционов, хотя, конечно, он не решал задачу в тер-
минах меры, нейтральной к риску. При нулевой доходности дивиден-
дов (
ρ =
0) формула (6.54) превращается в равенство
θ
0
=
−
2
r
/
σ
2
, ко-
торое впервые получено Мертоном (1973) методом МакКина, как
стоимость бессрочного американского опциона-пут.
В финансовой анализе формулы для определения цены бессроч-
ных американских опционов выводятся следующим образом. Пусть
D
обозначает стоимость ФП. Из рассуждений по хеджированию, впер-
вые данных Блэком и Шоулсом (1973), следует, что
D
удовлетворяет
уравнению в частных производных
σ
2
S
2
D
SS
/2 + (
r
−
ρ
)
S D
S
−
r D + D
t
= 0 (6.56)
при наличии соответствующих краевых условий. В случае бессрочно-
го опциона
D
t
= 0 и уравнение (6.56) становится однородным линей-
ным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка
по
S
σ
2
S
2
D
SS
/2 + (
r
−
ρ
)
S D
S
−
r D
= 0. (6.57)
Функция
D
= S
θ
является решением (6.57), если показатель
θ
удовлетворяет квадратичному уравнению
σ
2
θ
(
θ
−
1)/2 + (
r
−
ρ
)
θ
−
r
= 0,
которое является тем же, что и уравнение (6.53). Тогда общее решение
уравнения (6.57) имеет вид
D =
1
0
10
θ
θ
+ ScSc
, (6.58)
273
где
с
0
и
с
1
не зависят от
S
.
Здесь мы используем мартингальный подход и избегаем диффе-
ренциальных уравнений. Дополнительная интерпретация решения
(6.58) дается ниже (см. формулу (6.64)).
Бессрочные зависимы е платежи
Рассмотрим определение цены бессрочных зависимых исков с U-
образными функциями платежей, такими как
π
(
х
) =
а
1
(
K
1
−
х
)
+
+
а
2
(
х
−
K
2
)
+
.
Для
а
1
=
а
2
= 1 зависимый платеж называется бессрочным аме-
риканским
стрэнглом
, если
K
1
<
K
2
, и бессрочным американским
стрэддлом
, если
K
1
=
K
2
. Предположение о процессе
{Х
(
t
),
t
≥
0
}
ос-
тается прежним, т. е. он остается винеровским процессом.
Пусть
S = S
(0) обозначает текущую цену акции. Рассмотрим
стратегии исполнения, связанные со временами остановки вида
Т
L, М
=
inf
{t
|
S
(
t
) =
L
или
S
(
t
) =
М}
,
где 0
≤
L
≤
S
≤
М
.
Стоимость зависимого платежа, соответствующего такой стратегии
V
(
S
,
L
,
М
) =
Е
[
π
(
S
(
Т
L
,
М
)) ехр
{−rТ
L
,
М
}
;
h*
].
Пусть
λ
(
S
,
L
,
М
) =
Е
[
I
(
S
(
Т
L
,
М
) =
L
) ехр
{−rТ
L
,
М
}
;
h*
]
и
µ
(
S
,
L
,
М
) =
Е
[
I
(
S
(
Т
L
,
М
) =
М
) ехр
{−rТ
L
,
М
}
;
h*
].
Тогда
V
(
S
,
L
,
М
) =
π
(
L
)
λ
(
S
,
L
,
М
) +
π
(
М
)
µ
(
S
,
L
,
М
). (6.59)
Процесс
{
ехр(
−rt + θ
Х
(
t
))
}
является ограниченным мартингалом
(по отношению к мере, нейтральной к риску) для
t
≤
Т
L
,
М
, когда
θ
=
θ
0
или
θ
=
θ
1
(корни уравнения (6.53)). Применение теоремы опционного
выбора к этим двум мартингалам дает соответственно уравнения
λ
(
S
,
L
,
М
) (
L
/
S
)
0
θ
+
µ
(
S
,
L
,
М
) (
L
/
S
)
0
θ
= 1
и
λ
(
S
,
L
,
М
) (
L
/
S
)
1
θ
+
µ
(
S
,
L
,
М
) (
М
/
S
)
1
θ
= 1,
274
решая которые, мы получаем
λ
(
S
,
L
,
М
) =
1
00
1
1
00
1
θθθθ
θ
θθ
θ
−
−
LMLM
SMSM
и
µ
(
S
,
L
,
М
) =
1
00
1
1
00
1
θθθθ
θ
θθ
θ
−
−
LMLM
LSLS
.
Заметим, что
()
=λ
∞→
MLS
M
,,lim
(
S
/
L
)
0
θ
= (
L
/
S
)
,
0
θ−
которое подтверждает равенство (6.37), и
()
=
µ
↓
MLS
L
,,lim
0
(
S
/
М
)
,
1
θ
которое подтверждает формулу (6.42).
Оставшейся задачей является оптимизация платежа
V
(
S
,
L
,
М
),
рассматриваемой как функция границ исполнения
L
и
М
. Условиями
оптимальности первого порядка являются равенства
V
L
(
S
,
L
~
,
M
~
) = 0
и
V
М
(
S
,
L
~
,
M
~
) = 0.
Эти условия не зависят от
S
(пока
S
находится между
L
и
М
). Сначала этот факт кажется удивительным, но он следует немед-
ленно из формул
V
L
(
S
,
L
,
М
) =
λ
(
S
,
L
,
М
)
{π
L
(
L
)
−
V
S
(
L
,
L
,
М
)
}
(6.60)
и
V
М
(
S
,
L
,
М
) =
µ
(
S
,
L
,
М
)
{π
М
(
М
)
−
V
S
(
М
,
L
,
М
)
}
, (6.61)
которые обобщают соответственно формулы (6.50) и (6.52). Таким об-
разом, условия первого порядка приобретают вид
V
S
(
L
~
,
L
~
,
M
~
) =
π
L
(
L
~
) (6.62)
и
V
S
(
M
~
,
L
~
,
M
~
) =
π
М
(
M
~
), (6.63)
что является условиями гладкого склеивания. Оптимальные границы
исполнения
L
~
и
M
~
определяются путем совместного решения
уравнений (6.62) и (6.63). Для
L
~
≤
S
≤
M
~
цена бессрочного зависимо-
го платежа
V
(
S
,
L
~
,
M
~
) =
π
(
L
~
)
λ
(
S
,
L
~
,
M
~
) +
π
(
M
~
)
µ
(
S
,
L
~
,
M
~
) =
=
()
()
()
.
~
~
~~
~~
1
1
0
1
0
1
0
π
π
−
θ
θ
θ
θ
θ
θ
M
L
MM
LL
SS
(6.64)
275
Чтобы вывести уравнение (6.60), рассмотрим равенства
λ
(
S
,
L
,
М
) =
λ
(
S
,
L + х
,
М
)
λ
(
L + х
,
L
,
М
)
и
µ
(
S
,
L
,
М
) =
µ
(
S
,
L + х
,
М
) +
λ
(
S
,
L + х
,
М
)
µ
(
L + х
,
L
,
М
),
где 0
<
х
<
S
−
L
.
Дифференцирование этих выражений по
х
и подстановка
х
= 0
дает соответственно
0 =
λ
L
(
S
,
L
,
М
) +
λ
(
S
,
L
,
М
)
λ
S
(
L
,
L
,
М
) (6.65)
и
0 =
µ
L
(
S
,
L
,
М
) +
λ
(
S
,
L
,
М
)
µ
S
(
L
,
L
,
М
). (6.66)
Дифференцируя равенство (6.59) по
L
и применяя соотношения
(6.65) и (6.66), получаем
V
L
(
S
,
L
,
М
) =
π
L
(
L
)
λ
(
S
,
L
,
М
) +
π
(
L
)
λ
L
(
S
,
L
,
М
) +
π
(
М
)
µ
L
(
S
,
L
,
М
) =
=
λ
(
S
,
L
,
М
)
{π
L
(
L
)
−
π
(
L
)
λ
S
(
L
,
L
,
М
)
−
π
(
М
)
µ
S
(
L
,
L
,
М
)
}
=
=
λ
(
S
,
L
,
М
)
{π
L
(
L
)
−
V
S
(
L
,
L
,
М
)
}
,
что совпадает с уравнением (6.60). Вывод урав нения (6.61) аналогичен.
Для общих функций платежей может быть несколько непересе-
кающихся оптимальных интервалов неисполнения.
Бессрочный опцион “down-and-out”
Рассмотрим определение цены бессрочного американского оп-
циона-колл «
down-and-out
» с ценой исполнения
K
. Опционный кон-
тракт становится нулевым и неисполняемым, если цена акции умень-
шается до нокаутной цены (
knock-out price
)
L
,
L <
K
. Когда это встре-
чается, дается скидка или возмещение суммой
R
. Для
М
≥
K
из равен-
ства (6.59) следует, что стоимость стратегии для исполнения опциона-
колл, когда цена опциона впервые увеличивается до
М
, равна
V
(
S
,
L
,
М
) =
R λ
(
S
,
L
,
М
) + (
М
−
K
)
µ
(
S
,
L
,
М
),
L
≤
S ≤
М
. (6.67)
Заметим, что нижняя граница исполнения
L
фиксирована и задачей
является максимизация
V
как функции верхней границы исполнения
М
.
276
Теперь рассмотрим частный случай, когда акция не выплачивает
дивидендов (следовательно,
θ
1
= 1 и
θ
0
=
−
2
r
/
σ
2
). Покажем, что мак-
симальное значение (6.67) получается при
М →
∞
и что
V
(
S
,
L
,
∞
) =
S +
(
R
−
L
) (
L
/
S
)
0
θ−
=
S +
(
R
−
L
) (
L
/
S
)
2
2
σ
r
.
Этот результат можно также найти у Р. Мертона (1973).
Для доказательства этой формулы мы сначала заметим, что ве-
личина
λ
(
S
,
L
,
М
) является возрастающей функцией
М
и, следова-
тельно, первое слагаемое правой части равенства (6.67) ограничено
величиной
R λ
(
S
,
L
,
∞
) =
R
(
L
/
S
)
0
θ−
. Второе слагаемое правой части
равенства (6.67) можно оценить следующим образом
(
М
−
K
)
µ
(
S
,
L
,
М
) = (
М
−
K
)
LMML
LSSL
00
00
θθ
θθ
−
−
=
=
()
()
[]
0
0
θ−
θ−
−
−
−
SLLS
MLLM
KM
<
S
−
L
(
L
/
S
)
2
2
σ
r
=
=
()( )
.,,lim
MLSKM
M
µ
−
∞→
§ 9. РУССКИЙ ОПЦИОН
Пусть
М
является числом таким, что
М ≥
S
. Пусть также
М
(
t
) = mах [
М
, mах
{S
(
и
) | 0
≤
и
≤
t}
],
что можно интерпретировать как максимум цены акции за время
t
.
Заметим, что пара
{S
(
t
),
М
(
t
);
t
≥
0
}
является однородным марковским
процессом. Термин «русский опцион» предложен Л. Шеппом и А.
Ширяевым (Shepp, Shiryaev, 1993) для описания бессрочного амери-
канского опциона, платеж которого равен
М
(
t
), если он исполняется в
момент времени
t
,
t
≥
0. То есть владелец русского опциона имеет
привилегию получить максимум цены акции за время до того момен-
та, в который он решил исполнить опцион. Цена опциона в момент
времени 0 является наибольшим значением по всем моментам оста-
новки
Т
≥
0 величины
Е
[
М
(
Т
) ехр
{−
rТ}
;
h*
].
Л. Шепп и А. Ширяев показали, что имеется число ,
~
k
которое
зависит только от
r
,
ρ
и
σ
, такое, что если
S
(0)
>
k
~
М
, оптимальной
277
стратегией – это исполнение опциона в первый же момент времени
t
,
когда
S
(
t
)
>
k
~
М
(
t
).
Покажем, как можно определить
k
~
очень понятным образом.
Пусть
k
является числом 0
<
k
<
1. Для текущей цены акции
S
=
S
(0)
при
kМ
≤
S
рассмотрим стратегию исполнения опциона в момент ос-
тановки
Т
k
= inf
{t
|
S
(
t
) =
k М
(
t
)
}
.
Стоимость этой стратегии обозначим
R
(
S
,
М
;
k
). Заметим, что
R
(
S
,
М
;
k
) =
М R
(
S
/
М
, 1;
k
).
Отсюда и из определений
λ
и
µ
следует, что
R
(
S
,
М
;
k
) =
М λ
(
S
,
kМ
,
М
) +
R
(
М
,
М
;
k
)
µ
(
S
,
kМ
,
М
) =
=
М
[
λ
(
S
,
kМ
,
М
) +
R
(1, 1;
k
)
µ
(
S
,
kМ
,
М
)].
Подставляя явные значения
λ
и
µ
,
R
(
S
,
М
;
k
) =
М
[
λ
(
S/М
,
k
, 1) +
R
(1, 1;
k
)
µ
(
S/М
,
k
, 1)] =
=
+
−
−
θθ
θ
θ
10
1
0
M
S
M
S
kk
M
()
,;1,1
0
1
1
0
−
+
θ
θ
θ
θ
M
S
k
M
S
kkR
(6.68)
где
R
(1, 1;
k
) определяется с помощью условия на границе при
S = М
.
Условие исполнения русского опциона может быть получено пу-
тем следующих эвристических рассуждений. Если текущая цена ак-
ции
S
очень близка к
М
, можно быть уверенным «почти наверняка»,
что цена акции достигнет уровня
М
(и, следовательно, что максимум
будет увеличиваться) до того, как опцион будет исполнен. Таким об-
разом, если
S
близко к
М
, функция
R
(
S
,
М
;
k
) не зависит от точного
значения
М
и его производная по
М
R
М
(
М
,
М
;
k
) = 0.
Отсюда и из (6.68) мы получаем условие
,0
))]1()1()(;1,1())1()1[((
1
0
1
0
0110
=
−
θ−−θ−+θ−−θ−
θθ
θθ
kk
kkkR
278
что дает
()
()()
.
11
;1,1
10
01
0
1
θ−−θ−
θ−θ
=
θθ
kk
kR
Подставим это выражение в формулу (6.68) и получим после упроще-
ний следующий результат:
()
()
()()()
()()
10
10
11
11
;,
0
1
01
θθ
θθ
θθ
θθ
−−−
−−−
=
kk
MSMS
MkMSR
.
Теперь ясно, что оптимальное значение
k
является значением, кото-
рое минимизирует знаменатель, производная которого равна
() ()
.11
1
01
1
10
0
1
−θ
−θ
θ−θ+θθ− kk
Следовательно, оптимальное значение
()
()
()
01
1
01
10
1
1~
θ−θ
θ−θ
θ−θ
=k
, (6.69)
и цена русского опциона равна
()
≤
≤≤
.
~
если,
,
~
если,
~
;,
MkSM
MSMkkMSR
(6.70)
Формулы (6.69) и (6.70) являются эквивалентными формулам,
полученным Л. Шеппом и А. Ширяевым.
§ 10. КВАЗИНЕПРЕРЫВНЫЕ ВЫБОРОЧНЫЕ
ТРАЕКТОРИИ
Предположим, что выборочные траектории
{S
(
t
)
}
или, что экви-
валентно,
{Х
(
t
)
}
не имеют скачков вниз (это предположение было ис-
пользовано при получении цены (6.39)). Тогда имеет место следую-
щая декомпозиция:
X
(
t
) =
Y
(
t
) +
v
2
W
(
t
)
−
ct
,
t
≥
0. (6.71)
Здесь
{Y
(
t
)
}
является или составным пуассоновским процессом с
положительными приращениями или пределом такого процесса;
279
{W
(
t
)
}
– стандартный винеровский процесс с нулевым средним и еди-
ничной дисперсией за единицу времени; последнее слагаемое
ct
пред-
ставляет собой систематический дрейф. Производящая функция семи-
инвариантов случайной величины
X
(
t
) имеет вид
ln[
M
(
z
,
t
)] =
t
,2/)]()[1(
22
0
−+−−
∫
∞
czzvxdQe
zx
(6.72)
где
Q
(
х
) – неотрицательная и невозрастающая функция с
Q
(
∞
) = 0.
Заметим, что для всякого положительного числа
ε
интеграл
,)]()[1(
∫
∞
ε
−− xdQe
zx
как функция от
z
, является производящей функцией семиинвариантов
составного распределения Пуассона с пуассоновским параметром
λ
(ε) = Q
(
ε
)
и распределением величины скачка
Р
(
х
;
ε)
= ,
)(
)()(
ε
−ε
Q
xQQ
х
≥
ε
.
Для простоты обозначений предположим, что
−
Q
(
х
) =
q
(
x
)
dx
для некоторой неотрицательной функции
q
(
x
). Пусть
µ
и
σ
2
обозначают соответственно среднее и дисперсию
{Х
(
t
)
}
за единицу
времени. Тогда
µt
=
Е
[
Х
(
t
)] =
−
∫
∞
cdxxxq
0
)(
t
, (6.73)
σ
2
t
= var[
Х
(
t
)] =
+
∫
∞
2
0
2
)(
vdxxqxt
(6.74)
и
Е
[(
Х
(
t
)
−
µt
)
3
] =
∫
∞
0
3
)(
dxxqxt
. (6.75)
280
Вообще для
п ≥
3
п
-й семиинвариант случайной величины
Х
(
t
)
равен
∫
∞
0
)(
dxxqx
n
t
.
Из формул (6.4) и (6.72) следует, что
ln[
M
(
z
,
t
;
h
)] = ln[
M
(
z + h
,
t
)]
−
ln[
M
(
h
,
t
)] =
=
t
−−+−
∫
∞
zhvczvdxxqee
hxzx
)(2/)()1(
222
0
. (6.76)
Таким образом, преобразование Эсшера с параметром
h
процесса,
определяемого соотношением (6.71), имеет такой же вид со следую-
щими модификациями:
q
(
x
)
→
e
hx
q
(
x
), (6.77)
v
2
→
v
2
(остается прежним),
c →
c
−
v
2
h
.
Кроме того, из (6.76) следует, что (6.28) и (6.36) можно записать
соответственно как
2
*)()1(
2
2
0
*
v
chvdxxqee
xhx
−ρ−δ+=+−
∫
∞
и
.*)(
2
)()1(
2
22
0
*
δ=θ−−
θ
+−
∫
∞
θ
hvc
v
dxxqee
xhx
(6.78)
Частный случай
Для модели, определяемой соотношениями (6.1) и (6.71), теперь
предположим, что
v
= 0, т. е.
S
(
t
) =
S
(0) ехр{
Y
(
t
)
−
ct
}, и что
q
(
x
) =
ах
α
−
1
e
−
bx
,
x
> 0,
где
а
> 0,
α > −
1 и
b
> 0 являются параметрами.
В соответствии с модификацией (6.77) для
h
<
b
преобразование
Эсшера такого процесса является членом этого же семейства с пара-
метром
b
, замененным на
b
(
h
)
= b
−
h
.
281
ПФМ случайной величины
Y
(
t
) имеет вид
−
∫
∞
0
)()1(exp
dxxqet
zx
=
−
∫
∞
−−
0
1
)1(exp
dxexeat
bxzx
α
=
=
≠α
−
−
αΓ
=α
−
α
α
.0если,1
)(
exp
,0если,
t
zb
b
b
a
zb
b
at
Таким образом, для
α
= 0 процесс
{Y
(
t
)
}
t
≥
0
является гамма-
процессом; для
α
>
0 он является составным процессом Пуассона с
пуассоновским параметром
λ
(
а
,
α
,
b
) =
а
Г(
α
)
⁄
b
α
и гамма-
плотностью вероятностей величины скачков
р
(
х
;
α
,
b
) =
bx
ex
b
−−α
α
αΓ
1
)(
,
х
>
0.
Для
−
1
<
α
<
0 наиболее известным случаем является
α
=
−
½,
если
{Y
(
t
)
}
t
≥
0
– обратный гауссов процесс с плотностью вероятностей
случайной величины
Y
(
t
) вида
−−
x
atbx
x
at
2
23
)(
exp
π
,
х
>
0.
Для
b* = b
(
h*
)
= b
−
h*
получаем уравнения
a
c
e
b
b
ρ
−δ+
=
−
1*
*
, если
α
= 0, (6.79)
и
)(
*
1
)1*(
1
αΓ
ρ
−δ+
=−
−
αα
a
c
bb
, если
α
≠
0. (6.80)
Решением уравнения (6.79) является
ac
e
b
/)(
1
1
*
ρ−δ+−
−
=
, (6.81)