Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
252
()
()
,
...
,
,
1
n
n
xx
txF
txf
∂∂
∂
= t
≥
0.
Тогда модифицированная плотность вероятностей процесса
Х
(
t
) по-
сле преобразования Эсшера с параметром
h
имеет вид
()
()
()
,
,
,
;,
T
thM
txfe
htxf
xh
=
а соответствующая ПФМ
М
(
z
,
t
;
h
) =
М
(
z + h
,
t
)/
М
(
h
,
t
).
Преобразование Эсшера (с вектором параметров
h
) процесса
Х
(
t
)
является снова процессом со стационарными и независимыми прира-
щениями и
М
(
z
,
t
;
h
) = [
М
(
z
, 1;
h
)]
t
,
t
≥
0. (6.19)
В общем случае, когда плотность вероятностей
f
(
х
,
t
) может не
существовать, определим преобразование Эсшера в терминах инте-
гралов Стильтьеса, как мы сделали в представлении (6.11).
Вектор параметров преобразования
h = h*
определим так, чтобы
для
j
= 1, 2,…,
n
процесс
0
))((
≥
−
tj
rt
tSe
был мартингалом по отношению к модифицированной вероятностной
мере. В частности,
*],);([)0(
htSeES
j
rt
j
−
=
t
≥
0,
j
= 1, 2, … ,
n
. (6.20)
(Заметим, что эти условия не зависят от
t
.) Стоимость ФП вычисляет-
ся как математическое ожидание по модифицированной вероятност-
ной мере от дисконтированной стоимости ее платежей.
Определим
1
j
= (0, 0, …, 0, 1, 0, …, 0)
Т
∈
R
n
,
где 1 в этом векторе-столбце 1
j
стоит на
j
-м месте.
Формулы (6.20) с учетом (6.1 9) преобразуются к виду
tr
e
=
М
(1
j
,
t
;
h*
) = [
М
(1
j
, 1;
h*
)]
t
,
t
≥
0,
j
= 1, 2,…,
n
.
253
Основной результат этого параграфа следующий.
Теорема 6.1. Пусть
g
является вещественной измеримой функ-
цией
n
переменных. Тогда для каждого положительного
t
()
=
−
*];)(),...,()([
1
htStSgtSeE
nj
rt
()
].*;)(),...,([)0(
1
jnj
htStSgES
1
+=
(6.21)
Доказательство. Оно следует тако й же схеме рассуждений, ко-
торая использовалась при получении формулы (6.10) для европейско-
го опциона-колл. Математическое ожидание в левой части равенства
(6.21) получается путем интегрирования
()
()
*;,)0(,...,)0()0(
1
1
htxfeSeSgeSe
n
j
x
n
x
x
j
rt
−
по
х
по всему R
n
.
Так как
() ()()
thMtxfxhhtxfe
j
x
j
*,,])*exp[(*;,
T
1
+=
=
=
(
)
()
()
j
j
htxf
thM
thM
1
1
+
+
*;,
*,
,*
=
=
М
(1
j
,
t
;
h*
)
f
(
х
,
t
;
h*
+ 1
j
) =
()
j
rt
htxfe
1
+
*;,,
откуда и следует результат.
Имеется другой способ доказательства теоремы. Для векторного
параметра
k =
(
k
1
, … ,
k
n
)
Т
запишем
S
(
t
)
k
=
() ()
....
1
1
n
k
n
k
tStS
Тогда
()
()
][
])()([
];)()([
)(
)(
T
T
tXh
tXhk
k
eE
etSgtSE
htSgtSE = =
()
])([
])()()([
h
hk
tSE
tStSgtSE
= =
()
])([
])()([
])([
])([
hk
hk
h
hk
tSE
tStSgE
tSE
tSE
+
++
× =
= Е
[
S
(
t
)
k
;
h
] ×
Е
[
g
(
S
(
t
));
k + h
].
254
Теперь теорема следует из этой формулы факторизации (при
h = h*
и
k =
1
j
) и равенства (6.20).
Одним из первых результатов, обобщающих формулу Блэка –
Шоулса для определения цены финансовых производных на более чем
один рисковый актив является результат У. Маргрейба (Margrabe,
1978). В предположении, что цены активов – это геометрические бро-
уновские движения, им получена явная формула для стоимости оп-
циона для обмена одного рискового актива на другой в конце фикси-
рованного периода. Другими словами, определена стоимость в момент
времени 0 контракта, по которому в момент времени
τ
выплачиваются
платежи, стоимость которых равна [
S
1
(
τ
)
−
S
2
(
τ
)]
+
.
Следствие 6.1.
Стоимость в момент времени 0 опциона для об-
мена
S
2
(
τ
) на
S
1
(
τ
) в момент времени
τ
равна
S
1
(0) рrоb
{ S
1
(
τ
)
>
S
2
(
τ
);
h* +
1
1
}
−
S
2
(0) рrоb
{ S
1
(
τ
)
>
S
2
(
τ
);
h* +
1
2
}
.
Доказательство. Стоимость опциона в момент 0 равна
Е
(
τ−
r
e
[
S
1
(
τ
)
−
S
2
(
τ
)]
+
;
h*
).
Пусть
I
(
А
) обозначает индикаторную функцию случайного собы-
тия
А
. Тогда
[
S
1
(
τ
)
−
S
2
(
τ
)]
+
= [
S
1
(
τ
)
−
S
2
(
τ
)]
×
I
[
S
1
(
τ
)
>
S
2
(
τ
)]
=
=
S
1
(
τ
) ×
I
[
S
1
(
τ
)
>
S
2
(
τ
)]
−
S
2
(
τ
) ×
I
[
S
1
(
τ
)
>
S
2
(
τ
)].
Таким образом, по теореме 6.1
Е
(
τ−
r
e
[
S
1
(
τ
)
−
S
2
(
τ
)]
+
;
h*
) =
=
Е
(
τ−
r
e
S
1
(
τ
)
I
[
S
1
(
τ
)
>
S
2
(
τ
)];
h*
)
−
Е
(
τ−
r
e
S
2
(
τ
)
I
[
S
1
(
τ
)
>
S
2
(
τ
)];
h*
) =
=
S
1
(0)
Е
(
I
[
S
1
(
τ
)
>
S
2
(
τ
)];
h*
+ 1
1
)
−
S
2
(0)
Е
(
I
[
S
1
(
τ
)
>
S
2
(
τ
)];
h*
+ 1
2
).
Так как
Е
(
I
[
А
]) = рrоb (
А
), следствие доказано.
В § 5 рассмотрим предположение о геометрическом броуновском
движении и покажем, что формула Маргрейба немедленно следует из
следствия 6.1. Теперь дадим другой способ получения формулы (6.10)
для европейского опциона-колл.
Следствие 6.2.
Формула (6.10) имеет место.
255
Доказательство. Рассмотрим случай
n
= 2 при
S
1
(
t
) =
S
(
t
) и
S
2
(
t
) =
K
)(
τ
−
tr
e
.
Тогда
Е*
(
τ−
r
e
[
S
(
τ
)
−
K
]
+
) =
Е
(
τ−
r
e
[
S
1
(
τ
)
−
S
2
(
τ
)]
+
;
h*
) =
=
S
1
(0) рrоb ([
S
1
(
τ
)
>
S
2
(
τ
)];
h*
+ 1
1
)
−
– S
2
(0) рrоb ([
S
1
(
τ
)
>
S
2
(
τ
)];
h*
+ 1
2
) =
=
S
(0)
рrоb ([
S
(
τ
)
>
K
];
h*
+ 1)
−
τ−
r
e
K
рrоb ([
S
(
τ
)
>
K
];
h*
) =
=
S
(0)
{
1
−
рrоb (
[
S
(
τ
)
≤
K
];
h*
+ 1)
}
−
τ−
r
e
K{
1
−
рrоb ([
S
(
τ
)
≤
K
];
h*
)
}
,
что и является формулой (6.10).
Результат Маргрейба был обобщен Р. Шталцем (Stulz, 1982), где
также предполагалось, что цены активов являются геометрическими
броуновскими движениями. Путем сложных вычислений Шталц по-
лучил формулы для определения стоимости опционов на максимум и
минимум двух рисковых активов; т. е., он нашел стоимость в момент
времени 0 контракта с платежом в момент времени
τ
, равным
(mах[
S
1
(
τ
),
S
2
(
τ
)]
−
K
)
+
,
и стоимость в момент 0 контракта с выплатой в момент времени
τ
(min[
S
1
(
τ
),
S
2
(
τ
)]
−
K
)
+
.
Эти две формулы Шталца были обобщены на случай
n
рисковых
активов Г. Джонсоном (Johnson, 1987). На самом деле, можно спро-
сить: сколько следует заплатить в момент времени 0, чтобы получить
наибольшую из стоимостей двух активов в момент времени
τ
?
Наибольшую из стоимостей трех активов? Наибольшую из
стоимостей
k
активов? В более общем случае, какова стоимость
европейского опциона-колл на наибольшую из стоимостей
k
активов
в момент
τ
с ценой исполнения
K
? Заметим снова, упомянутые
авторы предполагали, что цены активов являются геометрическими
броуновскими движениями.
Для фиксированного времени
τ
,
τ
>
0, обозначим через
S
мно-
жество, состоящее из случайных величин
{S
j
(
τ
);
j
= 1, 2,…,
n}
. Пусть
S
[
k
]
обозначает случайную величину, являющуюся по своему значе-
256
нию
k
-й сверху из множества
S
. Таким образом,
S
[1]
и
S
[
n
]
обознача-
ют соответственно максимум и минимум из
S
.
Следствие 6.3.
Предположим, что
Х
(
t
) имеет непрерывное рас-
пределение. Тогда опцион для получения актива с
k
-й сверху стоимо-
стью в момент
τ
имеет стоимость в момент времени 0 равную
()
∑
=
n
j
j
S
1
0 рrоb
{S
j
(
τ
) имеет ранг
k
в
S
;
h*
+ 1
j
}
. (6.22)
Доказательство. Стоимость опциона в момент времени 0 равна
Е
(
τ−
r
e
S
[
k
]
;
h*
).
Так как
Х
(
t
) имеет непрерывное распределение, имеем равенство
S
[
k
]
=
()
∑
=
τ
n
j
j
S
1
I{S
j
(
τ
) имеет ранг
k
в
S}
.
Теперь формула (6.22) следует из теоремы.
Следствие 6.4.
Предположим, что
Х
(
t
) имеет непрерывное рас-
пределение. Тогда европейский опцион-колл на актив с
k
-й сверху
стоимостью и ценой исполнения
K
в момент
τ
имеет стоимость в мо -
мент времени 0 равную
∑
=
τ
n
j
j
S
1
)( рrоb
{S
j
(
τ
)
>
K
и
S
j
(
τ
) имеет ранг
k
в
S
;
h*
+ 1
j
}
−
−
τ−
r
e
K
рrоb
{S
[
k
]
>
K
;
h*}
.
Доказательство следствия 6.4 является, по существу, комби-
нацией доказательств следствий 6.2 и 6.3. Заметим, что когда
K
= 0,
следствие 6.4 превращается в следствие 6.3.
Имеется, очевидно, и много других применений теоремы 6.1.
Например, в статье М. Шерриса (Sherris, 1992) анализировался «опци-
он налога на прирост капитала», платежи по которому в момент вре-
мени
τ
равны
(
S
(
τ
)
−
mах[
С
(
τ
),
K
])
+
,
где
S
(
t
) обозначает цену рискового актива в момент времени
t
и
С
(
t
)
обозначает стоимость индекса в момент времени
t
.
Результат Шерриса следует из формулы
257
(
S
−
mах[
С
,
K
])
+
=
S I
(
S >
С
и
S >
K
)
−
−
[
СI
(
S >
С
>
K
) +
KI
(
S >
K
>
С
)].
В заключение покажем, что американский опцион-колл на мак-
симум из
n
акций, не выплачивающих дивиденды, лучше не испол-
нять до их даты погашения. Следовательно, стоимость американского
опциона определяется следствием 6.4 при
k
= 1. Доказательство дос-
тигается посредством двойного применения неравенства Иенсена:
Е
[
rt
e
−
(mах
{S
j
(
t
)
}
−
K
)
+
;
h*
]
≥
(
Е
[
rt
e
−
mах
{S
j
(
t
)
}
;
h*
]
−
rt
e
−
K
)
+
≥
≥
(mах
Е
[
rt
e
−
{S
j
(
t
)
}
;
h*
]
−
rt
e
−
K
)
+
=
= (mах
{S
j
(0)
}
−
rt
e
−
K
)
+
≥
(mах
{S
j
(0)
}
−
K
)
+
.
Для
t
>
0 и
r
>
0 последнее неравенство является строгим, если в
текущий момент опцион в деньгах, то есть если mах
{S
j
(0)
}
>
K
.
§ 5. ЛОГАРИФМЫ ЦЕН АКЦИЙ
КАК МНОГОМЕРНЫЙ ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС
В финансовой литературе обычно предполагается, что цены ле-
жащих в основе активов порождаются геометрическими броуновски-
ми движениями. Другими словами, предполагается, что
{Х
(
t
)
}
являет-
ся
n
-мерным винеровским процессом. Теперь покажем, что многие ре-
зультаты по опционам и финансовым производным, имеющиеся в лите-
рату ре, непосредственно следуют из т еоремы 6.1 (§ 4) и ее следствий.
Пусть
µ
= (
µ
1
,
µ
2
,…,
µ
n
)
Т
и
V
= (
σ
ij
) обозначают соответственно
вектор средних и ковариационную матрицу
{Х
(1)
}
. Предполагается,
что
V
невырожденная. Для
t >
0 плотность вероятностей
{Х
(
t
)
}
()
()
)]()2()(exp[
2
1
,
1T
21
2
µ−µ−−
π
=
−
txtVtx
tV
txf
n
,
х ∈
R
n
.
Можно показать, что
М
(
z
,
t
) = ехр
{t
(
z
Т
µ + z
Т
Vz
/2)
}
,
z ∈
R
n
.
Таким образом, для
h ∈
R
n
имеет место равенство
М
(
z
,
t
;
h
) =
М
(
z + h
,
t
) /
М
(
h
,
t
) = ехр
{t
(
z
Т
(
µ
+ Vh
)
+ z
Т
Vz
/2)
}
,
z ∈
R
n
,
258
которое показывает, что преобразование Эсшера с параметром
h
n
-
мерного винеровского процесса является опять
n
-мерным винеров-
ским процессом с модифицированным вектором средних за единицу
времени
µ + Vh
и прежней ковариационной матрицей на единицу
времени
V
. Из уравнения (6.5) следует, что для
j
= 1, 2,…,
n
r =
1
j
Т
(
µ + Vh*
) + 1
j
Т
V
1
j
/2,
откуда мы получаем
µ + Vh* =
(
r
−
σ
11
/2,
r
−
σ
22
/2, … ,
r
−
σ
nn
/2)
Т
. (6.23)
Следовательно, вектор средних за единицу времени модифици-
рованного процесса с параметром
h* +
1
j
µ + V
(
h* +
1
j
)
=
=
(
r + σ
1
j
−
σ
11
/2,
r + σ
2
j
−
σ
22
/2, … ,
r + σ
nj
−
σ
nn
/2)
Т
. (6.24)
Заметим, что правые части равенств (6.23) и (6.24) не содержат каких-
либо элементов вектора
µ
.
Чтобы получить основной результат статьи Маргрейба (1978),
вычислим математическое ожидание
Е
(
τ−
r
e
[
S
1
(
τ
)
−
S
2
(
τ
)]
+
;
h*
),
которое по следствию 6.1 равно
S
1
(0) рrоb
{ S
1
(
τ
)
>
S
2
(
τ
);
h* +
1
1
}
−
S
2
(0) рrоb
{ S
1
(
τ
)
>
S
2
(
τ
);
h* +
1
2
}
=
= S
1
(0) рrоb
{ Y <
ξ
;
h* +
1
1
}
−
S
2
(0) рrоb
{ Y <
ξ
;
h* +
1
2
}
,
где
Y = Х
2
(
τ
)
−
Х
1
(
τ
) и
ξ =
ln[
S
1
(0)/
S
2
(0)].
Случайная величина
Y
является нормальной по отношению к
любому преобразованию Эсшера:
Е
(
Y
;
h* +
1
1
) = [(
r + σ
21
−
σ
22
/2)
−
(
r + σ
11
−
σ
11
/2)]
τ
=
= (
−
σ
11
/2
+
σ
21
−
σ
22
/2)
τ
и
Е
(
Y
;
h* +
1
2
) = [(
r + σ
22
−
σ
22
/2)
−
(
r + σ
12
−
σ
11
/2)]
τ
=
= (
σ
11
/2
+
σ
12
+
σ
22
/2)
τ
.
Дисперсия
Y
не зависит от вектора параметров; она равна
(
σ
11
−
2
σ
12
+
σ
22
)
τ
.
259
Введя для краткости
v
2
=
σ
11
−
2
σ
12
+
σ
22
(дисперсию за единицу времени процесса
{Х
2
(
τ
)
−
Х
1
(
τ
)
}
), получим
Е
(
Y
;
h* +
1
1
) =
−
v
2
τ
/2,
Е
(
Y
;
h* +
1
2
) =
−
v
2
τ
/2, vаr(
Y
) =
v
2
τ
.
Таким образом, стоимость (в момент времени 0) опциона на об-
мен
S
2
(
τ
) на
S
1
(
τ
) в момент времени
τ
равна
,
2
)0(
2
)0(
2
2
2
1
τ
τ−ξ
Φ−
τ
τ+ξ
Φ
v
v
S
v
v
S
(6.25)
которая и является формулой Маргрейба.
Немного удивительно, что формула (6.25) не зависит от безрис-
ковой процентной ставки
r
. Заметим также, что при
S
2
(
t
) =
)(
τ−
tr
Ke
формула (6.25) превращается в формулу Блэка – Шоулса (6.12).
Теперь подсчитаем стоимость (в момент времени 0) опциона для
полу чения большего из
S
1
(
τ
) и
S
2
(
τ
) в момент времени
τ.
Из равенства
mах [
S
1
(
τ
),
S
2
(
τ
)] =
S
2
(
τ
) + [
S
1
(
τ
)
−
S
2
(
τ
)]
+
получаем стоимость опциона в виде
S
2
(0) +
τ−
r
e
Е
([
S
1
(
τ
)
−
S
2
(
τ
)]
+
;
h*
),
что с учетом выражения (6.25) равно
τ
τ−ξ
Φ−+
τ
τ+ξ
Φ
v
v
S
v
v
S
2
1)0(
2
)0(
2
2
2
1
=
=
τ
τ+ξ−
Φ+
τ
τ+ξ
Φ
v
v
S
v
v
S
2
)0(
2
)0(
2
2
2
1
=
=
[]
τ
τ+
Φ
v
vSS
S
2)0()0(ln
)0(
2
21
1
+
+
[]
τ
τ+
Φ
v
vSS
S
2)0()0(ln
)0(
2
12
2
. (6.26)
260
Этот результат можно также получить с помощью применения след-
ствия 6.3 при
n
= 2. Снова примечательно, что выражение (6.26) не
зависит от
r
.
Аналогичным образом из следствия 6.4 также можно получить
результаты Шталца для цены европейского опциона-колл на минимум
из двух рисковых активов с известными ценой и датой исполнения и
Джонсона для цены европейских опционов на максимум и минимум
из
n
рисковых активов с известной ценой исполнения.
§ 6. ЦЕНЫ АКТИВОВ, ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ
ДИВИДЕНДЫ
Определение цены американских опционов с конечной датой ис-
течения является исследованной проблемой в области финансовой
экономики. Основную трудность составляет определение оптималь-
ной границы исполнения. Здесь начнем изучать проблему определе-
ния цены американского опциона без даты истечения и теоремы оп-
ционного выбора остановки с помощью метода преобразований Эс-
шера. Эта проблема решаема, поскольку оптимальная граница испол-
нения бессрочного американского опциона не изменяется по отноше-
нию к временной переменной. Мы получим простую, но достаточно
общую формулу для цены бессрочного американского опциона-пут на
акцию, уменьшение которой не происходит скачкообразно. Анало-
гично получаем формулу для цены бессрочного американского оп-
циона-колл на акцию, увеличение которой не происходит скачкооб-
разно. В последнем параграфе главы мы представим семейство сто-
хастических процессов для моделирования таких изменений цены ак-
ции. Это семейство включает винеровский процесс, гамма-процесс и
обратный гауссовский процесс, а также комбинацию таких процессов.
В классических предположениях о том, что цена акции является
геометрическим броуновским движением, проанализируем общий
бессрочный американский зависимый платеж и получим формулы для
бессрочного опциона и русского опциона. Мартингальный подход из-
бегает использования дифференциальных уравнений. Мы также объ-
ясним соотношение между условиями гладкого склеивания Самюэль-
сона и условием оптимальности первого порядка.
261
Нейтральное к риску преобразование Эсшера
Для
t
≥
0 символ
S
(
t
) обозначает цену не выплачивающей диви-
денды акции или ценной бумаги в момент
t
. Предположим, что име-
ется стохастический процесс
{Х
(
t
),
t
≥
0
}
,
Х
(0) = 0, со стационарными
и независимыми приращениями такой, что
S
(
t
) =
S
(0) ехр
{Х
(
t
)
}
,
t
≥
0.
Для каждого
t
случайная величина
Х
(
t
), которую можно интер-
претировать как непрерывно конвертируемую ставку доходности по
t
периодам, имеет неограниченно делимое распределение. Пусть
ее
функция распределения
F
(
х
,
t
) = рrоb [
Х
(
t
)
≤
х
],
а ее ПФМ
М
(
z
,
t
) =
Е
[ехр
{zХ
(
t
)
}
]
Путем предположения, что
М
(
z
,
t
) является непрерывной в точке
t
= 0,
можно доказать, что
М
(
z
,
t
) = [
М
(
z
, 1)]
t
.
Преобразование Эсшера
случайной величины
– уже установив-
шееся понятие, а здесь рассмотрим преобразование Эсшера
случайно-
го процесса
, которое удовлетворяет равенству (6.2). Преобразование
Эсшера с параметром
h
случайного процесса
{Х
(
t
),
t
≥
0
}
снова яв-
ляется процессом со стационарными и независимыми приращениями;
модифицированное распределение
Х
(
t
) теперь приобретает вид
[]
()
()
∫
∫
∞
∞−
∞−
=≤=
tydFe
tydFe
hxtXhtxF
hy
x
hy
,
,
;)(prob);,( =
()
()
∫
∞−
x
hy
tydFe
thM
,
,
1
.
()
htzM
;,
=
()
()
.
,
,
thM
thzM +
Из (6.2) следует, что
М
(
z
,
t
;
h
) =
()
()
t
thM
thzM
+
,
,
= [
М
(
z
, 1;
h
)]
t
.