Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
212
1
t
Z
=
Е
Q
[
1
T
Z
|
F
t
]
=
−
∫
t
T
uQ
FdurE
0
exp ,
отсюда
P
(
t
,
T
) =
0
t
Z
1
t
Z
=
0
t
Z
−
∫
t
T
uQ
FdurE
0
exp ,
P
(
t
,
T
) =
−
∫
t
T
t
uQ
FdurE
exp ,
так как процесс
0
t
Z
положительный. Отсюда следует, что для всех
моментов времени
t
<
Т
почти всюду 0 <
P
(
t
,
T
) < 1.
Теперь потребуем, чтобы для каждого рыночного актива
f ∈ М
,
π
(
f
) =
−
∫
T
uQ
durfE
0
exp .
Пусть (
θ
t
)
0
≤
t
≤
T
будет самофинансирующей стратегией, порож-
дающей
f.
Предположим, что (
θ
t
)
t
изменяет значения в моменты вре-
мени
0 =
t
0
≤
t
1
≤
t
2
≤
…
≤
t
n
≤
t
n+
1
=
Т
;
отсюда мы имеем
−
∫
T
uQ
durfE
0
exp =
−θ
∫
+
++
1
11
0
exp,
n
nn
t
uttQ
durZE
=
=
−θ
∫
+
+
1
1
0
exp,
n
nn
t
uttQ
durZE
=
=
−θ
∫
+
+
n
n
nn
t
t
uttQQ
FdurZEE
1
1
0
exp, =
=
−θ
∫
n
nn
t
uttQ
durZE
0
exp,.
213
Последнее равенство вытекает из того факта, что
=
−
∫
t
ut
durZ
0
exp
),1(
1
t
Z
=
является мартингалом. Повторяя эту це-
почку равенств для других
п
, окончательно получим величину
(
)
00
,
ttQ
ZE θ
, которая по определению равна
π
(
f
). Для завершения до-
казательства этой части следует заметить, что цена
π
(
f
) также равна и
−ρ
∫
T
u
durfE
0
exp при
ϕ =
−ρ
∫
T
u
dur
0
exp > 0 и принадлежит к клас-
су
L
2
(
Ω
,
F
Т
,
Р
).
Доказательство
необходимости
(доказательство «только ес-
ли»)
.
Предположим, что функционал определения цены задается вы-
ражением
π
(
f
) =
Е
(
f
ψ
) для некоторого
ψ
∈ L
2
(
Ω
,
F
Т
,
Р
),
ψ
> 0 почти
всюду. Поскольку
f =
0
t
Z
∈ М
, имеем 1 =
ψ
∫
T
u
durE
0
exp , и поэтому
оказывается, что
ψ=ρ
∫
T
u
dur
0
exp является плотностью вероятност-
ной меры
Q
на (
Ω
,
F
Т
), эквивалентной мере
Р
,
и
−ρ
∫
T
u
dur
0
exp при-
надлежит
L
2
(
Ω
,
F
Т
,
Р
).
Используем ту же стратегию, что и в гл. 3, чтобы доказать, что
1
t
Z
является мартингалом по отношению к
Q
. Стратегию определим
для заданных 0
≤
t
≤
s
≤
Т
и
А
∈
F
t
соотношениями:
для
и
<
t
:
0
u
θ
=
1
u
θ
= 0;
для
и
=
t
:
1
t
θ
= 1 на
А
,
1
t
θ
= 0 на
А
c
,
0
t
θ
=
−
P
(
t
,
T
)
−
∫
t
u
dur
0
exp на
А
,
0
t
θ
= 0 на
А
c
;
для
t
<
и
<
s
:
θ
и
=
θ
t
;
для
и = s
:
1
s
θ
= 0,
214
0
s
θ
=
P
(
s
,
T
)
−
∫
s
u
dur
0
exp
−
P
(
t
,
T
)
−
∫
t
u
dur
0
exp на
А
,
0
s
θ
= 0 на
А
c
;
для
и
>
s
:
θ
и
=
θ
s
.
Стратегия (
θ
t
)
0
≤
t
≤
T
является самофинансирующей и порождает
f =
() ()
−
∫∫
T
t
u
T
s
u
durTtPdurTsP
exp,exp,
I
А
с
I
А
= 1 на
А
и
I
А
= 0 на
А
c
. Так как
π
(
f
) =
Е
(
f
ψ
) равно нулю, находим
() ()
dPdurTtPdPdurTsP
A
T
t
u
A
T
s
u
ψ
=ψ
∫∫∫∫
exp,exp,
,
которое можно записать как
() ()
dPdurTtPdPdurTsP
A
t
u
A
s
u
ρ
−=ρ
−
∫∫∫∫
00
exp,exp,
или
∫∫
=
A
t
A
s
dZdZ
QQ
11
для всех
А ∈ F
t
,
что является требуемым выводом:
1
t
Z
=
Е
Q
(
)
ts
FZ
1
для
t
<
s
.
По причинам, которые станут понятными в § 2, вероятностная
мера
Q
называется
нейтральной к риску.
Переформулировка мартингального свойства
Свойства а), б), в) теоремы 5.2, взятые совместно, могут быть пе-
реписаны в виде
P
(
t
,
T
) =
0
t
Z
Е
Q
()
−
tT
FZ
1
0
и (
0
t
Z
)
−
1
dP
dQ
∈ L
2
(
Ω
,
F
Т
,
Р
).
215
Следствие 5.1.
Если (
,
0
t
Z
P
(
t
,
T
)) не допускает бесплатный ланч,
тогда получаемая система цен (
М
,
π
) жизнеспособна, если и только
если существует процесс
(
ρ
t
)
0
≤
t
≤
T
такой, что:
а)
ρ
t
является строго положительным мартингалом, таким, что
почти всюду траектория
t
→
ρ
t
(
ω
) имеет предел слева и непрерывна
справа;
б)
ρ
0
= 1,
ρ
Т
ехр
{−
∫
T
u
dur
0
}
∈ L
2
;
в)
ρ
t
P
(
t
,
T
) ехр
{−
∫
t
u
dur
0
}
является мартингалом относительно
Р
.
Доказательство.
Пусть
P
(
t
,
T
) =
0
t
Z
Е
Q
()
−
tT
FZ
1
0
для некото-
рой эквивалентной вероятностной меры
Q
на (
Ω
,
F
Т
). Взяв производ-
ную Радона – Никодима
ρ
=
dPdQ
на
F
Т
, получим, что положитель-
ная функция
ρ
удовлетворяет свойству
ρ
Т
−
∫
T
u
dur
0
exp
∈ L
2
(
Ω
,
F
Т
,
Р
).
Опре делим ус л о в н о е математическое ожидание
ρ
t
=
Е[ρ |
F
t
]
,
которое имеет левый предел и является непрерывным справа (см.
Р. Липцер, А. Ширяев, 1977). Для
t
<
s
и
А
∈
F
t
мы имеем
∫∫
=
A
s
A
t
dQZdQZ
11
, т. е.
∫∫
ρ=ρ
A
s
A
t
dPZdPZ
11
и
∫∫
ρ=ρ
A
ss
A
tt
dPFEZdPFEZ
,][][
11
так как
ρ
является интегрируемой, а (
1
t
Z
)
0
≤
t
≤
T
– ограниченным.
Доказательство того, что
ρ
t
– строго положительный процесс, яв-
ляется стандартным: определим момент остановки
τ =
inf
{t
|
ρ
t
= 0
}
∧
Т
, (
х
∧
у =
min (
х
,
у
)).
По теореме о произвольном выборе для мартингала (
ρ
t
)
0
≤
t
≤
T
имеем
ρ
τ
=
Е[ρ
Т
|F
τ
]
и так как
{τ
<
Т}
∈
F
τ
,
{} {}{}
∫∫∫
<τ<τ<τ
τ
ρ=ρ=ρ
TT
T
T
.
216
Из
ρ
τ
= 0 на
{τ
<
Т}
следует, что
{}
∫
<τ
ρ
T
= 0, отсюда
Р{τ
<
Т}
= 0,
ρ
бу-
дет положительным почти всюду, так что положительность
ρ
Т
получа-
ется из равенства
ρ
=
ρ
Т
.
Принимая, наоборот, условия а), б) и в) из следствия 5.1, опреде-
лим меру
Q
, эквивалентную
Р
, полагая
Q
(
А
) =
dP
T
A
∫
ρ
, и тогда
(
dPdQ
)ехр
{−
∫
T
u
dur
0
}
принадлежит
L
2
. Кроме того, для
t
<
s
ρ
t
P
(
t
,
T
) ехр
{−
∫
t
u
dur
0
}
=
Е [ρ
s
P
(
s
,
T
) ехр
{−
∫
s
u
dur
0
}|
F
t
]
может быть записано как
∀А∈
F
τ
∫∫
ρ=ρ
A
ss
A
tt
dPZdPZ
11
или
∫∫
=
A
s
A
t
dQZdQZ
11
,
т. е.
[
]
tsQt
FZEZ
11
=
,
P
(
t
,
T
) =
0
t
Z
Е
Q
()
−
tT
FZ
1
0
.
Следствие 5.2.
При предположениях и обозначениях следствия 5.1
P
(
t
,
T
) =
Е
−
ρ
ρ
∫
t
T
t
u
t
T
Fdur
exp
.
Доказательство
.
Процесс
ρ
t
P
(
t
,
T
) ехр
{−
∫
t
u
dur
0
}
является мар-
тингалом по отношению к
Р
. Следовательно,
ρ
t
P
(
t
,
T
) ехр
{−
∫
t
u
dur
0
}
=
Е
−ρ
∫
t
T
uT
Fdur
0
exp ,
P
(
t
,
T
) = (
ρ
t
)
−
1
ехр
{−
∫
t
u
dur
0
}Е
−ρ
∫
t
T
uT
Fdur
0
exp ,
Выражение, стоящее за пределами символа математического
ожидания, может быть неинтегрируемым, но мы получим утвержде-
ние следствия, используя монотонную последовательную аппрокси-
мацию и положительность всех случайных величин.
217
Для дальнейшего заметим, что выражение
tT
ρ
ρ
является интег-
рируемым и что
[
]
ttT
FE
ρ
ρ
= 1, как это можно показать с помощью
последовательной аппроксимации.
Если принять модификацию для мартингала
()
−
tTQ
FZE
1
0
, ко-
торая непрерывна справа и имеет предел слева почти всюду, тогда
такая же регулярность имеет место для процесса (
P
(
t
,
T
))
t
<
Т
. Поэтому
для § 2 сделаем следующее предположение.
Предположение 5.6
. Для почти всех
ω ∈ Ω
траектория процесса
цены
t →
P
(
t
,
T
)(
ω
) имеет предел слева для
t
> 0 и является непрерыв-
ной справа для
t
<
Т.
§ 2. СЛУЧАЙ, КОГДА ПРОЦЕСС МГНОВЕННОЙ
ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ АДАПТИРОВАН
К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ
Соотношение между мгновенным процессом процентной ставки
и процессом цены облигации уточним здесь для случая, когда инфор-
мация порождается процессом, который предполагается броуновским
движением. Теорема представления положительных мартингалов от-
носительно броуновского движения позволяет описать процесс цен
облигации
Р
t
как стохастический интеграл Ито, включающий мгно-
венную процентную ставку
r
t
и лежащий в основе процесс «цены рис-
ка». Теорема Гирсанова показывает, что для
нейтральной к риску ве-
роятности
слагаемое дрейфа в дифференциале
dP
t
/
P
t
равно
r
t
dt
, как в
детерминированном случае. Формальный результат по дифференциа-
лам Ито, доказывающий, что коэффициент дрейфа является условным
математическим ожиданием ставки доходности, обеспечивает доста-
точное условие единственности нейтральной к риску
вероятности, а
значит и для арбитражного определения цены в рамках модели для
любого
актива.
Дополнительно предполагаем, что процесс мгновенной процент-
ной ставки порождает ту же информацию, как и заданная фильтрация,
и как существование какого-либо броуновского движения с теми же
информационными свойствами. Классические результаты по пред-
ставлению положительных мартингалов относительно броуновского
движения позволяют описать процесс цен облигации как стохастиче-
218
ский интеграл Ито, включающий мгновенную процентную ставку и
лежащий в основе «процесс цены риска».
Получим предварительные результаты единственности путем до-
казательства того, что коэффициент дрейфа в дифференциале Ито яв-
ляется также условным математическим ожиданием ставки доходно-
сти при общих предположениях (а не
L
2
интегрируемости) на коэффи-
циенты в дифференциале Ито. Этот факт, интересный сам по себе в
математическом смысле, показывает, что процесс цены риска опреде-
ляется единственным образом с помощью процессов мгновенной про-
центной ставки и цены облигаций. Отсюда можно установить доста-
точное условие для единственности нейтральной к риску вероятност ной
меры § 1, также как и для
арбитражного определения цены любого ак-
тива.
Это позволяет нам также вывести мгновенную процентну ю ставку
из цен облигаций по инфинитезимальным временным интерв алам.
Мгновенные процентн ые ставки и цены облигации,
адаптированные к броуновскому движению
Чтобы описать более детально механизм поступления информа-
ции к участникам рынка, сделаем следующие предположения сущест-
вования и связи.
Предположение 5.7.
Стандартный броуновский процесс (
В
t
)
t
≥
0
задается на (
Ω
,
F
Т
,
Р
). То есть для всякого семейства 0
≤
t
0
≤
t
1
≤
…
≤
t
n
существует последовательность
0
t
B
,
1
t
B −
0
t
B
, …,
n
t
B
−
1
−
n
t
B
независи-
мых случайных величин, нормально распределенных с нулевым сред-
ним и дисперсиями
t
0
≤
t
1
−
t
0
≤
…
≤
t
n
−
t
n
−
1
.
Процесс (
В
t
)
t
≥
0
непре-
рывный почти всюду.
Предположение 5.8.
σ
-Алгебра
F
t
порождается значениями про-
цесса
В
и
, 0
≤
и
≤
t
, и всеми множествами нулевой меры
σ
(
В
s
,
s
≥
0).
Хорошо известно, что семейство (
F
t
)
0
≤
t
≤
Т
является непрерывным
справа (см. Р. Липцер и А. Ширяев).
Предположение 5.9.
С точностью до множеств меры нуль
σ
-
алгебра
F
t
порождается величинами (
r
и
)
и
≤
t
.
Последнее предположение является очень важным с точки зре-
ния моделирования и позволяет нам описывать броуновское движение
посредством информации, поступающей только от (
r
и
)
и
≥
0
, избегая так
называемых инновационных процессов.
Наконец сформулируем экономические предположения.
219
Предположение 5.10.
Система цен (
Z
t
)
0
≤
t
≤
T
= (
0
t
Z
,
P
(
t
,
T
))
0
≤
t
≤
T
не допускает бесплатного ланча, а выводимая система цен жизнеспо-
собна.
С этого времени и, возможно, без дальнейшего уведомления
предположим, что наша модель удовлетворяет следующему предпо-
ложению.
Предположение 5.11.
Модель одновременно удовлетворяет
предположениям 5.1–5.10.
При предположении 5.11 мартингальное свойство, выражаемое в
теореме 5.2, приводит к
заданию
цен дисконтированных облигаций
благодаря двум классическим результатам по представлению мартин-
галов относительно броуновского движения.
Результат 1).
Для
Z
∈
L
1
(
Ω
,
F
Т
,
Р
) существует предсказуемый
процесс (
f
s
)
0
≤
s
≤
T
такой, что:
а)
Е[Z
|
F
t
]
=
Z
0
+ ;
0
∫
t
ss
dBf
б)
Z = Z
0
+
∫
T
ss
dBf
0
;
в)
Р
(
)
∫
∞<
T
s
dsf
0
2
= 1;
г)
Е[Z
2
]
=
Z
0
2
+
(
)
∫
T
s
dsfE
0
2
.
Части а), б) и в) этого результата получаем путем применения к
мартингалу
Y
t
=
Е [Z
|
F
t
]
теоремы 5.7 (см. Р. Липцер, А. Ширяев,
1977), где, к сожалению, предсказуемость процесса
f
не упоминается;
кроме того, затем следует использовать результат леммы 5.5. Часть г)
этого результата в случае
Z
∈
L
2
(
Ω
,
F
Т
,
Р
) является просто перефрази-
ровкой свойства
изометрии
стохастического интеграла. Из свойства
непрерывности стохастического интеграла следует, что для получения
непрерывной траектории можно выбрать мартингал (
Е[Z
|
F
t
]
)
0
≤
t
≤
Т
.
Такое же замечание относительно предсказуемости применяется
к теореме 5.9 в книге Р. Липцера и А. Ширяева, формулируемой ниже
как второй результат, где свойство в), доказывается простым вычис-
лением.
Результат 2).
Если
Z ∈ L
1
(
Ω
,
F
Т
,
Р
) является положительным
почти всюду, тогда имеется предсказуемый процесс (
g
s
)
0
≤
s
≤
T
такой,
что:
а)
Р
∞<
∫
T
s
dsg
0
2
= 1;
220
б)
Z
t
= Е[Z
|
F
t
]
=
Z
0
ехр
−
∫∫
t
s
t
ss
dsgdBg
0
2
0
2
1
;
в)
Е
−
∫∫
t
uu
sss
FdsgdBg
00
2
2
1
exp = 1 для
t ≤
и.
Процесс цен облигации как стохастический интеграл
Здесь применяются результаты предыдущего подраздела к мар-
тингальному представлению цен дисконтируемых облигации § 1 для
получения интеграла и дифференциальных представлений, относя-
щихся к процессу «цены риска» для них.
Сначала рассмотрим представление положительного мартингала
[
]
tt
FdPdQE=
ρ
.
Утверждение 5.1.
При предположениях 5.11 процесс цен обли-
гации задается соотношением
()
−
−=
∫∫∫
t
T
t
u
T
t
uu
T
t
u
FduqdBqdurETtP
2
2
1
expexp,,
где (
q
s
)
0
≤
s
≤
T
является предсказуемым процессом таким, что:
а)
Р
∞<
∫
T
s
dsg
0
2
= 1;
б)
Е
ехр
−
∫∫
T
s
T
ss
dsgdBg
0
2
0
2
1
= 1;
в)
−
−
∫∫∫
T
u
T
uu
T
u
duqdBqdur
0
2
00
2
1
expexp
∈ L
2
(
Ω
,
F
Т
,
Р
).
Доказательство. Утверждение а) следствия 5.1 и результат 2)
обеспечивают выполнение а) и б ) для процесса (
q
s
)
0
≤
s
≤
T
. Утвержде-
ние в) следствия 5.1 и формула б) результата 2) доказывают вид ана-
литического выражения для
Р
(
t
,
Т
).
Применяя теперь теорему представления к мартингалу, вклю-
чающему
Р
(
t
,
Т
), получаем следующее утверждение.
Утверждение 5.2.
При предположениях 5.11 процесс цен обли-
гации
(
Р
(
t
,
Т
))
0
≤
t
≤
Т
является непрерывным процессом со стохастиче-
ским дифференциалом
dР
(
t
,
Т
) =
µ
t
Р
(
t
,
Т
)
dt
+
σ
t
Р
(
t
,
Т
)
dВ
t
221
таким, что:
а) (
µ
t
,
σ
t
)
0
≤
t
≤
Т
является предсказуемым;
б)
∫
σ
T
u
du
0
2
<
∞
и
∫
µ
T
u
du
0
<
∞
почти всюду;
в)
µ
t
−
r
t
+
σ
t
q
t
= 0,
q
t
– такой же, как в утверждении 5.1.
Доказательство. Следствие 5.2 (§ 1) обеспечивает равенство
Р
(
t
,
Т
)
−ρ=ρ
−
∫∫
t
T
uTt
t
u
FdurEdur
00
expexp ,
левая часть которого уже непрерывна справа. Так как правая часть
изменяется непрерывно (см. пункт а) результата 1), левая часть долж-
на быть непрерывной почти всюду, и процесс (
Р
(
t
,
Т
))
0
≤
t
≤
Т
будет не-
прерывным почти всюду.
Применив результат 2), получим
Р
(
t
,
Т
)
t
t
u
dur ρ
−
∫
0
exp =
Р
(0,
Т
)
−
∫∫
tt
sss
dsfdBf
00
2
2
1
exp ,
где а) (
f
t
)
0
≤
t
≤
Т
является предсказуемым;
б)
∫
T
u
duf
0
2
<
∞
почти всюду;
в)
Е
−
∫∫
TT
sss
dsfdBf
00
2
2
1
exp = 1.
Поэтому
Р
(
t
,
Т
) =
Р
(0,
Т
)
+−
∫∫∫
t
u
t
uu
t
u
duqdBqdur
0
2
00
2
1
expexp
×
×
−
∫∫
tt
sss
dsfdBf
00
2
2
1
exp =
= Р
(0,
Т
)
() ()
()
−++−−−
∫∫∫
tt
ssssuu
t
uuu
dsfqqrduqfdBqf
00
2
2
0
2
1
exp ,
где интегралы имеют смысл, так как
()
∫
−
T
uu
duqf
0
2
<
∞
почти всюду,
поскольку справедливы неравенства
∫
T
u
duf
0
2
<
∞
,
∫
T
u
duq
0
2
<
∞
и