Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
192
жение с дисперсией
a
kk
и дрейфом
µ
k
+
r
). Для информационной
структуры берем
F
=
F
W
=
F
Y
=
F
Z
=
F
S
(см. § 3) так, чтобы инвесторы
могли основывать свои торговые решения только на ценах в прошлом
и настоящем.
Для последующих явных вычислений полезно следующее на-
блюдение. Пусть
h
= (
h
1
, …,
h
K
) будет функцией, определяемой
h
k
(
x
,
y
,
t
) =
x
k
exp(
y
k
−
a
kk
t
/2),
k
= 1,…,
K
,
для
x
,
y
∈
R
K
и моментов времени
t ≥
0. Тогда из определения (4.46)
видно, что
Z
t
=
h
(
Z
0
,
Y
t
,
t
). Кроме того, легко проверить, что
Z
Т
=
h
(
Z
t
,
Y
T
−
Y
t
,
T
−
t
) для 0
≤
t
≤
T.
(4.50)
Эквивалентная мера
Поскольку в соответствии с предположением
Λ
(и, следователь-
но,
A
) невырожденная, то существует единственный
K
-вектор
γ
,
удов-
летворяющий уравнению
Λγ
=
µ
.
Определим векторный процесс
ξ
= (
ξ
1
,…,
ξ
K
) соотношением
ξ
t
=
W
t
+
γt
, 0
≤
t
≤
T
, (4.51)
так, чтобы вектора (4.45) можно было переопределить как
Y
t
=
Λξ
t
, 0
≤
t
≤
T
. (4.52)
Теперь определим мартингал (при
P
)
,)(
2
1
exp
1
2
1
γ−γ−=
∑∑
==
K
k
k
K
k
k
t
k
t
tWM
0
≤
t
≤
T
,
и пусть эталонная мера
Q
дается равенством
dQ
=
M
T
dP.
Поскольку
М
−
строго положительный мартингал с
M
0
= 1, то
Q
явля-
ется вероятностной мерой, эквивалентной
P.
Следующее утверждение, иногда называемое
формулой отноше-
ния
правдоподобия
(
likelihood ratio formula
) для броуновского движе-
ния, является частным случаем оригинальной теоремы Гирсанова.
193
Утверждение 4.8.
Процессы
ξ
1
,…,
ξ
K
– независимые стандарт-
ные броуновские движения при
Q.
Из этого утверждения и равенства (4.52) следует, что
Y
является
броуновским движением с нулевым дрейфом и матрицей ковариации
А
при
Q
, а затем из представления (4.46), что
Z
– (векторный) мартин-
гал при
Q
, как и требуется. Из теоремы 4.2 и теоремы представления,
цитируемой в следующем подразделе, следует, что
Q
– фактически
единственный элемент
P
, но мы не будем прямо использовать этот
факт. Зафиксируем
Q
как нашу
эталонную
меру и затем определим
через нее допустимые торговые стратегии (см. § 3).
Полнота
Теперь заменим
P
на
Q
, так что термины «интегрируемый»,
«мартингал» и «локальный мартингал» будут неявно относиться к
Q.
Из определения (4.51) процесса
ξ
ясно, что
F
=
F
W
=
F
ξ
, т. е. фильтра-
ция в нашей рыночной модели является фильтрацией, порождаемой
стандартным броуновским движением
ξ
.
Пусть
М
(пространство всех
мартингалов) и
М
(
Z
) будут определяться так же, как в § 3.
Мы хотим показать, что
М
(
Z
) =
М
, и, следовательно, что по тео-
реме 4.2 обсуждаемая модель является полной.
Сначала предположим, что
М ∈
М
квадратично интегрируемый,
т. е. что
E
*(
|M
T
|
2
) <
∞
. Известно, что
М
может быть представлен в
форме
М
t
=
M
0
+
∫
ξθ
t
ss
d
0
, 0
≤
t
≤
T
, (4.53)
где
θ
= (
θ
1
,…,
θ
K
)
−
предсказуемый процесс, удовлетворяющий
E
*
θ
∫
T
t
dt
0
2
<
∞
. (4.54)
Кроме того, каждый мартингал
М
из броуновской фильтрации
F
является непрерывным и, следовательно,
локально
квадратично интег-
рируемым, из чего следует непосредственно, что каждый
М ∈
М
мо -
жет быть представлен в форме (4.53) с
θ
,
удовлетворяющим (4.54)
ло-
кально
, а это просто означает, что
Р
*
∞<
∫
T
t
dt
0
2
θ
= 1.
194
Из определения (4.51) и невырожденности
Λ
это эквивалентно
следующему. Каждый
М ∈
М
может быть представлен в форме
М
t
=
M
0
+
∫
η
t
ss
dY
0
, 0
≤
t
≤
T
, (4.55)
где
η
= (
η
1
,…,
η
K
) является предсказуемым и удовлетворяет равенству
Р
*
∞<η
∫
T
t
dt
0
2
= 1. (4.56)
Теперь определим
H
= (
H
1
,…,
H
K
) соотношениями
H
t
k
=
η
t
k
/
Z
t
k
для 0
≤
t
≤
T
,
k
= 1,…,
K.
Используя представление (4.47), формулу (4.55) можно перепи-
сать как
М
t
=
M
0
+
∫
t
ss
dZH
0
, 0
≤
t
≤
T
,
Кроме того, возрастающий процесс (4.35), появившийся при оп-
ределении
L
(
Z
), с учетом равенств (4.48) равен
21
0
2
],[)(
∫
t
s
kkk
s
ZZdH
=
21
0
2
)(
η
∫
t
kk
k
s
dsa
.
Этот процесс непрерывен, поэтому он локально интегрируем (при
Q
)
вследствие равенства (4.56); значит,
H
∈ L
(
Z
). Повторим, что всякий
М ∈
М
может быть представлен как сумма
М
=
M
0
+
∫
HdZ
для неко-
торых
H
∈ L
(
Z
), так что
М
=
М
(
Z
), и, следовательно, по теореме 4.2
модель является полной.
Можно обобщить диффузионную модель, обсуждаемую в этом
разделе, и все еще иметь полноту. Коэффициенты диффузии
а
ij
можно
сделать зависящими от прошлых и настоящих цен более или менее
произвольным способом, а коэффициенты дрейфа
µ
k
могут зависеть
даже от большего. (Мы не будем пытаться делать эти утверждения
точными, уже не говоря об их обосновании.) Но оказывается, что без-
рисковая процентная ставка должна быть детерминированной для по-
195
лучения полноты, хотя она может меняться со временем, и что коэф-
фициенты диффузии не могут зависеть от большего, чем от прошлых
и настоящих цен. Неизвестно, как определить это последнее свойство
точно, но пример процесса приводится в § 6.
Явные вычисления
Рассмотрим класс зависимых исков
X
, для которого можно вы-
числить достаточно явно ассоциированную цену
π
=
E
*(
β
Т
X
) и торго-
вую стратегию
ϕ
, которая порождает
X.
Конкретно, в этом подразделе
принимаем, что
X
= eхр (
rt
)
ψ
(
Z
T
) для некоторой
ψ
:
R
+
K
→
R
+
. (4.57)
Поскольку
k
T
Z
= exp(
−rT
)
S
T
k
для
k
= 1,…,
K
, тогда
X
является
функцией только заключительных цен акций. Как обычно, всегда
удобнее проводить рассуждения в терминах процесса дисконтирован-
ных цен
Z
. Легко проверить, что если мы говорим об опционе-колл на
акцию типа
k
= 1 (с ценой исполнения
c
и датой истечения
T
), евро-
пейский опцион-колл, рассмотренный в § 1, соответствует функции
ψ
(
x
) = [
x
1
−
c
eхр(
−rt
)]
+
.
Пусть
X
задается формулой (4.57) и предполагается в дальней-
шем, что он является интегрируемым, т. е.
π
=
E
*(
β
Т
X
) =
E
*(
Х
eхр (
−rТ
)) =
E
*[
ψ
(
Z
T
)] <
∞
.
Тогда из результата полноты (см. предыдущий подраздел) мы знаем,
что
X
является достижимым по цене
π
. Кроме того, мы знаем из § 3,
что процесс дисконтированных стоимостей
V
* =
V
*(
ϕ
) для всякой
ϕ
,
порождающей
X
, определяется соотношением
V
t
* =
E
*(
β
Т
X
|
F
t
) =
E
*[
ψ
(
Z
T
)
|
F
t
], 0
≤
t
≤
T
. (4.58)
Наша цель состоит в том, чтобы вычислить
V
* и, следовательно,
π
(так как
π
=
V
0
*). Сначала определим функцию нормальной плотно-
сти
Г
t
(
z
) = (2
πt
)
−
K/
2
exp (
−
|
z
|
2
/
2
t
) (4.59)
для
t
> 0 и
z ∈
R
K
. Заметим, что
Р
*
{
(
ξ
Т
−
ξ
t
)
∈
dz
|
F
t
}
= Г
Т
−
t
(
z
)
dz
, (4.60)
196
т. е. (
ξ
Т
−
ξ
t
) является независимым от
F
t
и имеет плотность Г
Т
−
t
(
.
)
при
Q
. Это следует из утверждения 4.8 и того факта, что F = F
ξ
.
Да-
лее, соотношения (4.50) и (4.52) дают нам
Z
T
=
h
(
Z
t
,
Λ
(
ξ
Т
−
ξ
t
),
T
−
t
), 0
≤
t
≤
T
. (4.61)
Таким образом, на основе соотношений (4.58)
−
(4.61) мы имеем
V
t
* =
E
*[
ψ
(
h
(
Z
t
,
Λ
(
ξ
Т
−
ξ
t
),
T
−
t
))
|
F
t
] =
=
∫
Γ−Λψ
dzztTzZh
tt
)()),,((
, (4.62)
где интеграл вычисляется по
R
K
.
Определяя
f
*(
x
,
t
) =
∫
ΓΛψ
dzztzxh
t
)()),,((
(4.63)
для
x
∈
K
+
R
и
t
≥
0, формулу (4.62) запишем более компактно:
V
t
* =
f
*(
z
,
T
−
t
), 0
≤
t
≤
T
. (4.64)
В частности, окончательная формула для стоимости
X
имеет вид
π
=
V
0
* =
f
*(
Z
0
,
T
). (4.65)
Очевидно, что равенства (4.63) и (4.65) дают явную формулу вы-
числения стоимости без дополнительной информации относительно
функции выплат
ψ
.
Чтобы определить торговую стратегию, которая порождает
X
,
вычислим дифференциал от
V
* по формуле (4.64) и формуле Ито, за-
мечая, что
f
* имеет необходимую регулярность по ее определению
(4.63). Обозначив через (
∂
f
*/
∂
u
) частную производную
f
* по ее вто-
рому аргументу и используя (4.48), имеем
dV
t
* = ,),(**
),(*
1
dttTZf
u
LdZ
x
tTZf
t
K
k
k
t
k
t
−
∂
∂
−+
∂
−∂
∑
=
(4.66)
где
L
* – линейный оператор частного дифференцирования
L
* =
∑∑
==
∂∂
∂
K
i
K
j
ji
ji
ij
xx
xxa
11
2
2
1
.
197
Отталкиваясь от того факта, что Г
t
(
z
) удовлетворяет уравнению
теплопроводности
∑
=
Γ
∂
∂
=Γ
∂
∂
K
k
t
k
t
z
z
z
t
1
2
2
)(
2
1
)(,
и выполнив все преобразования, которые определяют
f
* в (4.63),
можно проверить, что (
∂
/
∂
u
)
f
* =
L
*
f
*. Таким образом, приняв
ϕ
t
k
=
k
x∂
∂
f
*(
Z
t
,
T
−
t
), 0
≤
t
≤
T
,
k
= 1,…,
K
,
мы видим, что (4.66) дает
V
t
* =
V
0
* +
∑
∫
=
ϕ
K
k
t
k
t
k
t
dZ
1
0
, 0
≤
t
≤
T
. (4.67)
Тогда утверждение 4.7 показывает, что стратегия
ϕ
= (
ϕ
1
,…,
ϕ
K
)
порождает
X
, где составляющая
ϕ
0
задается соотношением
ϕ
t
0
=
V
t
*
−
∑
=
ϕ
K
k
k
t
k
t
Z
1
=
f
*(
Z
t
,
T
−
t
)
−
∑
=
ϕ
K
k
k
t
k
t
Z
1
.
Из общего результата представления (утверждение 4.7) и полно-
ты (см. выше) мы знаем, что процесс
V
t
* =
f
*(
Z
t
,
T
−
t
) может быть
представлен в форме (4.67), а из (4.66) мы видим, что дело обстоит
так, если и только если
f
* удовлетворяет дифференциальному уравне-
нию (
∂
/
∂
u
)
f
* =
L
*
f
*. Таким образом, дифференциальное уравнение
возникает здесь как логическое последствие различных общих рассу-
ждений. В отличие от этого Блэк и Шоулс впервые получили свою
формулу определения цены опциона путем решения аналогичного
дифференциального ур авнения.
Поскольку все вычисления в этом параграфе сделаны в терминах
дисконтирования, они строго не состыковываются с более ранним оп-
ределением цены опциона, рассмотренным в § 1. Однако такую сты-
ковку всегда можно сделать, переходя от прежнего обсуждения к ис-
пользованию дисконтирования. В частности, стоимость опциона-колл
f
(
x
,
t
) определяемая формулой (4.5), может быть получена из формулы
(4.63) для функции
ψ
(
x
) = [
x
1
−
c
exp (
−rT
)]
+
, как указывалось ранее.
198
§ 6. ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ
Приведем четыре конкретных примера, иллюстрирующих разно-
образие и некоторую запутанность, с которой каждый сталкивается в
моделях с непрерывной торговлей. Первый пример представляет тор-
говую стратегию, которая приводит к банкротству. Остающиеся три
выбраны так , чтобы пролить свет на важный предмет полноты. Мы не
делаем какой-либо попытки связать эти примеры с реалистическими
проблемами, и анализ их не является ни систематическим, ни строгим.
Стратегия банкротства
Рассмотрим модель Блэка
−
Шоулса (см. § 1), конкретизирован-
ную на случай
r
= 0 (так, чтобы
S
0
= 1),
T
= 1, и
1
0
S
= 1. Как прежде,
S
0
и
S
1
мы называем соответственно процессом цены облигации и про-
цессом цены акции. В качестве первого шага при построении страте-
гии банкротства (см. § 3) предположим, что
b
> 0 и рассмотрим стра-
тегию
τ≤≤=−
τ≤≤=+
=ϕ
,иначе0
),(0,1если,
),(0,0если,1
btkb
btkb
k
t
где
τ
(
b
) = inf{
t
:
S
t
1
= 1 + 1/
b
} = inf{
t
:
V
t
(
ϕ
) = 0}.
Инвестор начинает, имея один доллар богатства. Он продает
b
акций коротко и покупает (1 +
b
) облигаций, владея таким портфелем
вплоть до момента времени
t
= 1 или до разорения, в зависимости от
того, что наступает сначала. Согласно этой стратегии, вероятность ра-
зорения равна
p
(
b
) = рrоb(
τ
(
b
) < 1), и ясно, что
p
(
b
) увеличивается от
нуля до 1, когда
b
увеличивается от нуля до бесконечности . Продавая
коротко очень большое количество акций, инвестор делает свое соб-
ственное разорение почти достоверным, но он, вероятно, получит
много денег, если «выживет».
Однако шанс выживания может быть полностью устранен пу-
тем увеличения количества акций, проданных коротко, следующим
способом. На интервале времени [0, 1/2] мы следуем стратегии, изло-
женной в предыдущем абзаце с параметром
b
= 1. Тогда вероятность
разорения в течение интервала [0, 1/2] равна
p
≡
рrоb (
τ
(1)
≤
1/2). Если
τ
(1) > 1/2, мы приспосабливаем количество акций, проданных корот-
ко, к новому уровню
b
1
в момент времени 1/2, одновременно изменяя
199
количество облигаций, приобретаемых по способу самофинансиро-
вания. Конкретно число
b
1
выбирается так, чтобы сделать условную
вероятность разорения в течение интервала (1/2, 3/4] снова равной
р
.
В общем случае, если в некоторый момент времени
t
n
= 1
−
(1/2)
n
все
еще имеется положительное богатство, тогда мы корректируем
(обычно увеличивая) количество акций, продаваемых коротко, так,
чтобы условная вероятность разорения в течение (
t
n
,
t
n
+1
] снова была
равна
p
. Чтобы выдержать самофинансирование стратегии, количе-
ство приобретаемых облигаций, конечно, также нужно корректиро-
вать в каждый момент времени
t
n
. Тогда вероятность выживания через
время
t
n
равна (1
−
p
)
n
, т. е. стремится к нулю, когда
n
→
∞
(
t
n
→
1).
Таким образом, получим кусочно постоянную самофинансируемую
стратегию
ϕ
с
V
0
(
ϕ
) = 1,
V
(
ϕ
)
≥
0 и
V
1
(
ϕ
) = 0.
Модель точечного процесса
Рассмотрим модель с
K
= 1,
S
0
= 1 и
S
t
1
=
1
0
S
exp (
bN
t
−
µ
t
), (4.68)
где
N
= {
N
t
; 0
≤
t
≤
T
}
−
процесс Пуассона с интенсивностью
λ
> 0;
b
,
µ
−
положительные константы. Это модель Кокса и Росса (см. гл. 2), кон-
кретизированная для случая нулевой безрисковой процентной ставки.
Согласно равенству (4.68)
S
1
является процессом доходности (см. § 4)
R
t
1
= (exp (
b
)
−
1)
N
t
−
µt
. (4.69)
В качестве фильтрации
F
возьмем фильтрацию, порождаемую
S
1
.
Пусть
λ
* =
µ
/ (exp (
b
)
−
1) (4.70)
и
M
t
= (
λ
*/
λ
)
t
N
exp((
λ
−
λ
*)
t
), 0
≤
t
≤
T.
Учитывая, что
М
– строго положительный мартингал при
M
0
= 1,
определим эквивалентную вероятностную меру
Q
с помощью равен-
ства
dQ
=
M
T
dP
. По теореме о замене меры для точечных процессов
N
будет процессом Пуассона с интенсивностью
λ
* при
Q
. Из соотноше-
ний (4.69) и (4.71) следует, что
R
1
– мартингал при
Q
, и затем из пред-
ставления (4.68), что
S
1
является тем также. Следовательно,
Q
можно
принять в качестве нашей эталонной меры.
200
Процесс доходности
R
1
имеет свойство мартингального пред -
ставления в (
Ω
,
P
,
Q
), и легко проверить, что то же самое должно быть
справедливо для
S
1
. Таким образом, модель полна (см. § 3), и цена, ас-
социированная с любым интегрируемым зависимым иском
X
,
π
=
E
*(
X
), поскольку
β
= 1. Рассмотрим опцион-колл
X
= [
S
T
1
−
c]
+
.
Учитывая тот факт, что
N
имеет интенсивность
λ
* при
Q
, мы по-
лучаем формулу определения стоимости
π
=
E
*([
S
T
1
−
c]
+
) =
E
*(
[S
0
l
exp (
bN
T
−
µT
)
−
c
]
+
) =
=
∑
∞
=
+
−µ−λ
0
1
0
])(exp[)*(
!
1
n
n
cTbnST
n
.
Это является частным случаем (безрисковая процентная ставка
равна нулю) формулы, полученной в гл. 2. Точная торговая стратегия,
которая порождает этот зависимый иск
X
, может быть вычислена так
же, как в § 5.
Модель, которая не является полной
Пусть (
Ω
,
F
,
P
) будет вероятностным пространством, на котором
определено стандартное броуновское движение
W
= {
W
t
; 0
≤
t
≤
T
}, и
независимый процесс
σ
= {
σ
t
; 0
≤
t
≤
T
} такой, что
σ
t
=
≤≤
≤≤
<≤
.21ьювероятностс,)21(,3
,21ьювероятностс,)21(,1
,1ьювероятностс,)21(0,2
TtT
TtT
Tt
Пусть
K
= 1, предположим, что
S
0
≡
1 (безрисковая процентная
ставка всегда равна нулю), и определим
1
t
R
= ,
0
∫
σ
t
ss
dW
0
≤
t
≤
T
.
Таким образом, процесс доходности
R
1
для акций эволюциониру-
ет как броуновское движение без дрейфа с параметром диффузии
σ
2
=
4 на интервале [0,
T
/2), а затем подбрасывается монета. Если выпадает
201
герб, параметр диффузии увеличивается до
σ
2
= 9, но если выпадает
решка, то параметр диффузии уменьшается до
σ
2
= 1. Заметим, что
[R
1
,
R
1
]
t
=
∫
σ
t
s
ds
0
, 0
≤
t
≤
T
. (4.71)
Пусть фильтрация
F
порождается
R
1
или эквивалентно
S
1
, так что
инвесторы имеют доступ только к прошлой и настоящей информации
о ценах. Фильтрация
F
является той же, что и порождаемая
W
,
за ис-
ключением того, что по (4.71) и непрерывности
F
справа
F
t
пополня-
ется на интервале времени
T
/2
≤
t
≤
T
результатами подбрасывания
монеты. Очевидно, что
R
1
является мартингалом, и легко проверить,
что это же справедливо и для процесса цены
S
1
=
е
(
R
1
) = exp(
R
1
−
[
R
1
,
R
1
]/2). Конечно,
Z
1
=
S
1
, поскольку
β
= 1. Таким образом, мы можем
принять
P
в качестве нашей эталонной меры.
Легко доказать, используя тот факт, что
W
имеет свойство мар-
тингального представления для своей собственной фильтрации, что
каждый мартингал на (
Ω
,
F
,
P
) имеет форму
dM
=
ψ
1
dS
1
+
ψ
2
dσ
, 0
≤
у ≤
T
, (4.72)
где
ψ
1
и
ψ
2
предсказуемы.
Так как
Z
1
=
S
1
является непрерывным, только непрерывные мар-
тингалы
М
могут быть представлены как стохастические интегралы
относительно
Z
1
и по теореме 4.2 эта модель не полная. Инвесторы не
имеют достаточно доступных финансовых инструментов, чтобы ней-
трализовать все источники неопределенности.
Однако эта модель может быть сделана полной с помощью вве-
дения еще одной ЦБ. Пусть
S
t
2
=
=σ≤≤
=σ≤≤
<≤
.3,)21(,2
,1,)21(,0
,)21(0,1
T
T
TtT
TtT
Tt
Это процесс цены для билета, который может быть куплен (или про -
дан) по цене 1 доллар в любой момент времени до
T
/2. Если выпадает
герб (дисперсия увеличивается), билет будет стоить 2 долл., но билет
ничего не будет стоить, если выпадает решка. Билеты представляют
установленные суммы пари по результатам подбрасывания монеты, и