Маслов А.В., Григорьева А.А. Математическое моделирование в экономике и управлении: Учебное пособие. Гриф УМО

Подождите немного. Документ загружается.

первому фактору. Как уже говорилось, корреляционное отношение

изменяется в пределах от 0 до 1:

.10 



Если

,0



то при заданной

форме связи данный набор факторов вообще не объясняет изменение

изучаемого показателя, если

1



, то связь функциональная.

Корреляционное отношение вычисляется автоматически, если

используется ЭВМ.

Рассмотрим определение ошибок показателей множественной

регрессии. Ясно, что ошибки коэффициентов множественной

корреляции возрастают с увеличением числа взаимосвязанных

признаков. Это надо учитывать при его применении. Величина

RD 

называется коэффициентом множественной детерминации. Он

показывает, какая часть дисперсии функции объясняется вариацией

линейной комбинации аргументов при данных значениях

коэффициентов регрессии. Коэффициент детерминации ещё можно

вычислить по формуле:





. Чем он больше, тем нелинейнее

корреляционная зависимость. Проводится и качественный анализ

корреляционного уравнения. Он состоит в проверке соответствия знаков

и относительной величины полученных параметров (коэффициентов

регрессии) при отдельных факторах-аргументах экономическому

представлению об их влиянии на уровень и динамику исследуемого

показателя. Если такое соответствие имеется, формула может быть

признана годной. Если же его нет, необходимы дополнительный анализ

факторов, выявление причин, вызвавших их "неправомерное" поведение

в формуле, введение в первоначальное уравнение дополнительных

факторов, проверка исходных данных и т.д.

Среди статистических характеристик качества уравнений регрессии

можно выделить 2 группы характеристик: характеристика качества

исходной информации и характеристики качества уравнений регрессии.

Этим заканчивается регрессионный анализ.

Проверка значимости или адекватности уравнения регрессии

проводится по

– критерию, значение которого вычисляется по

формуле:

уру

ур

ДД









где

ур



– дисперсия, характеризующая отклонение линий регрессии от

фактических значений y (дисперсия регрессии или дисперсия,

обусловленная регрессией);



– общая дисперсия, характеризующая

отклонение реализаций y, вызванное случайностью y:

/ урxyY

ДДД 

121

Полученное значение F сравнивают с табличным значением

критерия, взятым из таблиц F – распределения при заданной

доверительной вероятности. Уравнение регрессии значимо и может

быть использовано для практических выводов, если

FF 

К характеристикам качества уравнений регрессии относится и

оценка точности аппроксимации.

Точность аппроксимации оценивается в процентах ошибкой

аппроксимации



, которая вычисляется по формуле

)(

100







xyy





Точность аппроксимации принято считать удовлетворительной при



<10



20%. Точность аппроксимации также может быть оценена

величиной остаточной дисперсии

уруy

ДДД

ост





. Чем меньше

.ост

тем выше точность аппроксимации, поэтому лучшей следует признать

такую линию регрессии, которая даёт наименьшее значение

.ост



по

сравнению с другими опробованными линиями.

Для подбора вида линии регрессии можно использовать и

корреляционное отношение

xy /





: чем больше его значение, тем точнее

аппроксимация.

Так как регрессионный анализ делается для конкретной выборки

результатов наблюдений, то оценка качества уравнений регрессии

зависит и от величины объёма этой выборки, числа полученных

значений каждого из факторов и результативного признака.

При этом, чем больше факторов учитывается, тем больше должен

быть и объём выборки. Минимально доступный объём выборки, при

котором оценка уравнения регрессии может быть использована для

практических выводов, как уже упоминалось,

.)86(

min

Nn 

Регрессионный анализ находит своё применение во многих

областях, в том числе при изучении так называемых производственных

функций. Они относятся к описательным (дескриптивным) моделям

производства и потребления, которые, в свою очередь, относятся к

моделям экономических процессов на уровне народного хозяйства в

целом.

Производственной функцией называется соотношение

),,...,,(

21 n

xxxfy 

описывающее зависимость объёмов выпуска

продукции

от величины ресурсов

, …,

На народнохозяйственном (макроэкономическом) уровне

неосуществимо точное математическое описание этой зависимости,

поэтому разработка производственной функции требует выделения

наиболее существенных факторов и максимального упрощения их

122

связей. В качестве факторов-аргументов

,…,

обычно

выступают трудовые ресурсы, производственные фонды, используемые

земельные площади и другие.

Производственные функции являются, как правило, уравнениями

регрессии, полученными в результате статистической обработки данных

о величине затрат ресурсов и выпуска продукции.

В качестве примера производственной функции можно привести

производственную функцию Кобба-Дугласа, имеющую вид:

xxay 

В функции Кобба-Дугласа y означает величину общественного

продукта;

– затраты труда;

– объём производственных фондов;

 a

. Заметим, что степенные производственные функции

вида

xxxay ......



(или же в сокращённой записи

xПay



)

являются наиболее типичными.

Важную роль в экономическом анализе играет ряд специальных

показателей, полученных на основе производственной функции:



– средняя удельная эффективность использования ресурса. Этот

показатель представляет собой среднее количество продукции,

приходящееся на единицу i-го ресурса:





Для функции Кобба-Дугласа



– это средняя производительность

труда,



– средняя фондоотдача.



– предельная эффективность использования ресурсов.

Экономический смысл показателя предельной эффективности состоит в

том, что он показывает, сколько дополнительных единиц продукции

может принести дополнительная единица определённого ресурса:









– коэффициент эластичности выпуска продукции от затрат

различных ресурсов. Он показывает, на сколько процентов может

увеличиться объём производства при увеличении затрат того или иного

ресурса на 1%:









Производственная функция в виде произведения степенных

функций обладает многими достоинствами: включает небольшое число

имеющих явный экономический смысл параметров, имеет производные

высших порядков, в большинстве случаев удовлетворительно

выравнивает эмпирические данные, весьма удобна для оценки

параметров (в частности, благодаря тому, что является линейной

123

относительно логарифмов:

xaay logloglog







). Эта функция

включает только безусловно необходимые ресурсы. Если какой-либо

0

, то

0y

. Параметр

интерпретируется как показатель общей

эффективности ресурсов.

В макроэкономических исследованиях производственная функция

была впервые применена К. Коббом и П. Дугласом (США) в 20-х годах

XX в. для изучения связей между общим объёмом общественного

продукта (национального дохода) и двумя важнейшими факторами

производства – рабочей силой и основными производственными

фондами. Построенная ими производственная функция имела вид:

CaLy





, где

– затраты труда,

– затраты производственных

фондов или капитала, при этом

1



(производственная функция в

этом случае, как говорят, однородна).

Макроэкономические производственные функции применяются как

инструмент прогнозирования объёма валового общественного продукта,

конечного продукта и национального дохода для анализа сравнительной

эффективности основных факторов экономического роста.

Важнейшим условием роста производства и производительности

труда является увеличение фондовооружённости труда. Так, при

условии

1



из производственной функции Кобба-Дугласа

получаем следующее соотношение между производительностью труда













и фондовооружённостью труда





























. Поскольку имеем

10 



, то производительность труда растёт медленнее

фондовооружённости. Этот вывод (как и многие результаты анализа,

проводимого на основе рассматриваемых производственных функций)

всегда справедлив только для статического случая, т.е. в рамках

существующих технических условий и качественных характеристик

используемых ресурсов.

Параметры макроэкономических производственных функций

обычно определяются путём обработки динамических рядов и поэтому

отражают влияние научно-технического прогресса и других факторов

интенсификации общественного производства. По этой причине сумма

коэффициентов эластичности (степень однородности) в построенных

производственных функциях, как правило, больше единицы. И вообще,

с производственными функциями нужно быть осторожнее, т.к. они не

отражают кризисные явления (кризис в США 1929-34 г.г. не был

предсказан этими функциями), носят описательный характер.

Производственные функции применяются не только в

макроэкономических расчётах на уровне народного хозяйства, но и на

124

уровне предприятий. Частными случаями производственной функции

можно считать функции издержек (зависимость объёма выпуска

продукции от издержек производства), функции капитальных затрат

(зависимость потребных инвестиций от производственной мощности

предприятий) и другие.

Вопросы для самопроверки

Что изучает регрессионный анализ?

Можно ли регрессионный анализ рассматривать как один из

методов моделирования случайного процесса?

Общий вид линейной многофакторной модели.

Уравнение регрессии в общем виде и в матричной форме.

Виды регрессии, понятие линии регрессии, возможные виды

уравнений парной зависимости.

Этапы метода наименьших квадратов построения уравнения

регрессии.

Итоговые системы нормальных уравнений для нахождения

коэффициентов регрессии линейной, квалратической и

гиперболической зависимости.

Метод проверки адекватности гипотезы о подходящем выражении

для данной зависимости факторов.

Коэффициент эластичности при парной и множественной

регрессии.

Показатели коэффициента корреляции, индекса корреляции, их

расчёт.

Задачи и методы их решения на ЭВМ при проведении

многофакторного регрессионного анализа.

Явление мультикорреляции при регрессионном анализе.

Расчёт коэффициента частной корреляции, их отличие от

коэффициента парной корреляции.

Показатели количественной оценки результатов регрессионного

анализа.

Определение ошибок показателей множественной регрессии.

Группы статистических характеристик качества уравнений

регрессии.

Проверка значимости уравнения регрессии по

– критерию.

Понятие производственной функции. Функция Кобба-Дугласа как

пример производственной функции.

Специальные показатели, получаемые на основе производственной

функции.

125

Достоинства и недостатки производственной функции как

инструмента экономического анализа.

Применение регрессионного анализа в различных отраслях

народного хозяйства.

126

Тема 9 Игровые методы обоснования решений

Основные термины

Одна из задач теории оптимальных решений – принятие решения в

условиях неопределённости. Для обоснования решений разработаны

специальные математические методы, которые рассматриваются в

теории игр. Теория игр принадлежит к наиболее быстро развивающимся

математическим дисциплинам. В 1927 г. французский математик Э.

Борель сформулировал "фундаментальную теорему" теории игр –

теорему существования оптимальных стратегий, которую в 1928 г.

доказал Дж. фон Нейман. А в 1944 г. появилась капитальная

монография по теории игр фон Неймана и О. Моргенштерна "Теория

игр и экономическое поведение". В дальнейшем теория игр

превратилась в самостоятельное математическое направление, имеющее

практическое применение.

Теория игр – это теория математических моделей конфликтных

ситуаций, интересы участников которых различны, причём они

достигают своих целей различными путями. Теория игр изучает

математические модели так называемых конфликтных ситуаций (т.е.

ситуаций, при которых интересы участников либо противоположны, и

тогда эти модели называются "антагонистическими" играми, либо не

совпадают, хотя и не противоположны, и тогда речь идет об "играх с

непротивоположными интересами"). Основоположники теории Нейман

и Моргенштерн попытались математически описать характерные для

экономики явления конкуренции как некую "игру".

В наиболее простом случае речь идет о противоборстве только

двух противников, например, двух конкурентов, борющихся за рынок

сбыта. В более сложных случаях в игре участвуют многие, причём они

могут вступать между собой в постоянные или временные коалиции,

союзы. Игра двух лиц называется парной; когда в ней участвуют n

игроков – это "игра n лиц"; в случае образования коалиций игра

называется "коалиционной". Необходимость анализировать такие

конфликтные ситуации, в свою очередь, привела к возникновению

теории игр, задачей которой является выработка рекомендаций по

рациональному образу действий участников конфликта.

Чтобы исключить трудности, возникающие при анализе

практических конфликтных ситуаций в результате наличия многих

несущественных факторов, строится упрощённая модель ситуации.

Такая модель и называется игрой. Конфликтная ситуация в игровой

модели развивается по определённым правилам. Естественной базой

127

для анализа конфликтных ситуаций служат широко распространенные

игры: шахматы, шашки, карточные игры. Поэтому теории игр

свойственна следующая терминология: "игроки" (стороны,

участвующие в конфликте), "выигрыш" (исход конфликта) и т.д.

Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие

решения (т.е. выбирает стратегию действий), которые, как он полагает,

обеспечивает ему наибольший выигрыш или наименьший проигрыш,

причём этому участнику игры ясно, что результат зависит не только от

него, но и от действия партнёра (или партнёров), иными словами, он

принимает решение в условиях неопределённости. Неопределённость

результата игры вызывается различными причинами, которые можно

разбить на три группы, соответственно и классифицируются игры:

1. Особенности правил игры вызывают такое разнообразие в её

развитии, что предсказать результат игры заранее невозможно.

Источники неопределённости такого вида называются

комбинаторными, а соответствующие игры – также комбинаторными.

Примером может служить шахматная игра. Однако комбинаторная

сложность игр носит исторически преходящий характер благодаря

использованию соответствующего математического аппарата и

вычислительной техники. (Например, компьютер в шахматы уже играет

с чемпионами мира, а когда-то только на уровне мастера). Для целого

ряда комбинаторных игр найдены выигрышные комбинации путём

решения логических задач не слишком большого объёма.

2. Другим источником неопределённости является влияние

случайных факторов. Игры, в которых исход оказывается

неопределённым исключительно в результате случайных причин,

называются азартными (игры в кости; игра, состоящая в отгадывании,

какой стороной упадёт монета; рулетка).

3. Третий источник неопределённости состоит в отсутствии

информации о действиях противника, о его стратегии. Игры такого рода

называются стратегическими.

Рассмотрим эти игры более подробно. Было уже сказано, что такие

игры могут быть парные и множественные. Так как наибольшее

практическое значение имеют парные игры, то рассмотрим только их.

Участников игры обозначим через А и В. При этом под игрой условимся

понимать некоторую последовательность действий (ходов) игроков А и

В, которая осуществляется в соответствии с чётко сформулированными

правилами. Правила определяют возможные варианты действий

игроков, объём информации каждой стороны о действиях другой,

результат игры, к которому приводит соответствующая

последовательность ходов. В большинстве игр предполагается, что

128

интересы участников поддаются количественному описанию, т.е.

результат игры определяется некоторым числом.

Ходом в теории игр называется выбор одного из предложенных

правилами игры действий и его осуществление.

Стратегией игрока называется план, по которому он совершает

выбор хода в любой возможной ситуации и при любой возможной

фактической информации. Естественно, что игрок принимает решение

по ходу игры. Однако теоретически можно предположить, что все эти

решения приняты игроком заранее. Тогда совокупность этих решений

составляет его стратегию. В зависимости от числа возможных стратегий

игры делятся на конечные и бесконечные. Задачей теории игр является

выработка рекомендаций для игроков, т.е. определение для них

оптимальной стратегии.

Оптимальной называется стратегия, которая при многократном

повторении игры обеспечивает данному игроку максимально

возможный средний выигрыш.

Простейший вид стратегической игры – игра двух лиц с нулевой

суммой (сумма выигрышей и проигрышей равна нулю), т.е. один игрок

выигрывает столько, сколько проигрывает другой. Игра состоит из двух

ходов: игрок А выбирает одну из своих возможных стратегий A

(i=1,2,

…,m), а игрок В выбирает стратегию B

(j=1,2,…,n), причём каждый

выбор производится при полном незнании выбора другого игрока.

Лучше всего игру продемонстрировать на примере.

Пример 9.1.

Исходные данные игры задаются в виде матрицы выигрышей (или

платёжной матрицы), все элементы которой положительные (табл. 9.1).

Любая матрица выигрышей, содержащая отрицательные элементы,

может быть преобразована в матрицу с положительными элементами,

если все её элементы увеличить на соответствующее положительное

число.

В этой задаче сторона А имеет три возможные стратегии: А

, А

сторона В – четыре возможные стратегии: В

, В

. Элемент с

матрицы выигрышей – выигрыш игрока А, если он выбрал стратегию A

а игрок В выбрал стратегию B

. Строки матрицы соответствуют

стратегиям A

, столбцы – стратегиям B

. Элементы матрицы выигрышей

могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Эти

элементы определяют суммы, которые сторона В обязана уплатить

стороне А в заранее определённой ситуации (A

) (это в том случае,

когда все элементы платёжной матрицы больше 0).

Если элемент матрицы отрицателен, то сторона А уплачивает

стороне В сумму, равную абсолютному значению элемента. Если

129

элемент равен нулю, то никакой выплаты не происходит. Требуется

определить оптимальные стратегии, максимизирующие средний

выигрыш первой стороны A.

Таблица 9.1

Условия игры в виде платёжной матрицы и

нахождение седловой точки игры

Наименьший

выигрыш А

min

35 35 3 10 3

24 1 6 90 1

40 60 10 15 10

Наибольший

проигрыш B

max

60 10 90

min

max

= 10

Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию A

; тогда в

наихудшем случае (например, если выбор станет известен игроку В) он

получит выигрыш, равный

min

. Предвидя такую возможность, игрок

А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой

минимальный выигрыш а. Принято говорить, что сторона А

руководствуется принципом максиминного выигрыша

min

max



То есть сторона А выбирает стратегию А

, которая гарантирует ей

наибольший (10) из трёх возможных наименьших выигрышей (3, 1, 10).

Определяемая таким образом величина а называется нижней ценой

игры, максиминным выигрышем, или сокращённо максимином.

Стратегия

, обеспечивающая получение а, называется

максиминной.

Если рассуждать аналогично, сторона В выберет стратегию В

которая гарантирует ей наименьший (10) из четырёх возможных

наибольших проигрышей (40, 60, 10, 90).

Принято говорить, что сторона В руководствуется принципом

минимаксного проигрыша:

max

min



Величина b называется верхней ценой игры, или минимаксом.

Соответствующая проигрышу b стратегия

– минимаксной.

130