Марголин В.И. Основы нанотехнологии

Подождите немного. Документ загружается.

лал их предикативными, т.е. позволяющими на основе расчетов предсказывать ре-

зультат физического явления или процесса и сравнивать его с экспериментом.

Предположение, что физическое явление или процесс можно смоделировать, а за-

тем описать системой дифференциальных уравнений, пусть и очень сложной - ис-

ключительно привлекательно. Оказалось, однако, что сложность окружающего ми-

ра

приводит к необходимости его упрощать, чтобы описать системой уравнений.

Что же касается вопроса о дискретности энергии и тесно связанного с энергией

понятия поля или волновой структуры, то тут ситуация оказалась довольно запу-

танной. С точки зрения квантовой механики в микромире энергия квантована, вол-

новые структуры могут проявлять корпускулярные свойства, а

элементарные час-

тицы - волновые, как это предписывает им принцип волнового дуализма Де-

Бройля. Таким вот образом разрешился вековой спор о том, что такое свет - волна

или частица. А и то, и то - как посмотреть. Депутат Госдумы - порядочный человек

или вор и проходимец? К сожалению, принцип волнового дуализма оставляет от-

крытым вопрос

о дискретности или континууминальности нашего мира. А вопрос

этот исключительно важный. Стоило московскому профессору Майкову предпо-

ложить (любит столица дурить голову православному народу), что основной по-

стулат квантовой механики - энергия дискретна и никакого континуума не сущест-

вует - действителен и в макромире, границу между микромиром и макромиром оп-

ределяет постоянная Планка,

имеющая размерность действия (энергия, умножен-

ная на время), как из этого полезли такие следствия, что хочется резко интенсифи-

цировать умственную деятельность путем чесания затылка.

Основной постулат Майкова, что макромир квантован, означает, что существу-

ет дискретность пространственно-временной метрики и в макромире существует

квант энтропии, равный постоянной Больцмана - 1,380662 10

Дж К

-1

. Из этого

следует, что имеется квант пространства (минимальный микроскопический объем,

зависящий только от температуры и для нормальных условий равный сфере радиу-

сом 3,8 мкм) и квант времени, равный 10

-14

сек (минимальный интервал, для кото-

рого имеет физический смысл различение прошлого, настоящего и будущего).

Квант пространства является короткоживущим мерцающим физическим класте-

ром, который за малый интервал времени можно рассматривать как целое. Струк-

тура пространственно-временной метрики дискретно эволюционирует, хотя и

очень незначительно, но это определяет существование "стрелы времени" - время

необратимо.

С точки зрения математики и формальной физики к теории Майкова

придраться пока нельзя, а кто прав - покажет будущее. Самое неудобное в ней, это

следствие, согласно которому имеется эффект электромагнитного дальнодействия

(мгновенной передачи информации) в конденсированной среде (для воды - 16 м) и

гравитационного дальнодействия (на несколько порядков более слабого), но с ра-

диусом для воды 10

м.

Глава III. Раздел 2. Основные понятия фрактальной геометрии и фрак-

тальной физики.

Примерно до середины прошлого века физика стремилась к идеализации окру-

жающего мира, который был разнообразен и многолик, один объект этого мира,

будучи даже очень похож на другой, все равно от него отличался, и чем глубже мы

их изучали, тем больше различий

обнаруживалось. Было от чего придти в отчаяние

и повеситься. Жаль, что многие этого решительного шага не сделали. С целью при-

ведения своих заскорузлых, но таких приятных, радующих глаз и удобных для рас-

чета представлений об идеальном физическом объекте они пытались строить моде-

ли объектов реального мира из простых геометрических фигур:

прямых линий,

правильных окружностей, кубов, параллелепипедов, сфер и многогранников. Клас-

сическая кристаллография имела дело исключительно с идеализированными фор-

мами, в которые пыталась запихнуть прекрасный окружающий мир (правда, не та-

кой уж и прекрасный, это я погорячился). Традиционные методы геометрии, широ-

ко используемые в естественных науках, в том числе в материаловедении и

меха-

нике деформируемых тел, основаны на приближенной аппроксимации структуры

исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, отрезками,

плоскостями, многоугольниками, многогранниками, сферами. При этом внутрен-

няя структура исследуемого объекта, как правило, игнорируется, а процессы обра-

зования структур и их взаимодействие между собой и с внешней средой характери-

зуются усредненными, интегральными параметрами. Это

приводит к утрате значи-

тельной части информации о свойствах и поведении исследуемых систем, которые,

в сущности, заменяются более или менее адекватными моделями, причем скорее

менее, чем более (чем больше женщину мы меньше, тем меньше больше она нам).

В некоторых случаях такую замену с натяжками можно считать оправданной, но,

известны ситуации когда

использование топологически неэквивалентных моделей

принципиально недопустимо.

При изучении достаточно массивных образцов с таким подходом можно было

если не согласиться, то смириться. Переход к нанотехнологии и уход в проблемы

наномира заставил искать новые геометрические и физические подходы. В 1975 г.

бельгийский математик Бенуа Мандельброт ввел понятие фрактала и фрактальной

геометрии для описания

реальных объектов и математических абстракций. На пер-

вых порах с абстракциями получалось гораздо лучше. Название фрактал Ман-

дельброт произвел от латинского "fractus", что означает дробный, ломаный, нере-

гулярный, фрагментарный, рекурсивный, создающий фрагменты неправильной

формы, и определил как структуру, состоящую из частей, которые в каком-либо

смысле подобны целой структуре. Определение это оказалось

чрезвычайно широ-

ким, поскольку под него попадают практически все объекты реального мира. Лю-

бая попытка как-либо уточнить это определение приводит к его неоправданному

сужению. В другой, тоже авторской трактовке, фрактал - это самоподобная струк-

тура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая

часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом. Фрактал,

инвариантный при обычном геометрическом преобразовании, называется самопо-

добным. Основной термин фрактал подразумевает неупорядоченность и относится

к структурам ярко выраженной иррегулярности, тогда как определение масштабно-

инвариантный означает наличие

некоторого порядка, хотя в окружающем мире нет

ничего строго однородного или строго масштабно-инвариантного.

Таким образом Мандельброт постулировал, что эта структура обладает иерар-

хичностью и масштабной инвариантностью (скейлингом), а одним из важнейших

свойств фрактала является свойство самоподобия, т.е. их вид не меняется в любом

пространственном масштабе. Сие означает сохранение

принципа подобия при раз-

личных уровнях рассмотрения структуры - в идеале от атомного силового микро-

скопа до наблюдений из кабины космического корабля (разумеется, российского

производства). Вырезав небольшую часть из структуры, имеющей свойства фрак-

тальности, мы можем рассмотреть ее в некотором увеличении и обнаружить, что

она подобна всей структуре в целом. Вырезав еще

более мелкую часть из уже вы-

резанной части и увеличив ее, мы опять же с немалым удивлением обнаружим, что

и она подобна первоначальной структуре. Если рассматривать идеальную фрак-

тальную структуру, такую операцию мы можем проделывать до бесконечности, и

даже самые микроскопические частички будут подобны структуре в целом. По-

скольку теоретики,

а особенно математики, никогда не слышали, а уж тем более не

применяли на практике такие скучные и прозаические веще, как предел делимости

материи, элементарная частица и прочее, то такая точка зрения имеет право на

жизнь в человеческом мозгу. Природные же и техногенные фракталы имеют четко

ограниченный интервал масштабов, в которых сохраняется

принцип фрактальности

и в которых они проявляют свою фрактальную природу. В реальности любой

фрактал имеет некоторый минимальный и максимальный масштаб длины, при

меньших или больших значениях этой длины самоподобие пропадает или наруша-

ется. Когда в форме фрактала появляются элементы случайности, говорят о "слу-

чайных фракталах". Говорить о самоподобии в этих

случаях можно, но только в

статистическом смысле, т. е. когда нельзя говорить о точных копиях, а только о

совпадении статистических характеристик (когда проводится усреднение по всем

статистически независимым реализациям объекта).

Основу фрактальной геометрии составляет так называемая аффинная геомет-

рия. Она использует понятие аффинного (линейного) пространства и оперирует его

свойствами. Множество R элементов х, у, z ... называется линейным (аффинным)

пространством, если:

1) каждым двум элементам х и у поставлен в соответствие элемент z, называе-

мый суммой элементов х и у и обозначаемый как х+у

2) каждому элементу х и каждому числу λ из некоторого поля поставлен в со-

ответствие элемент λх, называемый произведением числа

λ на элемент х.

Аффинная геометрия задает только соотношения между объектами аффинного

пространства. Фрактальные структуры состоят из точек, расположения которых за-

дано некоторым соотношением = > , аффинная геометрия служит математической

базой для описания фракталов. Мандельброт ввел также понятие размерности

фрактальных объектов (D).

Пусть мы имеем дело с круговым или сферическим объектом массой М и

радиусом R. Справедливо соотношение

М ~ R

, где Е - размерность (число коор-

динат) пространства. Для фрактальных объектов справедливо соотношение М ~ R

где D фрактальная размерность, не совпадающая с пространственной размерно-

стью. Отсюда можно сделать вывод, что фрактальная геометрия описывает объек-

ты с дробными размерностями.

Все сказанное выше свойственно только для геометрических фракталов. На

практике, в реальных физических системах фрактальная размерность D выполняет-

ся не для любых масштабов длины, а ограничивается верхними и нижними

преде-

лами фрактальных объектов, которые являются не самоподобными. Вводят поня-

тие локальной и глобальной фрактальной размерностей. Глобальная размерность

оценивает рост числа объектов бесконечно малого диаметра, необходимых для то-

го, чтобы покрыть данную форму и изменяется от размерности гладкого объекта до

размерности пространства. Её также называют размерностью Хаусдорфа - Безико-

вича. Локальная

размерность - размерность характеризующая "квазиобъем" этого

объекта с учетом протяженности соприкосновения общих элементов его форм и

изменяющаяся от размерности гладкого объекта до бесконечности. Еще одно на-

звание - мера Хаусдорфа. Для наглядности построим один из фрактальных геомет-

рических объектов (кривая Коха) и найдем его размерность.

Возьмем отрезок прямой единичной длины, назовем его

инициатором и разде-

лим на три равные части. Теперь среднюю часть выкинем и заменим ее двумя та-

кими же отрезками, равными 1/3 от первоначального и соединенными друг с дру-

гом и оставшимися отрезками, получив таким образом второе приближение - ло-

маную линию, составленную из четырех отрезков равной длины и назовем ее гене-

ратором. Далее каждый прямой отрезок получившейся ломаной линии будем пре-

образовывать согласно этому алгоритму. Будем повторять эту операцию до беско-

нечности, поскольку в математике нет понятия предела делимости материи. Каж-

дый раз мы делим отрезок на 3 части, среднюю выбрасываем и добавляем ломаную

линию, в результате чего первоначально прямой инициатор постепенно превраща

ется во все более длинную изощренного характера ломаную линию.

Поскольку на каждом шаге каждый отрезок разбивался на три части (а мог бы и

на четыре и более), то в итоге получаем фигуру, названную Ман-

дельбротом триадный терагон (от греческого слова терос - чудо-

вище, странное создание) Коха, длина стороны которого ε

при

каждом шаге уменьшается, стремясь в пределе к бесконечно малой величине, но

число таких сторон адекватно увеличивается, стремясь к бесконечности. При этом

при каждом шаге длина кривой Коха L(ε) увеличивается на треть и при бесконеч-

ном числе шагов длина линии бесконечна. На первом шаге алгоритма длина отрез-

ка ε составляет 1/3 от первоначальной. Тогда длина кривой Кох вычисляется про-

сто:

L = 4⋅1/3 = 4/3 = 1,33

На

втором шаге алгоритма длина элементарного отрезка ε = 1/9, соответственно

длина кривой:

L = 16⋅1/9 = 16/9 = 1,777

На третьем шаге алгоритма ε = 1/27 и длина кривой:

L = 64⋅1/27 = 64/27 = 2,370370

Процесс этот можно продолжить до бесконечности, заметив, что с увеличением

числа шагов n длина элементарного отрезка ε стремится к 0, а длина кривой L

стремится к бесконечности:

L = (4/3)

ε = (1/3)

где n= 1,2,3… и из этих выражений получаем: n = (1/lnЗ)⋅ln(1/ε). Подставляя n по-

лучим:

L = exp[n⋅ln(4/3)] = exp[(ln(4/3)/ln3]⋅ln(l/ε)

Обозначив D = ln4/ln3, получаем:

)(L

−

ε=ε

Из последнего соотношения видно, что постоянным показателем остается толь-

ко величина D, поскольку она не зависит от масштаба измерения и является харак-

теристикой данной линии "кривая Коха". Она называется фрактальной размерно-

стью. С геометрической точки зрения фрактальная размерность является показате-

лем того, на сколько плотно эта линия заполняет плоскость или пространство.

Ана-

логичным образом можно рассчитать фрактальную размерность других регулярных

фракталов, например, плоского регулярного фрактала - салфетки Серпинского и

множества других, измысленных математиками.

Логарифмируя, получим D =1п(4)/1п(3)=1,2618. Получается, что фрактальная

размерность линии больше, чем у линии, но меньше, чем у плоскости. На самом

деле мы имеем дело с особым физическим (или математическим) объектом

, отно-

сящимся к классу множеств. В зависимости от того, как мы его измеряем, он не-

сколько меняет свои параметры, а, возможно, и свойства. Это уже не линия, но еще

и не полноценная плоскость. Кривую Коха можно растянуть в прямую линию, по-

этому ее топологическая размерность равна единице. Фрактальная размерность,

равная 1,2618..

больше топологической, что и говорит о том, что кривая является

структурой, отличной от линии, но еще не ставшей плоскостью. Идеально гладкий

лист бумаги есть символ плоскости. Хорошо помятый лист бумаги в принципе

представляет собой фрактал, площадь которого зависит от того, как мы его измеря-

ем, хотя до акта помятости никаких сомнений не возникало. Перевод объекта в

иные рамки изменил его свойства. Интересный вопрос о фрактальной размерности

тонкой вуали, изготовленной из тонких нитей.

Другим математическим фракталом, имеющим аналоги как в нанотехнологии,

так и

в космогонии, является канторова пыль. Инициатором является единичный

отрезок прямой линии. Первый этап построения состоит в разделении интервала на

три части и удаления открытой средней части. С глаз долой, из сердца вон. Затем

удаляются средние трети у каждого из N=2 оставшихся отрезков. И так до беско-

нечности. Образовавшееся множество остатков С

определяется как двоичное, по-

скольку N=2, и называется канторовым дисконтинуумом, но Мандельброт предло-

жил его называть канторовой пылью.

В общем случае количество частей, называемое основанием, обозначается бук-

вой b, причем отношение между N-ой частью множества и всем множеством опре-

деляется коэффициентом подобия r = 1/b. Множество, полученное в результате

этих несложных манипуляций, самоподобно, а его размерность

определится, как:

6309,03ln/2ln)r/1ln(/NlnD

≈

Изменяя алгоритм построения (можно делить на 5 частей и удалять четные и

т.п.) можно получать и другие значения фрактальной размерности, лежащие в ин-

тервале 0 - 1. С топологической же точки зрения все канторовы множества имеют

размерность 0, так как по определению, любая точка канторова множества отделе-

на от любой другой, причем для ее

отделения ничего не надо удалять. С этой точки

зрения нет никакой разницы между дисконтинуумом С и конечным множеством

точек.

Свойство частей быть подобными всей структуре в целом называют самоподо-

бием. Интервал самоподобия различных природных объектов может содержать

масштабы от долей микрометра при рассмотрении структуры пористых горных по-

род и сплавов металлов

до десятков километров при рассмотрении рельефа мест-

ности и формы облаков. В качестве примеров естественных (природных) фракта-

лов можно привести деревья, облака, реку и разветвленную сеть ее притоков, сис-

тему кровообращения человека, "морозные" узоры на стекле и т.д. Самоподобие

предполагает, что копирование и масштабирование некоторого "эталонного" об-

раза позволяет

природе легко создавать сложную многомасштабную структуру.

Знать бы еще, как это делается, и можно было бы спокойно спать (хорошо бы не

вечным сном).

Другим важным свойством фракталов является их иерархичность, т.е. способ-

ность повторяться в разных масштабах пространства и времени. Однако, существу-

ет четкий, но не всеми признанный, критерий принадлежности

объекта к фракта-

лам - объект нельзя считать фрактальным, если он не обладает свойством самопо-

добия, но можно - если он не иерархичен.

Математические фракталы обладают удивительной и неповторимой красотой.

Сейчас известно громадное количество алгоритмов их построения и использование

самых разных инициаторов и генераторов. В Интернете можно найти целые гале-

реи различных математических фракталов. На

рис. 3.2.1 приведен в качестве примера мате-

матический фрактал под названием "дракон

Пеано", а на рис. 3.2.2 математический фрак-

тал

"губка Менгера" с фрактальной размерно-

стью D = 2, 7268.

Фрактальный агрегат каждого вещества

формируется при определенных физических

условиях, которые до конца не поняты. Тем не

менее то, что уже известно, дает возможность

использовать законы образования фракталь-

ных агрегатов для создания материалов с не-

обычными физическими свойствами. Так,

можно создавать материалы, способные по-

глощать

электромагнитное излучение в доста-

точно широком диапазоне длин волн, новые красители, жидкокристаллические

системы, наноструктуры, твердые веще-

ства с пористостью до 99% и новые тех-

нологии борьбы с накипью в паровых

котлах и энергетических установках, и

конечно же - как можно было забыть -

новые образцы смертоносного оружия.

Рис. 3.2.1 Математический фрактал

"дракон Пеано".

Реальные физические структуры, как

природные, так и

техногенные, могут яв-

ляться (а чаще всего и являются) суммой

или разностью множеств с различной

фрактальной и топологической размер-

ностью. Причем ни одно из этих мно-

жеств нельзя исключить из рассмотрения без потери информации об объекте, даже

если они пренебрежимо малы как во фрактальном, так и топологическом смысле.

Такую совокупность

множеств принято называть неоднородным фракталом.

Рис. 3.2.2. Математический фрактал

"губка Менгера"

Много вещей вокруг нас выглядят похоже вне зависимости от степени их уве-

личения. Многообразие Природы поражает, но подобие можно находить в ветвях

деревьев, горах, облаках, реках и фактически повсюду в природе. Подобны друг

другу и абсолютно различные объекты - капиллярная система человека и дельта

реки, структура холма

и структура фрактальной наноразмерной пленки. Когда час-

ти некоторой фигуры подобны всей фигуре, это называется самоподобием. Само-

подобие также находится фактически во всех математически созданных искусст-

венных фракталах.

Работа Мандельброта не являлась причудой впавшего в маразм теоретика, а

была связана с реальной, насущной задачей, получившей название "Определение

длины береговой линии". На самом деле проблема была в том, что длина государ-

ственной границы между двумя государствами оказывается разной

для одного го-

сударства и для другого. Для Испании - Португалии и Бельгии - Нидерландов эта

разница, согласно официальным сведениям, опубликованных в справочниках, со-

ставляет до 20 %, что может привести даже к локальному конфликту, несмотря на

то, что эти государства полностью привержены изумительным общечеловеческим

западным демократическим ценностям, с энтузиазмом борются за права человека,

обезьяны и клопа домашнего обыкновенного и даже говорят практически на одних

и тех же языках. А вот длина общей границы разная - какой пассаж! Как в анекдоте

про крокодила, у которого от носа до хвоста 3 метра, а от хвоста до носа всего два.

Так ведь одно дело крокодил, а другое дело серьезная

государственная проблема.

Цифры-то официально в справочниках опубликованы, а разные, - как тут докумен-

ты согласовывать и подписывать?

Для начала рассмотрим более простую задачу об определении длины береговой

границы озера, где и живут те самые крокодилы. Если диаметр озера представить

величиной R, то площадь поверхности этого озера S = πR

. Проведем измерение

периметра этого озера. Интуитивно кажется ясным, что длина береговой линии

озера L не должна зависеть от того, какой линейкой мы ее измеряем. Однако, как

ни странно, это совершенно не так. Возьмем 100-метровую линейку и проведем

измерение таким образом, чтобы концы линейки были на границе раздела вода-

суша. Полная длина

ломаной линии - это периметр озера. Затем возьмем 10 метро-

вую линейку и с ее помощью измерим периметр озера. В этом случае он будет

большим и будет лежать внутри предыдущего. Если же измерить периметр озера 1

метровой линейкой, то он увеличится еще больше, и так далее. С каждым увеличе-

нием точности метрологического инструмента величина

казалось бы неизменной

береговой линии все время увеличивается. Таким образом получается, что пери-

метр озера зависит от масштаба измерения. По мере того как длина линейки (мас-

штаб измерения) уменьшается, длина ломаной линии возрастает как L = I(R / I)

где I -величина используемого масштаба. Параметр D является фрактальной раз-

мерностью береговой линии.

Береговая линия озера является множеством, занимающим промежуточное по-

ложение между обычной линией (D = 1) и поверхностью (D = 2), причем величина

1 < D < 2 тем больше, чем более изрезанным и неоднородным является берег. Со-

вершенно аналогичная ситуация при определении государственной границы. Раз-

ные страны измеряли ее разным

масштабом измерения. Те, что поменьше - более

тщательно, те, что покрупнее - более безалаберно. Вот и получилась разница аж в

20 километров. Отсюда следует вывод, что все границы между государствами, бе-

реговые линии, границы облаков и людских толп, вопящих на площадях - суть

фрактальные объекты. С определенными, очень грубыми допущениями, их можно

аппроксимировать кривой Коха, но лучше этого не делать, а честно преодолевая

немыслимые трудности заняться измерением фрактальной размерности реальных

физических

объектов.

Еще более интересным является анализ реальных объектов, которые можно со-

поставить с канторовой пылью. С одним из них каждый из нас знаком от момента

рождения до момента наступления летального исхода. Речь идет о системе крово-

обращения, которая состоит из двух подсистем - артериальной и венозной. Первая

из них получает кислород от

легких и доносит и другие необходимые для жизне-

деятельности клеток ингредиенты до каждой клетки, а вторая удаляет из них про-

дукты метаболизма. Это значит, что в принципе является абсолютно необходимым,

чтобы и артерия, и вена были расположены бесконечно близко от любой клетки

или точки тела, — исключая, разумеется, точки, находящиеся внутри

артерий или

вен. Мандельброт сформулировал это еще более странно: каждая точка ткани, не

относящей системе кровообращения, должна лежать на границе между двумя кро-

веносными системами. При этом существует еще конструкторское ограничение,

заключающееся в том, что кровь нужно экономить, особенно если в ней большой

процент алкоголя. Отсюда полный объем всех артерий и

вен должен составлять

лишь малый процент от объема тела, оставляя основную часть пространства тка-

ням. В человеческом организме вся кровь объемом около 5 литров в течение одной

минуты полностью прокачивается сердцем через сеть капилляров общей длиной

порядка 100 тысяч километров.

С точки зрения классической физики и евклидовой геометрии, эти требования

невыполнимы, аномальны

и анормальны, однако мы, как ни странно живем, при-

чем некоторые очень даже и неплохо (не о нас с вами речь). Искомая фигура

должна быть топологически двумерной, так как она образует границу, общую для

двух топологически трехмерных фигур, причем требуется, чтобы ее объем являлся

одновременно не только пренебрежимо малым по сравнению

с объемами фигур,

которые она ограничивает, но и гораздо больше этих объемов. Как не вспомнить

великого Гашека с идеей существования внутри земного шара другого, по размеру

гораздо больше наружнего. Однако, что недоступно жалкому гуманитарию, то дос-

тупно фрактальному физику.

Одно из достоинств фрактального подхода к анатомии заключается в том, что

вышеуказанные требования прекрасно сочетаются друг с другом. Вены и артерии

являются стандартными трехмерными областями, поскольку в них должны цели-

ком умещаться сферы малого радиуса (кровяные шарики). С другой стороны, сосу-

ды занимают очень небольшую долю от общего объема тела. Ткань - иное дело; в

ней нет ни одного участка, сколь угодно малого

, который не был бы пересечен и

артерией, и веной. Ткань представляет собой фрактальную поверхность: ее тополо-

гическая размерность 2, а фрактальная размерность 3. В таком виде вышеприве-

денные критерии теряют всю свою экстравагантность, а система представляет со-

бой одну из разновидностей канторова множества.

С помощью фрактальной физики легко объясним и такой парадокс, как эффект

пылающего неба, заключающийся в

том, что в случае бесконечной Вселенной в

ней бесконечное количество звезд, и небо ночью должно просто пылать. Отсутст-

вие пылающего неба объясняется очень просто. Поскольку количество излучаемо-

го звездой света прямо пропорционально площади ее поверхности, количество све-

та, достигающее наблюдателя, находящегося от звезды на расстоянии R, должно

быть пропорционально 1/R

, но площадь видимой поверхности звезды также про-

порциональна 1/R

. Таким образом, отношение количества света к видимому сфе-

рическому углу не зависит от R. Кроме того, если распределение звезд во Вселен-

ной равномерно, то практически любое направление взгляда рано или поздно

встретит какую-нибудь звезду. Следовательно, небо освещено звездным светом

равномерно и выглядит пылающим.

Если же допустить, что Вселенная фрактальна и

что ее размерность D < 2, то

парадокс разрешается сам собой. В этом случае проекция Вселенной на небесный

свод является фрактальным множеством той же размерности D, т.е. множеством

нулевой площади. Даже если звезды имеют ненулевой радиус, большая часть на-

правлений уходит в бесконечность, не встречая на своем пути ни одной звезды. Ес

ли смотреть вдоль этих направлений, то мы увидим только черноту ночного неба.

Если за интервалом, в котором D < 3, следует интервал, в котором D = 3, то фон

неба будет не строго черным, но чрезвычайно слабо освещенным. Это простое рас-

суждение является еще одним кирпичиком в здание теории фрактальной Вселен-

ной, причем неважно, конечной или

нет.

Важным понятием фрактальной геометрии и фрактальной физики является

перколяция. Бродбент и Хаммерсли рассмотрели общую ситуацию, возникающую

при случайном распространении жидкости через среду, когда абстрактные терми-

ны "жидкость" и "среда" могут быть интерпретированы в соответствии с физиче-

ским смыслом задачи. В обычных процессах диффузии случайность есть не что

иное, как случайные

блуждания частиц жидкости. Примером могут служить нере-

гулярное тепловое движение молекул в жидкости. Другой пример случайности,

Хаммерсли назвал протеканием, или перколяционным процессом, поскольку жид-

кость в среде ведет себя, как вода в перколяторе (кофеварке).

Диффундирующая частица может достигать любой точки в среде. Иначе обсто-

ит дело в случае перколяции. Наиболее

характерной особенностью перколяцион-

ных процессов является существование порога протекания, ниже которого процесс

распространения жидкости ограничен конечной областью среды. Жизненно важ-

ным примером является просачивание радиоактивных отходов в трещины и разло-