Марголин В.И. Основы нанотехнологии

Подождите немного. Документ загружается.

ной интерпретации мультифрактального формализма позволяют извлекать допол-

нительные сведения о различных процессах, например, разрушений в реальных ма-

териалах. Значения фрактальных размерностей структур поверхностей изломов,

лежат в довольно узком диапазоне (1,9 < D < 2,0), что свидетельствует об ограни-

ченности параметризации структур с помощью лишь одной величины фрактальной

размерности.

Мультифрактальный формализм может служить основой эффективной количе

ственной параметризации структур материалов, количественно отражая такие

свойства структур как сложность, упорядоченность и неоднородность. Мультиф-

рактальный формализм предоставляет дополнительные возможности для прогно-

зирования механических свойств материалов и для предсказания возможных путей

эволюции структуры при внешних воздействиях, а также для оптимизации струк-

тур материалов.

Идея о том, что фрактальная мера может

быть представлена взаимосвязанными

фрактальными подмножествами, изменяющимися по степенному закону с различ-

ными показателями, открывает новый простор для применений фрактальной гео-

метрии к физическим системам. Исследование мультифракталов представляет со-

бой быстро развивающуюся область физики фракталов. Ведущее положение и при-

оритет в использовании концепции фракталов в исследовании металлических ма-

териалов принадлежит школе профессора

В.С. Ивановой. Первый вариант методи-

ки мультифрактальной параметризации структур материалов был создан в 1993 г. в

Лаборатории прочности металлических материалов ИМЕТ РАН Встовским Г.В.,

Колмаковым А.Г. и Терентьевым В.Ф.

Возможны два пути генерации мультифрактала: 1) геометрическое построение,

в процессе которого исходный фрагмент делится на несколько блоков, число и

вза-

имное положение которых затем изменяются, и процесс многократно повторяется;

2) метод свертывания, где в отличие от предыдущего построения остаются посто-

янными как число блоков, так и полная величина их физической меры (например,

масса); сам же процесс построения сводится к сжатию блоков (свертыванию).

Особый интерес представляет генерация меры по "рельефу" плоского

изобра-

жения структуры (микрофотографии). Современные компьютерные технологии по-

зволяют любую микрофотографию представить в оцифрованном виде, если она из-

начально уже не была получена именно таким образом, как матрица дискретных

одинаковых по размеру элементов изображений - пикселов. Пикселы - это "точки"

различных цветов, уровней серости и пр. Каждому пикселу приписывается три чи-

словых характеристики

(координаты): две из них задают положение пиксела на

плоскости изображения а третья характеристика задает его полутоновую характе-

ристику или цвет. Цветовые характеристики пикселов задаются целыми числами:

от 0 до 16, от 0 до 256 или от 0 до 256 - для цветных изображений, от 0 до 256 - для

серых изображений и 0 - 1 - для черно-белых изображений (бинарные матрицы из

нулей

и единиц). "Координаты" пикселов на плоскости представляют собой номера

рядов и колонок в матрице пикселов (с помощью которой представляются изобра-

жения в цифровом виде) и также задаются целыми числами. Значение цветовой ха-

рактеристики можно интерпретировать как высоту рельефа в данной точке (пиксе-

ле) изображения. Таким образом, используя цветовую характеристику пиксела как

обычное число, можно представить себе плоское изображение в

виде рельефа по-

верхности в трехмерном пространстве. Причем координаты точек этой поверхно-

сти имеют целочисленные значения.

При изучении топографических структур вместо характеристик цвета можно

использовать и непосредственно значение высоты рельефа изучаемой поверхности

(после нормировки и/или дискретизации для получения целочисленных значений

высоты). Примером таких структур могут служить трехмерные цифровые изобра

жения поверхности материалов, полученные с помощью туннельного зондового,

атомно-силового или растрового электронного микроскопов. Генерируемая по ха-

рактеристике цвета или высоты мера на множестве элементарных ячеек мера мо-

жет непосредственно использоваться для мультифрактального анализа изображе-

ний. Таким образом, при разбиении охватывающего пространства, в котором со-

держится изучаемый объект, на нем

можно генерировать меру, распределение не-

которой эффективной не меняющей свой знак величины. Сам объект называется

носителем меры. Такая интерпретация мультифрактального формализма не являет-

ся единственной. Имеются интерпретации Мандельброта, термодинамическая и

информационная. Последняя дает ряд дополнительных возможностей и позволяет

вводить характеристики упорядоченности и однородности упорядоченных струк-

тур и измерять относительную величину степени

нарушения фрактальной симмет-

рии.

Для практических расчетов применяется метод генерации мер огрубленных

разбиений (МГМОР). При использовании данного метода охватывающее изучае-

мую структуру пространство разбивается на как можно более "мелкие" равные

элементарные ячейки определенного размера. Их величина может определяться ус-

ловиями эксперимента, способом представления наблюдаемой структуры, чувстви-

тельностью аппаратуры и пр.

Форма ячеек предполагается кубической в трехмер-

ном пространстве или квадратной для изучаемой структуры на плоскости. Размеры

элементарных ячеек во всех направлениях предполагаются равными, что является

дополнительным условием, наложенным на равноячеечное разбиение. Число эле-

ментарных ячеек должно быть достаточно большим. Практически во всех случаях

исследования мультифрактальных свойств реальных объектов, введение такого

разбиения

и вычисление на нем меры, соответственно природе изучаемых объек-

тов, реально осуществимы.

Конкретный практический алгоритм выглядит следующим образом. Оцифро-

ванные изображения представляют собой матрицы точек - пикселов, каждый со

своей цветовой характеристикой, которая фактически является целым числом. Если

каждое такое число разделить на сумму всех чисел на фотографии, то получится

мера для каждого пиксела. Теперь на основе этой меры можно сгенерировать меры

огрубленных разбиений изображения на большие ячейки из 2х2, 3х3 и т.д. пиксе-

лов, просто складывая меры отдельных пикселов в укрупненных ячейках. Таких

разбиений можно сделать

довольно много, если удачно выбрать размер изображе-

ния в пикселах.

Для случая плоских бинарных структур после дискретной аппроксимации их

изображений получаются двухмерные матрицы нулей и единиц и далее проводится

ряд последующих разбиений матриц на более крупные ячейки и построением для

каждого разбиения характеристической меры в виде равноячеечного распределе-

ния единиц.

Для вычисления мультифрактальных характеристик пределы при пе-

реходе к бесконечно измельченным разбиениям заменяются на производные, или

наклоны, которые можно оценить в логарифмических или полулогарифмических

осях методом наименьших квадратов, посчитав суммы по нескольким огрублен-

ным разбиениям для каждого q из заданного интервала с заданной частотой.

Способ вычисления мультифрактальных характеристик состоит в том, что

ис-

пользуя набор огрубленных разбиений с их мерами для каждого разбиения рассчи-

тывается его обобщенная корреляционная функция для всех заданных величин q из

некоторого диапазона. Далее для каждой такой обобщенной корреляционной

функции строится аналог графика Ричардсона в двух логарифмических осях и по

методу наименьших квадратов определяется его наклон. В результате получается

оценка экспоненты обобщенной корреляционной функции. После численного по-

строения функции для некоторого диапазона значений q, взятых с заданной часто-

той, численно берется производная и рассчитываются спектры размерностей.

Литература к главе 3.

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Институт

компьютерных исследований, 2002, 656 с.

2. Иванова В.С. Синергетика. Прочность и разрушение металлических

материалов., М.: Наука, 1992, 160 с.

3. Иванова В.С., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и

фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994, 383 с.

4. Встовский Г

.В., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Введение в мультифрактальную

параметризацию структур материалов. - Москва - Ижевск: Научно-

издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 116 с.

5. Федер Е. Фракталы. Пер. с англ. - М.: Мир, 1991, 254 с.

6. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. - М.: Наука, 1991, 136 с.

7. Золотухин И.В., Калинин Ю.Е.

Фракталы в конденсированных средах:

полимеры и биологические структуры: Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж.

гос. техн. ун-т, 2002, 89 с.

8. Фракталы в физике: Труды VI международного симпозиума по фракталам в

физике: Пер. с англ. /Под ред. Л.Пьетронеро, Э. Тозатти. - М.: Мир, 1988, 672

с.

9. Зосимов В.В., Лямшев Л.М. Фракталы в волновых процессах

. - УФН. - Т. 64,

№ 4. - 1995. - С. 361 - 401.

10. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. - Москва - Ижевск: Институт

компьютерных исследований, 2002, 160 с.

11. Олемской А.И. Синергетика конденсированной среды / А.И. Олемской, А.А.

Кацнельсон, М.: Едиториал УРСС. - 2003, 336 с

Глава IV. Специфические проблемы наномира.

Раздел 1. Основные понятия нелинейной динамики.

С точки зрения особенностей взаимодействия с внешней средой все системы

(от маленького забитого вируса до гигантской звездной системы) делятся на от-

крытые и закрытые. Открытая система обменивается с внешней средой веществом,

энергией и информацией, вследствие чего в ней происходят различные процессы,

изменяющие ее состояние во времени. Такая система во-первых находится в со-

стоянии, далеком от равновесия, поскольку обмен веществом, энергией и инфор-

мацией с внешней средой все время изменяет ее состояние и она просто не успева-

ет должным образом отрелаксировать. Во вторых, она эволюционирует во времени,

если процессы, в ней происходящие

, необратимы, причем в зависимости от изме-

нения начальных параметров системы ее эволюция может протекать различным

образом. Закрытая система не обменивается с внешней средой ни энергией, ни ве-

ществом, ни информацией и пребывает в состоянии равновесия. Если вывести ка-

ким-либо образом закрытую систему из положения равновесия путем внешнего

воздействия, то

через некоторое время за счет релаксационных процессов равнове-

сие в системе восстановится.

Классическая физика и все ее производные в основном оперируют с закрытыми

системами, а если на такую систему и подается какое-то возмущение, то интересу-

ются только двумя состояниями - до возмущения и после него, когда система при-

дет в равновесие

. Переходной процесс, эволюция системы даже в таком маленьком

временном интервале внимания не заслуживали, что очень странно, т.к. пример ис-

тинной закрытой системы отыскать практически невозможно, если не рассматри-

вать (и то с большой натяжкой) всю Вселенную. В остальных случаях приходится

оговаривать, с какими приближениями, натяжками и допущениями систему можно

считать закрытой. Биологические системы принципиально не могут быть закрыты-

ми, они эволюционируют с уменьшением энтропии до момента прекращения сво-

его существования и с ее увеличением после наступления этого во многом при-

скорбного факта (грубо говоря, начинают разлагаться после смерти - но это не изы-

сканная формулировка). Переход к изучению открытых систем означает

также

ломку сложившихся научных стереотипов и косных систем мышления, тесно свя-

занных с их биологическими носителями и соответствующими материальными и

социальными благами.

Поскольку для открытых систем не пригоден принцип временной инвариантно-

сти, то описание процессов, происходящих в открытых системах отличается от та-

кового для закрытых. Для описания закрытой системы используются

уравнения,

обратимые во времени и, соответственно, обратимы во времени все происходящие

в ней процессы. В открытых системах происходящие процессы не обратимы во

времени. Особый интерес представляют динамические системы. Под динамической

системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно опреде-

лено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент

времени и задан оператор, описывающий эволюцию начального состояния во вре-

мени. Это система любой природы (физической, химической, биологической и да-

же социальной или экономической), состояние которой изменяется во времени,

дискретно или непрерывно.

Понятие динамической системы, первоначально возникшее как обобщение по

нятия системы механической природы, при таком определении существенно рас-

ширяется. Динамические системы - это механические, физические, химические и

биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования

информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описание

динамических систем в смысле задания оператора эволюции также допускает

большое разнообразие: оно осуществляется с помощью дифференциальных урав-

нений,

дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских

цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математи-

ческой модели соответствующей динамической системы.

Все системы по способу своего описания делятся на линейные и нелинейные.

Геометрическим образом линейной функции на плоскости будет прямая линия, а

геометрическим образом нелинейной функции

- любая кривая. Любая линейная

функция откликается на приращение независимой переменной (х) одним и тем же

приращением своего значения (у), в какой бы части области определения ни нахо-

дилось то значение независимой переменной, которой придается приращение, как

это показано на рис. 2 а. Нелинейные функции ведут себя совершенно иначе, как

это демонстрирует

рис. 2 б. На приведенном графике вначале вообще проявляется

"безразличие" к приращениям х, затем падение, потом на малое приращение х сле-

дует мощный рост у и т.д.

∆

Рис. 2 Линейная (а) и нелинейная (б) функции

Нелинейные функции изменчивы и неповторимы. То, что точно описывает ха-

рактерные особенности одного класса нелинейных функций может быть абсолютно

неприменимо к другому их классу. При переходе в нелинейный мир навсегда утра-

чивается основной краеугольный камень предыдущей физики - принцип суперпо-

зиции, позволявший конструировать любую задачу как набор частных решений, к

примеру

всем известная кусочно-линейная аппроксимация.

Напоминание для забывчивых или вовремя не выучивших. Принцип суперпо-

зиции, он же принцип наложения - это допущение, согласно которому если состав-

ляющие сложного процесса воздействия взаимно не влияют друг на друга, то ре-

зультирующий эффект будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых

каждым воздействием в отдельности. Принцип

суперпозиции строго применим к

системам, поведение которых описывается линейными соотношениями, т.е. для

линейных систем. К примеру, если среда, в которой распространяется волна, ли-

нейна, т.е. ее свойства не меняются под действием возмущений, создаваемых вол-

ной, то все эффекты, вызываемые негармонической волной, могут быть определе-

ны как сумма эффектов, создаваемых

каждой из ее гармонических составляющих.

С помощью преобразованию Фурье любую негармоническую функцию можно

представить как комбинацию гармонических. Для линейных систем характерны так

называемые аффинные преобразования - точечные взаимно однозначные отобра-

жения плоскости (пространства) на себя, при которых прямые переходят в прямые,

параллельные прямые и плоскости преобразуются в параллельные прямые и плос-

кости. Примером аффинного преобразования может служить ортогональное преоб-

разование и последовательное сжатие (или расширение) по трем взаимно-

перпендикулярным плоскостям.

Нелинейность в мировоззренческом смысле означает много вариантность путей

развития, наличие выбора из альтернатив путей и определенного темпа эволюции,

а также необратимость эволюционных процессов. Нелинейность в математическом

смысле означает, определенный вид математических уравнений

(нелинейные диф-

ференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше

единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды. То есть, в случае приме-

нения классических моделей (например, трендовых, регрессионных и т. д.), буду-

щее объекта однозначно детерминированное и его можно предсказать, зная про-

шлое объекта (исходные данные для моделирования). А фракталы

применяются в

том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы

определяется положением, в котором она находится на данный момент, что являет-

ся попыткой смоделировать хаотичное развитие.

Как понятно даже малоподготовленному читателю, реальный мир весьма далек

от прекрасного идеалистического линейного существования и описывается совер-

шенно нелинейными функциями. Причем это

относится даже к таким "наукам", как

социология и экономика (как известно, экономисты имеют такое же отношение к

экономике, как метеорологи к погоде). Для описания нелинейного мира необходи-

ма не только новая математика (она уже есть), но и не заскорузлое мышление и

способность воспринимать новое и непривычное (вот этого еще очень мало). Одна-

ко самое болезненное для большинства, так сказать пик формы - это соединение в

"одном флаконе"

нелинейных и открытых систем.

Речь идёт о системах, имеющих выход и вход, то есть обменивающихся с ок-

ружающей средой потоками энтропии (энергии, вещества, информации), благодаря

этому система оказывается выведенной из состояния термодинамического равно-

весия, то есть оказывается неравновесной, в ней происходят необратимые процес-

сы, которые могут самопроизвольно протекать только в одном

определённом на-

правлении. Нелинейность означает, что распространяющиеся через систему потоки

энтропии изменяют её параметры тем в большей мере, чем интенсивней эти пото-

ки. Поэтому динамику системы описывают нелинейные модели, например, нели-

нейные дифференциальные равнения. Они имеют не одно, а несколько возможных

решений, то есть система может эволюционировать несколькими путями. Измене-

ние параметров системы способно вызывать ветвление пути эволюции, то есть би-

фуркацию. Сложность означает, что система является иерархией подсистем, обра-

зующих целостность, и протекающие процессы имеют кооперативный (коллектив-

ный) характер. К числу названных систем относятся самые разнообразные: клетка,

организм, город, лазер, популяция животных, человеческое общество, государство

и социум и т.п

Хаос может выступать в роли конструктивного начала, когда движение систе-

мы неустойчиво, то есть когда малые воздействия способны перевести её в другое

макроскопическое состояние, либо когда система застигнута вблизи точки бифур-

кации и флуктуация параметра системы обусловливает выбор её движения по од-

ному из возможных путей эволюции, что сопровождается или

разрушением поряд-

ка, или переходом к новому упорядоченному состоянию.

Синергетика занимается построением математических и компьютерных моде-

лей процессов в системах любой природы. Изучением условий, механизмов, типов

переходов структуры, выяснением свойств структуры и хаоса, их связи с процеду-

рами обработки информации, возможности управления сложными системами по-

средством стимулирования оптимальных процессов самоорганизации и

др.

Если подводимый к системе поток, например, энергии, превышает некоторое

пороговое значение, при котором компенсируются потери энергии в системе, в ней

образуются пространственно-временные структуры, т.е. происходит самоорганиза-

ция. Так, в лазере, когда подводимая к лазерному веществу энергия накачки мала,

его атомы пускают свет несогласованно, создавая излучение, чьи характеристики

изменяются хаотически. Достижение порогового значения приводит - скачком - к

возникновению упорядоченной структуры, то есть волны когерентного излучения,

характеристики которой постоянны. Иначе говоря, имеет место переход хаос-

структура. Дальнейший рост подводимой к лазерному веществу энергии при усло-

вии сильных её потерь способен вызвать переход структура-хаос. Существенно,

что такой хаос, называемый динамическим или детерминированным, структурен,

то есть обладает той или иной степенью упорядоченности.

Математическая модель динамической системы считается заданной, если вве-

дены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно

ее состояние, и

указан эволюционный оператор, позволяющий решать задачу определения измене-

ния состояния во времени.

Описывать эволюцию динамической системы во времени можно по разному, в

зависимости от того, какой аспект ее эволюции представляет интерес для исследо-

вателя. Если интерес представляет конфигурация системы, ее положение в эвкли-

довом пространстве или состав,

то принято пользоваться конфигурационным про-

странством, в котором каждая точка описывает какую-то конфигурацию системы.

Но для описания эволюции системы во времени информации, содержащейся в

конфигурационном пространстве, недостаточно. Пространство, каждая точка кото-

рого соответствует состоянию динамической системы, называется фазовым про-

странством.

Для определения динамической системы необходимо указать объект, допус-

кающий описание

состояния заданием величин х

, х

, … х

в некоторый момент

времени t = t

. Величины х

могут принимать произвольные значения, причем двум

различным наборам величин

{х

} и {x

`} отвечают два строго разных состояния. За-

кон эволюции динамической системы во времени записывается системой обыкно-

венных дифференциальных уравнений:

),x,...,x,x(fx

N21ii

i=1,2,…,N

Если рассматривать величины x

, x

,…x

как координаты точки х в N -

мерном пространстве, то получается наглядное геометрическое представление со-

стояния динамической системы в виде этой точки. Эту точку обычно называют фа-

зовой точкой,

а пространство состояний — фазовым пространством динамической

системы. Изменению состояния системы во времени (эволюции системы) отвечает

движение фазовой точки в фазовом пространстве вдоль некоторой линии, которая

называется фазовой траекторией. При этом далеко не всегда движение точки в фа-

зовом пространстве отвечает ее движению в трехмерном эвклидовом пространстве.

Очень редко может оказаться, что

N -мерное фазовое пространство динамической

системы окажется евклидовым и будет наблюдаться соответствие между всеми

возможными состояниями системы и точками эвклидова пространства.

Важным понятием является степень свободы системы и число степеней свобо-

ды. Под степенью свободы принято понимать независимую координату, связанную

с описывающим систему параметром, а под числом степеней свободы - наимень-

шее

число независимых координат, необходимых и достаточных для однозначного

определения состояния системы. Каждому состоянию х(t

) в фазовом пространстве

ставится в соответствие то единственное состояние х(t) для t > t

, куда за время t - t

переместится фазовая точка, движущаяся в соответствии с вышеприведенным

уравнением, которое можно переписать в виде:

)x(Fx

и тогда:

)t(xT)t(x

где T

- оператор отображения фазового пространства на себя. Это означает, что

изменяя начальные условия в момент времени равный нулю, мы изменяем эволю-

ционную фазовую траекторию точки. В качестве примере рассмотрим тигель с

расплавом, находящийся неподвижно и в эвклидовом пространстве не переме-

щающийся. Под действием различных причин (в них разбираться не станем) он

бу-

дет охлаждаться и его температура медленно падать, значит ее возьмем за первую

фазовую координату. Будем добавлять в раствор какую-нибудь примесь, причем не

монотонно, отчего, естественно, ее концентрация будет меняться тоже не монотон-

но - это вторая фазовая координата. Также по другому закону будем добавлять вто-

рую примесь - это третья фазовая

координата. Их мы еще можем изобразить на

доступном нашему скудному воображению графике в эвклидовом пространстве. А

теперь начнем облучать систему модулированным лазерным излучением, меняю-

щим конфигурацию и количество кластеров в жидкой фазе - это будет четвертая

координата, но ее мы на графике уже изобразить не сможем, а сможем дать только

математическое

описание этой четырехмерной системы. А кто нам помешает и

дальше измываться над беззащитной системой, вводя различные физические воз-

действия и факторы и, соответственно, фазовые координаты. Никто, даже общество

защиты животных. Но наглядно, с помощью имеющихся у нас скудных графиче-

ских средств и ограниченных умственных способностей, мы можем описать эво-

люцию в

фазовом (не эвклидовом) пространстве только трехмерной системы. Для

описания четырех переменных эвклидово пространство, с помощью которого хоте-

лось бы описать фазовое пространство, бессильно. А жаль.

Рассмотрим эволюцию во времени некоей открытой абстрактной системы, эво-

люционирующей во времени и в самом общем случае движущейся в трехмерном

эвклидовом пространстве и попутно обменивающуюся

с внешней средой вещест-

вом, энергией и информацией. По оси абсцисс (х) будем откладывать изменение во

времени пространственных координат системы в эвклидовом пространстве и обо-

значим изменение во времени через Q (имеем право хоть на что-то, в конце-то кон-

цов), где одна точка на фазовой оси обозначает совокупность трехмерных эвклидо

вых координат для данной системы в данный момент времени.