Малков П.Ю. Количественный анализ биологических данных: Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

ГЛАВА V

АНАЛИЗ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ

5.1. Общие положения

Системой обычно считается множество элементов, находящихся

в отношениях и связи друг с другом, образующих определенную

целостность, единство [Энциклопедический словарь, 2002]. Сис-

тема не ограничивается лишь простой суммой элементов, а обла-

дает более общими свойствами, которые выражаются в

структурированности и взаимозависимости её частей. Ярким при-

мером системы, обладающей внутренней (имманентной) структу-

рой, является организм. Одним из первых к пониманию этого

пришел французский палеонтолог и сравнительный анатом Ж. Кю-

вье, ещё в 1806 году сформулировавший знаменитое правило кор-

реляции. Согласно этому правилу, все органы живого организма

составляют единую систему, части которой зависят друг от друга

настолько, что изменение одной из них влечет за собой изменение

другой (цит. по: [Шмидт, 1985]). Более поздние исследования

морфологов позволили существенно расширить эти представления

[Шмальгаузен, 1982; Шмидт, 1985; Берг, 1993; Венгеров, 2001;

Terentjev, 1931 и др.]. В частности, показано, что отдельные части

организма нередко образуют группы, каждая из которых объеди-

няет признаки, более тесно связанные друг с другом, нежели с

признаками других групп. Наличие таких групп может быть обу-

словлено, например, приспособлениями к полёту, функциональной

дифференциацией отделов черепа, коэволюционными изменения-

ми у растений и их опылителей и т.п. Биологические корреляции

могут и не иметь существенного функционального значения, как

правило, это связано с явлением плейотропии – способности генов

влиять на развитие более чем одного признака [Майр, 1968; Берг,

1993 и др.].

Сообщества и, особенно, таксоцены (территориальные группи-

ровки высших систематических категорий) - менее жёстко взаимо-

связанные системы. Вместе с тем, и они характеризуются

относительно устойчивой структурой. Дело в том, что помимо

внутренних (трофических, топических, форических) взаимоотно-

шений главнейшая роль в структурированности территориальных

группировок принадлежит внешним воздействиям, в частности,

комплексу абиотических факторов, ценотической продуктивности,

антропогенному влиянию и т.п. [Равкин, 1978, 1984; Равкин,

Лукьянова, 1976].

5.2. Первичные матрицы

Практически любая система может быть частично отражена в

виде прямоугольной таблицы типа “признаки × объекты”. Типич-

ным примером в данном случае могут служить синэкологические

таблицы, где указывается обилие (или хотя бы факт присутствия)

тех или иных видов в исследованных местообитаниях; таблицы

результатов морфологических промеров и т.п. Обозначим матрицу

типа “признаки × объекты” как первичную s × m матрицу, где s -

признаки (строки) и m - объекты (столбцы) анализируемой много-

мерной совокупности.

Обратимся к таблице 9, где представлен массив данных, кото-

рый формально можно принять за многомерную систему, состоя-

щую из 4 объектов, характеризующихся 8 признаками.

Таблица 9

Пример первичной s × m матрицы

9.3

8.4

6.8

5.7

4.7

2.5

1.7

0.3

Из представленной таблицы видно, что объект m

по всем при-

знакам превосходит объект m

в десять раз. Эти объекты хотя и не

идентичны, но совершенно определённым образом связаны между

собой, поскольку степень проявления проанализированных у объ-

екта m

признаков прямо пропорциональна их проявлению у объ-

екта m

(рис. 6). Объект m

имеет связь как с m

, так и с m

однако здесь прослеживается уже обратная зависимость (рис. 7).

Заметим, что в этом случае данные на графике до некоторой сте-

пени отклоняются от “воображаемой” прямой линии. Это указыва-

ет на менее строгую (стохастическую) зависимость. Наконец,

объект m

, по-видимому, вообще не связан с объектом m

(рис. 8)

и, соответственно, с прочими объектами.

0 20 40 60 80 100

Рис. 6. Пример строго положительной корреляции переменных.

0 20 40 60 80 100

100

Рис. 7. Пример отрицательной корреляции переменных.

0 20 40 60 80 100

100

Рис. 8. Пример отсутствия корреляции между переменными.

5.3. Коэффициент корреляции

Рассмотренные выше статистические зависимости называются

корреляциями. Корреляция может быть положительной (при

увеличении одной переменной увеличивается другая) и отрица-

тельной (увеличение одной переменной сопровождается уменьше-

нием другой). Обычно их труднее обнаружить, чем в приведенном

примере, кроме того, для объективности анализа желательно

иметь показатель степени “согласованности” переменных. В каче-

стве такой меры чаще всего используется линейный коэффици-

ент корреляции Пирсона (r). Он может принимать любые

значения в пределах от –1.00 (строго отрицательная корреляция)

до +1.00 (строго положительная корреляция). Коэффициент кор-

реляции определяется формулой:

∑ ∑

∑

−⋅−

−−

)()(

))((

MyMx

. (5.1.)

Вычисление коэффициента корреляции непосредственно по

приведенной выше формуле – трудоёмкая процедура. Существует

несколько более быстрых способов, использование которых, кро-

ме того, снижает риск сделать случайную ошибку [Бейли, 1962;

Плохинский, 1970; Лакин, 1990 и др.]. Алгоритм вычисления ко-

эффициентов корреляции заложен в компьютерных программах

(Microsoft Excel, STATISTICA, SPSS и мн. др.). Часть из них стали

практически общедоступными. Достоверность коэффициента кор-

реляции проще всего проверить по специальной таблице (прило-

жения табл. 4) [Фишер, 1958; Рокицкий, 1973; Терентьев,

Ростова, 1977; Лакин, 1990]. В этой таблице содержатся критиче-

ские значения r

для уровней достоверности P=0.95 и 0.99 с учё-

том числа степеней свободы ν = n - 2. Если вычисленное значение

коэффициента превышает стандартное значение, корреляцию, в

большинстве случаев, можно считать достоверной. Необходимо

отметить, что этот способ является довольно приближенным. В

особо ответственных случаях лучше пользоваться более точным z-

преобразованием Фишера, описание которого можно найти во

многих руководствах по статистике [Лакин, 1990 и др.].

5.4. Эвристические меры сходства

Среди специалистов нет единого мнения относительно преиму-

щества тех или иных мер связи [Песенко, 1982]. Тем не менее,

совершенно очевидно, что коэффициенты корреляции и, в том

числе, наиболее обоснованный (с позиций теории статистики) ко-

эффициент Пирсона пригодны для использования далеко не во

всех типах исследований. В частности, информативность коэффи-

циентов корреляции сомнительна в случае сравнения территори-

альных группировок организмов [Песенко, 1982]. В таких

исследованиях широкое распространение получили эвристические

(основанные на общей логике исследования) меры сходства. Ле-

гок в вычислении и, пожалуй, наиболее широко распространен

коэффициент сходства, впервые использованный в 1901 году

геоботаником П. Жаккаром. Данный индекс имеет несколько вер-

сий и может быть использован как для сравнения территориаль-

ных группировок организмов по видовым спискам, так и с учётом

их численности или доли. Индекс Жаккара и его модификации из-

меняются в переделах от 0 до 1. Для идентичных (по сопостав-

ляемым признакам) объектов он равен 1, для абсолютно

несходных – 0.

Для сравнения видовых списков формула Жаккара имеет вид:

−+

, (5.2.)

если сравнение проводится с учётом обилия, формула трансфор-

мируется в следующее выражение:

(

)

( )

(

)

( )

∑

−+

nncb

,max

,min

, (5.3.)

наконец, при сравнении с учётом долей видов, входящих в состав

группировки:

(

)

( )

∑

,max

,min

. (5.4.)

В приведённых выше формулах использованы следующие обо-

значения: a – число общих видов в двух сравниваемых территори-

альных группировках, b - число видов в первой из сравниваемых

группировок, c – число видов во второй группировке, b - суммар-

ное обилие в первой из сравниваемых группировок,

- суммарное

обилие во второй группировке,

(

)

∑

nn ,min

- сумма меньших по-

казателей обилия по всем видам, свойственным двум сравнивае-

мым группировкам,

(

)

∑

nn ,max

- сумма наибольших показателей

обилия,

(

)

∑

pp ,min

(

)

∑

pp ,max

- сумма наименьших и, соот-

ветственно, наибольших долей видов, в двух сравниваемых груп-

пировках.

Существуют и другие эвристические индексы сходства, обзор и

критический анализ которых можно найти в обстоятельной моно-

графии Ю. А. Песенко [1982]. Однако, как показало эксперимен-

тальное сопоставление, проведенное на обширном материале по

населению птиц южной тайги Западной Сибири, большинство из

предложенных коэффициентов дают близкие как с формальной,

так и с содержательной точки зрения результаты [Шадрина,

1987]. Отметим, что и коэффициент корреляции, и коэффициент

сходства легко могут быть представлены в виде меры различия.

Для этого достаточно соответствующим образом трансформировать

коэффициенты:

)1(

−

′

или

)1(

−

′

, где r’ – мера различия,

основанная на коэффициенте корреляции Пирсона, I’ – мера раз-

личия, основанная на коэффициенте сходства.

Помимо вышеназванных коэффициентов существует ещё один

относительно широко распространенный тип мер связи - это меры

расстояния (Л

-норма, евклидово расстояние, расстояние Чебыше-

ва и др.). Применение мер расстояния для анализа фаунистиче-

ских данных (в широком смысле) подробно обсуждается в

[Песенко, 1982], там же приводятся формулы для их вычисления.

5.5. Вторичные матрицы и автоматическая классификация

Структурный анализ многомерной совокупности (отражением

которой является первичная матрица) целесообразно начинать с

построения вторичных матриц. Вторичная матрица порядка m × m

представляет собой таблицу, в которой содержится

)1(

−

попар-

ных оценок степени корреляции или сходства анализируемых объ-

ектов. В таблице 10 представлено две вторичных m × m матрицы,

вычисленные по данным таблицы 9.

Из рассматриваемого примера хорошо видно, что использован-

ные показатели дают существенно различные результаты. По-

следнее закономерно вытекает из их математических свойств и, во

многом, определяет сферу их применения. Коэффициенты корре-

ляции, оценивая сопряженность варьирования объектов, как пра-

вило, вполне информативны в случае анализа структурированных

систем, в которых превалируют внутренние связи. Коэффициенты

сходства, определяя степень пересечения признаков, оценивают

абсолютное сходство между объектами и могут быть полезны для

анализа низкоорганизованных систем, в которых преобладают

внешние ограничения.

Таблица 10

Пример вторичных m × m матриц

- 1 -0.99 0.03

0.10 - -0.99 0.03

0.30 0.08 - -0.01

0.51 0.12 0.47 -

В верхней части таблицы приведены значения коэффициентов

корреляции Пирсона, в нижней - коэффициентов сходства Жакка-

ра (I

Анализ и интерпретация вторичных матриц может занимать

много времени, особенно если в сферу анализа задействовано от-

носительно большое число объектов. Современная биометрия рас-

полагает набором разнообразных методов, позволяющих заметно

упростить анализ вторичных матриц, повысить объективность ана-

лиза и получить качественно новую информацию [Василевич,

1969; Андреев, 1980; Шадрина, 1980; Песенко, 1982; Электрон-

ный …, 1999; Гайдышев, 2001; Ефимов, 2003 и др.].

Широко распространенным методом упорядочивания вторичных

матриц является метод дендрограмм. Дендрограмма представля-

ет собой разветвленную древовидную схему, которая позволяет

выделять наиболее сходные из анализируемых множеств, пред-

ставляя их в виде более или менее изолированных групп или, как

их принято называть, кластеров. Существует несколько способов

построения дендрограмм, часть из них достаточно подробно опи-

сана в соответствующей литературе [Шадрина, 1980; Песенко,

1982; Мандель, 1988; Электронный …, 1999; Гайдышев, 2001].

Имеется разнообразное программное обеспечение (STATISTICA,

NTSYSpc, BIODIV и др.), позволяющее обрабатывать данные на

компьютере. Рассмотрим наименее сложный способ, получивший

образное название - “ближайшего соседа”.

Обратимся к той части таблицы 11, где представлены меры

различия (1 - r), вычисленные по данным первичной матрицы по-

рядка s × m (табл. 9). Заметим, что в качестве анализируемых

объектов здесь выступают строки (но не столбцы) первичной по-

рядка s × m матрицы. Находим наиболее сходные множества, раз-

личие между которыми минимально. В данном примере это s

и s

(1 – r) = 0.01. Эти множества изображаются на графике соседни-

ми точками на одной из осей. Отходящие от точек параллельные

линии соединяются перпендикулярным отрезком на данном уровне

расстояния, который откладывается на другой оси двумерной ко-

ординатной сетки. Так, на рисунке 9 на оси ординат положены

объекты, а на оси абсцисс приведена линейная шкала значений

мер расстояния. Следующая по силе связь прослеживается между

множествами s

и s

(0.03). Затем идёт связь между s

и s

(0.04).

Несмотря на то, что множество s

уже образует группу с s

, по ал-

горитму “ближайшего соседа” s

включается в состав этой группы

и т.д.

Таблица 11

Вторичные s × s матрицы

- 0.03 0.61 0.55 1.00 1.18 1.32 1.53

0.71

- 0.44 0.36 0.77 1.05 1.21 1.39

0.40

0.58

- 0.23 0.22 1.03 1.16 1.09

0.37

0.56

0.66

- 0.12 0.45 0.59 0.64

0.27

0.43

0.69

0.77

- 0.44 0.53 0.45

0.20

0.37

0.33

0.54

0.56

- 0.01 0.07

0.15

0.28

0.27

0.44

0.46

0.80

- 0.04

0.07

0.21

0.26

0.43

0.45

0.60

0.73

В верхней части таблицы приведены значения мер различия (1 –

r), в нижней - значения коэффициентов сходства Жаккара (I

Рассмотренный метод классификации успешно применен для

анализа высокогорной флоры Алтая [Рёвушкин, 1988]. Сущест-

венный недостаток алгоритма “ближайшего соседа” (и многих дру-

гих методов кластерного анализа) - тенденция к образованию

последовательных цепочек объектов, что иногда сводит на нет

информационную ценность классификации.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Рис. 9. Пример дендрограммы, построенной на основе матрицы

мер различия (1–r) методом “ближайшего соседа”.

Другим средством, позволяющим упорядочить вторичную мат-

рицу, является метод корреляционных плеяд, в первоначальном

виде предложенный П. В. Тереньтевым [1959, 1960; Терентьев,

Ростова, 1977].

Рис. 10. Пример неориентированного графа сходства, построенно-

го на основе матрицы коэффициентов Жаккара. Порог сходства

равен 45 % (средний уровень сходства во вторичной матрице).

Суть данного метода состоит в построении графов, то есть

схем, где объекты изображены в виде точек (или других значков),

часть из которых соединяется линиями - рёбрами графа. При этом

рёбра графа соединяют только те объекты, связь между которыми

превосходит заранее определенный порог сходства. Степень соот-

ветствия между объектами, как правило, отражается характером

взаимного расположения точек, то есть чем больше уровень сход-

ства или корреляции между объектами, тем ближе на графе они

расположены друг к другу. Иногда отличия в уровне связи пока-

зывают при помощи толщины рёбер графа и т.п. На рисунке 10 в

качестве примера представлен граф сходства, построенный на ос-

нове вторичной s × s матрицы коэффициентов сходства Жаккара

(табл. 11).

Более информативным, по сравнению с обычным типом графа,

является ориентированный граф. Подобные графы могут быть

очень полезны при изучении географической изменчивости орга-

низмов. Однако наибольшее распространение они нашли в фак-

торной зоогеографии, развиваемой научной школой Ю. С. Равкина

[Равкин, 1978, 1984, 2002; Равкин, Лукьянова, 1976; Вартапетов,

1984; Равкин и др., 2003 и мн. др.]. Ориентированный граф отра-

жает не только характер проявляющихся у анализируемых объек-

тов связей, но и показывает предметно интерпретируемые

векторные направления (тренды), а также отклонения от них.

Применительно к территориальным группировкам животных в ка-

честве маркеров направленных изменений выступают физиономи-

ческие, гидротермические и иные свойства населяемых этими

группировками биотопов. Если анализируется небольшой объём

данных ориентированный граф можно строить непосредственно по

исходной матрице коэффициентов сходства (корреляции). Однако,

как правило, построению графа предшествует генерализация ис-

ходной многомерной системы, выражающаяся в объединении ис-

ходного множества в более или менее однородные группы. Для

этой и других целей разработан пакет программ Jacobi, включаю-

щий ряд специальных и традиционных методов многомерной ста-

тистики [Ефимов, 2003]. Он доступен вкладчикам Банка данных

лаборатории зоологического мониторинга ИСиЭЖ СО РАН.

Пример ориентированного графа, представляющего модель

пространственной структуры населения дневных бабочек Северо-

Восточного Алтая, приводится на рисунке 11. Схема построена по

результатам факторной классификации [Куперштох, Трофимов,

1975]. Алгоритм этого метода автоматической классификации уст-

роен таким образом, что объединение множеств в одну группу

проводится не по сходству собой, а по степени сходства со всеми

остальными множествами рассматриваемой совокупности. Это по-

зволяет с большей степенью достоверности говорить об общности

объектов на уровне групп, а также избавляет от привнесения ис-

кусственной дискретности [Равкин, 1984 и др.].