Малков П.Ю. Количественный анализ биологических данных: Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

или окажется равной критическому (табличному) значению t

этой

величины для принятого уровня вероятности.

Когда число наблюдений в двух сериях различается очень

сильно, рекомендуется пользоваться более сложной формулой:

−

. (3.11.)

Однако, по мнению Хэббса и Перлмуттера [Hubbs et al., 1942],

а вслед за ними Эрнста Майра с соавторами [1956], формула

(3.10.) редко приводит к серьёзным ошибкам, поэтому для боль-

шинства биологических исследований её вполне достаточно.

Проверим, достоверна ли разница средней величины длины те-

ла низкогорных и высокогорных живородящих ящериц Lacerta

vivipara Jacq. в условиях восточной окраины Алтая. По данным

В. А. Яковлева [2002] первые характеризуются средней длиной

тела равной 54.9 ± 0.82 мм (n = 71 экз.), вторые – 60.0 ± 0.12 мм

(n = 69 экз.).

Находим фактическую величину t:

15.6

828.0

1.5

6868.0

1.5

0144.06724.0

1.5

12.082.0

0.609.54

===

−

Так как число степеней свободы ν = (71+69) – 2 = 138, стан-

дартная величина t

(3.27 и меньше) уступает вычисленной даже

при самом высоком уровне P. Следовательно отличия высокогор-

ных и низкогорных особей живородящей ящерицы L. vivipara в

высшей степени достоверны.

3.5. Оценка разности коэффициентов вариации

Сопоставление коэффициентов вариации, с одной стороны, по-

зволяет оценить разность в вариации двух различных признаков в

одной выборке (популяции), с другой – оценить разность в вариа-

бельности одного и того же признака в двух выборках (популяци-

ях). Есть мнение, что корректной формальной основой для этого

может служить t-критерий [Лакин, 1990].

Величину стандартной ошибки коэффициента вариации, в пер-

вом приближении, вычисляют по формуле [Рокицкий, 1973; Те-

рентьев, Ростова, 1977; Лакин, 1990]:

±=

. (3.12.)

Фактическая величина t определяется отношением:

cvcv

CvCv

−

. (3.13.)

Рассмотрим конкретный пример. На одном из озер в окрестно-

стях г. Горно-Алтайска отловили несколько экземпляров серебри-

стого карася Carassius auratus L. В ходе изучения материала под-

считано: число чешуй вдоль боковой линии (n = 25) и число жа-

берных тычинок (n = 19). Распределение вариант по обоим

признакам приближается к нормальному. Первый признак харак-

теризуется статистиками: M

= 30.8 и σ

= 1.3, второй признак –

= 43.7 и σ

= 2.3. Отсюда, согласно формуле (3.7.),

= (1.3/30.8) × 100 % = 4.22 % и Cv

= (2.3/43.7) × 100 % = =

5.26 %.

Определяем ошибки, соответствующих коэффициентов вариа-

ции (3.12.):

%60.0

07.7

22.4

252

22.4

⋅

%85.0

16.6

26.5

192

26.5

⋅

Вычисляем фактическую величину t (3.13.):

04.1

08.1

04.1

85.060.0

26.522.4

===

−

Поскольку фактическая величина t, заметно уступает таблич-

ной даже при P = 0.95 (см. приложения табл. 1) отличия в степени

вариабельности проанализированных признаков нельзя считать

статистически достоверными. Необходимо специально отметить,

что последнее не отрицает возможность таких различий. Тем бо-

лее неверно на основании этого утверждать о сходстве в варьиро-

вании данных признаков.

ГЛАВА IV

АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ

4.1. Доля и её статистическая ошибка

В предыдущей главе акцентировалось внимание исключительно

на анализе количественных признаков, которые часто подчиняют-

ся закону нормального распределения. Наряду с этим нередки

случаи, когда различия между вариантами изучаемой совокупно-

сти сводятся к качественным признакам. Так, например, популя-

цию раздельнополых организмов можно чётко дифференцировать

по половому признаку и такое разделение будет вполне информа-

тивным, пригодным для сопоставления. С аналогичной ситуацией

приходится сталкиваться при сравнении популяций по соотноше-

нию выживших и погибших, доминантного и рецессивного фено-

типа и т.п.

Таким образом, распределение по качественному признаку за-

частую сводится к двум группам: варианты, являющиеся носите-

лями признака и варианты не имеющие его. Такое качественное

варьирование называется альтернативным, поскольку реализация

одной из возможных альтернатив исключает возможность реали-

зации другой [Федоров, 1957], или биномиальным, так как

формула, описывающая это распределение, выводится из бинома

Ньютона [Павловский, 1967].

Естественное деление популяции только лишь на две группы

являются частным случаем более общего явления, когда в анали-

зируемой совокупности можно выделить несколько групп, отли-

чающихся по одному качественному признаку. Общеизвестны,

например, категории цвета глаз и волос у людей. В среде охотни-

ков выделяют “кряжи”, характеризующие специфику окраса пуш-

ного зверя. Представителей любой популяции можно подразделить

на те или иные возрастные категории. Однако и в этом, более об-

щем, случае всё многообразие градаций качественного признака в

конечном счёте можно свести к двум группам: карие глаза и не

карие, лиса-чернобурка и не чернобурка, гусеница и не гусеница

и т.п.

Для статистического анализа выборки при качественном варьи-

ровании необходимы следующие исходные показатели, позво-

ляющие составить представление о генеральной совокупности:

n - число анализируемых объектов (число наблюдений);

a - число объектов, у которых та или иная альтернатива реализо-

вана;

b - число объектов, у которых эта альтернатива не реализована.

В качестве важнейшей описательной статистики при биноми-

альном распределении выступает доля или вероятность, показы-

вающая относительную частоту реализованной альтернативы. В

книгах по биометрии доля реализованной альтернативы, как пра-

вило, обозначается символом p, а противоположенной альтерна-

тивы - q. Доля реализованной альтернативы, какого-либо призна-

ка, находится из соотношения p = a/n, а доля противоположной

альтернативы соответственно q = b/n = (1 – p), так как p + q = 1.

Совершенно очевидно, что степень надежности выборочной до-

ли будет возрастать по мере увеличения числа наблюдений. По-

этому для корректной оценки параметров генеральной

совокупности обязательно необходимо определять статистическую

ошибку выборочной доли m

, которая вычисляется по формуле:

1−

)1(

−













−⋅

. (4.1.)

Алгоритм оценки разности долей может быть различным, но в

его основой всегда служит t-критерий. Применимость t-критерия к

анализу альтернативно варьирующих признаков обусловлена тем,

что биномиальное распределение в пределе приближается к нор-

мальному [Бейли, 1962; Павловский, 1967 и др.]. Считается, что

если в обеих выборках доли не выходят за границы

8/02.0

≥

≤

оценку можно проводить при помощи t-критерия обычным спосо-

бом. Вычисление ведётся по формуле:

−

. (4.2.)

Фактическая величина t затем сопоставляется с критиче-

ским(табличным) значением при числе степеней свободы

−+= nnν

. При этом, если

tt ≥ выборочные доли признаются

различными, а популяции, откуда взяты сравниваемые выборки,

принадлежащими к разным генеральным совокупностям.

Однако, когда хотя бы в одной из анализируемых совокупно-

стей доля не укладывается в интервал 0.20 ≤ p ≥ 0.80, формула

(4.2.) может привести к ошибочным результатам, особенно, если

объём выборки недостаточно велик [Плохинский, 1970; Зайцев,

1973 и др.]. В таких случаях более эффективен метод ϕ-

преобразования Фишера, заключающийся в угловой трансформа-

ции выборочных долей ϕ =

parcsin2

[Плохинский, 1972; Рокиц-

кий, 1973; Терентьев, Ростова, 1977 и др.]. Для этого

сравниваемые доли выражают в процентах и вводят так называе-

мую поправку Йетса на непрерывность:

)2/(100%

np +

)2/(100%

np +

, где p

обязательно больше, чем p

. Затем по спе-

циальной таблице (приложения табл. 2), на основании “исправ-

ленных” поправкой Йетса долей, находят значения ϕ. Гипотеза о

принадлежности выборочных совокупностей к одной генеральной

совокупности отвергается при выполнении условия [Лакин, 1990]:

t ≥

−

ϕϕ

. (4.3.)

Рассмотрим сведения В. А. Паевского [1985] о гибели яиц и

птенцов у двух, различных по плотности гнездования, видов птиц:

зелёной пересмешки Hippolais icternia Vieill. и зяблика Fringilla

coelebs L. на одном из участков Куршской косы в 1974-81 гг.

(табл. 5).

Таблица 5

Причины гибели яиц и птенцов у зелёной пересмешки и зяблика

Вид Плотность

популяции

(пар/км

)

Кол-во

гнезд с

извест-

ной

судьбой

Кол-во

разорен-

ных

гнезд

Кол-во

общих

потерь

(яйца,

птенцы)

Кол-во

яиц и

птенцов,

уничто-

женных

хищника-

ми

Hippolais

icternia

26 170 45 227 179

Fringilla

coelebs

218 1405 396 1688 976

Сопоставим сначала доли разоренных хищниками гнезд. У зе-

лёной пересмешки p

= 45/170 = 0.265 со статистической ошиб-

кой ±

034.0

1170

)265.01(265.0

−

−⋅

, у зяблика

= 396/1405 = 0.282 ±

012.0

11405

)282.01(282.0

−

−⋅

. Так как в

обоих случаях p не выходит за пределы 0.20 ≤ p ≥ 0.80 трансфор-

мации выборочных долей не требуется. Вставляем полученные

значения в формулу (4.2.):

47.0

012.0034.0

282.0265.0

−

Вычисленная величина t уступает табличным значениям

= 1.96 (ν > 120). Соответственно отличие в доле разоренных

хищниками гнезд у этих видов несущественно, что, по мнению

В. А. Паевского [1985], обусловлено очень сходным расположени-

ем гнезд у обоих видов.

Вычисление долей (и их статистических ошибок) уничтоженных

хищниками яиц и птенцов от общего количества потерь дало сле-

дующие результаты: зелёная пересмешка p = 0.789 ± 0.272, зяб-

лик p = 0.578 ± 0.012. Находим фактическую величину t по тому

же алгоритму, что и в приведенном выше случае (t = 7.07). Най-

денная величина превосходит критическое значение t

= 3.29 (P

= 0.999, ν > 120), это означает, что различия долей можно считать

в высшей степени достоверными.

Отсюда следует, что эти два вида демонстрируют разные стра-

тегии размножения: на одной и той же территории, в одних и тех

же условиях размножение одного из них H. icternia – более ус-

пешно, несмотря на то, что доля потерь от главного фактора гибе-

ли гнезд у него выше [Паевский, 1985].

Процедуру оценки разности долей методом ϕ-преобразования

рассмотрим на гипотетическом примере. Предположим, что у сам-

ки А от самца X приплод составил 8 детёнышей, из которых лишь

1 самец. У самки В, от того же самца X, родилось 4 детёныша,

причём 2 из них самцы. Исходя из этого можно предположить, что

самка А менее “предрасположена” к рождению самцов. Выясним,

являются ли такие различия статистически достоверными.

Вычисляем долю самцов в приплоде у первой самки p

= 1/8 =

0.125 и второй самки p

= 2/4 = 0.5. Переводим доли в проценты

и вносим поправку Йетса:

’ = 12.5 % + 100/ (2⋅8) = 18.75 %,

’ = 50.0 % - 100/ (2⋅4) = 37.5 %.

По таблице (приложения табл. 2) находим значения ϕ, соответ-

ствующие “поправленным” долям: ϕ

= 0.897 и ϕ

= 1.318. Под-

ставляем имеющиеся значения в формулу (4.3.):

69.0

375.0

421.0

318.1897.0

−

Фактическая величина t = 0.69 заметно уступает стандартному

значению (t

= 2.23 и более, так как ν = 10). Это означает, что

имеющихся данных явно недостаточно, для того чтобы статистиче-

ски доказать отличия самок по степени “предрасположенности” к

рождению самцов.

4.2. Анализ сопряженности признаков и согласованности

распределений (χ

-критерий)

Если совокупность объектов изучается по нескольким качест-

венным признакам, зачастую необходимо выяснить, в какой мере

эти признаки являются независимыми друг от друга. Для этой це-

ли обычно используют специальный метод, получивший название

(хи-квадрат) критерий. В первоначальном виде он был разрабо-

тан в 1900 году Пирсоном и позднее дополнялся многими специа-

листами (Брандтом, Снедекором, Фишером, Ястремским и др.).

Для иллюстрации метода χ

воспользуемся данными о соотно-

шении окрасочных морф сизого голубя в трех городах на юге Си-

бири: Новосибирск, Усть-Каменогорск и Горно-Алтайск (табл. 6). В

ходе сбора первоначального материала голубей подсчитывали на

разовых маршрутах приблизительно сходной протяженности. По

окрасу оперения выделены четыре градации. Две из них (сизая и

черночеканная) - типичны для данного вида, тогда как наличие

непигментированных и красных перьев (пегая и красная окраска

соответственно) для диких представителей данного вида в целом

несвойственно. В ходе последующего анализа пегие и красные

окрасочные морфы в связи с их редкостью объединены в одну ка-

тегорию “нетипичных фенов”.

Определим, являются ли классификации популяций по городам

и окрасочным морфам независимыми или, иными словами, можно

ли считать проанализированные популяции сизых голубей отно-

сящимися к одной генеральной совокупности. Исходя из общей

логики рассуждения ясно, что если популяции, обитающие в раз-

личных городах, принадлежат единой совокупности, то доли окра-

сочных морф в каждой из них должны быть относительно

постоянными. Отсюда, чем больше отклонение наблюдаемой час-

тоты от такого равномерного (“ожидаемого”) распределения час-

тот, тем больше вероятность того, что рассматриваемые популяции

отличаются.

На первом этапе анализа необходимо вычислить “ожидаемые”

частоты, которые находятся делением произведения двух соответ-

ствующих этой клетки сумм, записанных по краям таблицы, на

сумму всех наблюдаемых частот. Например, ожидаемое число не-

типичных по окраске голубей в г. Горно-Алтайске равно

3.15386/7282

⋅

, что заметно больше фактического их числа.

После нахождения всех ожидаемых частот (в таблице 6 они

приведены в скобках) рассчитывается величина χ

, представляю-

щая собой отношение:

∑

−

)(

, (4.4.)

где O - наблюдаемые частоты (англ. observed), E - ожидаемые час-

тоты (англ. expected).

Таблица 6

Соотношение окрасочных морф сизого голубя в некоторых городах

Сибири

Окрасочные морфы Город

Сизые Чёрноче-

канные

Нетипичные

Всего

Новосибирск

(60.5)

(66.3)

(34.2)

161

Усть-

Каменогорск

(57.5)

(63.0)

(32.5)

153

Горно-Алтайск 54

(27.0)

(29.7)

(15.3)

Всего

145

159

386

Вычисленную таким образом величину χ

сравнивают со стан-

дартными значениями. Если она превышает то или иное стандарт-

ное значение, исходная гипотеза о независимости признаков

отвергается на соответствующем уровне вероятности (приложения

табл. 3).

Как обычно, при этом необходимо учитывать число степеней

свободы. В случае, когда по каждому признаку подразделяют не

менее трёх градаций, число степеней свободы находят по форму-

ле: ν = (r - 1) + (c -1), где r - число градаций в первой классифи-

кации, c - во второй классификации. Если же одна из

классификаций содержит только две градации, то число степеней

свободы ν = (c – 1), где с – число градаций в более дробной клас-

сификации.

В нашем примере:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

67.6437.1343.500.2738.092.198.026.904.029.6

3.15

3.151

7.29

7.2917

2754

5.32

5.3229

6374

5.57

5.5750

2.34

2.3452

3.66

3.6668

5.60

5.6041

2222

22222

=++++++++=

−

=χ

Так как здесь ν = (3-1) + (3-1) = 4 фактическая величина χ

заметно превосходит все представленные в таблице критические

значения (18.47 и меньше). Следовательно, рассматриваемые в

примере популяции сизого голубя следует считать различными по

частотному соотношению окрасочных морф. Нетрудно заметить,

что наиболее существенное отклонение проявляется в частоте си-

зой морфы в г. Горно-Алтайске, наблюдаемая величина которой

значительно превышает ожидаемую.

Таблица 7

Четырехпольная (2×2) таблица сопряженности

Первая

классификация

Вторая

класси-

фикация

А не-А

Всего

В a b a + b

не-В c d c + d

Всего a + c b + d a + b + c + d = n

Вычисление величины χ

упрощается, если исходные данные

сгруппированы в четырехпольную таблицу, где каждая из класси-

фикаций имеет лишь по две градации. В таких случаях можно ис-

пользовать формулы, не требующие предварительного вычисле-

ния ожидаемых частот, например, следующее отношение (4.5.),

обозначения к которому понятны из таблицы 7:

))()()((

dbcadcba

nbcadn

++++













−−

=χ

. (4.5.)

При изучении независимости классификаций с помощью четы-

рехпольных таблиц параметр ν равен единице.

В популяционно-генетических работах, где оперируют законо-

мерностями Менделя, Харди-Вайнберга и иными предварительно

сформулированными гипотезами, в сущности, как и при изучении

независимости классификаций, необходимо сопоставить частоты

фактического и ожидаемого распределения. Достаточно эффек-

тивной статистической основой для этого также может служить

критерий χ

[Хромов-Борисов, 1996].

Рассмотрим конкретный пример. Л. В. Богданов [1977] опубли-

ковал результаты изучения фоновой окраски яиц тонкоклювых

кайр Uria aalge Pontopp., населяющих остров Тюлений (цит. по:

[Кайданов, 1996]). Яйца были подразделены на три класса: белые

(Sc

/Sc

), голубые (Sc

/Sc

) и зеленые (Sc

/Sc

). Окраска яиц

детерминируется генотипом матери.

Подсчет 754 яиц в 1973 году дал следующие результаты: белые

- 115, голубые – 438, зеленые – 201 экз., их доля составляет

0.1525, 0.5809, 0.2666 соответственно. Отсюда доли аллелей:

(Sc

)

= 0.1525 + 0.5809/2 ≈ 0.44; q

(Sc

)

= 0.5809/2 + 0.2666 ≈

≈ 0.56. Как утверждает закон Харди-Вайнберга равновесные пан-

миктические популяции подчиняются распределению:

+ 2pq + q

Подставив имеющиеся значения p

(Sc

)

и q

(Sc

)

в формулу полу-

чаем, что по Харди-Вайнбергу ожидаются доли: белые – 0.1936,

голубые – 0.4928, зеленые – 0.3136. Исходя из общего числа про-

смотренных яиц (754 экз.) находим абсолютные частоты: белые –

146, голубые – 372, зеленые – 236 экз.

Таким образом, в результате несложных преобразований полу-

чен ряд ожидаемых частот, пригодный для сравнения с фактиче-

скими частотами методом χ

(табл. 8). Определение величины χ

при этом проводится по формуле (4.4.). В данном случае необхо-

димо брать лишь одну степень свободы, поскольку для вычисле-

ния ожидаемых частот достаточно знать долю лишь одной из

аллелей.

Таблица 8

Фактические и ожидаемые частоты яиц тонкоклювой кайр популя-

ции о. Тюленьего в 1973 г. (данные Л. В. Богданова [1977])

Белые Голубые Зелёные Всего

Фактическое

число

115 438 201 754

Ожидаемое по

Харди-

Вайнбергу

146 372 236 754

Так как χ

= 23.48, а ν = 1 гипотезу о соответствии наблю-

даемого в природе распределения формуле Харди-Вайнберга мож-

но отвергнуть при высоком уровне достоверности. Как полагает

Л. В. Богданов, это объясняется тем, что голубая окраска скорре-

лирована с лучшей выводимостью и выживаемостью птенцов, кро-

ме того, она лучше других обеспечивает маскировку от основных

хищников – крупных чаек.