Макаров Е.Г. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.

Разрушающие напряжения

Касательные

Нормальные

Вид излома

матовый, волокнистый блестящий, кристаллический

Что касается вида излома, то таким он является для металлических конструкций.

Пластическому разрушению предшествует появление видимых пластических

деформаций. Его можно предотвратить.

Хрупкое разрушение происходит внезапно и часто сопровождается

катастрофическими последствиями.

Одна из главных задач конструктора избежать опасности хрупкого разрушения, не

допустить в процессе эксплуатации перехода материала из пластичного состояния в

хрупкое.

Более подробно об особенностях хрупкого и пластического разрушения рассказано в

главах 16 – 18.

5.2 Диаграмма деформирования мягкой стали

Определение механических характеристик материала рассмотрим на примере

пластического разрушения мягкой стали. Приведенные для примера численные

значения механических характеристик соответствуют стали Ст3.

пц

LΔ

упр

LΔ

пласт

LΔ

Рис.5.2. Диаграмма деформирования мягкой стали

В процессе испытания стандартный образец устанавливается в захватах машины и

деформируется с постоянной скоростью до разрушения. Одновременно диаграммный

аппарат испытательной машины записывает диаграмму зависимости нагрузки

от

абсолютного удлинения образца

(рис. 5.2). По диаграмме деформирования

определяются характеристики прочности материала, по непосредственным замерам

образца до и после деформации определяются характеристики пластичности.

Диаграмма деформирования, нарисована испытательной машиной с большим

искажением. На деформации образца накладываются упругие деформации рычагов и

деталей машины. Вследствие этого наклон диаграммы на участке упругости резко

возрастает. При внесении поправки, устраняющей податливость машины, участок

ОА вследствие малости упругих деформаций почти сливается с осью нагрузок

(рис. 5.3). Учет такой поправки рассмотрен в примере для главы 5 электронной

книги.

Рис. 5.3. Учет податливости машины на диаграмме деформирования

5.2.1. Характеристики прочности

Рассмотрим основные участки на этой диаграмме и дадим определения основных

механических характеристик материала.

 Участок ОА —зона пропорциональности (на диаграмме прямая линия),

заканчивается точкой А, соответствующей пределу пропорциональности.

Пределом пропорциональности называется наибольшее напряжение, до которого

материал подчиняется закону Гука.

пц

где

пц

— нагрузка, соответствующая окончанию прямой линии (точка А),

— площадь поперечного сечения образца до деформации.

Для стали Ст3

пц

200

≈ Мпа.

 Точка В соответствует пределу упругости материала.

Пределом упругости материала называется максимальное напряжение, до которого в

материале отсутствуют остаточные (пластические) деформации.

σ= . Для стали Ст3 МПа.

210σ≈

 Участок CD — площадка текучести (горизонтальная), соответствует

физическому пределу текучести.

Физическим пределом текучести называется напряжение, при котором деформация

растет без увеличения нагрузки.

σ= Для стали Ст3

250

≈ МПа.

 Участок DK — зона упрочнения материала, заканчивается точкой К,

соответствующей пределу прочности материала.

Пределом прочности или временным сопротивлением материала называется

напряжение, соответствующее максимальной нагрузке на образец.

= Для стали Ст3

400

≈

МПа.

 Участок КМ — зона местной деформации, Заканчивается точкой М,

соответствующей сопротивлению разрыву. На этом участке в образце образуется

местное сужение (шейка) и почти вся деформация сосредоточена в шейке.

Сопротивлением разрыву называется напряжение в момент разрыва образца.

где — площадь поперечного сечения образца в шейке в момент разрыва.

Для стали Ст3 МПа.

800S ≈

Все перечисленные характеристики

пц

, являются

характеристиками прочности материала.

Предел пропорциональности

пц

и предел упругости

близки друг к другу и

обычно предел упругости в процессе испытаний не определяется.

Если в процессе испытания образец нагрузить выше предела текучести, а затем

разгрузить, то линия разгрузки LO

на диаграмме (рис. 5.2) пойдет параллельно

начальному участку, то есть при разгрузке имеет место чисто упругая деформация

образца.

При нагрузке — деформация образца упругопластическая, при разгрузке чисто

упругая (упругая деформация снимается, пластическая остается).

При повторной нагрузке линии нагрузки и предыдущей разгрузки образуют петлю

гистерезиса, площадь которой равна работе, затраченной на пластическую

деформацию образца при повторном нагружении. Площадь петли гистерезиса мала

по сравнению с площадью диаграммы и внешне линии разгрузки и повторной

нагрузки почти совпадают. Далее деформация образца продолжается так, как будто и

не было промежуточной разгрузки. В результате при повторном нагружении у

образца повысились характеристики прочности (предел пропорциональности, предел

упругости), но уменьшился запас пластичности, то есть материал стал более

прочным, но менее пластичным.

Явление повышения прочности при предварительной упруго-пластической

деформации называется наклепом

В технике явление наклепа используют для повышения предела

пропорциональности материала пружин, цепей, канатов и др. Однако иногда наклеп

материала нежелателен и после технологических операций обработки металлов

резанием, ковки, штамповки деталь повергают отжигу для снятия наклепа.

Площадка текучести имеется на диаграммах углеродистых сталей. На диаграммах

легированных термообработанных сталей и большинства других материалов

площадки текучести нет. В этом случае определяется условный предел текучести

(рис. 5.4).

Условным пределом текучести называется напряжение, при котором остаточная

деформация составляет 0,2% от первоначальной длины образца

Для определения условного предела текучести надо на оси деформаций отложить в

масштабе и провести прямую OA

0,002LΔ= L

, параллельную начальному участку

OA. Ордината точки пересечения этой прямой с диаграммой деформирования есть

нагрузка

0,2

, соответствующая условному пределу текучести

0,2

σ= .

Для большинства материалов в справочниках в качестве предела текучести

приводится именно условный предел текучести.

0.2

0,002L

Рис. 5.4. Определение условного предела текучести

Следует отметить, что 4 характеристики: пределы пропорциональности, упругости,

текучести и прочности характеризуют одно и тоже свойство материала —

сопротивление пластической деформации, но при различной допускаемой

деформации

пц

— соответствует ,005%

≈0 ,

— соответствует

≈0,01%,

σ — соответствует , ε≈0,2%

— соответствует

≈10%.

Лишь одна характеристика — сопротивление разрыву характеризует

сопротивление материала разрушению.

Предел прочности соответствует предельной нагрузке при растяжении, когда в

образце начинает образовываться шейка, площадь поперечного сечения уменьшается

и несмотря на некоторое снижение нагрузки, напряжения в шейке стремительно

растут. В момент разрыва

кв

≈ .

В реальных деталях машин и элементах конструкций шейка не образуется и для них

именно сопротивление разрыву характеризует предельные напряжения в момент

разрушения.

Значение сопротивления разрыву традиционно недооценивается.

5.2.2. Характеристики пластичности

По результатам замеров образцов до и после испытаний определяются две

характеристики пластичности: относительное удлинение при разрыве

относительное сужение при разрыве

к 0

100%

−

0 к

100%

−

Для стали Ст3

≈15% и 70%

≈ .

Заметим, что относительное удлинение при разрыве

зависит от отношения длины

рабочей части образца к диаметру . Размер шейки образца перед разрывом не

зависит от длины образца, а зависит от его диаметра. Поэтому с ростом отношения

Ld величина

уменьшается. Для десятикратных образцов относительное

удлинение при разрыве меньше, чем для пятикратных.

Этого недостатка нет у относительного сужения при разрыве

, поэтому можно

считать, что относительное сужение при разрыве

лучше всего характеризует запас

пластичности материала.

Существует множество эмпирических формул для оценки прочности и

долговечности элементов конструкций при статической и динамической нагрузке. В

большинстве этих формул в качестве параметров используются сопротивление

разрыву и относительное сужение при разрыве

5.2.3. Работа разрушения при разрыве

Для оценки материала используют понятия: прочность, пластичность и вязкость.

О прочности и пластичности сказано выше.

Вязкость материала характеризуется работой, затраченной на разрушение.

В высшей математике (свойства определенного интеграла) показано, что работа силы

на перемещении равна площади диаграммы в координатах Δ

– . Тогда

работа, затраченная на разрушение образца в процессе испытаний на растяжение,

равна площади диаграммы деформирования.

Чем больше площадь диаграммы, тем больше вязкость материала, тем лучше он

сопротивляется воздействию динамических нагрузок.

Полная деформация образца складывается из упругой и пластической деформации.

упр пласт

LL LΔ=Δ +Δ

Полная работа разрушения образца складывается из работ упругой

пр

W и

пластической деформации .

пласт

упр пласт

=+WW W .

В момент разрыва образца происходит его разгрузка: упругая деформация исчезает,

пластическая остается. Поскольку разгрузка подчиняется закону Гука, работа

упругой деформации равна площади треугольника

упр

разр упр

=ΔWFL

Обычно работу разрушения образца оценивают путем сопоставления с площадью

прямоугольника с размерами

и L

, используя коэффициент заполнения

диаграммы

WFL

=Δ.

Для стали Ст3

0,85...0,87

= .

5.2.4. Диаграммы деформирования других материалов

Такую же диаграмму, как рассмотренная диаграмма деформирования мягкой стали,

имеют большинство металлов и сталей после отжига. Диаграммы деформирования

термически обработанных легированных сталей не имеют площадки текучести и для

них определяется условный предел текучести. Кстати, в справочниках указанный

предел текучести материала чаще всего является условным пределом текучести.

У материалов в хрупком состоянии практически отсутствуют пластические

деформации, поэтому диаграмма деформирования имеет другой вид.

Рис. 5.5. Диаграмма растяжения чугуна

Диаграмма растяжения чугуна представлена на рис. 5.5. Она имеет вид почти прямой

линии, слегка искривляющейся перед разрывом образца. При таком виде диаграммы

определяются только одна характеристика прочности — предел прочности

Остальные характеристики определить невозможно. Характеристики пластичности у

материалов в хрупком состоянии, как показывают замеры образцов до и после

разрушения, близки к нулю.

5.3 Испытание материалов на сжатие

Испытание материалов на растяжение — основной вид испытаний материалов.

Именно результаты испытаний на растяжение приводятся во всех справочниках как

механические характеристики материалов.

Все другие виды испытаний являются технологическими и проводятся только в

случае производственной необходимости. Тем не менее их изучение позволяет

изучить поведение материалов при различных видах напряженно-деформированного

состояния.

При сжатии образцов из мягкой стали и других высокопластичных материалов

разрушения получить не удается.

Поскольку объем образца при пластической деформации не меняется, с

уменьшением высоты образца при сжатии площадь поперечного сечения

увеличивается. Соответственно растет нагрузка, вызывающая пластическую

деформацию. Диаграмма сжатия стали и вид образца до и после испытания показаны

на рис. 5.6.

до

после

еформации

Рис. 5.6. Испытание стали на сжатие

До

После

Деформации

LΔ

Рис. 5.7. Испытание чугуна на сжатие

До

После

Деформации

Вдоль

Поперек

Волокон

LΔ

Рис. 5. 8. Испытание дерева на сжатие

Поведение чугуна при сжатии резко отличается от его поведения при растяжении.

Если для испытаний на растяжение используется образец, у которого

10hd= , то

для испытаний на сжатие берут

1, 5hd

, так как при сжатии более длинного

образца при больших нагрузках возможна потеря устойчивости образца, то есть

изгиб его в боковом направлении. Вид чугунного образца до и после испытаний и его

диаграмма сжатия показаны на рис. 5.7.

Цилиндрический образец (и стальной и чугунный) при сжатии превращается в

бочонок. При этом его высота значительно меньше, чем до испытаний, то есть

налицо большая пластическая деформация чугунного образца.

Бочкообразная форма образца вызвана силами трения между образцом и

поверхностью пресса. Если уменьшить трение путем смазки торцов образца,

например, парафином, то бочкообразность практически исчезает. Иногда для ее

устранения используют тонкие медные прокладки толщиной 0,1мм, но при этом

бочка может превратиться в рюмку.

Если стальной образец при сжатии не разрушается вовсе, то чугунный разрушается

путем скола (среза) под углом порядка 30° к оси образца, а если уменьшить силу

трения смазкой, то угол плоскости среза приближается к 45°. Следовательно при

сжатии чугуна разрушение происходит путем среза под действием максимальных

касательных напряжений. Напомню, при растяжении-сжатии плоскость действия

максимальных касательных напряжений наклонена под углом 45° к оси стержня.

В изломе образца хорошо видны следы сдвига. Таким образом при сжатии чугунного

образца наблюдаются все признаки пластического разрушения.

При растяжении чугун разрушается хрупко, при сжатии пластично. Более подробно

об условиях перехода от пластического разрушения к хрупкому написано в главе 17.

Важно отметить, что прочность чугуна на сжатие в 4 раза больше, чем на

растяжение. Сталь при сжатии не разрушается, а вот пределы пропорциональности и

текучести при растяжении и при сжатии примерно одинаковы.

Примером хрупкого разрушения при сжатии может служить сжатие камня, бетона,

стали после закалки без отпуска, дерева вдоль волокон. В этих случаях разрушение

происходит по плоскостям параллельным оси образца путем расслоения образца на

отдельные сегменты.

Причиной разрушения при этом является не

max

или

max

, а максимальная

линейная деформация . Речь о ней пойдет в разделе 9.6.

max

Отдельного рассмотрения заслуживает сжатие дерева. Дерево анизотропный

материал, у которого свойства вдоль волокон и поперек волокон различны. вид

образцов до и после испытаний и диаграммы сжатия дерева вдоль и поперек волокон

показаны на рис. 5.8.

Предел прочности дерева на растяжение примерно в два раза больше, чем на сжатие.

Это объясняется тем, что при сжатии вдоль волокон дерево разрушается хрупко. Оно

расслаивается на отдельные волокна, которые при дальнейшей деформации теряют

устойчивость, изгибаются и переламываются.

При сжатии поперек волокон дерево деформируется пластично. Волокна сдвигаются

друг относительно друга, образец сплющивается и в конце концов разваливается в

силу недостаточной прочности скрепления волокон. Предел прочности дерева вдоль

волокон примерно в 10 раз больше, чем поперек волокон.

5.4 Допускаемые напряжения

Понятие о допускаемом напряжении уже давалось в разделе 1.10. Пришло время

уточнить, что принять в качестве предельного напряжения.

При расчете конструкции на прочность и жесткость будем рассматривать два вида

выхода конструкции из строя:

 разделение тела на части (хрупкое разрушение),

 Появление недопустимых пластических деформаций (пластическая деформация,

но не разрушение).

В реальных условиях существует и много других видов выхода из строя, например,

потеря устойчивости, износ, коррозия и др.

При расчетах на прочность условие выхода конструкции из строя

max пред

σ=σ

Условие работоспособности конструкции

[

]

max

=σ.

Допускаемое напряжение

[]

пред

σ= , где

 — для материалов в хрупком состоянии

пред в

σ=σ

 — для материалов в пластичном состоянии.

пред т

σ=σ

Коэффициент запаса выбирается по справочникам в зависимости от условий

эксплуатации конструкции и других факторов. Перечислим основные факторы,

учитываемые при выборе коэффициента запаса.

 Точность знания нагрузок и их характера.

 Точность расчетных формул.

 Возможные последствия выхода из строя.

Коэффициент запаса иногда называют еще коэффициентом незнания. Чем меньше

мы знаем, тем больше коэффициент запаса.

Если рассчитывается неответственная деталь, которую в случае поломки легко

заменить, коэффициент запаса можно взять минимальным

1, 2 1, 5n

− .

Если возможная поломка может вызвать гибель людей, например, трос подъема

лифта, коэффициент запаса берется максимально большим

10 15n

− .

Коэффициент запаса косвенным образом оценивает возможную вероятность выхода

из строя конструкции, как сказано в разделе 1.13.3.

5.5 Диаграммы условных и истинных

напряжений

В процессе испытаний изменяется площадь поперечного сечения образца. При

подсчете напряжений в образце изменение площади сечения можно учитывать или не

учитывать, получая соответственно условные или истинные напряжения

До образования шейки деформация по всей длине образца одинаковая. В процессе

образования шейки деформация происходит только в области шейки.

Диаметр шейки уменьшается, диаметр остальной части образца не меняется..

Соответственно деформации образца можно определять с учетом и без учета

изменения диаметра, получая при этом условные или истинные деформации.

Условными называются напряжения

найденные как отношение нагрузки к

первоначальной площади поперечного сечения

усл

σ=

Условными называются деформации

найденные как отношение удлинения образца к

его первоначальной длине

ε=

Истинными называются напряжения

найденные как отношение нагрузки к текущей

площади поперечного сечения

ист

σ=

Истинными (логарифмическими) называются деформации

найденные как

отношение приращение длины элемента образца к текущей длине этого элемента

Чтобы определить истинные напряжения необходимо в процессе испытаний замерять

диаметр образца в области шейки, что обычно не делается, а замеряется лишь

диаметр шейки после разрыва.

Ввести понятие истинной деформации не так просто, ведь надо оценить деформации

в шейке, которая образуется неизвестно где.

Рассмотрим элемент образца длиной до деформации. В произвольный момент

нагружения его длина становится равной . Дадим небольшое приращение

нагрузки, длина элемента вырастет еще на (рис. 5.9). Тогда приращение

(ddL)

деформации элемента

ист

()ddL

= , а полная истинная деформация за все

нагружение

ист

()

ddL dL

dL dL

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∫

Поскольку отношение приращений длины неизвестно, выразим его через известные

величины.

d(dL

)

Рис. 5.9. К расчету истинных деформаций при растяжении

Пластическая деформация протекает без изменения объема тела. Упругим

изменением объема пренебрегаем. Считаем объем тела в процессе деформации

постоянным.

dV A dL AdL==, откуда

dL A

= ,

тогда

ист

ln ln

dL A

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Чтобы найти истинную деформацию в момент разрыва надо знать площадь шейки

при разрыве или, при использовании справочных данных, можно взять

относительное сужение

−

==−

AA A

или

−

, тогда

ист

ln ln ln

dL A

⎛⎞

===

⎜⎟

−

⎝⎠

Для пластичных сталей в момент разрыва

≈

0,6 – 0,7 и

≈

1, то есть деформация в

шейке достигает 100%.

Свяжем истинные деформации

ист

и истинные напряжения

ист

ист усл усл

AAA A

σσ

==⋅ = =

До образования шейки — деформация одинаковая по всей длине образца, тогда из

условия постоянства объема образца

AL AL

усл

ALL

AL L

== =+

ист усл усл

ln ln(1 )

εε

⎛⎞

==+≈

⎜⎟

⎝⎠

ист

ln(1 )

ист усл усл ист

(1 )e

σσ σ ε

==+

Построение диаграммы истинных напряжений, выполненное в Mathcad, приведено в

электронной книге в единственном примере для главы 5.

Диаграммы условных и истинных напряжений, полученные в указанном примере

показаны на рис. 5.10. Диаграмма условных напряжений

усл

–

усл

подобна

диаграмме деформирования, нарисованной машиной в координатах нагрузка –

удлинение (

– ). Действительно условные напряжения и деформация — это

нагрузка и удлинение, деленные на постоянную величину, то есть фактически просто

изменен масштаб диаграммы деформирования.

LΔ

Диаграмма истинных напряжений в 5 – 7 раз длиннее и в 2 – 3 раза выше диаграммы

условных напряжений.

Рис. 5.10. Сопоставление диаграмм условных и истинных напряжений

В практических расчетах на прочность при необходимости учета пластических

деформаций используются различные аппроксимации диаграммы деформирования.

Используемые виды аппроксимации диаграммы деформирования описаны в

разделе 8.1.

Глава 6. Сдвиг и кручение

Полная деформация любого тела складывается из линейной

и угловой

деформации

. Линейная деформация

вызывается нормальными напряжениями

. Угловая деформация

вызывается касательными напряжениями

. Связь между

изучалась в главе 4 (растяжение-сжатие). В этой главе изучается связь

6.1 Сдвиг

Примером сдвига можно считать разрезание ножницами листа бумаги или металла. В

очень узкой области между ножами создается область сдвига. Вырежем в этой

области элемент тела и рассмотрим его деформацию (рис. 6.1). Грани элемента

смещаются друг относительно друга под действием поперечной силы

Q .

SΔ

Рис. 6.1. Сдвиг

Абсолютный сдвиг SΔ – смещение граней элемента, неудобен в использовании, так

как зависит от размеров тела.

Относительный сдвиг

, называемый углом сдвига, не зависит от размеров

тела.

Касательное напряжение на гранях элемента изменяется по довольно сложному

закону, а на практике принимается постоянным. Хотя это и не верно, но допустимо.

В практических расчетах ошибка компенсируется поправочными коэффициентами.

= ,

где — площадь сечения, испытывающего деформацию сдвига.

Закон Гука при сдвиге, означает линейную зависимость между касательным

напряжением

и углом сдвига

=⋅ (6.1),

где — коэффициент пропорциональности, называемый модулем сдвига.

Модуль сдвига — константа материала, которая определяется опытным путем и

приводится в справочниках.

Мы рассмотрели три упругие постоянные материала: модуль Юнга

, модуль

сдвига

G , коэффициент Пуассона

. Между ними существует теоретическая связь

2(1

(6.2).

Например, для большинства сталей справочные значения

210E

⋅ Мпа,

=0.3,

Мпа. Формула (6.2) дает значение

810G =⋅

7,7⋅10 Мпа.

Из закона Гука при сдвиге (6.1), подставив в него выражения для

можно получить выражение для абсолютного сдвига

Δ= .

Потенциальная энергия упругой деформации при сдвиге

, как и при растяжении,

численно равна работе внешних сил , которая, в свою очередь, равна площади

диаграммы деформирования при сдвиге. При упругой деформации справедлив закон

Гука и, следовательно, потенциальная энергия упругой деформации численно равна

площади треугольника (рис.6.2)

внеш

⋅Δ

≈==

внеш

П W

(6.3).