Макаров Е.Г. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.

Момент силы относительно какой-либо оси в пространстве равен произведению

проекции силы на плоскость, перпендикулярную заданной оси, на плечо.

Плечо — кратчайшее расстояние в пространстве между линией действия силы и

заданной осью.

Пара сил — это две одинаковые силы, находящиеся на фиксированном расстоянии

друг от друга. Если задана пара сил, то момент пары сил — величина постоянная для

любой точки.

3.4. Дифференциальные зависимости

внутренних усилий от распределенной нагрузки

3.4.1. Растяжение-сжатие

Рассмотрим стержень, на который среди прочих нагрузок действует распределенная

по любому закону нагрузка

q , действующая вдоль оси стержня

(рис. 3.2).

N+dN

Рис. 3.2. К выводу дифференциальной зависимости между N

и q

Выделим элемент стержня длиной в той части стержня, где действует

распределенная нагрузка, и рассмотрим условия его равновесия. В пределах

бесконечно малой длины здесь и далее интенсивность распределенной нагрузки

можно считать постоянной. Тогда

xx x x

F N qdx N dN=+ −− =

∑

откуда

3.4.2. Кручение

Рассмотрим стержень, на который среди прочих нагрузок действует распределенная

по любому закону нагрузка

m , закручивающая стержень вокруг продольной оси

стержня

(рис. 3.3). Выделим элемент стержня длиной , в той части стержня,

где действует распределенный момент, и рассмотрим условия его равновесия.

Рис. 3.3. К выводу дифференциальной зависимости между М

и m

кк

() 0

MF M mdx M dM=+ −− =

∑

откуда

3.4.3. Изгиб

Возьмем балку, нагруженную различными нагрузками (рис. 3.19), вырежем элемент

ее в той части балки, где действует распределенная нагрузка и запишем условия

равновесия элемента балки

QdQ+

MdM+

Рис. 3.4. К выводу дифференциальных зависимостей между M,Q и q

() ( ) 0

yy y y

zzy zz

FQqdxQdQ

M F M Q dx qdx M dM

=+ −− =

=− − − + + =

∑

откуда

или

Найденные дифференциальные зависимости используются для проверки

правильности построения эпюр внутренних усилий или для построения этих эпюр

вообще без расчетов. Рассмотрим следствия из записанных дифференциальных

зависимостей.

3.4.4. Следствия из дифференциальных зависимостей

Полученные дифференциальные зависимости справедливы при любом виде

нагружения. Однако при растяжении и при кручении распределенная нагрузка

встречается редко, поэтому все дальнейшие рассуждения проведем на примере

изгиба.

В основе следствий лежит геометрический смысл производной и интеграла.

Производная от функции равна тангенсу угла наклона касательной к графику

функции.

Поперечная сила есть тангенс угла наклона касательной к эпюре изгибающих

моментов.

Чем больше поперечная сила при изгибе, тем больше наклон эпюры изгибающих

моментов. Если поперечная сила положительная, наклон эпюры изгибающих

моментов положительный (против часовой стрелки) (рис. 3.20).

Интеграл от функции равен площади, ограниченной кривой подинтегральной

функции и осью абсцисс.

Проинтегрируем второе выражение (3.12).

dM Q dx=

12 () ()−= − =

∫

zz y

М Mx Mx Qdx (3.13).

Приращение изгибающего момента между двумя сечениями равняется приращению

площади эпюры поперечной силы между этими сечениями

Влияние каждого вида нагрузок на характер эпюр поперечной силы и изгибающего

момента показано в таблице 3.1. Используйте эту таблицу для проверки

правильности построения эпюр

Q и

Таблица . 3.1 Влияние вида нагрузки на характер эпюр и Q

Есть распределенная нагрузка

qConst

Есть сосредоточенная сила

Есть пара сил

На балке

Нет распределенной нагрузки

На эпюре

Прямоугольник

Наклонная прямая

Скачок на величину силы

Никак не отражается

На эпюре

Наклонная прямая

Парабола

Скачок на величину

момента пары сил

Перелом

Выпуклость навстречу

нагрузке

Приведенные зависимости позволяют строить эпюры внутренних усилий без

расчетов по характерным точкам.

Следует помнить, что любая эпюра с нуля начинается и нулем заканчивается, потому

что она представляет собой графическое представление уравнения равновесия тела.

Расчет балки на изгиб начинают с построения эпюры поперечных сил

Последовательно переходя от одной характерной точки к другой, подсчитывают

сумму сил, находящихся по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Перед построением эпюры изгибающих моментов

надо определить направление

наклона эпюры

. Если — 0Q > наклон положительный (вверх, если идем слева

направо), — наклон отрицательный (рис. 3.5).

0Q <

Рис. 3.5 Зависимость наклона эпюры М от знака Q

10M

При построении эпюры на конце балки (эпюра начинается с нуля). Для

нахождения момента

в следующем характерном сечении к значению

добавить площадь эпюры между этими сечениями. Добавить со знаком плюс или

минус — это зависит от определенного заранее направления наклона эпюры

В сечениях, где действуют пары сил, на эпюре

сделать скачок на величину

момента пары сил.

При построении эпюр должны быть известны все нагрузки, действующие по одну

сторону от рассматриваемого сечения, поэтому для балки с шарнирными опорами

необходимо заранее найти реакции опор. Для балки, заделанной одним концом,

эпюры строят, идя со свободного конца балки. При этом определение реакций в

заделке не требуется. Они получаются автоматически как значения и

заделке.

Напоминаю, что определение внутренних усилий — важнейший момент расчета

конструкции на прочность. Необходимо свободно владеть навыками построения

эпюр и правилами их проверки. Для этого необходим навык построения эпюр

вручную (без компьютера).

Глава 4. Растяжение-сжатие

При растяжении и при сжатии в поперечных сечениях стержней

действует только продольное усилие, определение которого

рассмотрено в разделе 3.1. Расчетные формулы для растянутых и

сжатых стержней одинаковы. Различаются только знаком продольного

усилия.

ПРАВИЛО ЗНАКОВ

Растягивающее продольное усилие — положительное, сжимающее —

отрицательное.

4.1 Внутренние усилия и напряжения

Рассмотрим стержень, нагруженный силой

(рис. 4.1). Внутренние

усилия в поперечных сечениях стержня определяются методом

сечений. Из уравнений равновесия отсеченной части стержня

продольное усилие

F= , поперечная сила 0Q

, изгибающий момент

0M =

Рис. 4.1. Растяжение стержня

Продольное усилие для рассматриваемого стержня не зависит от

выбранного сечения и эпюра продольных усилий (график

распределения продольного усилия по длине стержня) представляет

собой прямоугольник.

Укажем на стержне произвольное поперечное сечение 1-1. Под

действием силы стержень удлинился на величину F l

. При этом

сечение 1-1 переместилось в положение 1

-1

, но в силу гипотезы

плоских сечений осталось плоским и параллельным своему исходному

положению. Перемещения всех точек поперечного сечения одинаковы,

а, следовательно, деформации и напряжения (в силу закона Гука)

также одинаковы.

Так как напряжение — это внутреннее усилие

, приходящееся на

единицу площади , формула для нормальных напряжений σ при

растяжении

σ=

Поперечная сила при растяжении

, следовательно, касательные

напряжения 0

= .

При растяжении , при сжатииσ>0

<0.

Условие прочности при растяжении-сжатии

[]

max

σ=≤σ

Выражение для

max

взято по модулю, так как допускаемое

напряжение

[

]

всегда положительное.

4.2 Деформации

На рисунке 4.2 показан стержень до и после растяжения. Его длина

увеличилась, а поперечный размер уменьшился. Введем понятия

абсолютной и относительной деформации.

Рис.4.2. Деформации при растяжении стержня

ll lΔ= − — абсолютная продольная деформация,

bb bΔ= − — абсолютная поперечная деформация,

ε=

—относительная продольная деформация,

ε=

— относительная поперечная деформация.

Относительные поперечная и продольная деформации связаны между

собой эмпирической зависимостью

ε=−μ⋅ε, где — коэффициент Пуассона, определяемый

опытным путем. Знак минус показывает, что при растяжении стержня

его поперечное сечение сужается.

μ=

Коэффициент Пуассона является упругой константой материала. В

дальнейшем (в главе 20) будет показано, что при упругой деформации

. Значения коэффициента 00,<μ< 5

для различных материалов

приводятся в справочниках. Например,

для пробки

≈0,

для стали μ≈ , 0,3

для резины

=0,49.

4.3 Закон Гука

По закону Гука перемещения прямо пропорциональны нагрузкам.

K=Δ,

где

— сила, — перемещение от этой силы, — жесткость тела,

зависящая не только от свойств материала, но и от формы и размеров

тела.

Δ K

На графике прямая пропорциональность изображается прямой линией

(рис 4.3).

lΔ

=ε

arctgE

lΔ

σ=

внеш

=NF

Рис. 4.3. Закон Гука при растяжении

Поскольку напряжения

σ= и деформации

ε= есть нагрузка и

перемещение, деленные на константы и l , то и напряжения прямо

пропорциональны деформациям На графике (рис. 4.3) зависимость

от

изображается прямой линией. Следовательно, можно записать

σ= ε,

где

— коэффициент пропорциональности, называемый модулем

продольной упругости или модулем Юнга.

Модуль Юнга

— константа материала (как и коэффициент Пуассона

) приводится в справочниках. μ

Для стали

210

⋅E Мпа,

Для чугуна Мпа,

10=E

Для дерева Мпа.

10E =

На практике часто необходимо найти удлинение стержня под

действием растягивающих или сжимающих нагрузок. По закону Гука

σ= ε. Подставим в это выражение

= и

ε= , тогда

откуда

Δ=

Эта формула справедлива в случае действия одной сосредоточенной

силы, то есть продольное усилие постоянно по длине стержня.

Если на стержень действует несколько сосредоточенных сил, то

стержень разбивается на несколько участков (от силы до силы) и

полное удлинение равно сумме удлинений каждого участка в

отдельности

Δ=

∑

где — номер участка,

n — количество участков.

В общем случае, если продольное усилие на некоторых участках

величина переменная, то есть действует распределенная нагрузка, то

удлинение пропорционально площади эпюры продольных усилий

()

xdx

∫

()

xdx

Δ=

∑

∫

4.4 Потенциальная энергия упругой деформации

Для определения потенциальной энергии воспользуемся, известным из

теоретической механики началом возможных перемещений

НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Если тело находится в состоянии равновесия, то сумма работ внешних и

внутренних сил

внеш

вн

тр

W равна нулю на любых возможных (согласованных со

связями) перемещениях.

Заметим, что реальные перемещения — всегда возможные. При

упругой деформации

внеш внутр

0WW+=.

Потенциальная энергия равна работе внутренних сил

внутр внеш

П=WW=− .

Потенциальная энергия не бывает отрицательной и численно равна

площади диаграммы нагружения стержня (при упругой деформации

площади треугольника (рис. 4.3)

внеш

П=()

WNdl

⋅Δ

=⋅Δ=

∫

С учетом

Δ=

получаем

В общем случае нагружения (

Const

≠

)

()

xdx

∑

∫

Подсчитаем удельную потенциальную энергию упругой деформации

П то есть энергию П , накопленную в единице объема V .

VAl

, но

σ и

ε , тогда

εσ

(с учетом E

)

4.5 Напряжения на наклонных площадках

Пусть стержень растягивается силой . В поперечных сечениях

стержня нормальные напряжения

= , где площадь поперечного

сечения . Найдем напряжения, действующие на площадке,

наклоненной под углом

α к поперечному сечению (рис. 4.4). Площадь

наклонной площадки

Abh=⋅

cos

⋅

Рис. 4.4. Усилия в наклонном сечении стержня при растяжении

Согласно методу сечений мысленно рассекаем стержень по

наклонному сечению, отбрасываем правую часть и рассматриваем

равновесие левой части. Неизвестное внутреннее усилие в наклонном

сечении раскладываем на 2 составляющие: вдоль нормали к сечению

и по касательной к сечению

cosNF

=⋅ α sinQF

⋅α. Из условия

равновесия отсеченной части их геометрическая сумма равна .

Напряжения на наклонной площадке

cos cos

/cos

Fcos F

AA A

⋅α

σ= = = α=σ⋅ α

sin

sin cos sin 2

/cos

AA A

⋅α σ

τ= = = α⋅ α= α

α2

При α=0

maxα

σ=σ=σ 0

= ,

при

α = 45°

σ=

maxα

==τ

при

α = 90°

minα

σ=0=σ

min

==τ .

В дальнейшем будет показано, что

max

всегда действует на

площадках, наклоненных под углом , к площадкам, где действует

45°

max

min

4.6. Закон парности касательных напряжений

Найдем касательные напряжения, действующие на двух взаимно

перпендикулярных площадках (рис. 4.5)

sin 2

τσ

sin(2 sin 2

αα

+90°

= +180°) = −

+α

Рис. 4.5. Касательные напряжения на взаимно перпендикулярных сечениях

ЗАКОН ПАРНОСТИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

На взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по

величине и противоположны по направлению.

Этот закон часто используется в сопротивлении материалов при

исследовании напряженного состояния в окрестностях некоторой

точки тела.

4.7 Понятие о главных напряжениях

Подробно о главных напряжениях и их определении речь пойдет в

главах 9 и 20. Здесь же пока без вывода приведем несколько

необходимых для дальнейшего изложения положений.

 Главной называется площадка, где отсутствуют касательные напряжения.

 Нормальные напряжения на главной площадке называются главными

напряжениями.

 В окрестностях любой точки можно провести 3 взаимно перпендикулярных

главных площадки, на которых действуют соответственно 3 главных

напряжения.

Главные напряжения обычно расставляются "по росту" и обозначаются

IIIIII

σσ

(с учетом знака). То есть

max

всегда обозначается

В зависимости от величины главных напряжений можно выделить три

вида напряженно-деформированного состояния (НДС) тела (рис.4.6):

 Линейное НДС — два из трех главных напряжений равны нулю;

 плоское НДС — одно из трех главных напряжений равно нулю;

 объемное НДС — все три главных напряжения не равны нулю.

Линейное Плоское Объемное

Рис. 4.6. Виды напряженно-деформированного состояния

Примеры различных НДС:

линейное — растяжение-сжатие, чистый изгиб;

плоское — сдвиг, кручение, изгиб, сложное сопротивление длинных и

тонких стержней, деформация тонких пластин и оболочек;

объемное — деформация массивных тел.

Глава 5. Механические характеристики

материалов

Все существующие и проектируемые конструкции должны удовлетворять условию

прочности

[]

пред

max

σσ

≤= , где max

— максимальное рабочее напряжение в

конструкции,

пред

— характеристика прочности материала, — коэффициент

запаса. Основные механические характеристики материалов определяются опытным

путем по результатам испытаний стандартных образцов на растяжение. Остальные

виды испытаний являются технологическими и в расчетах на прочность не

используются.

Рис. 5.1. Образец для испытаний на растяжение

Образцы для испытаний чаще всего круглого поперечного сечения (рис. 5.1). Однако

при изготовлении образцов из листового материала — поперечное сечение

прямоугольник. Все образцы имеют рабочую часть длиной и постоянного

диаметра и головки большего диаметра для крепления в захватах машины. Во

избежание преждевременного разрушения в месте перехода от рабочей части к

головке ГОСТ на образцы предусматривает наличие переходной конической части.

На практике иногда вместо конической части выполняют переход от рабочей части к

головке в виде скругления большим радиусом.

Для сопоставления результатов испытаний образцов разного диаметра соблюдается

закон подобия образцов. Для стандартных образцов

10Ld

. Это, так

называемые, десятикратные образцы.

Машины для испытаний на растяжение осуществляют деформацию образца с

постоянной сравнительно малой скоростью

=≈001.

Результаты испытаний существенно различаются для материалов в пластичном и

хрупком состояниях.

5.1 Признаки хрупкого и пластического

разрушения материалов

В природе нет хрупких и пластичных материалов, а есть хрупкое и пластическое

состояние материала. При изменении условий испытания один и тот же материал

может разрушаться и хрупко и пластично. Например, углеродистая сталь, пластичная

при комнатной температуре 20ºС, разрушается хрупко при температуре жидкого

азота (-196ºС). Чугун, хрупкий при растяжении и кручении, разрушается пластично

при сжатии. При испытании на твердость на прессе Роквелла такого хрупкого

материала, как мрамор, на его поверхности остается вмятина, свидетельствующая о

пластической деформации.

Хрупкое разрушение вызывается нормальными напряжениями

и называется

отрывом

Пластическая деформация вызывается касательными напряжениями

и называется

сдвигом

Пластическое разрушение носит сложный характер, если пластическая деформация,

образование и развитие трещин вызывается

, то разделение тела на части в

последний момент разрушения вызывается

. Однако, пренебрегая моментом

разрушения, можно сказать, что

пластическое разрушение вызывается касательными

напряжениями

и называется срезом

Знание признаков хрупкого и пластического разрушения чрезвычайно важно при

анализе изломов конструкции. Анализируя вид излома, можно определить характер

разрушения, вид нагрузки, ее величину и время ее действия.

Перечислим основные из этих признаков:

Таблица 5.1

Признак Пластическое

разрушение

Хрупкое разрушение

Пластические деформации есть Нет