Макаров Е.Г. Сопротивление материалов
Подождите немного. Документ загружается.
Рис. 19.8. Расчет нагрузок, вызывающих заданные перемещения в балке
Рис. 19.9. Эпюра изгибающих моментов и перемещения в балке
На рис. 19.8 приведено решение этой задачи. Вверху введены
исходные данные для расчета. Далее в общем виде записан
изгибающий момент в сечениях балки. Поскольку нагрузки на балку не
известны, они включены в параметры функции изгибающего момента.
В общем виде записан также интеграл Мора для определения
перемещений в произвольной точке балки.
Нагрузки, удовлетворяющие заданным граничным условиям,
определяются путем решения системы уравнений граничных условий с
помощью вычислительного блока
given-find. Правда, на этот раз
вместо функции
find взята функция minerr.
Если решение существует, результаты решения задачи с
использованием функций
find и miner совпадают. Если решения нет
функция
find выдает ошибку, а функция minerr выводит невязку
решения.
1Равенство нулю угла поворота сечения в заделке нельзя ввести в
вычислительный блок в виде производной от прогиба, поэтому выше
вычислительного блока производной присвоено имя функции
θ
с теми
же параметрами.
Вычислительному блоку предшествуют начальные приближения всех
параметров (нагрузок). После вычислительного блока выведены
161
значения нагрузок, удовлетворяющих решению системы уравнений
(граничным условиям задачи).
На рис. 19.9 показаны изогнутая ось балки и эпюра изгибающих
моментов от найденных нагрузок.
Аппроксимация упругой линии балки степенным
полиномом. Программа
optimize4
В этом примере рассматривается второй вариант решения предыдущей
задачи.
Для консольной балки прямоугольного сечения (рис. 19.10 слева)
заданы граничные условия. Надо подобрать нагрузки,
удовлетворяющие этим условиям. В этой задаче расчет ведется без
учета размерностей. Числовые исходные данные введены в
кг и см.
Q=50кг
L
2
L
3
L=0
1
u=0
u=0
/
u=0.5
M=10кгсм
q
M
0
F
Рис. 19.10. Схема балки с указанием граничных условий (слева) и найденные нагрузки
(справа)
Подберем степенной полином, удовлетворяющий заданным
граничным условиям. На рис. 19.11 для заданной балки подбирается
полином четвертой степени. Для решения системы уравнений
граничных условий производные от перемещения
u готовятся заранее
в виде функций от коэффициентов полинома.
В этой задаче заданы равенство нулю прогиба и угла поворота в
заделке , прогиб см, изгибающий момент
1
0L = Δ=0,5 10M
=
кгсм в
сечении см и поперечная сила
2
50L = 50Q
=
кг на свободном конце
балки см. В принципе можно задать любые граничные
условия.
3
100L =
Далее с помощью вычислительного блока
given-find определяются
коэффициенты полинома. Зная коэффициенты полинома теперь его
можно записать в явном виде.
162
Рис. 19,11. Подбор степенного полинома при решении обратных задач
Рис.19.12. Графики, построенные с использованием найденного полинома
По уравнению полинома строятся графики перемещения и его
производных (рис. 19.12), то есть углов поворота, поперечной силы и
изгибающего момента. Анализируя эти графики можно определить
величины нагрузок на балку, вызывающих подобный вид упругой
линии балки. Но это будут нагрузки, приложенные к свободному
концу балки (рис. 19.10 справа). В нашем примере
0,5
q
=
кг/см, F=50
кг, М
0
=180 кгсм. Способ, описанный в предыдущей задаче,
предпочтительней. Он позволяют определять произвольно
приложенные нагрузки.
Поиск оптимальных размеров сечения балки.
163
Программа optimize5
Рассмотрим совсем простой случай нагружения балки. Консольная
балка прямоугольного сечения, нагруженная одной силой на
свободном конце. Требуется подобрать размеры сечения балки из
условий, что
[
]
max
σ
σ
= и перемещение конца балки
[
]
2
Δ
≤Δ= мм. На
размеры сечения тоже наложены ограничения. Расчет оптимальных
размеров сечения показан на рис. 19.13. Формулы для напряжения и
перемещения конца балки записаны готовыми ввиду простоты расчета.
Масса стержня пропорциональна площади поперечного сечения.
Размеры сечения определяются с использованием вычислительного
блока
given – minimize. Внутри блока записаны сразу 4 ограничения:
на размеры
b и , напряжение h
σ
и перемещение
Δ
. Оптимальные
размеры выведены после функции
minimize.
Рис.19.13. Расчетная схема балки
Рис. 19.14. Зависимость максимального напряжения и перемещения конца балки от размеров
сечения
Этот пример прост (для Mathcad) и нагляден. Поиск идет сразу по
нескольким переменным с учетом большого количества ограничений.
Экстремума в данной задаче нет, поэтому в области наложенных
ограничений Mathcad выбирает наилучшее решение.
164
Макаров Е. Г. Сопротивление материалов. - Москва 2004 год
Содержание
Предисловие 1
Особенности курса сопротивления материалов 1
Особенности решения задач в Mathcad 2
Глава 1. Основные понятия 4
Глава 2. Геометрические характеристики поперечных сечений 21
Глава 3. Определение внутренних усилий 29
Глава 4. Растяжение-сжатие 35
Глава 5. Механические характеристики материалов 40
Глава 6. Сдвиг и кручение 50
Глава 7. Плоский поперечный изгиб 63
Глава 8. Учет пластических деформаций 79
Глава 9. Основы напряженно-деформированного состояния 91
Глава 10. Сложное сопротивление………………… 104
Глава 11. Энергетический метод расчета упругих систем 115
Глава 12. Устойчивость сжатых стержней 127
Глава 13. Расчет тонкостенных оболочек 136
Глава 14. Динамика упругих систем 145
Глава 15. Усталость материалов 160
Глава 16. Природа разрушения твердых тел 178
Глава 17. Факторы, влияющие на прочность и разрушение
материалов
186
Глава 18.Линейная механика разрушения тел с трещинами 194
Глава 19. Элементы рационального и оптимального проектирования
конструкций
201
Список литературы 203
Быстрый старт
Построение выражений и графиков в Mathcad
204
Интерфейс Mathcad 204
Построение выражений и их вычисление 207
Цепкие операторы 210
Редактирование объектов Mathcad 210
Стандартные функции 211
Числовые константы. Ввод греческих букв 212
Ввод текста 212
Функции пользователя 213
Дискретные переменные. Построение таблиц 214
Форматирование чисел 215
Построение плоского графика функции 216
Построение трехмерных графиков 219
Основные возможности Mathcad
222
Ступенчатые и разрывные функции и выражения. 222
Условие в Mathcad 222
Глобальное присвоение значений 223
Символьные вычисления 224
Решение уравнений 225
Решение систем уравнений (функция Find 227
Приближенное решение систем уравнений (функция Minerr) 229
Исследование функции на экстремум 229
Работа с матрицами 230
Оператор векторизации 233
Решение дифференциальных уравнений 234
Анализ экспериментальных данных 238
Элементы математической статистики 242
Обмен данными с другими программами 243
Учет размерностей в Mathcad 244
Преобразование функции в матрицу и матрицы в функцию 246
Строковые функции 247
Программирование 248
Анимация 248
Отладка Mathcad-документов 248
Уменьшение размера файла 249
Решение в Mathcad задач сопротивления материалов
251
Для главы 2. Расчет геометрических характеристик сечений 251
Для главы 3. Определение внутренних усилий 257
Для главы 4. Примеры решения задач на растяжение-сжатие 270
Для главы 5.Механические свойства материалов 283
Для главы 6. Расчеты на сдвиг и кручение 288
Для главы 7. Расчет балок на изгиб 297
Для главы 8. Учет пластических деформаций 308
Для главы 10. Примеры расчета стержня при сложном сопротивлении 320
Для главы 11. Определение перемещений статически определимых
систем с помощью интеграла Мора
331
Для главы 12. Устойчивость сжатых стержней 365
Для главы 13. Расчет тонкостенных оболочек 375
Для главы 14. Динамика упругих систем 381
Для главы 15. Усталость материалов 395
Для Главы 18. Линейная механика разрушения тел с трещинами 404
Для главы 19. Оптимальное проектирование конструкций 406
Автор электронной книги
Макаров Евгений Георгиевич —
доцент Балтийского государственного
технического университета "БГТУ-Военмех".
Санкт-Петербург.
Много лет преподает студентам
сопротивление материалов, механику
деформируемого твердого тела, теорию
пластичности. Во всех дисциплинах
использует Mathcad для решения
практических задач. Более 15 лет обучает
студентов работе с Mathcad .
Награжден почетным знаком
"Отличник высшей школы".
Принимает участие в разработке и
тестировании новых версий Mathcad
совместно с фирмой Mathsoft
Автор книг:
"Инженерные расчеты в Mathcad ", изд-во "Питер", 2003 г,
http://shop.piter.com/
"Инженерные расчеты в Mathcad 14", изд-во “Питер”, 2007 г,
http://shop.piter.com/
"Сопротивление материалов на базе Mathcad", изд-во "БХВ", 2004 г.
http://www.bhv.ru/
"Сопротивление материалов с использованием вычислительных
комплексов", изд-во "Высшая школа", 2008 г.
Автор компакт-дисков http://www.nd.ru/:
"Самоучитель Mathcad 11", "Новый диск", Москва,2005 г.
"Самоучитель Mathcad 14", "Новый диск", Москва,2008 г.
"Mathcad – конструктор программ", "Новый диск", Москва, 2006 г.
"Mathcad 14 – конструктор программ", "Новый диск", Москва, 2007 г.
"Сопротивление материалов с решением задач в Mathcad", "Новый диск",
Москва, 2007 г.
"Сопротивление материалов + Mathcad 14", "Новый диск", Москва, 2008 г.
___________________________________
E-mail: emakarov@inbox.ru