Макаров Е.Г. Сопротивление материалов
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 9. Основы напряженно-
деформированного состояния
В предыдущих главах были рассмотрены простые виды деформации: растяжение-
сжатие, сдвиг, кручение, изгиб, где в условие прочности входило одно напряжение:
либо нормальное
max
σ
, либо касательное
max
τ
, так как второе напряжение было или
мало по сравнению с первым, как при изгибе, или отсутствовало в рассматриваемом
сечении, как при растяжении, сдвиге и кручении.
Чтобы перейти к рассмотрению общего случая нагружения тела (к сложному
сопротивлению), при котором величины
σ
и
τ
в точке тела могут быть одного
порядка, надо вначале получить общую форму записи условия прочности, в которой
бы учитывалось влияние и
σ
и
τ
.
В общей постановке уравнения связи между перемещениями, деформациями,
напряжениями и внешними нагрузками рассмотрены в главе 20. В этой главе
приводятся только основные сведения, необходимые для решения текущих задач.
Рассмотрим напряжения и деформации, которые возникают в некоторой точке тела
при произвольном нагружении.
9.1. Деформации
Под действием внешних нагрузок тело деформируется. Как следствие деформаций
появляются напряжения в теле. Нет деформаций, нет и напряжений.
Напомним разницу между перемещением и деформацией.
Перемещение — изменение положения точки в пространстве.
Деформация — изменение формы и размеров тела.
Полная деформация тела складывается из линейной и угловой деформаций (рис. 9.1).
Поскольку деформация тела, как правило, неоднородная, дальше будем говорить о
деформации бесконечно малого элемента тела, выделенного в окрестности
рассматриваемой точки тела
+
Полная
деформация
Линейная
деформация
L
LΔ
Угловая
деформация
β
γαβ=+
L
L
ε
Δ
=
Рис. 9.1 Деформации
Линейная деформация — относительное изменение размеров элемента тела.
Угловая деформация — изменение первоначально прямого угла выделенного
элемента тела.
Если элемент тела параллелепипед, ориентированный по осям
,,
x
yz, то
соответственно возникает три линейных деформации (вдоль осей
,,
x
yz): ,,
x
yz
ε
εε
,
и три угловые деформации
,,
x
yyzzx
γ
γγ
в трех взаимно-перпендикулярных
плоскостях.
Под действием указанных деформаций на гранях выделенного элемента возникают
напряжения.
9.2. Напряжения
В теле произвольной формы, нагруженном произвольными силами выделим
элементарный объем . По граням этого элемента действуют векторы полных
напряжений
dV
12
,,
3
p
pp
GG G
(рис. 9.2, а). Величина и направление полных напряжений
неизвестны. Для определения этих векторов представим каждый из них в виде
проекций на оси координат
,,
x
yz (рис. 9.2, б).
91
Пусть объем выделенного элемента стремится к нулю, тогда можно считать, что
напряжения на противоположных гранях элемента одинаковы и определяют
напряженное состояние в точке тела, около которой выделен этот объем.
Запишем напряжения, действующие по граням элемента, в упорядоченном виде, в
виде матрицы размерностью 3×3. Каждый столбец этой матрицы представляет собой
совокупность напряжений, действующих на одной из граней элемента. такая матрица
называется
тензор напряжений.
=
σ
x
σ
z
σ
y
τ
xy
τ
yz
τ
zx
τ
zy
τ
yx
τ
xz
=
σ
I
σ
III
σ
II
p
II
p
I
p
III
−τ
Рис. 9.2 Напряжения в точке тела
x
yx zx
x
yyzy
x
zyz z
σ
ττ
τ
στ
τ
τσ
⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎥
(9.1).
Следует отметить
, что тензор не просто матрица. Компоненты тензора подчиняются
строгим правилам преобразования
, излагаемым в тензорной алгебре. Механика
деформируемого твердого тела¸ теория упругости¸ численная механика строятся на
таких ключевых понятиях, как тензор напряжений и тензор деформаций. Без них
невозможно создание численных методов расчета, таких
, как метод конечных
элементов и метод граничных элементов
. Подробно о тензорах напряжений и
деформаций говорится в главе 20.
При повороте осей координат
, компоненты напряжений изменяются. Вращая
выделенный элемент вокруг осей координат
, можно найти такое положение
элемента
, при котором все касательные напряжения на гранях элемента равны нулю.
Площадка
, на которой касательные напряжения равны нулю, называется главной
плошадкой
.
Нормальное напряжение на главной площадке называется главным напряжением.
Нормаль к главной площадке называется
главной осью напряжений
.
В каждой точке можно провести три взаимно-перпендикулярные главных площадки
.
При повороте осей координат изменяются компоненты напряжений
, но не меняется
напряженно-деформированное состояние тела (НДС)
.
Для расчетов на прочность можно использовать как тензор напряжений, содержащий
9 компонент, так и вектор из трех главных напряжений
. Естественно работать с
тремя неизвестными напряжениями значительно проще
, чем с девятью, поэтому при
решении сложных задач стараются использовать главные напряжения
.
Для определения величины и направления главных напряжений используется метод
Якоби. Рассмотрим основную идею этого метода.
Вращаем элемент последовательно вокруг трех осей координат
, добиваясь того,
чтобы касательные напряжения обратились в нуль
. Строго говоря в алгоритме метода
нет последовательного вращения
, а есть формула для определения угла, на который
надо развернуть ось
, чтобы касательные напряжения на двух площадках обратились
в нуль
.
В Mathcad метод Якоби реализуется в программе eigenvals, возвращающей
величины трех главных напряжений
, называемых собственными числами, и в
программе
eigenvecs, возвращающей косинусы углов между нормалью к главной
площадке и исходными осями координат
, называемые собственный вектор.
Найденные главные напряжения расставляются "по росту" (с учетом знаков) и
обозначаются
I
II III
σ
>σ >σ .
Пример определения величины и направления главных напряжений в Mathcad
приведен на рис.20.11.
9.3. Виды напряженного состояния
В зависимости от количества неравных нулю главных напряжений различают
объемное
, плоское и линейное напряженные состояния (рис. 9.3).
92
a
)
б)
в)
σ
II
I
σ
I
σ
II
σ
III
σ
I
σ
II
σ
I
σ
I
σ
I
σ
I
σ
II
σ
II
Рис. 9.3. Виды напряженного соcтояния
Линейное напряженное состояние — одно главное напряжение не равно нулю
(рис 9
.3, а).
Примером линейного напряженного состояния являются растяжение-сжатие и
чистый изгиб
. При растяжении 0
1
σ
≠ , 0
23
σ
=σ = . При сжатии ,
.
0
3
σ≠
0
12
σ=σ =
Плоское напряженное состояние — два главных напряжение не равны нулю
(рис
. 9.3, б).
Примером плоского напряженного состояния являются сдвиг
, изгиб и кручение
длинных и тонких стержней
, тонкостенные пластины и оболочки.
Объемное напряженное состояние — все три главных напряжения не равны
нулю (рис
. 9.3, в).
Примером объемного напряженного состояния является нагружение массивных
тел
.
Решение объемной задачи на порядок сложнее решения плоской задачи
. Однако
часто и для массивных тел можно использовать решения
, найденные для плоского
напряженного состояния
.
Разрушение массивных тел чаще всего начинается с поверхности
, а на поверхности
одно из главных напряжений равно нулю
. Следовательно вблизи поверхности можно
использовать зависимости
, полученные при плоском напряженном состоянии.
Кроме того
, на практике часто встречаются частные случаи объемного напряженного
состояния
: плоское деформированное состояние и осесимметричное нагружение. для
этих случаев используют уравнения плоского напряженного состояния с небольшой
поправкой
. Большинство расчетных программ, составленных для плоского
напряженного состояния
, как правило решают и задачи плоской деформации, и
осесимметричного нагружения
.
9.4. Плоское напряженное состояние
К плоскому напряженному состоянию относятся большинство рассматриваемых в
сопротивлении материалов случаев нагружения стержней
, поэтому плоскому
напряженному состоянию уделим особое внимание
.
Найдем связь между напряжениями на гранях выделенного элемента и
напряжениями на наклонной площадке
. Рассмотрим прямую и обратную задачи.
9.4.1. Прямая задача
Предположим, что в какой-то точке тела известны главные напряжения
I
0
σ
≠ ,
, σ≠
II
0
III
0
σ
= .
Требуется найти напряжения
α
σ
и
α
τ
на площадке, наклоненной под углом к
главной площадке (рис
. 9.4, a).
α
93
y
x
I
σ
II
σ
α
σ
α
τ
I
σ
II
σ
α
x
A
y
A
A
α
)a
)
б
Рис. 9.4. Напряжения на наклонной площадке
Условимся, что знак касательного напряжения
τ
совпадает со знаком поперечной
силы
. Это не совпадает с правилом знаков для
τ
, принятым в теории упругости, но
необходимо для построения круговой диаграммы Мора
, о которой далее пойдет речь.
Расмотрим равновесие части выделенного элемента
, отрезанного сечением под углом
α
(рис. 9.4, б). Спроектируем силы, действующие на отрезанную часть элемента, на
нормаль к наклонной площадке
ν
и на касательную к наклонной площадке °
ν
+90
Площади граней рассматриваемой части элемента обозначим
,,
x
y
AAA
α
.
III
((=− )− )=
∑
xy
FAACos ASin
ναα
0
σ
σασα
,
0° I II
((
xy
F A ASin ACos
ναα
τ
σασ α
+9
=− )+ )=
∑
0.
С учетом (
x
Cos
A
α
α
Α
)=
и (
y
A
Sin
A
α
α
)= ,разделив оба выражения на A
α
, получаем
22
III
III
((
()(
Cos Sin
Sin C s
α
α
σ
σασα
τ
σσ αοα
=)+
=− )()
)
.
С учетом
(2 ( (Sin Sin Cos
α
αα
)=2 ) ),
2
(2
(
2
Cos
Sin
α
α
1
−)
)=
и
2
(2
(
Cos
Cos
α
α
1+ )
)=
2
получаем
III III
III
(2
22
(2
2
Cos
Sin
α
α
σ
σσσ
σ
α
σσ
τα
+−
=+
−
=)
)
(9.2).
Уравнения (9
.2) представляют собой параметрическое уравнение окружности типа
0
0
(
(
=+ )
=+ )
xx RCos
yy RSin
α
α
.
В выражении (9
.2)
III
2
σ
σ
−
— радиус окружности,
III
2
σ
σ
+
— смещение центра окружности.
Построим такую окружность в координатах
α
α
σ
τ
−
(рис. 9.5). Она называется
круговая диаграмма Мора
94
2α
2
III
σ+σ
2
I
II
σ
−σ
I
σ
II
σ
α
σ
max
τ
(,)
α
α
σ
τ
α
τ
Рис. 9.5. Круговая диаграмма Мора
Чтобы с помощью круга Мора определить напряжения на площадке, наклоненной на
угол
α
, надо из центра круга провести луч под углом 2
α
и определить координаты
,
α
α
σ
τ
точки пересечения луча с окружностью.
ПРИМЕЧАНИЕ
Точки, соответствующие напряжениям на двух взаимно-перпендикулярных
площадках, лежат на одном диаметре.
В качестве примера построим круги Мора для растяжения и сжатия (рис.9.6).
0
сжатие
растяжение
α
σ
I
σ
III
σ
α
τ
Рис. 9.6. Круги Мора для растяжения и сжатия
При растяжении
I
0
σ
≠ ,
II III
0
σ
σ
=
= . На оси
α
σ
отложить напряжение
I
σ
.
Радиус круга
I
2
σ
. Смещение центра круга
I
2
σ
. Строим круг Мора.
При сжатии
III
0
σ
≠ ,
III
0
σ
σ
==. На оси
α
σ
отложить напряжение
III
σ
. Радиус
круга
III
2
σ
. Смещение центра круга
III
2
σ
. Строим круг Мора.
Круг Мора предназначен для определения напряжений при плоском напряженном
состоянии
, так как в построении используют напряжения на двух взаимно
перпендикулярных площадках
.
Для объемного напряженного состояния круг Мора можно применить для
нахождения напряжений на площадках
, параллельных одной из главных осей. В этом
случае в построении круга будут участвовать напряжения только на двух площадках
,
как и при плоском напряженном состоянии
.
95
На рисунке 9.7, а изображен элемент, ориентированный по главным площадкам, при
объемном напряженном состоянии
. Возьмем три площадки, каждая из которых
параллельна одной из главных осей
, и построим для них круги Мора (рис.9.7, б).
а)
I
II
0
б)
Imax
σσ=
max
τ
α
σ
α
τ
III
σ
II
σ
σ
σ
III
σ
I
σ
Рис. 9. 7. Круговая диаграмма Мора при объемном напряженном состоянии
Если площадка параллельна напряжению
I
σ
, то в построении круга участвуют
напряжения
II
σ
и
III
σ
. Отложить на оси
α
σ
величины этих напряжений. Их
разность — диаметр круга
. Посередине — центр круга
Аналогично строятся круги Мора для площадок
, параллельных осям
II
σ
и
III
σ
.
Точки
, соответствующие напряженному состоянию произвольных площадок лежат в
заштрихованной области между тремя кругами
.
Анализируя круговую диаграмму Мора для объемного напряженного состояния
сделаем важный для последующего изложения вывод о максимальных напряжениях
в точке тела
.
max I
σ
σ
=
I III
max
2
σ
σ
τ
−
= (9.1).
Максимальные касательные напряжения всегда направлены под углом 45
°
к
максимальным нормальным напряжениям
.
9.4.2. Обратная задача
При плоском напряженном состоянии известны напряжения на гранях произвольно
выделенного элемента
,,
xy
σ
στ
(рис. 9.8, а). Требуется определить величину и
направление главных напряжений
I II III
,,
σ
σσ
.
А
Б
а )
А
Р
Б
0
б )
I
σ
II
σ
α
σ
α
τ
x
σ
y
σ
x
σ
y
σ
I
σ
σ
τ
−τ
II
C
D
Рис. 9.8. Обратная задача построения круга Мора
Построим круг Мора (рис. 9.8, б).
На площадке А действуют напряжения
x
σ
и
τ
.
На площадке Б действуют напряжения
y
σ
и
τ
−
.
В системе координат
α
α
σ
τ
− отложим две точки, соответствующие напряженному
состоянию на двух взаимно перепендикулярных площадках А и Б
.
Эти две точки лежат на одном диаметре
. Проведя прямую АБ, находим центр круга С
на оси
α
σ
. Зная центр и радиус круга, проводим окружность. Точки пересечения
круга с осью
α
σ
дают величину главных напряжений
I
σ
и
III
σ
.
Для определения направления главных напряжений через точки
А и Б на окружности
проведем прямые, параллельные площадкам
А и Б до пересечения друг с другом.
Точка пересечения
Р лежит на окружности и называется полюсом круга.
Прямая
, проведенная из полюса до любой точки окружности, будет параллельна
площадке
, напряженное состояние на которой соответствует точке пересечения с
кругом
.
96
Для наглядности по найденным направлениям внутри рассматриваемого элемента
(рис
. 9.8, а) построены главные площадки и показаны направления главных
напряжений на них
.
Прямые
, проведенные из полюса до точек пересечения круга с осью
α
σ
,
параллельны главным площадкам
. Соответственно перпендикуляры к ним
указывают направления главных напряжений
I
σ
и
III
σ
на этих площадках.
Обратите внимание
, что оси
α
α
σ
τ
−
необязательно должны быть параллельны
граням выделенного элемента
.
Наклоните выбранный элемент на некоторый угол
. Поменяйте величину и
направления действующих на него напряжений
. Постройте для него круг Мора и
определите величину и направление главных напряжений
. Найдите напряжения на
произвольно выбранной вами площадке или для любой точки круга найдите
направление соответствующей ей площадки
.
Рассмотренный метод определения направлений площадок и напряжений прост и
элегантен
, но...не очень важен. Круги Мора крайне редко используются в
инженерной практике
.
Воспользуемся кругом Мора, чтобы получить расчетную формулу для определения
главных напряжений при плоском напряженном состоянии
.
I
OC AC
σ
=+
III
OC AC
σ
=−,
где
2
x
y
OC
σ
σ
+
=
— смещение центра круга, АС — радиус круга.
По теореме Пифагора
2
22
2
xy
AC CD AD
σσ
τ
2
−
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠
.
Окончательно
()
()
2
I
2
III
1
4
22
1
4
22
xy
xy
xy
xy
σσ
σ
σσ τ
σσ
σ
σσ τ
2
2
+
=+−+
+
=−−+
(9.3).
Направление главных напряжений
глав
α
определим через тангенс двойного угла
глав
2
tg(2
x
y
AD
CD
τ
α
σ
σ
)= =
−
(9.4).
В качестве примера рассмотрим определение главных напряжений при чистом сдвиге
(рис
. 9.9).
А
Б
Б
А
α
σ
I
σ
III
σ
a
τ
I
σ
III
σ
P
−
τ
−τ
τ
τ
−
τ
Рис. 9.9. Круг Мора при чистом сдвиге
На площадке Б действуют напряжения
σ
=
0 и
τ
.
На площадке
А действуют
σ
=0 и
τ
−
. Строим круг Мора, по которому определяем
главные напряжения
I
σ
τ
= и
III
σ
τ
=
− .
9.5 Связь напряжений и деформаций.
Обобщенный закон Гука
В предыдущих главах уже рассматривалась связь напряжений и деформаций при
простых видах упругой деформации
. Пришло время установить такую связь в общем
случае нагружения
. Напомним закон Гука при растяжении и при сдвиге
При растяжении (рис. 9.10, а)
x
x
E
σ
ε
=
⋅ .
97
В продольном направлении
x
x
E
σ
ε
= .
В поперечном направлении
x
yz x
E
σ
εε με μ
==− =− .
Следует отметить
, что линейная деформация не вызывает сдвига. Прямые углы в
растянутом элементе остаются прямыми
.
При сдвиге (рис. 9.10, б)
x
yx
G
y
τ
γ
=
⋅ .
Откуда угол сдвига
x
y
xy
G
τ
γ
= .
Следует отметить
, что сдвиг не вызывает линейной деформации. Размеры элемента
при сдвиге не меняются
, так как упругий сдвиг мал.
x
а)
А
y
x
б
)
xy
γ
xy
τ
x
σ
Рис. 9.10. Линейная и угловая деформации
В общем случае нагружения шесть компонент напряжений вызывают появление
шести компонент деформации
.
Каждое напряжение вносит свой вклад в каждую деформацию
. На основании
принципа независимости действия сил
6
,
1
iij
i
B
i
ε
σ
=
=
∑
,
где
,i
j
B
— коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом
податливости.
Запишем последнее выражение в упорядоченном виде (в виде таблицы 9
.1)
Таблица 9.1
от
x
σ
от
y
σ
от
z
σ
от
x
y
τ
от
y
z
τ
от
z
x
τ
x
ε
x
E
σ
y
E
σ
−μ
z
E
σ
−μ
0 0 0
y
ε
x
E
σ
−μ
y
E
σ
z
E
σ
−μ
0 0 0
z
ε
x
E
σ
−μ
y
E
σ
−μ
z
E
σ
0 0 0
x
y
γ
0 0 0
x
y
G
τ
0 0
y
z
γ
0 0 0 0
y
z
G
τ
0
z
x
γ
0 0 0 0 0
z
x
G
τ
От нормальных напряжений возникает удлинение в продольном направлении и
сужение в поперечном
. Нормальные напряжения не вызывают сдвига.
От каждой пары касательных напряжений возникает сдвиг в одной плоскости и не
возникает удлинений
.
Каждую строчку таблицы запишем как сумму слагаемых (деформаций)
()
()
()
1
1
1
x
xyz
yyzx
zzxy
E
E
E
ε
σμσμσ
ε
σμσμσ
ε
σμσμσ
=−−
=−−
=−−
x
y
xy
yz
yz
zx
zx
G
G
G
τ
γ
τ
γ
γ
=
=
=
(9.5).
τ
Выражения (9
.5) представляют собой обобщенный закон Гука для общего случая
нагружения тела
.
98
9.6 Гипотезы прочности и пластичности
При рассмотрении простых видов деформации в качестве условия выхода
конструкции из строя принималось равенство максимальных (либо нормальных
,
либо касательных) напряжений в конструкции и предельных напряжений
,
определяемых опытным путем,
max пред
σ=σ
— при растяжении и при изгибе,
max пред
τ=τ
— при сдвиге и при кручении.
Для материалов в хрупком состоянии в качестве критерия выхода из строя
принимается разделение тела на части
пред в
σ
=σ
.
Для материалов в пластичном состоянии в качестве критерия выхода из строя
принимается появление недопустимых пластических деформаций
пред т
σ
=σ
.
В общем случае нагружения в теле возникает девять компонент напряжений и задача
определения критерия выхода из строя становится весьма сложной
. С учетом закона
парности касательных напряжений (раздел 4.6)
,,i
jj
i
τ
=τ
и число неизвестных
компонент тензора напряжений уменьшается до шести.
Задачу эту можно еще упростить
, если вместо шести компонент напряжений
рассматривать эквивалентные им три главных напряжения
.
Как экспериментальный факт следует отметить
, что момент выхода из строя зависит
не только от величины
, но и от соотношения действующих напряжений.
Например
, при сжатии образцов из материала в хрупком состоянии
III
0
σ
σ
==,
III
0
σ
< образец разрушается. Тот же образец, брошенный на дно океана
(всестороннее сжатие)
,
IIIIII
0
σ
σσ
== < не разрушается.
Следовательно
, в качестве критерия выхода из строя надо рассматривать функцию
трех главных напряжений
. Введем понятие эквивалентного напряжения.
Эквивалентным напряжением называется некоторая функция трех главных
напряжений
, которая в момент выхода из строя равна предельному напряжению при
простом линейном растяжении
.
Условие выхода из строя
экв пред
(, , )f
σ
σσσ σ
123
=
= .
В качестве критерия выбрано напряжение
пред
σ
при растяжении, потому что эти
характеристики есть во всех справочниках
.
Чтобы конструкция гарантировано сохраняла работоспособность
, надо снизить
рабочие напряжения в раз
, где — коэффициент запаса. n n
Условие прочности
[
]
экв пред
(, , )fn
σ
σσσ σ σ
123
===.
Различные варианты эквивалентного напряжения получаются на основании гипотез
прочности
, число которых велико (свыше 20). Ввиду большого многообразия
материалов невозможно подобрать гипотезу
, справедливую для всех материалов.
Для различных групп материалов
, аморфных ,таких как резина, глина, или лаки и
краски
, кристаллических, таких как металлы в хрупком состоянии или металлы в
пластичном состоянии
, применяются свои (кстати, тоже многочисленные) гипотезы.
9.6.1. Гипотезы прочности
Для материалов в хрупком состоянии, которые, разрушаясь, разваливаются на части,
рассмотрим две
гипотезы прочности.
1
. Гипотеза максимальных нормальных напряжений
Конструкция из материала в хрупком состоянии выходит из строя (разваливается на
части)
, когда максимальные нормальные напряжения в ней равны предельному
напряжению при растяжении (пределу прочности)
.
Эту гипотезу в литературе называют
первой гипотезой прочности
.
Условие выхода из строя
экв1Iпред в
max
=
==
σ
σσ σ
.
Условие прочности
[
]
экв1I в
max =≤ = n
σσσσ
.
Экспериментальное подтверждение — растяжение чугуна (рис
. 9.11) (напряжение
I
σ
действует в плоскости поперечного сечения), кручение чугуна (
I
σ
действует по
винтовой поверхности
, наклоненной под углом 45° к плоскости поперечного
сечения)
. Разрушение в этих случаях происходит под действием максимальных
нормальных напряжений
.
99
F
F
45
о
М
к
М
к
растяжение чугуна
кр
у
чение ч
у
г
у
на
Рис. 9.11. Экспериментальное подтверждение первой гипотезы прочности
ПРИМЕЧАНИЕ
Напомним признаки хрупкого и пластического разрушения из раздела 5.1.
Хрупкое разрушение вызывается нормальными напряжениями и происходит без
видимых пластических деформаций.
Пластическое разрушение вызывается (в основном) касательными напряжениями и
сопровождается большой пластической деформацией
2. Гипотеза максимальных линейных деформаций
Конструкция из материала в хрупком состоянии разрушается
, когда максимальные
линейные деформации в ней равны осевой деформации в момент разрушения при
растяжении
.
Эту гипотезу в литературе называют второй гипотезой прочности
.
Условие выхода из строя
()
пред
в
IIIIIIраст
max
1
=−− ===
Ε
E
Е
σ
σ
εσμσμσε
или, сократив слева и справа на
E
экв2 I II III в
max
=
−− =
σ
σμσ μσ σ
.
Условие прочности
[
]
экв2 I II III в
max =− − ≤ = n
σ σ μσ μσ σ σ
.
Экспериментальное подтверждение — сжатие дерева вдоль волокон
, камня, хрупкой
стали (после закалки без отпуска) (рис
.9.12).
F
F
трещины
сжатие
ѝ
дерева
ѝ
вдоль волокон
Рис. 9.12. Экспериментальное подтверждение второй гипотезы прочности
При сжатии напряжения
III
0
σ
σ
==,
III
F
A
σ
=
− , деформации
III
III
E
F
E
A
σ
ε
==−
⋅
,
I II III
F
E
A
εε με μ
==− =
⋅
. Следовательно в поперечном направлении действует
максимальная растягивающая деформация
. Она и является причиной разрушения
образцов вертикальными трещинами
.
100