Лукинова С.Г., Лозовая Н.А. Основы финансовой математики
Подождите немного. Документ загружается.
процентная ставка – ставка, используемая при наращении или
дисконтировании платежей, образующих ренту.
Определение: Выплата ренты может производиться раз за год,
начисление процентов — раз за год. Это — дискретные -
кратные ренты.
Определение: Когда выплаты и начисление процентов производятся
очень часто (например, еженедельно), их проще анализировать как
непрерывные и называть непрерывная рента.
Определение: Если все выплаты одной величины, т.е. , то
рента называется постоянной, в противном случае — переменной.
Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны,
постольку разнообразны и виды потоков платежей. В основе
классификации финансовых рент положены различные качественные
признаки:
В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют
годовую ренту, которые представляют собой ежегодные платежи, т.е.
период ренты равен 1 году;
срочную ренту, при которой период ренты может быть как более, так
и менее года.
По числу начислений процентов различают
ренты с начислением 1 раз в год;
ренты с начислением раз в год;
непрерывное начисление.
По величине членов ренты могут быть
постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа
постоянна, т.е. рента с равными членами;
переменные ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с
неравными членами.
51
По числу членов ренты они бывают
с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов
ренты конечно и заранее известно;
с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее
неизвестно (если ). Хотя такая рента на первый взгляд может
показаться нам странной, но случай имеет не только теоретический
интерес. Примером здесь могут служить "консоли" — бессрочные
облигации британского казначейства, выпущенные еще в XIX в. Выплаты
по ним производятся два раза в год обычно под 2,5% годовых, а сама
облигация может быть выкуплена в любое время по желанию ее владельца.
Облигации рассматриваются в теории ценных бумаг, которой посвящено
много книг и статей.
По вероятности выплаты ренты делятся на
верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят
не от каких условий (заранее оговариваются даты первой и последней
выплаты). Например, погашение кредита;
условные ренты, которые зависят от наступления некоторого
случайного события. Примером условной ренты может служить пенсия
(life annuity), выплата которой начинается после достижения гражданину
определенного возраста и прекращается после смерти пенсионера.
По методу выплаты платежей выделяют
обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего, – с
выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо);
ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо). (Иногда
выплаты могут производиться в середине каждого периода, примером чего
может служить ежемесячная выплата, пенсии в определенный для каждого
пенсионера день; характеристики этого случая будут заключены между
52
соответствующими характеристиками рент пренумерандо и
постнумерандо).
Если период ренты совпадает с периодом начисления процентов, то
рента называется простой, в противном случае — общей.
Обобщающими характеристиками финансовых потоков
являются:
наращенная сумма;
современная величина потока платежей.
Остановимся подробно на постоянной ренте постнумерандо.
4.2 Наращенная сумма постоянной ренты
4.2.1 Обычная годовая рента
Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них
процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма
задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п.
В конце каждого года в течение лет на счет вносится по рублей.
В конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов
геометрической прогрессии: . Так как
наращенная сумма равна геометрической прогрессии, то
, где - коэффициент наращения
ренты.
Пример 33: Для обеспечения некоторых будущих расходов создается
фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в
течение 3 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие
взносы начисляются проценты по ставке 20% годовых. Найти величину
фонда на конец срока.
53
Решение: Величина фонда на конец срока составит:
млн. руб.
4.2.2 Годовая рента, начисление процентов раз в году
Проценты начисляются раз в году, платежи делают один раз в
конце года. Число членов ренты равно , наращенная сумма равна
, где - номинальная ставка процентов.
Пример 34: Изменим условия примера 33. Пусть проценты начисляются
поквартально, а не раз в году.
Решение: млн. руб.
Переход от годового начисления процентов к поквартальному увеличивает
наращенную сумму.
4.2.3 Рента -срочная
1) Пусть рента выплачивается раз в году равными платежами.
Если проценты начисляются один раз в конце года , то
. Если годовая сумма
платежей , то каждый раз выплачивается .
54
2) Число выплат в году равно числу начислений процентов , тогда
.
3) Рента -срочная с начислением процентов раз в году. Наращенная
сумма такой ренты равна: .
Это самый общий случай -срочной ренты с начислением процентов
раз в году. Из нее легко получить все рассмотренные выше частные
случаи, задавая соответствующие значения и .
4.3 Современная стоимость постоянной ренты
4.3.1 Обычная годовая рента
Пусть член годовой ренты равен , процентная ставка , проценты
начисляются один раз в конце года, срок ренты . Дисконтированная
величина первого платежа равна , второго и так далее.
Тогда современная стоимость равна:
. - коэффициент приведения
ренты, он характеризует современную стоимость ренты с членом, равным
1.
55
4.3.2 Рента -срочная
Современная величина ренты в общем случае при произвольных
значениях и равна: .
4.4 Определение параметров постоянной ренты
При разработке контрактов и условий финансовых операций могут
возникнуть случаи, когда задается одна из двух обобщающих
характеристик - или , и необходимо рассчитать значение
недостающего параметра . Такие параметры, как и ,
обычно задаются по согласию двух подписывающих сторон. Остаются
параметры . Два из них задаются, а третий рассчитывается. Такие
расчеты могут быть неоднократно повторены при различных значениях
задаваемых параметров, пока не будет достигнуто согласие сторон.
4.5 Переменные и непрерывные ренты
Члены переменной ренты изменяются по каким-то установленным
законам или условиям развития. Различают несколько видов переменных
рент:
– Ренты с постоянным абсолютным изменением членов во
времени (изменение размеров членов ренты происходят согласно
арифметической прогрессии с первым членом Y и разностью a,
т.е. образуют последовательность: );
– Переменная -срочная рента с постоянным абсолютным
приростом. (Пусть - базовая величина разовой выплаты, -
годовой прирост выплат. В этом случае последовательные
выплаты равны: ).
56
Иногда более адекватное описание потока платежей достигается,
когда он воспринимается как непрерывный процесс. Например, когда
отдача от инвестиций происходит так часто, что в целом этот поток можно
рассматривать как непрерывный.
Различают непрерывные постоянные потоки платежей и непрерывные
переменные потоки платежей.
5 Контрольные вопросы
Основные понятия финансовой математики
1. Понятие финансовой математики.
2. Временная ценность денег.
3. Принцип финансовой эквивалентности.
4. Показатели (абсолютные и относительные), характеризующие
результативность финансовой операции.
5. Процентная ставка. В каких пределах она может изменяться? В каких
единицах выражается процентная ставка?
6. Учетная ставка. В каких пределах она может изменяться? В каких
единицах выражается учетная ставка?
7. Дисконт-фактор. В каких пределах он может изменяться? В каких
единицах выражается дисконт-фактор?
8. Связь между процентной ставкой, учетной ставкой и дисконт-фактором.
9. Индекс роста суммы.
10. Период начисления. Сущность процесса капитализации процентов.
11.Процесс наращения. Ставка наращения.
12.Процесс дисконтирования. Ставка дисконтирования.
13.Временное направление денежного потока при наращении. Временное
направление денежного потока при дисконтировании.
57
14.Начисление по схеме простых процентов База, с которой происходит
начисление.
15.Начисление по схеме сложных процентов База, с которой происходит
начисление.
16.Отличие экономического понятия «процент» от математического
понятия «процент».
17.Доходность финансовой операции. Риск при проведении этой
операции.
18.Экономический смысл дисконтирования.
Наращение по простым процентам
19.Процесс начисления простых процентов на капитал в течение всего
срока.
20.Запишите последовательность наращенных сумм по ставке простых
процентов в течение четырех лет.
21.Запишите формулу для расчета наращенной суммы по простым
процентам, поясните входящие в нее величины.
22.Из формулы наращенной суммы по простым процентам выразите
величины первоначального капитала, процентной ставки, срока ссуды.
23.Множитель наращения по простым процентам. Что он показывает?
24. Зависимость наращенной суммы от времени при начислении
простых процентов по процентной ставке на инвестируемый капитал.
25.График изменения наращенной суммы по схеме простых процентов.
26.Связь между наращением по простым процентам и арифметической
прогрессией.
27.Нахождение периода удвоения капитала в результате наращения по
простой процентной ставке.
28.Наращенная сумма за несколько лет. Начисление простых процентов
по данной процентной ставке ежегодно, ежемесячно.
58
29.Опишите случаи, в которых применяют наращение по простой
процентной ставке.
30.Связь между увеличением процентной ставки и величиной
начисленных процентов.
31.Точные проценты. Обыкновенные проценты.
32.Способы подсчета числа дней срока инвестирования. Чем можно
пользоваться для упрощения процедуры расчета точного числа дней
ссуды?
33.Способы расчета простых процентов, используемые на практике? Какие
из них выгоднее для кредитора, а какие - для заемщика?
34.Объясните, почему на практике не используется способ начисления
точных процентов с приближенным числом дней.
35.Способ начисления процентов 365/360? Чем он отличается от способа
360/360?
36.Переменная ставка. В каких случаях она применяется?
37.Вычисление наращенной суммы при переменных процентных ставках.
38.Период удвоения капитала. Нахождение периода удвоения капитала по
известной ставке простых процентов.
39.Доходность финансовой операции.
40.Доходности финансовых операций с различными сроками. Их
сравнение.
41.Реинвестирование. Основное преимущество операции
реинвестирования при начислении простых процентов.
Наращение по сложным процентам
42.Начисление сложных процентов на капитал в течение всего срока.
43.Разница между простыми и сложными процентами.
44.Капитализация при сложных процентах.
59
45.Отличие капитализации при сложных процентах от капитализации при
простых процентах.
46.Запишите последовательность наращенных сумм по ставке сложных
процентов в течение четырех лет.
47.Формула для расчета наращенной сумы по сложным процентам.
48.Из формулы наращения по сложным процентам выразите величины
первоначального капитала, процентной ставки, срока ссуды.
49.Множитель наращения при начислении процентов по сложной
процентной ставке.
50.Экономический смысл множителя наращения сложных процентов при
использовании процентной ставки.
51.При каком сроке ссуды множитель наращения по сложным процентам
больше множителя наращения по простым процентам? Запишите
соответствующие неравенства.
52.Сравнительный анализ графиков изменения наращения капитала при
реализации схем простых и сложных процентов.
53.Сложную процентную ставку увеличили в два раза, как изменится
величина начисленных процентов.
54.Сложную процентную ставку увеличили в два раза, как изменится
наращенная сумма.
55.Капитализация процентов.
56.Связь между длиной периода начисления и процентной ставкой.
57.Использование таблицы значений множителя наращения при
начислении сложных процентов.
58.Соответствие между величинами наращенных сумм при начислении по
схеме простых и по схеме сложных процентов.
60