Лукинова С.Г., Лозовая Н.А. Основы финансовой математики

Подождите немного. Документ загружается.

где - размер ставок, по которым производится реинвестирование.

Если промежуточные сроки начисления процентов не изменяются во

времени, то , где - количество повторений

реинвестирования.

Пример 7: Вкладчик поместил в банк 100 тыс. руб. на следующих

условиях: в первый год процентная ставка равна 20% годовых, каждые

последующие полгода ставка повышается на 2%. Считая, что с изменением

ставки происходит и реинвестирование, найти наращенную сумму за 2

года.

Решение: , , .

Тогда тыс. руб.

2.2 Дисконтирование по простым процентным

ставкам.

2.2.1 Сущность дисконтирования.

В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные

определению наращенной суммы: по уже известной наращенной сумме

следует определить неизвестную первоначальную сумму долга .

Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой

сделки, или когда проценты с наращенной суммы удерживаются

непосредственно при выдаче ссуды. Процесс начисления и удержания

процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют

учетом, а сами проценты в виде разности наращенной и первоначальной

сумм долга дисконтом (discount):

Термин дисконтирование в широком смысле означает определение

значения стоимостной величины на некоторый момент времени при

условии, что в будущем она составит заданную величину.

Рисунок 2 – Логика финансовой операции

Нередко такой расчет называют приведением стоимостного

показателя к заданному моменту времени, а величину называют

приведенной (современной или текущей) величиной . Таким образом,

дисконтирование – приведение будущих денег к текущему моменту

времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в

действительности данная финансовая операция или нет, а также

независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально

наращенной.

Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных

расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы,

которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к

любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой

операции.

Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида

дисконтирования:

математическое дисконтирование по процентной ставке;

банковский учет по учетной ставке.

Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в

различии базы для начислений процентов:

в процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма

долга:

Время

в учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:

Учетная ставка более жестко отражает временной фактор, чем

процентная ставка. Если сравнить между собой математическое и

банковское дисконтирование в случае, когда процентная и учетная ставка

равны по своей величине, то видно, что приведенная величина по

процентной ставке больше приведенной величины по учетной ставке.

2.2.2 Математическое дисконтирование.

Математическое дисконтирование – определение первоначальной

суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине

процентной ставки позволит к концу срока получить указанную

наращенную сумму:

, где - дисконтный

множитель (коэффициент приведения).

Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет

первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы. Поскольку

дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух

аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко

табулируются, что облегчает финансовые расчеты.

Пример 8: Через 150 дней с момента подписания контракта необходимо

уплатить 310 тыс. руб., исходя из 8% годовых и временной базы 360 дней.

Определить первоначальную сумму долга.

Решение: Поскольку срок ссуды менее года, то используем формулу

простых процентов: руб.

Или руб.

Таким образом, первоначальная сумма долга составила 300 тыс. руб.,

а проценты за 150 дней – 10 тыс. руб.

Пример 9: Из какого капитала можно получить 3,9 млн. руб. через 2 года

наращением по простым процентам при ставке 15%?

Решение: .

Тогда первоначальный капитал равен: млн. руб.

Дисконт суммы равен млн. руб.

2.2.3 Банковское дисконтирование. Банковский или

коммерческий учет.

Банковский учет – второй вид дисконтирования, при котором

исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный

момент времени, удерживая дисконт.

Операция учета (учет векселей) заключается в том, что банк или

другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю

покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т.е. приобретает

его с дисконтом. Сумма, которую получает векселедержатель при

досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной

векселя. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от

суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения. Подобным

образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных

бумаг.

Для расчета дисконта используется учетная ставка:

простая учетная ставка: ,

где – продолжительность срока в годах от момента учета до даты

выплаты известной суммы в будущем.

Отсюда: , где – дисконтный множитель.

Очевидно, что чем выше значение учетной ставки, тем больше

дисконт. Дисконтирование по простой учетной ставке чаще всего

производится по французской практике начисления процентов, т.е. когда

временная база принимается за 360 дней, а число дней в периоде берется

точным.

Пример 10: Вексель выдан на 5,000 руб. с уплатой 17 ноября, а владелец

учел его в банке 19 августа по учетной ставке 8%. Определить сумму,

полученную предъявителем векселя и доход банка при реализации

дисконта.

Решение: Для определения суммы при учете векселя рассчитываем число

дней, оставшихся до погашения обязательств:

= 13 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) + 17 (ноябрь) - 1 = 90

дней.

Отсюда, определяемая сумма:

руб.

Тогда дисконт составит: руб.

Или руб.

Следовательно, предъявитель векселя получит сумму 4'900 руб., а

банк при наступлении срока векселя реализует дисконт в размере 100 руб.

Пример 11: За вексель, учтенный за полтора года до срока по дисконтной

ставке 8% заплачено 2,2 млн. руб. Определить номинальную величину

векселя.

Решение: . Тогда млн. руб.

2.2.4 Наращение по простой учетной ставке.

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете

наращенной суммы. В частности в этом возникает необходимость при

определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана

текущая сумма долга. Наращенная сумма в этом случае равна: .

Множитель наращения равен . Наращение не пропорционально

ни сроку, ни ставке. Заметим, что при расчет лишен смысла, так как

наращенная сумма становится бесконечно большим числом. Такая

ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом

сроке современная величина платежа больше нуля.

При наращении по простой процентной ставке капитал

ежегодно увеличивается на одну и ту же величину . При наращении по

простой учетной ставке капитал также увеличивается, но не на

постоянную величину. Простая учетная ставка дает более быстрый рост

наращенной суммы, чем такая же по величине процентная ставка .

Рисун

ок 3 - Наращение по схеме простых процентов по процентной и

учетной ставкам

2.2.5 Эквивалентность учетной и процентной ставок в схеме

простых процентов.

Ставки и , обеспечивающие через время получение одной и

той же наращенной суммы из величины , называются

эквивалентными.

Известно, что . Отсюда справедливы равенства:

и .

Пример 12: Найти учетную ставку, эквивалентную простой процентной

ставке 32% при наращении капитала за 2 года.

Решение: Воспользуемся формулой , или

1/i





)1(

tiSS



2.2.6 Годовая учетная ставка.

Годовой учетной ставкой называют проценты за кредит,

выплачиваемый в момент заключения договора сроком на 1 год:

Эффективной ставкой дисконта называют величину .

Выражая через получим: , .

Таким образом, — наращенное за 1 год значение , a —

простые проценты по ставке , уплачиваемые вперед.

2.2.7 Определение срока ссуды и величины процентной ставки.

Срок в годах:

Заметим, что для определения срока в днях , а значит .

Пример 13: Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для

того, чтобы долг, равный 100 тыс. руб., вырос до 120 тыс. руб. при

условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (

Решение: дня.

Величина процентной ставки:

;

2.2.8 Сравнение математического и банковского

дисконтирования для схемы простых процентов.

Если процентная и учетная ставки дисконтирования равны по

величине, то методы наращения и дисконтирования по схеме простых

процентов не дают одинаковый результат.

Сравним и между собой при . При сроке

(лет) дисконтный множитель по простой процентной ставке

больше дисконтного множителя по простой учетной ставке ,

поэтому . Графиком является прямая, а графиком

- гипербола. Заметим, что математическое дисконтирование

выгоднее для векселедержателя, а банковское – для банка.

Рисунок 4 – Математическое и банковское дисконтирование

)1(

tdSS 





1/i

3 Сложные проценты

3.1 Наращение по сложным процентным ставкам

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с

использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях,

когда:

– проценты не выплачиваются по мере их начисления, а

присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение

начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой

для их начисления, называется капитализацией процентов;

– срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их

начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг,

таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и

последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму

долга:

– за один период начисления;

– за два периода начисления;

отсюда, за периодов начисления формула примет вид:

- формула процентов, т.е. -

множитель наращения;

где – наращенная сумма долга;

– первоначальная сумма долга;

– ставка процентов в периоде начисления;