Лукинова С.Г., Лозовая Н.А. Основы финансовой математики
Подождите немного. Документ загружается.
наращенная сумма за лет по номинальной годовой процентной ставке
находится по формуле: .
Здесь использован второй замечательный предел
.
Для того, чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной,
обозначим силу роста как , т.е. .
Число является множителем наращения при непрерывном
начислении процентов за лет по непрерывной годовой ставке .
Пример 24: На сумму 2 млн. руб. начисляются непрерывные проценты по
ставке . Определить наращенную сумму через 5 лет.
Решение: По формуле получаем: млн. руб.
3.4.2 Зависимость дискретной и непрерывной процентных
ставок
Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в
функциональной зависимости. Приравнивая множители наращения
получаем: и .
Пример 25: Годовая ставка сложных процентов равна 20%, чему равна
эквивалентная сила роста?
Решение: Из формулы получаем: , т.е.
эквивалентная сила роста равна 18,232%.
3.5 Дисконтирование по сложной ставке
41
3.5.1 Математическое дисконтирование по сложной процентной
ставке
Рассмотрим задачу определения по значению дохода ,
планируемого к получению через лет при заданной ставке сложных
процентов . Выразим из формулы величину .
- называется текущей, современной (или приведенной)
стоимостью, т.е. оценкой с позиции текущего момента; тогда
.
Величину называют дисконтным, учетным, или
дисконтирующим, множителем по сложной процентной ставке. Значения
этого множителя легко табулировать.
Если сложные проценты начисляются раз в году, то приведенная
стоимость равна: .
Разность - называется дисконтом.
Пример 26: Из какого капитала можно получит 2 млн. руб. через 4 года
наращением сложными процентами по ставке 24% годовых, если
наращение вести: а) ежегодно; в) ежеквартально.
Решение:
а) применяя формулу получаем: руб.
в) При ежеквартальном начислении
руб.
42
3.5.2 Сравнение результатов математического дисконтирования
по простой и сложной процентным ставкам
если срок меньше года, то ;
если срок больше года, то ;
если , то .
3.5.3 Банковское дисконтирование по сложной учетной ставке
Процесс дисконтирования происходит с замедлением, так как каждый
раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при
простой учетной), а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге во
времени. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по
формуле: , где - сложная годовая учетная ставка.
Множитель называется дисконтным множителем (или
коэффициентом дисконтирования) по сложной учетной ставке.
.
Пример 27: Долговое обязательство на сумму 6 млн. руб., срок оплаты
которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной учетной
ставке 20%. Каков размер полученной за долг суммы и величина дисконта?
Решение: Из формулы: получаем:
руб.;
руб.
3.5.4 Сравнение банковского дисконтирования для простых и
сложных учетных ставок
Если , то - более выгодным для должника является
дисконтирование по сложной учетной ставке.
43
Если , то - более выгодным для должника является
дисконтирование по простой учетной ставке.
, то - дисконтирование по простой и сложной
учетной ставкам дает одинаковый результат.
Рисунок 7 – Дисконтирование по простой и сложной учетным ставкам
3.5.5 Номинальная и эффективная учетные ставки сложных
процентов
Дисконтирование может производиться не один, а раз в году, т.е.
каждый раз учет производится по ставке . Тогда , где -
номинальная годовая учетная ставка.
Эффективная учетная ставка - характеризует степень
дисконтирования за год. Из равенства дисконтных множителей
получаем: и .
Отметим, что эффективная учетная ставка во всех случаях, когда
, меньше номинальной.
Пример 28: Найти эффективную годовую учетную ставку при
номинальной учетной ставке 10% и различном числе дисконтирования в
год: а) помесячно, б) поквартально, в) по полугодиям, г) ежегодно.
D
d
A
1-d
1
td1
t1
t
d)1(
1/d
44
Решение: Используя формулу при и
получаем:
12 4 2 1
0,0955 0,0963 0,0975 0,1
3.5.6 Наращение по сложной учетной ставке
Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной
ставки. Из формул и следует: и
. Отсюда множитель наращения по учетной ставке равен
Пример 29: Какую сумму следует проставить в векселе, если реально
выданная сумма равна 10 млн. руб., срок погашения 3 года. Вексель
рассчитывается исходя из сложной годовой учетной ставки 10%.
Решение: руб.
Пример 30: Какую сумму следует проставить в векселе, если реально
выданная сумма равна 10 млн. руб., срок погашения 3 года. Вексель
рассчитывается исходя из сложной годовой учетной ставки 10%.
Наращение по сложной учетной ставке осуществляется 4 раза в год.
Решение: руб.
45
3.5.7 Сравнение множителей наращения и дисконтирования для
разных видов ставок
Сопоставим множители наращения при условии, что размеры ставок
и одинаковые:
1) по процентной ставке :
– для схемы простых процентов
– для схемы сложных процентов
2) по учетной ставке
для схемы простых процентов
для схемы сложных процентов
Срок лет Соотношения для множителей наращения
Таким образом:
1) Соотношение между множителями наращения по процентной
и учетной ставкам зависит от величины срока .
2) Наибольший прирост дает сложная учетная ставка, а
наименьший – сложная процентная ставка, если срок меньше
года.
3) Наибольший прирост дает простая учетная ставка, а
наименьший – простая процентная ставка, если срок больше
года.
4) Для срока 1 год наращение по процентной ставке дает
меньший результат, чем наращение по учетной ставке.
46
Сопоставим дисконтные множители при условии, что размеры ставок
и одинаковые:
3) по процентной ставке :
– для схемы простых процентов
– для схемы сложных процентов
4) по учетной ставке
для схемы простых процентов
для схемы сложных процентов
Срок лет Соотношения для дисконтных множителей
Таким образом:
1) Соотношение между множителями дисконтирования по
процентной и учетной ставкам зависит от величины срока .
2) Наиболее сильное дисконтирование дает сложная процентная
ставка , а наименее – сложная учетная ставка , если срок
меньше года.
3) Наиболее сильное дисконтирование дает простая процентная
ставка , а наименее – простая учетная ставка , если срок
больше года.
4) Для срока 1 год дисконтирование по учетной ставке дает
меньший результат, чем дисконтирование по процентной
ставке .
47
3.5.8 Определение срока ссуды и величины процентной ставки
Так же как для простых процентов, для сложных процентов
необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие
параметры финансовой операции:
1) срок ссуды:
- срок при наращении по сложной годовой ставке ;
- срок при наращении по номинальной ставке процентов
раз в году;
- срок при дисконтировании по сложной годовой учетной
ставке ;
- срок при дисконтировании по номинальной учетной
ставке раз в году;
- срок при наращении по постоянной силе роста.
2) величина процентной ставки:
- сложная годовая процентная ставка;
48
- номинальная ставка процентов ( раз в год);
- сложная учетная ставка ;
- номинальная учетная ставка ( раз в год);
- постоянная сила роста.
Пример 31: За какой срок в годах сумма, равная 75 тыс. руб., достигнет
200 тыс. руб. при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в
году и поквартально?
Решение:
а) года
б) года.
Пример 32: Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. руб.,
выкупная его сумма 160 тыс. руб., срок 2б5 года. Каков уровень
доходности инвестиций в виде годовой ставки сложных процентов?
Решение: или 20,684%.
49
4 Потоки платежей. Финансовые ренты
4.1 Виды потоков платежей, их классификация
Финансовые операции часто носят продолжительный характер и
состоят не из разового платежа, а из их последовательности, т.е. потока
платежей. Примером могут служить погашение долгосрочной ссуды,
арендная плата, инвестиция в производство или в ценные бумаги и т.д.
Члены потока могут быть как положительными величинами
(поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а
временные интервалы, между членами такого потока, могут быть равными
и неравными.
Определение: Если все выплаты одного знака и происходят через
одинаковые интервалы времени, то такая последовательность платежей
называется финансовой рентой или аннуитетом (annuity) независимо от
назначения этих выплат. Для удобства анализа рент все выплаты будем
считать положительными.
Ренты часто встречаются на практике. Их примером являются
квартирная плата, взносы по погашению потребительского кредита,
пенсия, регулярная выплата процентов по банковскому депозиту или по
ценным бумагам и т.д. Первоначально рассматривались лишь ежегодные
(anno — год на латинском языке) выплаты, оттуда и произошло их
название "аннуитет". Позднее оно стало включать и все
последовательности платежей одного знака через любые одинаковые
интервалы времени.
Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты –
величина каждого отдельного платежа; период ренты – временной
интервал между двумя соседними платежами; срок ренты – время,
измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода;
50