Лукинова С.Г., Лозовая Н.А. Основы финансовой математики
Подождите немного. Документ загружается.
– количество периодов начисления;
– коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.
Рост по сложным процентам представляет собой процесс,
соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен
, а знаменатель – . Последний член геометрической прогрессии
равен наращенной сумме в конце срока ссуды.
Рисунок 5 – Наращение по сложным процентам
Коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной
ставки и числа периодов наращения, табулированы (см. приложение B).
Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он
показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один
доллар и т.п.) через периодов при заданной процентной ставке .
При выводе формулы предполагалось, что измеряется в
годах, а является годовой процентной ставкой. Однако эту формулу
можно применять и для других периодов начисления – для месяцев,
S
0
I
0
S
t
31
полугодий, дней и т. д. При этом нужно обязательно следить, чтобы длина
периода и процентная ставка имели временное соответствие.
– Если срок контракта равен месяцев, а - годовая
процентная ставка, то в формуле наращенной суммы
величину нужно выразить как - часть года, тогда
наращенная сумма по сложной процентной ставке
составит:
– Если срок контракта равен дней, то в формуле
наращенной суммы - часть года, тогда наращенная
сумма по сложной процентной ставке составит:
.
Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как
.
Пример 14: Депозит в 200 тыс. руб. положен в банк на 4 года под 15%
годовых. Найти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные
проценты.
Решение: Применяя формулу , получим:
руб.
Пример 15: На банковский счет положены 200000 на 3 месяца по
ставке 36% в год. Найти наращенную сумму по сложным процентам.
Решение: Воспользуемся формулой . Помучаем:
руб.
32
Пример 16: Сумма 10000 рублей положена на банковский счет
сроком на 73 дня по ставке 10% в год. Найти наращенную сумму по
сложным процентам.
Решение: Применяя формулу получим:
руб.
Пример 17. Сумма в размере 2000 долларов дана в долг на 2 года по
ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму,
подлежащую возврату.
Решение: Наращенная сумма долларов
или долларов,
где (приложение B).
Сумма начисленных процентов долларов.
Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в
размере 2420 долларов, из которой 2000 долларов составляет долг, а 420
долларов – "цена долга".
3.1.1 Наращение по сложным процентам при нецелом числе лет.
Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период,
отличающийся от целого числа лет.
В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом
лет, начисление процентов возможно с использованием трех методов:
общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных
процентов: , где ( - период сделки, - целое
число лет, - дробная часть года).
смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет
периода начисления процентов использовать формулу сложных
33
процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:
.
При выборе метода расчета следует иметь в виду, что множитель
наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по
общему, так как для справедливо соотношение .
Наибольшая разница наблюдается при .
Пример 18: В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250
тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев.
Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока
займа двумя способами (общим и смешанным), учитывая, что банк
использует германскую практику начисления процентов.
Решение: Общий метод:
тыс. долларов.
Смешанный метод:
тыс. долларов.
Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят:
тыс. долларов; а по смешанному методу
тыс. долларов.
Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.
3.1.2 Переменные ставки.
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени,
формула наращения имеет следующий вид: , где
- последовательные значения ставок, - действующие
периоды.
34
Пример 19: В договоре зафиксирована переменная ставка сложных
процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% - в первые два
года, 8% - в третий год, 5% - в четвертый год. Определить величину
множителя наращения за 4 года.
Решение:
Так как , то, учитывая условия задачи:
.
3.2 Сравнение схем простых и сложных
процентов.
Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по
простым и сложным процентам представлена на рисунке .
Рисунок 6 – Сравнение наращенной суммы по простым и сложным
процентам
Как видно из рисунка, при краткосрочных ссудах начисление по
простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при
сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и
1
t
iSS )1(
0
)1(
01
iSS
S
0
0
S
t
iSI
0
)1(
0
itSS
35
долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным
процентам значительно выше, чем по простым.
При любом ,
Если , то ;
Если , то ;
если , то .
Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:
– более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды
менее года (проценты начисляются однократно в конце
года);
– более выгодной является схема сложных процентов, если
срок ссуды превышает один год;
– обе схемы дают одинаковый результат при
продолжительности периода один год и однократном
начислении процентов.
Как было выше указано, различие начисления простых и сложных
процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все
время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления
является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на
увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом,
простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а
формула простых процентов аналогична формуле определения уровня
развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами.
Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы
со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной
величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов
36
можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов
роста.
Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа
роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка
процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп
роста равен:
.
Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного
темпа прироста, имеет вид:
.
3.3 Наращение процентов раз в году.
Номинальная и эффективная ставки
3.3.1 Номинальная ставка (nominal rate)
Период начисления по сложным процентам не всегда равен году,
однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период,
а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка
( - годовая ставка, - число периодов начисления в году; тогда каждый
раз проценты начисляются по ставке ).
Формулу наращения теперь можно представить следующим образом:
, где - общее количество периодов начисления. Если
- целое число, то для вычисления множителя наращения можно
пользоваться таблицей сложных процентов.
Пример 20: Вклад на сумму 100 тыс. руб. был положен в банк под
20% годовых. Найти наращенную сумму за год, применяя поквартальное
начисление процентов.
37
Решение: При начислении процентов поквартально количество
периодов начисления в году , т.е.
тыс. руб.
Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления,
то при разовом начислении процентов в году наращенную сумму
можно рассчитать несколькими способами, приводящими к различным
результатам:
Схема сложных процентов: ,
Смешанная схема: ,
где
- количество начислений в году;
- годовая процентная ставка;
- целое число подпериодов в годах, обозначается ;
- дробная часть подпериода, обозначается .
Пример 21: Какова сумма долга через 25 месяцев, если его
первоначальная величина 500 тыс. руб., проценты сложные, ставка 20%
годовых, начисление поквартальное. Сумму долга найти двумя способами.
Решение: Число периодов начисления равно:
3
1
8
3
25
T
. Применяя два
метода наращения – общий и смешанный, получим:
04,750840
4
2,0
1500000
3
1
8
S
руб.,
85,751039
4
2,0
3
1
1
4
2,0
1
8
0
SS
руб.
Наращение смешанным методом дает больший результат.
38
3.3.2 Эффективная ставка (effective rate)
Эффективная ставка измеряет реальный относительный доход,
который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации.
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов
дает тот же финансовый результат, что и -разовое наращение в год по
ставке :
Обозначим эффективную ставку через . По определению
множители наращения по эффективной и номинальной ставкам должны
быть равны между собой: .
Из равенства множителей наращения следует:
и .
Эффективная ставка зависит от количества внутригодовых
начислений, увеличиваясь с ростом ; причем при эффективная
ставка больше номинальной.
Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении: замена в
договоре эффективной ставки на номинальную ставку (и наоборот)
не изменяет финансовых обязательств обеих сторон.
Пример 22: Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка
равна 24% при помесячном начислении процентов?
Решение: Из формулы получаем:
. Для участвующих в сделке сторон безразлично
применить ставку 25% при помесячном начислении процентов или
годовую (эффективную) ставку 26,8242%.
39
Пример 23: Определить, какой должна быть номинальная ставка при
ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную
ставку 12% годовых?
Решение: Из формулы получаем:
, т. е. 11,495%.
Две номинальные годовые процентные ставки и называются
эквивалентными, если соответствующие им годовые эффективные ставки
и совпадают: .
Расчет эффективной ставки является мощным инструментом
финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между
собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше
эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных
условиях) она выгоднее для кредитора.
3.4 Непрерывное начисление процентов
3.4.1 Непрерывное наращение. Постоянная сила роста
В практических финансово-кредитных операциях непрерывное
наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени,
применяется крайне редко. Непрерывное начисление процентов
используется при анализе сложных финансовых задач, например,
обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу
финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно,
целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется
во времени и применять непрерывное начисление процентов.
Чем больше , тем меньше промежуток между моментами
начисления процентов. При непрерывном начислении процентов
40