Лукинова С.Г., Лозовая Н.А. Основы финансовой математики
Подождите немного. Документ загружается.
Определение: Увеличение суммы долга в связи с присоединением к
ней процентных денег называется наращением, а увеличенная сумма –
наращенной суммой. Отсюда можно выделить еще один относительный
показатель, который называется коэффициент наращения или
множитель наращения, – это отношение наращенной суммы к
первоначальной сумме долга. Коэффициент наращения показывает, во
сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы долга, т.е.
по существу является базисным темпом роста.
Основу коммерческих вычислений составляют ссудо-заемные
операции, в которых проявляется ярче всего необходимость учета
временной ценности денег. Несмотря на то, что в основе таких расчетов
заложены простейшие на первый взгляд схемы начисления процентов, эти
расчеты многообразны ввиду многообразия условий финансовых
контрактов в отношении частоты и способов начисления процентов, а
также вариантов предоставления и погашения ссуд.
Существуют различные способы начисления процентов и
соответствующие им виды процентных ставок.
Простая процентная ставка применяется к одной и той же
первоначальной сумме долга на протяжении всего срока ссуды, т.е.
исходная база (денежная сумма) всегда одна и та же.
Сложная процентная ставка применяется к наращенной сумме долга,
т.е. к сумме, увеличенной на величину начисленных за предыдущий
период процентов, – таким образом, исходная база постоянно
увеличивается.
Фиксированная процентная ставка – ставка, зафиксированная в виде
определенного числа в финансовых контрактах.
Постоянная процентная ставка – неизменная на протяжении всего
периода ссуды.
11
Переменная процентная ставка – дискретно изменяющаяся во
времени, но имеющая конкретную числовую характеристику.
Плавающая процентная ставка – привязанная к определенной
величине, изменяющейся во времени, включая надбавку к ней (маржу),
которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т.п.).
Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является
начальной величиной.
12
2 Простые проценты
2.1 Наращение по простым процентным ставкам
Схема простых процентов предполагает неизменность величины, с
которой происходит начисление. Получение кредита — распространенная
финансовая операция. В своей простейшей форме она подразумевает
участие двух лиц — кредитора и дебитора и однократное предоставление
денежной ссуды. При этом дебитор обязан вернуть полученную ссуду
через точно оговоренный срок я уплатить ее в соответствии с
установленным в договоре процентом.
Эта кредитная операция с количественной стороны характеризуется
следующими временными параметрами и денежными величинами:
- дата выдачи ссуды
- её срок или период
-дата погашения ссуды
-величина выданной ссуды
или - плата за ссуду, процент, процентный доход или
абсолютное приращение капитала
- полная стоимость кредита или наращенная сумма
Для записи формулы наращения простых процентов примем
обозначения:
- начальная сумма вклада;
- начальный момент времени;
- срок вклада;
- ставка наращения процентов;
- проценты за весь срок вклада;
- наращенная сумма, сумма в конце срока.
13
Очевидно, что приращение капитала пропорционально сроку
вклада и ставке процента. Величина дохода называется процентом или
процентным платежом. Наращенную же сумму можно найти по формуле:
.
Выражение называется формулой наращения по простым
процентам при ставке за время .
Из формулы найдем коэффициент: или .
Коэффициент называется коэффициентом (множителем) наращения
простых процентов. Таким образом, .
Поскольку коэффициент наращения представляет собой значение
функции от числа лет и уровня процентной ставки, то его значения легко
табулируются. Таким образом, для облегчения финансовых расчетов
можно использовать финансовые таблицы, содержащие коэффициенты
наращения по простым процентам.
Заметим, что увеличение процентной ставки или срока в раз
одинаковым образом влияет на множитель наращения. Он увеличивается в
раз.
Рисунок 1 - График роста по простым процентам
14
S
t
=
t
2
0
S
0
S
1
S
0
ti
2.1.1 Применение простых процентов
При выдаче краткосрочных ссуд;
Когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически
выплачиваются;
В сберегательных вкладах с ежемесячной выплатой процентов.
Пример 1: Сумма в размере 2,000 рублей дана в долг на 2 года по схеме
простого процента под 10% годовых. Определить проценты и сумму,
подлежащую возврату.
Решение:
Наращенная сумма:
руб.
или
руб.
Сумма начисленных процентов:
руб.
или
руб.
Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в
размере 2,400 рублей, из которой 2,000 рублей составляет долг, а 400
рублей – "цена долга".
2.1.2 Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд.
В тех случаях, когда срок ссуды менее года, происходит
модификация формулы:
а) если срок ссуды выражен в месяцах ( ), то величина
выражается в виде дроби:
,
тогда все формулы можно представить в виде:
15
; ; .
Пример 2: Изменим условия предыдущего примера, снизив срок долга до
6 месяцев.
Решение:
Наращенная сумма:
руб.
или
руб.
Сумма начисленных процентов:
руб.
или
руб.
Таким образом, через полгода необходимо вернуть общую сумму в
размере 2,100 рублей, из которой 2,000 рублей составляет долг, а проценты
– 100 рублей.
б) если время выражено в днях ( ), то величина выражается в виде
следующей дроби:
,
где – число дней ссуды, т.е. продолжительность срока, на который
выдана ссуда;
– расчетное число дней в году (временная база).
Отсюда модифицированные формулы имеют следующий вид:
16
Итак, возможны и применяются на практике три варианта расчета
простых процентов.
Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды,
или, как часто называют, "германская практика расчета". Метод
применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при
промежуточных расчетах. Обычно используется в Германии, Дании,
Швеции. Продолжительность года условно принимается за 360 дней, а
месяца – за 30 дней. Метод условно обозначается .
Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, или
"французская практика расчета". Этот метод распространен во Франции,
Бельгии, Испании, Швейцарии. Он обозначается как или
, т. е. продолжительность года условно принимается за 360 дней, а
продолжительность ссуды рассчитывается точно по календарю.
Точные проценты с точным числом дней ссуды, или "английская
практика расчета". Этот метод применяется в Португалии, Англии, США.
Этот вариант дает самые точные результаты (продолжительность года и
продолжительность ссуды берутся точно по календарю). В коммерческих
документах он обозначается как или .
Чисто формально возможен и четвертый вариант: точные проценты
с приближенным числом дней ссуды, – но он лишен экономического
смысла.
Вполне естественно, что в зависимости от использования конкретной
практики начисления простых процентов их сумма будет различаться по
абсолютной величине.
Для упрощения процедуры расчета точного числа дней финансовой
операции пользуются специальными таблицами порядковых номеров дней
года (см. приложение A), в которых все дни в году последовательно
пронумерованы. Точное количество дней получается путем вычитания
17
номера первого дня финансовой операции из номера последнего дня
финансовой операции.
Пример 3: Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01 до 05.10
включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник
в конце срока при начислении простых процентов? При решении
применить все три метода.
Решение:
Германская практика начисления простых процентов:
Временная база принимается за 360 дней, =360.
Количество дней ссуды: дней.
руб.
Французская практика начисления процентов:
Временная база принимается за 360 дней, = 360.
Количество дней ссуды: (по таблице).
руб.
Английская практика начисления процентов:
Временная база принимается за 365 дней, = 365.
Количество дней ссуды берется точным, дней.
руб.
Как видно, результат финансовой операции во многом зависит от
выбора способа начисления простых процентов. Поскольку точное число
дней в большинстве случаев больше приближенного числа дней, то и
проценты с точным числом дней ссуды обычно получаются выше
процентов с приближенным числом дней ссуды.
В практическом смысле эффект от выбора того или иного способа
зависит от значительности сумм, фигурирующих в финансовой операции.
18
Внимание: при определении продолжительности финансовой
операции дата выдачи и дата погашения считаются за один день.
2.1.3 Переменные ставки.
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются
изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то
наращенная на конец срока сумма определяется:
,
где
- ставка простых процентов в периоде ;
- продолжительность периода с постоянной ставкой.
Пример 4: Контракт предусматривает следующий порядок начисления
процентов: первый год – 20%, каждые последующие полгода ставка
повышается на 3%. Определить множитель наращения за 2 года.
Решение: Периоды начисления измеряем в годах. ,
.
Тогда .
Пример 5: Вклад в сумме 5,000 руб. был положен в банк 25 мая не
високосного года по ставке 35% годовых, а с 1 июля банк снизил ставку по
вкладам до 30% годовых и 15 июля вклад был востребован. Определить
сумму начисленных процентов при английской практике их начисления.
Решение: Количество дней для начисления процентов по первоначально
действующей процентной ставке в размере 35% годовых рассчитывается
точно и составляет 37 дней, а по измененной ставке 30% годовых – 14
дней.
Отсюда величина процентов будет равна:
руб.
19
Таким образом, при закрытии счета клиент должен получить
процентов в сумме 234,93 руб.
Очевидно, что при простых переменных ставках коэффициент
наращения равен: , где - число периодов с разными
процентными ставками.
Пример 6: По заключительному договору банк предоставит следующую
схему начисления простых процентов: за первый год 60%, в каждом
последующем полугодии ставка возрастает на 10 %. Найти коэффициент
наращения за 2,5 года.
Решение: .
2.1.4 Начисление процентов при изменении сумм депозита во
времени.
Сумма, на которую начисляются проценты, изменяет свою величину
во времени. Тогда , где - остаток средств на счете в момент
после очередного поступления или списания средств, - срок хранения
денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете.
2.1.5 Реинвестирование по простым ставкам.
Реинвестирование - финансовая операция, при которой происходит
последовательное неоднократное инвестирование средств под проценты
в пределах некоторого общего срока. По окончании некоторого периода
наращенная сумма вкладывается вновь под процент (ставка наращения
при этом может оставаться той же или измениться). Иначе говоря, это
операция капитализации процентного дохода.
Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае:
,
20