Лукашевич М.Г. Введение в магнитоэлектронику

Подождите немного. Документ загружается.

Рис.12. Схематическое изображение движения электрона от контакта 1 к

контакту 2. В точке r=0 наблюдается квантовая интерференция.

Несмотря на казалось бы малую долю траекторий рассмотренного

типа в общем числе путей диффузии электронов от контакта 1 к контакту

2 , процесс интерференции приводит не только к малым количественным

изменениям, но и к новым качественным эффектам, примером которого,

как будет видно из дальнейшего рассмотрения, может служить

отрицательный магниторезистивный эффект.

Точный расчет показывает, что изменение проводимости за счет

процессов слабой локализации в трехмерном проводнике (3D) обратно

пропорционально L

, т.е.

Δσ

(T) = G

-1

= G

(Dτ

)

-1/2

, (45)

= е

/2π

=1,23⋅10

-5

Ом

-1

. Если, как отмечалось ранее, какой-либо

размер проводника меньше L

и электрон упруго рассеивается на

“стенках”, то вероятность образования самопересекающихся траекторий

возрастает, а зависимость Δσ

(T) существенно изменяется и для

двумерного и одномерного проводников может быть представлена в

виде:

Δσ

(T) = G

Ln(τ

/τ), (46)

Δσ

(T) = 2πG

(Dτ

)

1/2

, (47)

соответственно.

6.2. ЭЛЕКТРОН-ЭЛЕКТРОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

Сначала отметим, что теория, рассматривающая особенности

взаимодействия электронов в разупорядоченных проводниках

развивалась одновременно с теорией слабой локализации. Ранее

считалось, что учет неупорядоченного движения электронов в поле

примесей или дефектовне не приводит к каким либо существенным

изменениям в самой теории. Однако недавно было показано, что

вероятность электрон-электронного взаимодействия возрастает из-за

того, что электроны в разупорядоченном проводнике проходят область

взаимодействия не “баллистически”, а диффузионным образом,

многократно рассеиваясь на примесях. Вследствие этого возрастает

вероятность повторной встречи частиц и интерферационных процессов

их взаимодействия в области, определяемой объемом когерентности

=(Dћ/ε)

d/2

. (48)

Здесь ћ/ε- время, в течение которого состояния с разностью энергий Δε≅ε

неразличимы. В результате этого изменяется константа взаимодействия

электронов, что и приводит к поправкам в физических явлениях, в

особенности в явлениях переноса заряда. Вклад этих поправок

существенно увеличивается с понижением размерности электронного

газа, а характерным масштабом для всех видов электрон-электронного

взаимодействия является длина когерентности, равная при ε=k

= (Dћ/к

Т)

1/2

. (49)

Расчет температурного изменения квантовой поправки к

проводимости из-за электон-электроного взаимодействия приводит к

следующему результату

Δσ

(T) =(Λ

-λ

/ L

d-2

∝Т

d/2-1

. (50)

Здесь Λ

-константа электрон-электронного взаимодействия в

диффузионном канале (взаимодействие электрон-дырка, λ

- в

куперовском канале (взаимодействие электрон-электрон).

Итак, в рамках рассмотренных моделей зависящие от температуры

квантовые поправки к классической проводимости Друде σ

в случае

разупорядоченных электронных систем можно записать

σ(Т) = σ

(T)+Δσ

(T) (51)

Интересно отметить, что в двумерном случае как теория слабой

локализации, так и теория электрон-электронного взаимодействия

предсказывают логарифмическую температурную зависимость

квантовых поправок, т.е. по виду температурной зависимости их

невозможно разделить.

)ln(

)(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=Δ

, (52)

)ln(

)1()(

−=Δ , (53)

7. ОТРИЦТЕЛЬНЫЙ МАГНИТОРЕЗИСТИВНЫЙ ЭФФЕКТ В

РЕЖИМЕ СЛАБОЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ

Как отмечалось ранее, отрицательный магниторезистивный

эффект, обнаруженный экспериментально в сильно легированных

полупроводниках при низких температурах, долгое время не находил

удовлетворительного объяснения. Теория квантовых поправок к

проводимости позволяет понять и классифицировать обнаруженные

ранее низкотемпературные аномалии кинетических коэффициентов и, в

первую очередь, одно из наиболее важных явлений – отрицательный

магниторезистивный эффект. Более того, она позволяет понять почему

при определенных условиях отрицательное магнитосопротивление

переходит в аномальное положительное, а учет межэлектронного

взаимодействия позволяет также объяснить его температурную и

концентрационную зависимость.

Так в присутствии внешнего магнитного поля фазовая

когерентность обратного рассеяния в режиме слабой локализации

расстраивается, что ведет к уменьшению сопротивления, т.е. к

отрицательному магниорезистивному эффекту. Зависимость

локализационной поправки и поправки за счет электрон-электронного

взаимодействия от температуры и магнитного поля можно представить в

виде

Δσ

(Т,В) = Δσ

(T,B)+Δσ

(T,B) (54)

Для 2D и 3D случаев магнитопроводимость в режиме слабой

локализации дается выражениями.

)(

),(

=Δ , (55)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=Δ )ln(

),(

, (56)

где х=L

/4L

, ψ -дигамма функция, а функция f

=F(1/δ).

В режиме сильного поля зависимость локализационной квантовой

поправки от магнитного поля имеет логарифмический вид

Δσ

(B,)∝Ln(B) (57)

Для режима кулоновского взаимодействия зеемановское

расщепление приводит к отрицательной магнитопроводимости или

положительному магнитсопротивлению, которая в 3D случае в пределе

сильного поля имеет вид

)(

),(

−=Δ , (58)

где g(h)=

Особый случай представляет магнитопроводимость, связанная со

слабой локализацией, при наличии в системе спин-орбитального

взаимодействия электронов. Если взаимодействие спин-орбита

происходит при рассеянии на атомах примеси или поверхности

проводника, то зависимость проводимости от магнитного поля

аналогично температурной зависимости существенно различна для

синглетного и триплетного спиновых состояний.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

=Δ

−− 2

)(

)1(

)(

βσ

(59)

∗-зависит от времени спин-орбитального взаимодействия, а

)=f

)/(х

)

1/2

Поскольку x

∗, в слабом магнитном поле основную роль играет

второй (синглетный ) член, имеющий противоположный знак по

сравнению с обычной локализационной проводимостью, что дает

положительное магнитосопротивление. По мере увеличения магнитного

поля и насыщения полевой зависимости синглетного вклада возрастает

роль первого (триплетного) члена выражения (59). Это приводит к

появлению максимума в положительном магнитосопротивлении, а затем

отрицательного магнитосопротивления. Анализ такой немонотонной

зависимости магнитопроводимости позволяет определять времена τ

. Типичный пример знакопеременоого магниторезистивного эффекта

(переход от положительного к отрицательному) приведен на рис. 13.

Как уже отмечалось, влияние магнитного поля на квантовые

поправки, обусловленные электрон-электронным взаимодействием,

приводит к росту сопротивления в магнитном поле. Однако в ряде

теоретических исследований было показано, что в диффузионном канале

в пределе сильного магнитного поля (ω

τ>1) в случае доминирования

электрон-электронного взаимодействия квантовые поправки сохраняют

свое значение. При этом магниторезистивный эффект отрицателен и

квадратичен по магнитному полю

[]

ln)1()(1)

(

−−−≅

τω

, (60)

где F-фактор Хартри, представляющий собой усреднение по углу

экранированного кулоновского взаимодействия.

Типичная для такого случая магнитополевая зависимость

магнитосопротивления гетероперехода GaAs/AlGaAs приведена на рис.

14. Видно, что в слабых полях она логарифмически зависит от

температуры, а в более сильных полях наблюдается не положительное, а

также отрицательное параболическое магнитосопротивление. Отметим,

что насыщение логарифмического отрицательного

магнитосопротивления согласно предсказанию теории должно

наблюдаться в магнитном поле В

= ћ/4πDτ, в то время как отрицательное

параболическое - до полей В

Т/gμ

. Оценка величин полей по

приведенным формулам дает хорошее совпадение с результатами

измерений.

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

-0,006

-0,005

-0,004

-0,003

-0,002

-0,001

0,000

0,001

ΔR/R

В, Тл

Рис. 13. Знакопеременный магниторезистивный эффект при Т=2 К (кривая

1) и трицательный магниторезистивный эффект при более

высоких температурах: 2-10, 3-50 и 4-100 К.

Рис. 14. Отрицательный магниторезистивный эффект двумерного

электронного газа гетероперехода GaAs-AlGaAs.

8. ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ МАГНИТОРЕЗИСТИВНЫЙ ЭФФЕКТ В

РЕЖИМЕ СИЛЬНОЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ

Первая модель отрицательного магниторезистивного эффекта в

режиме прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка была

предложена в Шкловским и Нгуеном. По физическому содержанию эта

модель существенно отличается от модели отрицательного

магнитосопротивления в режиме слабой локализации. Как известно в

процессе прыжкового транспорта заряда каждый прыжок электрона

сопровождается излучением или поглощением фонона. Следовательно,

квантовая интерференция между электронными волновыми функциями,

описывающими процесс прыжков между различными примесными

центрами, является невозможной, так как в результате каждого прыжка

изменяется фаза волновой функции. Однако в силу того, что длина

прыжка превышает среднее расстояние между центрами по которым

осуществляются прыжки, электрон может рассеиваться различными

примесными состояниями, находящимися между исходным и конечным

центром туннелирования. При понижении температуры возрастает длина

прыжка и, соответственно, увеличивается число рассеивающих центров,

воздействующих на электронную волновую функцию. Рассеяние каждым

центром можно учесть введением сферической волново функции вида

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

ξπ

ψψ

isc

r exp

)(

, (61)

где

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

∞

r exp

)(

, (62)

волновая функция электрона, прыгающего из точки 1 в точку 2 при

отсутствии рассеивающих центров между этими центрами, а

εε

πξε

−

≡

(63)

амплитуда рассеивания i-ым рассеивающим центром, ξ − радиус

локализации , ε

и ε

<0 – энергии состояния 1, из которого прыгает

электрон и состояния i-го рассеивающего центра, соответственно.

Суммарную волновую функцию, учитывающую рассеяние

различными примесными центрами, находящимися между центрами 1 и

2 , можно представить в виде:

∑

rr )()(

221

ψψ

(64)

Каждое слагаемое в выражении (60) можно интерпретировать как вклад,

который дают волновые функции, описывающие движение электрона по

зигзагообразным траекториям Г соединяющим центры, между которыми

происходит прыжок через различные центры рассеивания. Примеры

таких траекторий показаны на рис. 15. Эти сферические волновые

функции экспоненциально спадают с расстоянием в силу отрицательного

значения туннельной электронной энергии. Поэтому вклад в волновую

функцию дают только кратчайшие траектории рассеяния электронов в

прямом направлении, расположенном внутри сигарообразной области.

Таким образом, рассеяние на промежуточных примесных центрах

оказывает влияние на вероятность электронных прыжков в силу

интерференции между возможными электронными траекториями,

соединяющими эти центры, что приводит к возникновению поправки

Δξ у радиуса локализации и к возрастанию сопротивления. Вклад

интерференции можно учесть введением в волновую функцию

интерференционного фактора J:

∑

eJJ

, (65)

где ϕ

=2πBS

/Ф

, В- индукция магнитного поля, Ф

– квант магнитного

потока и S

– площадь фигуры , ограниченная зигзагообразной

траекторией Г и прямой линией соединяющей точки 1 и 2. Суммарная

волновая функция, учитывающая интерференцию может быть записана

следующим образом:

(66)

Влияние интерференции на процесс транспорта заряда проявляется

до таких величин магнитного поля, при которых разность фаз между

волновыми функциями, описывающими движение по зигзагообразной

траектории и прямое туннелирование между точками 1 и 2 ϕ

)()(

121

rJr

ψψ

~1. Это

условие определяет верхнюю границу магнитного поля, при котором

магнитосопротивление, вызванное интерференцией, насыщается. Анализ

магнитополевой зависимости сопротивления показывает, что при таких

условиях оно линейно уменьшается с увеличением магнитного поля.

Таким образом, согласно современным теоретическим

представлениям о переносе заряда в неидеальных кристаллах

отрицательный магниторезистивный эффект может наблюдаться как в

режиме слабой, так и в режиме сильной локализации, показывая при

этом разный вид магнитополевой зависимости.

Рис. 15. Схематическое изображение прыжка электрона между центрами 1

и 2 с учетом влияния рассеянием промежуточными центрами.

9. АНИЗОТРОПНЫЙ МАГНИТОРЕЗИСТИВНЫЙ ЭФФЕКТ В

МАГНИТОУПОРЯДОЧЕННОЙ СРЕДЕ

В магнитоупорядоченной среде есть дополнительный вклад в

магниторезистивный эффект, обусловленный анизотропией

сопротивления из-за наличия спонтанной намагниченности. Рассмотрим

однодоменный поликристалл. Компоненты электрического поля E

таком проводнике связаны с плотностью тока J

соотношением:

= ∑ ρ

(67)

где ρ

- компоненты тензора сопротивления.

Если намагниченность такого образца М направлена по оси Z, то для

такой магнитоупорядоченной среды тензор сопротивления имеет вид:

(68)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⊥

∧

)(00

0)()(

ρρ

Этот вид тензора сопротивления дает следующее выражение для

электрического поля:

Ē = ρ

┴

(B)Ј + [ρ

║

(B) - ρ

┴

(B)][α·j]α + ρ

(B)αxj, 69)

где J – плотность тока, а α – единичный вектор в направлении

намагниченности.

Компоненты тензора ρ

зависят от индукции B, которая определяется

внешним магнитным полем и размагничивающим фактором,

учитывающим геометрию образца.

Так как действие силы Лоренца на движущийся заряд можно

наблюдать в любом проводнике, то компоненты ρ

можно разделить на

две части:

(B) = ρ

+ ρ

(B), где ρ

– это спонтанные коэффициенты и ρ

(B) –

“обычные” коэффициенты.

Отметим, что ρ

нельзя измерить прямым методом, так как на

движущийся в магнитном материале электрон действует сила Лоренца со

стороны внутреннего магнитного поля. Предполагая, что можно

провести экстраполяцию к B=0, получим три спонтанных коэффициента:

║

- сопротивление для случая J параллелен М при В=0,

┴

- сопротивление для случая J перпендикулярен М при В=0,

– ферромагнитное сопротивление Холла.

Тот факт, что диагональные элементы ρ

║

и ρ

┴

в выражении (68) не

равны означает, что сопротивление зависит от взаимной ориентации тока

и намагниченности. Если образец взять в виде прямоугольного

параллелепипеда и угол между током J и намагниченностью М

обозначить θ, то из уравнения (62) можно получить:

B=0

= (ρ

║

+ 2ρ

┴

)/3 + (cos

θ - ⅓)(ρ

║

- ρ

┴

). (70)

Разница сопротивлений Δρ = ρ

║

- ρ

┴

называется анизотропным

магнитосопротивлением (АМС). Понятно, что при температуре выше

температуры Кюри она исчезает.

В объемном материале, если намагниченность домен

ориентирована случайным образом в отсутствие магнитного поля,

величина cos

θ в уравнении (70) равна ⅓ и сопротивление равно ⅓ρ

║

⅔ρ

┴

. АМС достигает величины ⅔ρ

║

⅓ρ

┴

в насыщении в продольном

поле (cos

θ = 1) и ⅓ρ

║

⅓ρ

┴

в насыщении в поперечном поле (cos

θ = 0).

Для полностью размагниченного образца в отсутствие магнитного поля

сопротивление ρ

приблизительно равно ρ

≡ ⅓ρ

║

⅔ρ

┴

. Если

магнитосопротивление определить как относительное изменение

сопротивления между намагниченным образцом и его сопротивлением в

размагниченном состоянии, то можно записать:

Δρ

┴

/ρ

= (ρ

┴

- ρ

)/ρ

и Δρ

║

/ρ

= (ρ

║

- ρ

)/ρ

. (71)

Однако лучше измерять обе величины

║

и ρ

┴

и определить

нормированную величину анизотропного МС как:

Δρ/ρ

= (ρ

║

- ρ

┴

)/(⅓ρ

║

- ⅔ρ

┴

) (72)

Для однодоменной намагниченной пленки из уравнения (69) можно

получить:

ρ(θ) = ρ

┴

sin

θ + ρ

║

cos

θ или ρ(θ) = ρ

┴

+ Δρcos

θ (73)

Схематическое изображение возможных магнитополевых

зависимостей магниторезистивного эффекта для ферромагнетика

показано на рис.16. На этом же рисунке можно видеть разницу в

рассеянии электронов при движении их в направлении параллельном и

перпендикулярном намагниченности образца. При увеличении

магнитного поля от нуля основной вклад в магнитосопротивление дает

АМС из-за спонтанной анизотропии сопротивления, т.е. из-за

зависимости сопротивления от угла между намагниченностью и током.

АМС отражает переориентацию намагниченности и насыщается, когда

намагниченность полностью ориентируется по внешнему магнитному

полю. Величина насыщения зависит от угла между полем и током, как

показано на рис.16 для продольной и параллельной ориентаций.