Лукашевич М.Г. Введение в магнитоэлектронику

Подождите немного. Документ загружается.

Таким образом, в слабо легированных полупроводниках, у которых

концентрация примеси N

такова, что среднее расстояние между

примесями N

-1/3

превышает боровский радиус примеси a (N

<< 1),

при низких температурах проводимость определяется прыжками

электронов по донорам за счет экспоненциально малого перекрытия

волновых функций двух состояний. Характерной особенностью

прыжкового механизма проводимости является гигантское

положительное магнитосопротивление, экспоненциальным образом

зависящее от напряженности магнитного поля (в дальнейшем

экспоненциальное магнитосопротивление – ЭМС). Столь сильное

возрастание сопротивления в магнитном поле (в отличие от

лоренцевского механизма возникновения магнитосопротивления)

связано с тем, что магнитное поле сжимает волновые функции

примесных электронов в поперечном направлении, превращая их в

простейшем случае в сигарообразные. При этом перекрытие «хвостов»

волновых функций соседних примесей в среднем резко уменьшается, что

и приводит к экспоненциальному возрастанию сопротивления.

Расчет магнитополевой зависимости магнитосопротивления для

прыжкового механизма проводимости выполнен Микошибой, а также с

использованием метода протекания – Шкловским. В обоих расчетах

показано, что она различна в двух областях значений магнитного поля.

Однако следует отметить, что в обоих областях результаты рассчетов

заметно отличаются. Так, в слабом магнитном поле (L

> a/(NB

a ) и

3 1/6

a << 1, L

B = ђ/eB – магнитная длина) в получено следующее

выражение для зависимости прыжкового сопротивления ρ

от поля и

концентраци примеси:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

exp)0()( B

ρρ

(27)

где t – численный коэффициент. Величина коэффициента t, полученная

при использовании для расчета МС метода протекания Шкловским,

оказывается меньше: t = 0,036, чем согласно расчету Микошиба t = 0,083.

Для сильного магнитного поля Микошиба предположил, что МС

определяется прыжками на расстояния N

-1/3

в направлении, поперечном

полю и получил следующую магнитополевую зависимость

сопротивления:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

hcN

3/2

exp)0()(

ρρ

(28)

Несколько другой вид зависимости прыжкового сопротивления от

магнитного поля и концентрации примеси при L

< a/(NB

a ) получен

методом протекания.

3 1/6

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

2/12/1

2/12/12/14/14/1

exp)0()(

Bem

ρρ

, (29)

где р = 0,92, ε

– энергия ионизации донора в магнитном поле. В

довольно широком интервале полей B

< B < 100B

экспериментальные и

рассчитанные значения ε

B ∼ B

1/3

, и выражение (29) может быть записано

в виде:

(

)

constBB exp)0()(

ρρ

, (30)

где показатель m незначительно превышает 0,5, а B

– поле, в котором

= a. B

Различие выражений (29) и (30) обусловлено тем, что в сильных

полях прыжки под малыми углами к магнитному полю на расстояния

большие N

-1/3

являются более выгодными, чем прыжки под большими

углами на средние расстояния. Последнее предполагалось при получении

выражения (29).

Ограничение L

>a/(NB

a ) по порядку величины определяет

характерное поле перехода от случая слабого поля к сильному:

3 1/6

сN

3/1

(31)

Критерий разделения областей слабого и сильного полей может быть

получен также из оценки значения магнитного поля B

1/2

, при котором

величина Ln(ρ

(B)/ρ

(0)) оказывается в два раза меньшей, чем следует из

(31)

сN

3/1

2/1

44 =≅

(32)

В заключении отметим, что используя метод протекания

вычислена экспоненциальная зависимость прыжковой проводимости от

магнитного поля в произвольном поле. В предельных случаях слабого и

сильного полей результаты совпадают, однако величина поля B

1/2

оказывается равной 6,8N

1/3

cђ/ae, т.е. в 1,7 раза больше, чем это следует

из (32).

Экспериментальное изучение магниторезистивного эффекта в

большинстве полупроводниковых материалов в области прыжковой

проводимости показало, что в слабо легированных кристаллах, у

которых энергия активации прыжковой проводимости практически не

зависит от поля, относительное МС растет с магнитным полем по закону

(B)/ρ

(0)=exp(constB

). Данные разных авторов по величине

коэффициента t заметно отличаются друг от друга и изменяются в

пределах: t=0,026-0,042. Магнитополевая зависимость (30) с m ≅ 0,5

наблюдалась в компенсированных кристаллах n-GaAs в магнитном поле

5 < B < 10 Тл.

Вычисление сопротивления кристалла в магнитном поле для

прыжкового механизма проводимости с использованием метода

протекания показывает, что, несмотря на сильную анизотропию

показатели экспоненты волновой функции, главный экспоненциальный

член удельного сопротивления не зависит от направления тока.

Экспериментально наблюдалось лишь незначительное превышение

поперечного ЭМС в поле до 3 Тл, а в различия по величине и характере

магнитополевой зависимости поперечного и продольного МС в

кристаллах с n

=(3-5,4)⋅10

см

-3

не наблюдалось в полях до 35 Тл. В

компенсированных образцах n-GaAs при Т = 5 К в магнитном поле до 10

Тл различия между поперечным и продольным ЭМС также практически

не наблюдалось.

Таким образом, результаты разных расчетов МС для прыжкового

механизма проводимости отличаются как по величине МС, так и по виду

магнитополевой зависимости. Данные измерения ЭМС разных авторов

также заметно отличаются, что может быть связано как с трудностью

экспериментальных исследований в сильных магнитных полях, так и с

труностью реализации на практике чисто прыжкового механизма

переноса заряда. Однако экспоненциальная зависимость сопротивления

от магнитного поля, тем не менее, является одной из наиболее важных

характеристик прыжкового механизма переноса заряда и в настоящее

время является основным его экспериментальным подтверждением.

5. ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ МАГНИТОРЕЗИСТИВНЫЙ ЭФФЕКТ

Как следует из предыдущего рассмотрения сопротивление

полупроводника в магнитном поле увеличивается, т.е.

магнитрорезистивный эффект положителен. Однако в широком классе

полупроводниковых материалов при низких температурах впервые

экспериментально было обнаружено уменьшение сопротивления в

магнитном поле, так называемый отрицательный магниторезистивный

эффект. С точки зрения классической теории проводимости он

совершенно не понятен. Действительно, магнитное поле, воздействуя на

заряженную частицу не изменяет ее энергии, а только искривляет

траекторию. При этом длина свободного пробега в направлении

электрического поля уменьшается и сопротивление должно возрастать.

Детальное экспериментальное изучение отрицательного

магнитосопротивления полупроводников при низких температурах

показало, что уменьшение сопротивления в магнитном поле не связано с

такими случайными факторами, как свойства контактов,

неоднородности, поверхностные свойства, наличие дислокаций и т. д., а

является фундаментальным свойством кристалла и определяется

концентрацией носителей тока в нем, температурой и напряженностью

магнитного поля, а в некоторых случаях (главным образом в сильно

легированных кристаллах) и степенью компенсации примеси.

До середины семидесятых годов отрицательное

магнитосопротивление, так же как и нелоренцевский характер

положительного не удавалось объяснить с единой точки зрения.

Популярная в то время модель локализованных спинов, базирующаяся

на представлениях развитых для металлов с магнитными примесями в

известных работах Иосиды и Кондо не давала непротиворечивого и

адекватного толкования экспериментальным данным. Например, для

согласования теории с экспериментом приходилось предполагать

наличие необоснованно большого количества гигантских по величине

локализованных магнитных моментов и, в частности, в кристаллах не

содержащих магнитную примесь.

Кратко рассмотрим физическую идею объяснения отрицательного

магнитосопротивления в развитой Тояцавой модели. Основные

экспериментальные факты, полученные к началу разработки

вышеуказанной модели, показаны на рис. 9-11 и сводились к

следующему: квадратичная зависимость уменьшения сопротивления в

магнитном поле наблюдается лишь в слабых магнитных полях обычно до

0,1-0,5 Тл. Затем эффект стремится к насыщению или как показано на

рис. 9 переходит в область положительного магнитосопротивления.

Можно отметить, что величина отрицательного магнитосопротивления

также как и величина экспоненциального при прыжковом механизме

проводимости не зависит от ориентации кристалла и тока относительно

направления магнитного поля. Так продольный эффект лишь немного

меньше поперечного. Заметим еще раз, что продольный лоренцевский

магниторезистивный эффект равен нулю. Интересной особенносью

отрицательного магниторезистивного эффекта является почти полная его

независимость от величины подвижности носителей заряда при

изменении последней на несколько порядков (рис. 10), в то время как

лоренцевское положительное магнитосопротивление пропорционально

подвижности.

024681012141618

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

Δ R / R

, Тл

Рис. 9. Зависимость магнитосопротивления арсенида галлия от

магнитного поля при Т=4,2К

10 100 1000

-0,06

-0,05

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0,00

Δ R / R

μ , см

/ В с

Рис.10. Зависимость отрицательного магнитосопротивления от

подвижности носителей заряда.

-0,06

-0,05

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

Δ R / R

n , см

-3

Рис. 11. Зависимость величины отрицательного магнитосрезистивного

эффекта от концентрации носиителей заряда.

В основе объяснения уменьшения сопротивления

полупроводникового кристалла в магнитном поле лежит представление о

локализации электронов в примесной зоне вблизи водородоподобного

центра. Согласно гипотезе Тояцава некоторая часть уединенно

расположенных примесных атомов может захватить лишний электрон и

тем самым приобрести магнитный момент - так называемый

локализованный спин. Между локализованными спинами и электронами

проводимости возможно обменное взаимодействие. Так как спины

взаимодействующих электронов могут быть и не параллельны, то при

рассеянии возможна и переориентация спина, т.е. наряду с обычными

механизмами рассеяния (см. таблицу 1) появляется дополнительный

неупругий механизм рассеяния. Во внешнем магнитном поле происходит

ориентация спинов по полю, причем доля ориентированных по полю

спинов возрастает с увеличение поля и уменьшением температуры.

Поэтому неупругий механизм рассеяния как бы частично выключается

магнитным полем, что и приводит к уменьшению сопротивления

кристалла.

При таком механизме изменения сопротивления в магнитном поле

величина уменьшения должна быть пропорциональна квадрату

намагниченности и как функция магнитного поля и температуры

подчиняться зависимости

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∝

или

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∝

, (33)

где В

-функция Бриллюэна, L- ее классический аналог функция

Ланжевена, N

– концентрация локализованных спинов, μ

∗

- магнитный

момент рассеивающего центра.

Зависимость (33) квадратична при малых значения аргумента и

насыщается при μ

∗

В>>k

Т. Согласно проведенным оценкам

концентрация магнитных центров в кристалле может достигать от

единиц до десятков процентов от полной концентрации примеси в

кристалле.

Сравнение результатов расчета с экспериментом показывает, что

они согласуется при использовании в расчете изменяющейся в

магнитном поле величины магнитного момента рассеивающего центра.

Причем величина магнитного момента этого центра может достигать

десятков магнетонов Бора. Этот и ряд других экспериментальных фактов

нельзя непротиворечиво объяснить в рамках модели Тояцава, хотя

физическая идея объяснения уменьшения сопротивления в магнитном

поле проста и изящна: при повышении температуры происходит

разупорядочение спинов и отрицательный магниторезистивный эффект

сменяется положительным, для наблюдения его необходима такая

концентрация примеси в кристалле при которой преобладает

проводимость по примесям, т.е. должны быть как обобществленные , так

и локализованные спины. При полном обобществлении или полной

локализации эффект отрицательного магнитосопротивления исчезает

(рис.11).

Если учесть то, что при диффузионном движении электронов на их

действует сила Лоренца, т.е. имеется компонента положительного

магниторезистивного эффекта, то становится понятным переход в

область положительного магнитосопротивления при дальнейшем

увеличении напряженности магнитного поля (рис. 9), так как

измеряемый на опыте магниторезистивный эффект представляет собой

сумму двух компонент: отрицательной и положительной

+−∑

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

000

. (34)

Следует отметить, что выдвигались и другие модели объяснения

отрицательного магнитосопротивления. Однако они не были столь

обобщающими или базировались на заведомо не верных представлениях

об увеличении концентрации электронов в кристалле в квантующем

магнитном поле. Принципиально новая возможность объяснения

отрицательного магнитосопротивления открылась в связи с изучением

влияния магнитного поля на квантовые поправки к кинетическим

коэффициентам слабо разупорядоченных электронных систем под

которыми обычно понимают однородные в макроскопическом смысле

системы, содержащие флуктуации потенциальной энергии, сравнимые

или меньшие длины волны де Бройля электрона в этой системе.

6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ КВАНТОВЫХ ПОПРАВОК

К ПРОВОДИМОСТИ

Теория квантовых поправок к проводимости слабо

разупорядоченных электронных систем развита для вырожденного

электронного газа в области металлической проводимости, что в

соответствии с условием Иоффе-Регеля означает: длина свободного

пробега электрона больше его длины волны

1/2 >

FPF

, (35)

где

-и k

- энергия и импульс электрона на поверхности Ферми.

К электронным системам такого типа , в частности, относятся и

сильно легированные полупроводники с концентрацией примеси,

превышающую критическую концентрацию N

перехода металл-

диэлектрик. Величину N

для слабо компенсированных полупроводников

можно оценить по соотношению Мотта, которое подтверждено в

широком классе объектов

, (36)

26.0/

3/1

≈

где -эффективный боровский радиус электрона на примеси.

Как показывает теория характер проявления квантовых эффектов в

проводимости зависит от эффективной размерности электронного газа

(d=1,2,3), т.е. от соотношения между размером проводника и

характеристическим масштабом теории. Теория квантовых поправок к

проводимости в дополнение к уже известным характеристическим

длинам (например, l-длина свободного пробега, λ-длина волны де

Бройля) вводит в рассмотрение новые масштабы, а именно длину

диффузии L

и длину когерентности L

, (37)

TkDL

/h=

. (38)

Здесь D- коэффициентр диффузии, τ

- время релаксации фазы волновой

функции. Причем частота сбоя фазы τ

-1

определяется неупругим или

квазиупругим рассеянием электронов: электрон-электронным, электрон-

фононным взаимодействием, или рассеянием электрона с переворотом

спина. По физическому смыслу L

- это длина на которой сохраняется

фаза волновой функции электрона, а L

-это характеристический масштаб,

возникающий за счет электрон-электронного взаимодействия. Можно

сказать, что на длине L

сохраняется пространственная когерентность

двух квазичастиц с разностью энергий порядка k

Т.

Сравнивая характеристические длины теории квантовых поправок

к проводимости L

и L

с размереми образца L

, i=1,2,3 легко определить

размерность системы по отношению к процессам слабой локализации и

электрон-электронного взаимодействия. Действительно, трехмерный

электронный газ (3D) реализуется в образце любой геометрический

размер которого велик по сравнению с характеристическими

масштабами теории квантовых поправок к проводимости, т.е.

> L

и L

>λ (39)

Отметим, что в случае L

>λ, но L

, L

энергетический спектр

электронов в проводнике не меняется по сравнению с 3D газом. Однако

этот электронный газ является эффективно двумерным для явлений

слабой локализации и межэлектронного взаимодействия, так как один из

его размеров меньше характеристических размеров теории квантовых

поправок к проводимости.

Интересно отметить, что поскольку ћ/τ

<кТ, то L

< L

, то

если τ

Т/ћ>>1, может реализоваться ситуация, когда размер

проводника занимает промежуточное значение L

<<Li << L

. В этом

случае проводник оказывается двумерным по отношению к процессам

слабой локализации, но трехмерным по отношению к процессам

межэлектронного взаимодействия.

Для лучшего понимания механизма изменения сопротивления

магнитным полем в режиме квантовых поправок к проводимости

рассмотрим более подробно физические механизмы появления

квантовых поправок к проводимости слабо разупорядоченных

электронных систем.

6.1 СЛАБАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ

При обычном квантово-механическом подходе к вычислению

вероятности упругого рассеяния электрона W

рассматривается

электронная волновая функция

. (40)

rikrikz

eAe

)(

θψ

Здесь первый член – это падающая в направлении Z плоская волна, а

второй - отраженная центром рассеяния затухающая сферическая волна,

А(θ)- амплитуда рассеяния на угол θ. Вероятность рассеяния электрона

пропорциональна ⏐А(θ)⏐

. Время релаксации упругого рассеяния τ

определяется через транспортное сечение рассеяния

∫

−=

θθθθπ

dAS

sin)cos1()(2

(41)

где N

- концентрация рассеивающих центров, v- cкорость рассеяния.

Однако при таком рассмотрении пренебрегается интерференцией

между падающей и отраженной волнами. Это оправдано для основного

потока диффундирующих от одного контакта к другому электронов, за

исключением особого случая электронных волн, распространяющихся по

замкнутой траектории в двух противоположных направлениях и

испытывающих при этом упругое рассеяние на одних и тех же центрах,

но в обратном порядке, как показано на рис. 12. Такие две сопряженные

волны с амплитудами А

и А

являются когерентными (сохраняют фазу

волновой функции) и интерферируют в точке пересечения r=0. В этом

случае для расчета вероятности W

прохождения носителля заряда от

контакта 1 к контакту 2 необходимо учитывать интерферационный член

W=|A

= |A

⏐

+⏐A

+ 2Re A

=4|A⏐

(42)

=A). При классическом рассмотрении вероятность такого

процесса в два раза меньше.

= A

⏐

+⏐A

=2|A⏐

. (43)

Вероятность обнаружения электрона за время t в точке r=0 можно

определить через коэффициент диффузии

W(r=0)≅1/(4Dt)

d/2

=4|A|

=2W

(44)

Отсюда видно, что при учете интерференции на самопересекающихся

траекториях коэффициент диффузии падает по сравнению с

классическим случаем, т.е. проводимость уменьшается. Это явление

принято называть слабой локализацией.