Луцко А.Н., Марцулевич Н.А. и др. Механика

Подождите немного. Документ загружается.

121

температуре за определенный промежуток времени не превысит

наперед заданной величины.

5.9. Сложное сопротивление стержней

В предыдущих подразделах были рассмотрены простые виды

нагружения и деформации стержней. Их анализ позволил получить

расчетные формулы для вычисления напряжений и перемещений, с

помощью которых могут быть проведены расчеты на прочность и

жесткость. Под

сложным сопротивлением понимают наложение

двух или большего числа простых видов нагружения. Анализ сложного

сопротивления опирается на принцип независимости действия сил,

согласно которому результат совместного действия нескольких

внешних нагрузок можно рассматривать как сумму результатов

действия этих нагрузок по отдельности.

На рис. 39 представлены наиболее распространенные виды

сложного сопротивления стержней. Сочетание

изгиба с растяжением

или сжатием

получится в том случае, если изгибающая сила

действует на балку наклонно к ее оси (рис. 39, а). Такая сила будет

иметь ненулевые составляющие как на ось

Ох (продольная ось

балки), так и на ось

Оу (координатная ось перпендикулярная оси

балки). Первая составляющая будет вызывать деформацию

растяжения, а вторая составляющая вызовет изгиб. Поэтому при

вычислении суммарной величины напряжений в материале

необходимо использовать формулы (5.8) и (5.29). Напряжение,

обусловленное растяжением, будет одинаково во всех точках:



F sin α / A, где А – площадь поперечного сечения балки. Напряжение,

обусловленное изгибом, будет зависеть от координаты

х и расстояния

до нейтрального слоя у:



= F x y cos α / I

. Сумма этих величин даст

полное напряжение материала в каждой точке балки. В частности,

наибольшее напряжение возникнет в сечении балки в месте ее

заделки в нижних слоях материала (рис. 39, а):

cossin

max







, (5.40)

где h – высота поперечного сечения балки. Наименьшее значение

напряжения будет достигнуто в том же сечении, но в верхнем слое

материала:

cossin

min







. (5.41)

В зависимости от численных значений величин, входящих в это

соотношение,



min

может оказаться как напряжением растяжения

122

Рисунок 39

123

(



min

> 0), так и напряжением сжатия (



min

< 0). Соотношения (5.40) и

(5.41) позволяют сформулировать условие прочности при сложном

сопротивлении «изгиб с растяжением (сжатием)».

Другим видом сложного сопротивления является так называемый

косой изгиб. На рис. 39, б приведена схема нагружения, приводящая

к косому изгибу. Сила

F действует в плоскости поперечного сечения

стержня, составляя угол

α с координатной осью Оу. Проекции силы F

и F

вызывают появление изгибающих моментов в координатных

плоскостях

Оху и Охz. Следовательно, при косом изгибе стержень

испытывает одновременное действие двух изгибающих моментов

. Напряжения и прогибы от каждого из этих моментов по

отдельности определяются по формулам подраздела 5.7. В частности,

напряжение



в некоторой точке стержня, обусловленное действием

только изгибающего момента

, согласно формуле Навье (5.29)

будет равно:



= М

z / I

. Напряжение 

в той же точке материала,

обусловленное действием изгибающего момента

, составит

величину:



= М

y / I

. При этом моменты М

и M

должны быть

вычислены при том значении координаты

х, которое соответствует

сечению, где лежит данная точка. Полное напряжение

 будет

складываться из напряжений



. Максимальное и минимальное

значения напряжений будут достигаться в сечении в месте заделки

балки и для случая, изображенного на рис. 39, б будут равны:

sin

cos

max









sin

cos

min









Здесь b и h – ширина и высота поперечного сечения балки, l – ее

длина. Первое из этих напряжений должно участвовать в условии

прочности на растяжение, а второе

– в условии прочности на сжатие.

Если полное напряжение

 = 

+ 

приравнять к нулю, то

полученное уравнение

0



будет задавать прямую, в каждой точке которой напряжение

отсутствует. Эта прямая носит название

нейтральной линии

поперечного сечения

. В случае косого изгиба она проходит через

центр тяжести сечения.

124

Еще одним видом сложного сопротивления стержней является

совместное действие изгиба с кручением (рис. 39, в). Такие

деформации испытывают, как правило, валы и оси. В каждой точке

материала изгиб вызовет появление нормальных напряжений, а

кручение

– касательных. Первые рассчитываются по формуле (5.29), а

величина вторых определяется соотношением (5.23). Таким образом,

материал будет одновременно подвергаться растяжению (сжатию) и

сдвигу. Каждое из этих воздействий по отдельности может вызывать

напряжения меньше допускаемых, но, действуя одновременно, они

могут оказаться опасными с точки зрения потери работоспособности

элемента оборудования. Формулировка условий прочности в этом

случае будет рассмотрена в следующем разделе.

5.10. Устойчивость сжатых стержней

Одним из критериев работоспособности элементов химического

оборудования (подраздел 5.4) названа устойчивость, т. е. способность

элемента конструкции сохранять свою первоначальную

геометрическую форму при воздействии внешней нагрузки. Изменения

в материале при потере устойчивости принципиально отличаются от

его поведения при рассмотренных ранее видах деформаций. В случае

простых видов напряженного состояния стержня деформации в

материале нарастали постепенно с увеличением нагрузки. При потере

устойчивости при постепенном увеличении нагрузки происходит

внезапное скачкообразное и, как правило, сильное изменение формы

элемента, что может привести к его разрушению.

Наиболее наглядным примером понятия устойчивости может

служить прямолинейный стержень, нагруженный силой

действующей строго по оси стержня (рис. 40). Если сила невелика, то

сжатый стержень остается прямолинейным. Более того, при малых

принудительных отклонениях стержня он возвращается к исходной

геометрической форме. Говорят, что прямолинейная форма

равновесия стержня в этом случае устойчива. С увеличением

сжимающей силы свойство устойчивости будет сохраняться лишь до

определенного момента. Как только сила

F станет равной некоторому

значению

кр

, которое называется критической силой, произойдет

внезапное и резкое искривление его оси. Говорят, что при

F > F

кр

прямолинейная форма стержня теряет устойчивость.

В реальных конструкциях такая ситуация может возникнуть,

например, в опорах технологических аппаратов, емкостей и

резервуаров, в штоках насосов и компрессоров, в колонных аппаратах

большой высоты. В любом случае при расчете на устойчивость

необходимо знать величину критической силы

кр

. Тогда условием

работоспособности данного элемента оборудования по критерию

устойчивости будет неравенство:

125

F < [ F ] , где [ F ] = F

кр

/ n

. (5.42)

Здесь [F] – допускаемое значение сжимающей силы, n

–

коэффициент запаса устойчивости. Величина последнего

регламентируется отраслевыми стандартами.

Найдем величину критической силы

кр

для стержня, сжатого

продольной силой (рис. 40). Будем считать сжимающую нагрузку

приложенной к центру тяжести сечения, прогибы

у малыми, а

возникающие при этом напряжения не превышающими предел

пропорциональности



пц

(следовательно, справедлив закон Гука).

Тогда прогиб и внутренний изгибающий момент, обусловленный

действием силы

кр

, в каждом поперечном сечении связаны между

собой дифференциальным уравнением изогнутой оси балки (5.36):

)(



Изгибающий момент М

(х) равен произведению силы на плечо,

которым в данном случае является величина прогиба:

(х) = - F

кр

у.

Знак минус отражает связь между знаком изгибающего момента и

прогибом стержня (первый на рис. 40 отрицателен, второй

положителен).

Подставив выражение для изгибающего момента в

дифференциальное уравнение изогнутой оси, придем к следующему

уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами:

 yk

, (5.43)

Рисунок 40

y(x)

кр

ℓ

< F

кр

≥ F

кр

ℓ

126

где введено обозначение: k

= F

кр

/ EI

. Здесь Е – модуль продольной

упругости материала стержня,

– момент инерции его поперечного

сечения. Уравнение (5.43), как известно из курса математики, имеет

общее решение следующего вида:

kxCkxCxy cossin)(





. (5.44)

Постоянные интегрирования С

и С

находятся из граничных

условий. В данном случае граничными условиями служат условия на

опорах стержня. Если начало координат совместить с левой опорой

стержня, то граничные условия могут быть представлены двумя

равенствами:

у (0) = 0 и у (l) = 0 , (5.45)

где l – длина стержня. Полагая в (5.44) х = 0, с учетом первого

граничного условия получаем

= 0. При х = l с учетом второго

граничного условия имеем:

у (l) = 0 = С

sin kx.

Отсюда видно, что второе граничное условие будет удовлетворено в

том случае, если

sin kx = 0. Таким образом, аргумент синуса должен

быть равен

kx = π n ( n = 0; ± 1; ± 2; …). Одной волне изгиба стержня

(рис. 40) соответствует значение

n = 1. Оно позволяет определить то

наименьшее значение критической сжимающей силы, при которой

прямолинейная форма стержня оказывается неустойчивой.

Принимая во внимание введенное ранее обозначение для

величины

k, для критической силы получаем:

кр





(5.46)

Полученное соотношение носит название формулы Эйлера. Оно

показывает, что критическая сила быстро уменьшается с увеличением

длины стержня и возрастает с увеличением жесткости стержня на

изгиб. На устойчивость стержней сказываются также условия их

закрепления. Так, величина критической силы для стержня с

шарнирно закрепленными концами должна отличаться от ее величины

для стержня, оба конца которого жестко защемлены. Кроме того, в

общем случае поперечное сечение может не обладать свойством

симметрии. Следовательно, момент инерции относительно разных

осей будет иметь различные численные значения (см., например,

127

подраздел 4.6). Указанные факторы учитывает следующая формула,

обобщающая формулу Эйлера:

min

( l)





кр



(5.47)

Здесь ν – коэффициент приведения длины стержня, значения

которого зависят от условий его закрепления. Для стержня, жестко

защемленного с обеих сторон,

ν = 0.5; для стержня, один конец

которого защемлен жестко, а другой шарнирно,

ν = 0.7; при

шарнирном закреплении обоих концов

ν = 1; для стержня, один конец

которого жестко защемлен, а другой свободен,

ν = 2. Момент инерции

min

в формуле (5.47) вычисляется относительно той оси, когда он

принимает наименьшее значение.

В момент потери устойчивости в материале стержня возникают

сжимающие напряжения



кр

Аl)(

min

кр









которые называются критическими напряжениями. Объединим все

геометрические характеристики в один комплекс:

minmin







(5.48)

Он носит название гибкости стержня, а входящая сюда величина

min



- наименьшего радиуса инерции. Тогда величину

критических напряжений можно записать в виде:







кр



. (5.49)

Поскольку предполагалось, что напряжения в материале не

превосходят предела пропорциональности 

пц

, критические

напряжения должны удовлетворять неравенству:

пцкр











Отсюда вытекает ограничение на величину гибкости стержней, к

которым применима формула Эйлера:

128

пц









(5.50)

Так, для стержней из стали марки Ст.3 (Е = 1.99  10

МПа, 

пц

= 200

МПа) гибкость  не должна быть менее 100.

5.11. Контрольные вопросы

1. Что изучает механика деформируемого тела ?

2. Назовите количественные характеристики деформаций.

3. Что называется относительной линейной деформацией ?

4. Что характеризуют угловые деформации ?

5. Какова природа возникновения внутренних усилий в материале

элементов конструкций ?

6. Перечислите внутренние силовые факторы в поперечных сечениях

элементов оборудования, имеющих расчетную схему стержня.

7. Какими деформациями вызывается каждый из внутренних силовых

факторов ?

8. Как определяется полное внутреннее напряжение в данной точке

материала ? Какова размерность напряжений ?

9. Чем отличаются нормальные и касательные напряжения по

характеру действия на материал ?

10. Как связаны внутренние силовые факторы и напряжения ?

11. Перечислите главные критерии работоспособности элементов

химического оборудования.

12. Каковы исходные данные и цели проектных, поверочных и

нагрузочных расчетов ?

13. Сформулируйте закон Гука при растяжении.

14. Что такое модуль продольной упругости материала и каков его

физический смысл ?

15. Что характеризует коэффициент Пуассона ?

16. Сформулируйте закон Гука в абсолютных удлинениях.

17. В чем состоит условие прочности при растяжении

– сжатии ?

18. В чем состоит условие жесткости при этом виде деформации ?

19. Какие напряжения возникают на наклонных сечениях стержней и

как они зависят от угла наклона сечения ?

20. Что такое сдвиг и какие напряжения возникают при этом виде

деформации ?

21. Сформулируйте закон Гука при сдвиге.

22. Что такое модуль сдвига и в каких единицах он измеряется ?

23. Что такое кручение ? Когда возникает этот вид деформации ?

Какие перемещения он вызывает ?

24. Какие напряжения возникают при кручении? Как они распределены

по сечению стержня ?

129

25. Что характеризует относительный угол закручивания ? От чего он

зависит ?

26. Сформулируйте условия прочности и жесткости при кручении.

27. В чем отличие чистого изгиба от плоского поперечного изгиба ?

28. Что такое нейтральная ось поперечного сечения ?

29. Как распределены нормальные напряжения в поперечном сечении

при изгибе ?

30. Сформулируйте условие прочности по нормальным напряжениям

при плоском поперечном изгибе.

31. Как распределены касательные напряжения в поперечном сечении

при плоском поперечном изгибе ?

32. Сформулируйте условие прочности по касательным напряжениям

при плоском поперечном изгибе.

33. Какими величинами характеризуются перемещения при изгибе ?

34. Запишите дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

35. Как определить величину прогиба и угол поворота в некотором

сечении балки ?

36. Сформулируйте условия жесткости при поперечном изгибе.

37. Назовите основные механические свойства конструкционных

материалов.

38. В чем состоят испытания на растяжение конструкционных

материалов и какие механические характеристики можно определить

с их помощью ?

39. Что такое предел пропорциональности, предел упругости, предел

текучести, предел прочности ?

40. Чем отличаются диаграммы растяжения хрупких и пластичных

материалов ?

41. Назовите характеристики пластичности материалов.

42. В чем состоит свойство ползучести конструкционных материалов ?

43. Приведите примеры сложного сопротивления стержней.

44. Как определить наибольшее и наименьшее напряжение при

сочетании изгиба с растяжением ?

45. Что такое косой изгиб ? Какие деформации возникают при этом

виде сложного сопротивления ?

46. В чем заключается свойство устойчивости как критерия

работоспособности ?

47. Поясните явление потери устойчивости на примере стержня,

нагруженного продольной силой.

48. Что такое критическая сжимающая сила и от чего она зависит ?

49. Приведите формулу Эйлера для критической силы.

50. При каких условиях формула Эйлера применима ?

51. Сформулируйте условие устойчивости элемента оборудования.

130

6. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МАТЕРИАЛА В ТОЧКЕ

В общем случае нагружения деформируемого твердого тела

внешними усилиями картина распределения напряжений может быть

довольно сложной. Даже при плоском поперечном изгибе,

относящемся к простому виду деформации, в каждой точке

поперечного сечения одновременно действуют нормальные и

касательные напряжения. Следовательно, материал одновременно

испытывает растягивающие и сдвиговые усилия. Это обстоятельство

должны учитывать соответствующие условия прочности. Кроме того,

внешние усилия могут меняться во времени. Если эти изменения

происходят достаточно быстро, то возникающие при этом силы

инерции нельзя не учитывать. С другой стороны на практике

приходится сталкиваться с нагрузками, которые меняются во времени

периодически. Такие нагрузки приводят к тому, что и напряжения в

материале будут переменны. Большинство конструкционных

материалов сопротивляется переменных нагрузкам значительно хуже,

чем статическим из

-за явления усталости. Все эти вопросы

рассмотрены в настоящем разделе.

6.1. Напряженно

-деформированное состояние материала в точке

Вектор полного внутреннего напряжения, введенный в подразделе

5.3, характеризует интенсивность распределения внутренних усилий в

материале по плоскости некоторого сечения, которое проходит через

данную точку. Если провести через эту точку другое сечение, то

величина полного напряжения в общем случае изменится. Поэтому

полное внутреннее напряжение в данной точке зависит не только от

ее координат, но и от ориентации сечения. Последняя, как известно,

определяется направлением нормали

n к сечению. Таким образом, в

общем случае полное напряжение может быть записано в виде

следующей функции

р = р

(x, y, z).

Совокупность векторов полного напряжения, действующего в

данной точке во всех плоскостях, проведенных через нее, называется

напряженным состоянием в точке. Оказывается, что величина

полного напряжения в сечении с произвольной ориентацией может

быть выражена через величины полного напряжения в сечениях,

перпендикулярных осям координат. Пусть

(x, y, z), р

(x, y, z) и

(x, y, z) - векторы полного напряжения в сечениях,

перпендикулярных оси

Ох, Оу и Оz соответственно. Тогда полное

напряжение в сечении с нормалью

n связано с ними посредством

соотношения:

)cos()cos()cos( zyx

zyxn



 npnpnpp

(6.1)