Луцко А.Н., Марцулевич Н.А. и др. Механика
Подождите немного. Документ загружается.
111
сечении, находящуюся на расстоянии у от нейтрального слоя.
Нормальные напряжения, действующие на этой площадке, создают
момент относительно
нейтральной оси, которой называется линия
пересечения данного сечения с нейтральным слоем. Величина этого
элементарного момента, очевидно, равна
dA у. Результирующий
момент всех нормальных напряжений, действующих в сечении, может
быть получен путем интегрирования элементарного момента по всему
сечению. С другой стороны, согласно (5.6), он равен величине
изгибающего момента М
z
в этом сечении. Следовательно, с учетом
(5.26) имеем:
A A
z
dAy
r
E
dA
r
y
yEM
2
Интеграл
A
z
dAyI
2
(5.27)
называется моментом инерции поперечного сечения
относительно нейтральной оси
. Он имеет размерность м
4
и
является одной из важнейших геометрических характеристик сечения.
Используя введенное обозначение из предыдущего равенства
получим следующее выражение для кривизны изогнутой оси балки:
z
z
EI
M
r
1
(5.28)
Таким образом, кривизна оси балки пропорциональна величине
изгибающего момента в данном поперечном сечении и обратно
пропорциональна произведению
EI
z
, которое называется жесткостью
стержня при изгибе
(аналогично жесткости ЕА при растяжении и
жесткости
GI
p
при кручении). Поскольку изгибающий момент может
меняться по длине балки, меняется и ее кривизна.
Подставив полученное соотношение в формулу (5.26), получим
выражение для расчета нормальных напряжений в поперечном
сечении:
z
z
I
yM
y
)(
(5.29)
Это соотношение носит название формулы Навье. Оно позволяет
провести простой анализ распределения напряжений в сечении. На
нейтральной оси сечения при
у = 0 напряжения равны нулю, малы по
112
абсолютной величине в центре сечения (при малых значениях у) и
достигают наибольших значений на периферии сечения. Следствием
столь неравномерной картины напряжений послужило то, что на
практике широко применяются балки с поперечным сечением
специального профиля (двутавра, швеллера, уголка). У таких
профилей основное количество металла сосредоточено на периферии
сечения (в области больших напряжений), что позволяет значительно
снизить металлоемкость конструкций.
Формула Навье дает возможность сформулировать условие
прочности при чистом изгибе. Как обычно, оно состоит в требовании,
чтобы максимальные напряжения не превосходили допускаемых
значений. Максимальные напряжения возникнут, очевидно, в том
сечении, где действует наибольший изгибающий момент, и в тех
точках этого сечения, которые находятся на максимальном удалении
от нейтрального слоя. Следовательно, условие прочности имеет вид:
][
max
max
max
z
z
I
yM
или
][
max
max
z
z
W
M
(5.30)
Здесь W
z
– момент сопротивления сечения относительно
нейтральной оси (аналогично
W
р
при кручении).
Иногда при проверке условий прочности приходится учитывать, что
при изгибе одна часть материала испытывает растяжение, а другая -
сжатие. Для большинства материалов значения допускаемых
напряжений при сжатии [
]
сж
и растяжении []
р
различны. В этих
случаях условие (5.30) распадается на два:
min
[]
сж
и
max
[]
р
. В
первом из этих неравенств учтено, что при сжатии напряжения
отрицательны.
Если при чистом изгибе в поперечных сечениях возникают только
нормальные напряжения, то при плоском поперечном изгибе к ним
добавляются касательные, обусловленные действием поперечной
силы
Q
y
. Величина касательных напряжений также зависит от
расстояния до нейтрального слоя балки. Эта зависимость
описывается
формулой Журавского:
z
z
у
Iyb
ySQ
y
)(
)(
)(
(5.31)
В числителе этой формулы участвует еще одна геометрическая
характеристика поперечного сечения балки
– статический момент
S
z
(y) относительно нейтральной оси. Эта характеристика
определяется формулой:
113
)(
)(
yA
z
ydAyS
(5.32)
Под интегралом стоит произведение элемента площади dA на
расстояние до нейтральной оси, которое можно рассматривать как
момент элемента площади относительно оси
z (по аналогии с
моментом силы). Интегрирование в (5.32) ведется по той части
поперечного сечения, которая удалена от нейтральной оси больше,
чем на
у. Поэтому функция S
z
(y) равна нулю при у
max
, возрастает с
уменьшением расстояния
у (из-за увеличения площади
интегрирования) и достигает своего наибольшего значения при
у = 0.
Величина b(y) в (5.32) представляет собой ширину поперечного
сечения балки, которая также может меняться по его высоте.
Условия прочности при поперечном изгибе в дополнение к
(5.30) должны включать и ограничение на величину максимальных
касательных напряжений. С учетом сказанного выше о характере
изменения статического момента максимальные касательные
напряжения возникнут в центре (при
у = 0) того сечения, где действует
максимальная по абсолютной величине поперечная сила.
Следовательно, условие прочности по касательным напряжением
будет иметь вид:
][
)0(
)0(
max
max
z
zy
Ib
SQ
(5.33)
где [] – допускаемое касательное напряжение.
Таким образом, формулы Навье (5.29) и Журавского (5.31)
позволяют оценить величину нормальных и касательных напряжений
в любой точке материала балки, подверженной изгибу. При этом
формула (5.28) дает возможность рассчитать величину возникающих
деформаций. Однако, использовать последнюю формулу для
практических расчетов неудобно, поскольку непосредственно
измерять кривизну изогнутой оси балки довольно затруднительно. В
силу этого при оценке жесткости балок вместо кривизны ее оси
используются другие характеристики.
На рис. 37 показана балка, нагруженная сосредоточенной силой.
Под действием приложенной силы первоначально прямая ось балки
искривляется. Перемещения изогнутой оси в произвольном сечении
характеризуются
прогибом у и углом поворота сечения . Прогиб
представляет собой величину смещения центра сечения от своего
первоначального положения. Величина
- угол, на который
повернулось сечение вокруг нейтральной оси после приложения
внешних нагрузок. И прогиб и угол поворота являются функциями
114
продольной координаты: у = у(х);
=
(х). В каждом сечении обе
характеристики перемещений связаны между собой соотношением:
)(
)(
x
dx
xdy
(5.34)
Преобразуем формулу (5.28) так, чтобы вместо кривизны она
содержала только что рассмотренные характеристики. Для этого
воспользуемся известным из математики выражением для кривизны
плоской кривой
у = у(х):
2
3
2
2
2
1
1
dx
dy
dx
yd
r
.
Углы поворота при эксплуатации химического оборудования по
порядку величины не превышают 10
-2
рад. Поэтому в знаменателе
приведенного выражения вторым слагаемым можно пренебречь.
Следовательно, кривизна изогнутой оси балки целиком определяется
второй производной от прогиба:
2
2
1
dx
yd
r
(5.35)
Подставив правую часть этого равенства в (5.28), получим уравнение
Рисунок 37
θ
A
A
r
y
A
x
ℓ
x
F
θ
A
O
y
115
z
z
EI
xM
dx
yd
)(
2
2
, (5.36)
которое носит название дифференциального уравнения изогнутой
оси балки
. Для его интегрирования необходимо знать явный вид
зависимости изгибающего момента
M
z
(x) от продольной координаты.
Согласно методу мысленных поперечных сечений изгибающий
момент в некотором сечении определяется характером и величиной
внешних нагрузок. Пусть на балку действует набор сосредоточенных
сил
F
i
, сосредоточенных моментов М
i
и распределенных нагрузок
q
i
. Будем отсчитывать продольную координату х от крайнего левого
сечения. Тогда каждой сосредоточенной силе будет соответствовать
координата
a
Fi
сечения, к которому она приложена. Аналогично
каждому моменту
М
i
отвечает координата a
Mi
, а каждой
распределенной нагрузке
– две координаты
н
qi
a
и
к
qi
a
- начала и конца
участка ее действия. Рассмотрим сечение балки с некоторым
фиксированным значением
х. Согласно методу поперечных сечений,
внутренний изгибающий момент в рассматриваемом сечении должен
иметь такую величину, которая уравновесит сумму моментов,
обусловленную действием всех внешних нагрузок, приложенных к
балке по левую или правую сторону от сечения. Следовательно,
момент
M
z
(x) в сечении равен алгебраической сумме моментов
относительно данного сечения тех нагрузок, координата приложения
которых меньше значения
х:
xa
к
qii
xa
н
qii
xa
Fii
xa
Miiz
qiqiFiMi
axqaxqaxFaxMxM
220
)(
2
1
)(
2
1
)()()(
.
Выбор знаков каждого слагаемого в этом выражении вытекает из вида
дифференциального уравнения изогнутой оси балки (5.36). Согласно
этому уравнению знак момента и второй производной от прогиба один
и тот же. В свою очередь, как известно из математики, знак второй
производной определяет направление кривизны плоской кривой.
Следовательно, если некоторая внешняя нагрузка пытается изогнуть
балку выпуклостью вверх, то соответствующее слагаемое берется со
знаком минус (вторая производная меньше нуля). Если нагрузка
пытается придать балке кривизну выпуклостью вниз (вторая
производная положительна), то слагаемое берется со знаком плюс.
Подставим выражение для момента
M
z
(x) в уравнение (5.36) и
проинтегрируем один раз. Слева получим первую производную от
прогиба, которая в силу (5.34) равна углу поворота сечения
(х).
Справа однократное интегрирование даст первообразную степенной
функции:
116
xa
к
qii
xa
н
qii
xa
Fii
xa
Mii
z
qiqiFiMi
axqaxqaxFaxM
EI
x
332
0
)(
6
1
)(
6
1
)(
2
1
)(
1
)(
(5.37)
Величина
0
представляет собой угол поворота крайнего левого
сечения балки, т. е.
0
=
(0).
Соотношение (5.37) позволяет по заданным внешним усилиям
рассчитать угол поворота
для любого сечения. Повторное
интегрирование приведет к аналогичному соотношению для прогиба:
xa
к
qii
xa
н
qii
xa
Fii
xa
Mii
z
qiqiFiMi
axqaxqaxFaxM
EI
xyxy
4432
00
)(
24
1
)(
24
1
)(
6
1
)(
2
11
)(
(5.38)
Здесь у
0
– прогиб в крайнем левом сечении балки, т. е. у
0
= у(0).
Последнее соотношение позволяет определить прогиб в любом
сечении балки. Величины
0
и у
0
называются начальными
параметрами
. Их численные значения зависят от способа
закрепления балки. В частности, если ее левый конец жестко
защемлен, то оба начальных параметра равны нулю.
Соотношения (5.37) и (5.38) называются
универсальными
уравнениями оси балки
, изогнутой заданными внешними нагрузками.
Они лежат в основе расчетов на жесткость при изгибе. Условия
жесткости при этом вытекают из ограничений на максимальные
перемещения:
У
max
[y];
max
[] (5.39)
Величины допускаемых прогибов [y] и углов поворота [] принимаются
в соответствии со справочной литературой или нормами,
основанными на опыте эксплуатации данного класса оборудования.
Так, для валов перемешивающих устройств в аппаратах, работающих
при повышенном давлении, прогиб вала на участке сальникового
уплотнения не должен превышать [
y] = 0.5 мм для обеспечения
герметичности. Допускаемое значение угла поворота [
] при
установке вала в подшипниках качения не должно превосходить
0.01 рад., а при установке в подшипниках скольжения 0.001 рад.
Большие значения углов поворота приведут к резкому сокращению
сроков службы деталей подшипников.
117
5.8. Основные механические характеристики конструкционных
материалов
Численные значения допускаемых напряжений, участвующих в
расчетах по критерию прочности, определяются, в первую очередь,
механическими свойствами конструкционных материалов. Расчеты
по другим критериям работоспособности также необходимым образом
учитывают целый ряд механических характеристик материалов.
Важнейшими свойствами материалов с точки зрения их
использования при изготовлении химического оборудования являются
следующие:
- прочность – способность сопротивляться нагрузкам без
разрушения;
- упругость – способность восстанавливать первоначальные размеры
и форму после снятия нагрузки;
- пластичность – способность получать, не разрушаясь,
значительную остаточную деформацию после снятия нагрузки;
противоположное свойство называют
хрупкостью;
-
твердость – способность сопротивляться при местных контактных
воздействиях пластической деформации или хрупкому разрушению в
поверхностном слое;
- выносливость – способность сопротивляться разрушению от
усталости, т. е. возникновению и развитию трещин под влиянием
многократно повторяющихся нагружений.
В зависимости от назначения элемента оборудования и характера
нагрузок, которые он испытывает, в расчетах учитывают не все, а
лишь отдельные из перечисленных механических свойств. Так, при
конструировании опорных устройств оборудования, работающих
преимущественно на сжатие, определяющую роль играет высокая
прочность материала при сжатии, для элементов крепежа (болтов,
шпилек) фланцевых соединений аппаратов, работающих при
повышенном давлении, наиболее важным свойством является
высокая прочность материала при растяжении, для валов
компрессоров основное свойство материала
– выносливость.
Каждому свойству конструкционного материала соответствует
определенная количественная характеристика. Численные значения
таких характеристик для конкретного материала находятся по
результатам специальных испытаний. Наиболее распространенным
испытанием материалов является испытание их на растяжение. Оно
позволяет получить количественные характеристики прочности,
упругости и пластичности, которые к тому же дают достаточное точное
представление о поведении материала при других видах деформации:
сжатии, сдвиге, кручении и изгибе.
Испытания на растяжение проводят на особых разрывных машинах
с использованием стандартных образцов, изготовленных из
118
испытываемого материала. Разрывные машины нагружают образец
медленно возрастающей (статической) нагрузкой от нуля до
величины, разрушающей образец. Во время испытания фиксируется
зависимость абсолютного удлинения образца
l от величины
растягивающей силы
F. График этой зависимости носит название
диаграммы растяжения. По оси ординат в определенном масштабе
откладывается величина силы в различные моменты испытания, а по
оси абсцисс
– величина абсолютного удлинения.
На рис. 38 показана диаграмма растяжения, характерная для
малоуглеродистых сталей. Из нее видно, что поведение материала
при растяжении на разных стадиях испытания совершенно различно.
В начале нагружения при сравнительно малых значениях
растягивающей силы диаграмма линейна: здесь удлинение образца
пропорционально силе
F. Следовательно, в этой области деформаций
справедлив закон Гука (5.10). Деформации имеют упругий характер и
практически полностью исчезают после снятия нагрузки. Границе
области линейной зависимости
l(F) соответствует определенное
значение растягивающей силы
F
пц
. Указанное значение зависит,
конечно, не только от свойств материала, но и от размеров образца.
Чтобы исключить зависимость от размера образца, силу
F
пц
относят к
первоначальной площади поперечного сечения А
0
образца. Согласно
(5.8), в результате получится напряжение, которое принято
обозначать
пц
и которое называется пределом
пропорциональности:
пц
= F
пц
/ А
0
.
Таким образом, пределом пропорциональности называется то
наибольшее напряжение, до которого деформации в материале
растут пропорционально напряжениям, т. е. справедлив закон Гука
.
Предел пропорциональности представляет собой первую
Рисунок 38
Δ
F
F
max
F
к
F
пц
F
у
F
т
Δ
у
Δ
0,05
Δ
ост
119
количественную характеристику, отвечающую упругим свойствам
конструкционного материала.
Следующая характерная точка диаграммы растяжения
соответствует началу появления в материале первых остаточных
деформаций. Этой точке отвечает значение растягивающей силы
F
у
(рис. 38) и напряжение в материале
у
= F
у
/ А
0
, которое называется
пределом упругости. При достижении предела упругости
относительная деформация не превышает 0.002
÷ 0.005 %. Для
большинства материалов предел упругости мало отличается от
предела пропорциональности.
При дальнейшем увеличении нагрузки
F зависимость
l(F) резко
меняется. Удлинение образца начинает расти почти без увеличения
силы (образец испытывает пластическое деформирование
– «течет»).
Это явление называется
текучестью. Площадке текучести
(горизонтальному участку диаграммы растяжения, рис. 38) отвечает
значение силы
F
т
и напряжение в материале
т
= F
т
/ А
0
, которое
называется
пределом текучести. Предел текучести является одной
из важнейших механических характеристик конструкционных
материалов, поскольку его превышение приводит к недопустимым
остаточным деформациям и выходу из строя оборудования.
За пределом текучести материал вновь начинает оказывать
сопротивление деформации. Однако характер зависимости
l(F)
совсем другой, чем в области упругих деформаций. Остаточные
деформации быстро нарастают с увеличением нагрузки, которая в
некоторой точке достигает своего максимального значения
F
max
. С
этого момента начинается процесс разрушения образца. Поэтому
напряжение, отвечающее этому значению нагрузки, называется
пределом прочности:
пч
= F
max
/ А
0
. Часто эту характеристику
материала называют временным сопротивлением и обозначают
в
.
Процесс разрушения на диаграмме растяжения описывается
нисходящей ветвью. Он начинается с образования местного сужения
образца, называемого шейкой. Деформации теперь происходят в
основном здесь. Они приводят к быстрому уменьшению поперечного
сечения в районе шейки и разрыву образца. По силе
F
к
в момент
разрыва (рис. 38) и площади поперечного сечения А
к
образца в месте
его разрушения можно определить напряжение в материале в момент
его разрушения:
к
= F
к
/ А
к
. Это напряжение иногда называют
истинным пределом прочности.
Предел текучести и предел прочности, найденные по результатам
испытаний на растяжение, служат для определения численных
значений допускаемых напряжений, входящих в условия прочности. В
случае пластичных материалов допускаемое напряжение
определяется через предел текучести: [
] =
т
/ n
т
. Коэффициент n
т
называется коэффициентом запаса текучести, величина которого
120
регламентируется государственными стандартами. Для хрупких
материалов в качестве предельного напряжения используется предел
прочности: [
] =
пч
/ n
пч
.
Судить о том, является материал хрупким или пластичным
позволяют численные значения других характеристик: относительного
удлинения и относительного сужения.
Относительное удлинение
после разрыва
образца определяется соотношением:
%100
0
0
l
ll
k
,
где l
к
– длина образца после разрыва, l
0
– длина в начале испытания.
Относительное сужение после разрыва определяется по
площади сечения
А
к
в месте разрыва образца:
%100
0
0
А
АА
k
.
Чем больше две последние характеристики, тем материал
пластичнее. Примерами пластичных материалов могут служить
малоуглеродистая сталь, медь, свинец. Для них относительное
удлинение δ > 5 %. Чем ниже эти характеристики, тем более хрупок
материал. Примерами хрупких материалов являются закаленная
сталь, чугун, стекло. Для них относительное удлинение δ < 5 %.
Испытания, о которых шла речь, обычно проводятся при комнатной
температуре. Однако, пластичность материала, а также
характеристики его механических свойств сильно зависят от
температуры, а также от других факторов: термической обработки,
химического состава, времени испытания. У большинства материалов
с повышением температуры повышается пластичность и понижается
прочность. При низких температурах, наоборот, характеристики
пластичности сильно снижаются. Многие марки стали, например,
становятся более хрупкими и хладноломкими особенно при
динамическом нагружении. В связи с этим для каждого материала
имеется предельная температура, ниже которой его применение
становится недопустимым.
При высоких температурах начинает заметно проявляться еще
одно свойство материалов
– ползучесть, т. е. появление и рост с
течением времени пластических деформаций при напряжениях
значительно ниже предела текучести, полученного при статических
испытаниях. Количественной характеристикой этого свойства
является
предел ползучести, которым называется то наибольшее
рабочее напряжение, при котором деформация материала при данной