Луцко А.Н., Марцулевич Н.А. и др. Механика
Подождите немного. Документ загружается.
151
давлением, равна произведению величины давления на площадь его
действия. Аналогично сила, обусловленная напряжением, равна
произведению величины напряжения на площадь его действия. В
результате уравнение равновесия будет иметь вид:
0
2
sin2
2
sin)(
2
sin
d
sdl
d
sdd
d
sdldlpdl
mttmmtmtm
.
Преобразуем это уравнение с учетом следующих соображений. В силу
малости углов
θ и φ значения синусов близки к значению своих
аргументов:
22
sin
dd
и
22
sin
dd
.
Кроме того, длины дуг dl
m
и dl
t
связаны с углами θ и φ через
соответствующие радиусы кривизны:
drdl
mm
и
drdl
tt
.
После подстановки правых частей этих соотношений в уравнение
равновесия выделенного элемента оболочки последнее запишется
следующим образом:
02/)(2/
ddsrddsrdddsrddrpr
mttmmtmtm
.
Сокращая на dθdφ и отбрасывая величины второго порядка малости,
в итоге получим следующее уравнение:
t
t
m
m
rrs
p
. (7.2)
Это уравнение носит название уравнения Лапласа. Оно связывает
значения меридионального и тангенциального напряжений в данной
точке тонкостенной оболочки с ее геометрическими параметрами и
действующим внутренним давлением.
Одного уравнения Лапласа недостаточно для определения двух
неизвестных функций
σ
m
и σ
t
. Однако некоторые общие выводы уже
можно сделать. В частности, если имеется оболочка переменной
кривизны, то напряжения в ней будут достигать своих максимальных
значений там, где главные радиусы кривизны принимают свои
наибольшие значения (т. е. там, где кривизна оболочки наименьшая).
152
Еще одним следствием, вытекающим из вида уравнения (7.2),
является равенство меридиональных и тангенциальных напряжений в
тех точках оболочки, в которых радиусы кривизны
r
m
и r
t
имеют
одинаковые значения. Это имеет место, например, для сферических
оболочек. В таких оболочках первый и второй главные радиусы
кривизны совпадают и равны радиусу
R самой оболочки. Напряжения
σ
m
и σ
t
также одинаковы: σ
m
= σ
t
= σ. Следовательно, для сферических
оболочек уравнение Лапласа будет содержать только одну
неизвестную функцию:
R
s
p
2
. (7.3)
Отсюда нетрудно определить напряжения, возникающие в материале
сферической оболочки известного диаметра, если известны толщина
стенки и величина внутреннего давления.
Пусть, например, требуется определить напряжения в
сферическом резервуаре диаметром
D = 4 м и толщиной стенки s = 12
мм, предназначенном для хранения сжиженного пропана. Давление в
резервуаре
p = 2.0 МПа. Выразим из формулы (7.3) напряжение σ и
подставим значения всех заданных величин, переведя их в единицы
измерения системы СИ:
7.166
10
12
4
41020
4
3
5
s
pD
МПа.
Таким образом, для сферических оболочек уравнения Лапласа
достаточно для анализа напряженного состояния материала, из
которого они изготовлены. Для оболочек другого вида в дополнение к
уравнению Лапласа требуется еще одно уравнение для нахождения
напряжений. Выведем его, рассмотрев равновесие верхней части
оболочки (рис. 46, б), полученную в результате ее мысленного
сечения нормальным коническим сечением. Она находится в
равновесии под действием двух сил: силы внутреннего давления и
результирующей меридиональных напряжений. Приравнивая осевые
составляющие указанных сил, получим:
cos2
2
mср
srrp
.
Для тонкостенных оболочек значения радиуса срединной поверхности
и внутреннего радиуса оболочки мало отличаются друг от друга.
Поэтому
r ≈ r
ср
= r
t
cos α и предыдущее равенство можно записать в
виде:
153
s
pr
t
m
2
. (7.4)
Полученное уравнение называется дополнительным
уравнением
. Вместе с уравнением Лапласа (7.2) оно позволяет
получить расчетные зависимости для напряжений в типовых
оболочках, а также сформулировать условия прочности для них.
7.3. Расчет на прочность типовых оболочек
Применим уравнения (7.2) и (7.4) последовательно к типовым
оболочкам, рассмотренным в подразделе 7.1. Начнем с конической и
цилиндрической оболочек, поскольку они имеют наиболее широкое
применение. Чаще всего они используются при изготовлении
обечаек,
которыми называются цилиндрические или конические барабаны из
листового материала, открытые с торцов и применяемые в качестве
заготовок для сосудов, аппаратов и трубопроводов.
Исходными при анализе напряженного состояния указанных
оболочек является система уравнений, выведенных в предыдущем
подразделе:
t
t
m
m
rrs
p
;
s
pr
t
m
2
.
Для конической оболочки r
m
= ∞. Поэтому первое слагаемое в
уравнении Лапласа обращается в нуль. Следовательно, в каждой
точке конической оболочки меридиональное и тангенциальное
напряжения могут быть вычислены по формулам:
s
pr
t
t
;
s
pr
t
m
2
(7.5)
Из этих соотношений видно, что тангенциальные напряжения,
действующие в осевых сечениях конической оболочки, в два раза
больше меридиональных напряжений, действующих в поперечных
сечениях оболочки. Поэтому продольные сварные швы более
нагружены, чем поперечные.
Согласно сделанным в подразделе 7.2 предположениям,
поперечные силы, а, значит, и касательные напряжения в сечениях, в
которых действуют
σ
m
и σ
t
, отсутствуют. Поэтому напряжения σ
m
и σ
t
являются главными напряжениями. Третье главное напряжение σ
r
,
действующее в радиальном направлении, по порядку величины равно
внутреннему давлению
р: σ
r
~ р. С другой стороны, как видно из (7.5),
154
условие тонкостенности оболочки (7.1) приводит к тому, что σ
m
» р
и σ
t
» р. Следовательно, допустимо считать главное напряжение σ
r
пренебрежимо малым по сравнению с двумя другими.
Таким образом, материал тонкостенной конической оболочки
находится в плоском напряженном состоянии. Первым (наибольшим)
главным напряжением является напряжение
σ
t
, вторым (средним по
величине) главным напряжением является напряжение
σ
m
и, наконец,
третье (наименьшее) главное напряжение
σ
r
≈ 0. Для формулировки
условия прочности в зависимости от свойств применяемого материала
необходимо воспользоваться одной из теорий прочности (см.
предыдущий раздел). Но прежде следует выяснить, где именно в
конической оболочке напряжения достигают наибольших значений.
В формулы (7.5) для напряжений входит второй главный радиус
кривизны
r
t
. Для конических оболочек его величина меняется,
увеличиваясь по мере приближения к большему основанию конуса
(рис. 45, д). Его максимальное значение равно
r
t
= D
k
/ 2 cos α, где α –
угол конусности оболочки. Следовательно, максимальные значения
напряжений согласно (7.5) определяются выражениями:
cos
2
max
s
pD
k
t
;
cos
4
max
s
pD
k
m
(7.6)
При изготовлении конических обечаек из хрупких материалов или
пластичных материалов, но с хрупким покрытием их расчет
выполняется по первой теории прочности. Она исходит из
предположения (см. подраздел 6.2), что опасное состояние наступает
в тот момент, когда наибольшее нормальное напряжение достигает
предельного значения. В данном случае эквивалентное напряжение
(6.10) будет равно тангенциальному напряжению
σ
t
, а условие
прочности примет вид:
cos
2
max
s
pD
k
t
(7.7)
Расчет конических оболочек из пластичных материалов
выполняется по третьей гипотезе прочности. Эквивалентное
напряжение по этой гипотезе определяется соотношением (6.12):
σ
экв
= σ
1
– σ
3
.
В нашем случае σ
3
= σ
r
≈ 0. Поэтому условие прочности σ
1
– σ
3
≤ [σ] по
третьей гипотезе прочности для конических оболочек будет иметь вид,
совпадающий с (7.7).
155
Если обечайка изготавливается с применением сварки или пайки,
то в условие прочности вводится
коэффициент прочности сварного
шва
φ ≤ 1. Этот коэффициент учитывает некоторое ухудшение
механических характеристик материала сварных и паяных соединений
по сравнению с характеристиками основного металла. Величина
коэффициента прочности сварного шва регламентирована
государственными стандартами. Она зависит от назначения аппарата,
конструкции сварного или паяного соединения, способа сварки или
пайки. С учетом коэффициента φ условие прочности конических
оболочек запишется следующим образом:
cos
2
s
pD
k
. (7.8)
Так же как и для элементов оборудования с расчетной схемой
стержня, условие прочности для оболочек лежит в основе трех видов
инженерных расчетов: проектного, поверочного и нагрузочного. При
проектном расчете целью расчета является определение толщины
стенки, необходимой для обеспечения прочности. Поэтому при этом
виде расчета неравенство (7.8) следует решить относительно
величины
s:
cos][2
k
pD
s
. (7.9)
Полученное значение является минимально необходимым. Однако
при выборе исполнительной толщины стенки к расчетному значению
следует добавить прибавку С
1
на компенсацию коррозии, а также
прибавку С
2
до стандартной толщины листового проката.
При
проверочном расчете для известных условий эксплуатации
аппарата проверяется выполнение неравенства (7.8). Наконец, при
нагрузочном расчете это неравенство решается относительно
внутреннего давления
р:
k
D
s
р
cos][2
(7.10)
Полученное значение давления является предельным для данной
геометрии оболочки (ее толщине, диаметре, угле конусности) и
материала, из которого она изготовлена.
Все приведенные формулы для конических оболочек справедливы
при угле конусности
α ≤ 60
0
. Обечайки с большим углом конусности по
156
своим свойствам ближе плоским оболочкам, и для их расчета
требуются другие зависимости.
Цилиндрическая оболочка (рис. 45, в) представляет собой частный
случай конической. Если во всех предыдущих формулах, начиная с
формулы (7.6), положить
α = 0, то нетрудно получить условие
прочности для цилиндрических оболочек:
s
pD
2
, (7.11)
формулу для определения расчетной толщины стенки:
][2
pD
s
(7.12)
и формулу для определения предельного давления:
D
s
р
][2
. (7.13)
Различие в напряженных состояниях цилиндрических и конических
оболочек связано с тем, что в каждой точке первых напряженное
состояние одинаково, тогда как в конических оболочках напряжения
растут по мере возрастания диаметра.
Составим теперь условие прочности для эллиптической оболочки
(рис. 45, б). Оболочки этого типа широко применяются в качестве
крышек и днищ технологических аппаратов. Эллиптическая оболочка
имеет переменную кривизну. Следовательно, величина напряжений в
различных ее точках также различна. В силу замечания, сделанного
после вывода уравнения Лапласа, наиболее нагруженной точкой
оболочки при действии внутреннего давления является вершина
(полюс) эллипсоида
В. Поэтому условие прочности должно быть
составлено именно для этой области.
Из математики известно, что в полюсе эллипсоида радиусы
кривизны
r
m
и r
t
одинаковы и равны отношению a
2
/ b, где a и b –
полуоси эллипсоида. В стандартных днищах технологических
аппаратов отношение полуосей равно двум. Поэтому в полюсе
эллиптической оболочки
r
m
= r
t
= D (рис. 45, б). Следовательно, в
окрестности полюса поверхность эллипсоида можно приближенно
рассматривать как поверхность сферы радиуса
D. Напряжения в
сферической оболочке можно получить из соотношения (7.3). Так что
в наиболее нагруженной точке эллиптической оболочки
157
тангенциальное и меридиональное напряжения вычисляются по
формуле:
s
pD
mt
2
. (7.14)
Условие прочности для эллиптической оболочки тогда будет иметь
вид:
s
pD
2
, (7.15)
а расчетная толщина стенки и предельное давление оцениваются
следующими величинами:
][2
pD
s
,
D
s
p
][2
. (7.16)
Нетрудно видеть (см. формулу (7.12)), что расчетные толщины стенок
у эллиптической и цилиндрической оболочек совпадают. Именно
равностенностью свариваемых между собой указанных оболочек,
обеспечивающих высокое качество сварного шва, объясняется
упомянутое выше для стандартных эллиптических днищ соотношение
полуосей
a / b = 2.
7.4. Расчет на прочность плоских крышек и днищ
Плоские крышки и днища (пластины) широко применяются в
конструкциях машин и аппаратов, благодаря простоте и относительно
низкой стоимости их изготовления.
Под действием внутреннего давления
р, нормального к срединной
поверхности, пластина изгибается и приобретает кривизну
одновременно в двух плоскостях, образуя слабо изогнутую
поверхность двоякой кривизны (оболочку). Если прогиб пластины
значительно меньше ее толщины (как это и бывает в технологических
аппаратах), то напряжения, возникающие в материале, будут
обусловлены, главным образом, изгибающими моментами.
Отличны от нуля изгибающие моменты
М
t
и М
r
в тангенциальном
и радиальном направлениях. В этих же направлениях действуют
нормальные напряжения
σ
t
и σ
r
. Связь между напряжениями и
изгибающими моментами в пластинах имеет ту же физическую
природу, что и в стержнях, подверженных изгибу (см. подраздел 5.7).
Зависимость изгибающих моментов
М
t
и М
r
от радиальной
координаты в жестко защемленной круглой пластине приведена на
158
рис. 47 в виде соответствующих эпюр. Здесь μ – коэффициент
Пуассона, который для сталей равен 0.25
÷ 0.3.
Несложный анализ показывает, что опасным сечением в данном
случае является кольцевое сечение в заделке оболочки, поскольку в
этом сечении действует максимальный по величине изгибающий
момент
М
r
, равный pD
2
/ 32. Размерность этой величины может быть
записана следующим образом: Н м
2
/м
2
= Н м / м. Отсюда видно, что
момент
М
r
отнесен к единице длины кругового контура. Изгибающий
момент вызывает напряжения в материале, которые определяются
формулой Навье (5.29). Их максимальное значение достигается на
поверхности пластины, и оно равно:
2 μpD
2
64
pD
2
(1+μ)
64
Рисунок 47
r
z
D
М
t
М
r
pD
2
(1+μ)
64
2pD
2
64
p
s
пл
159
I
yM
maxmax
max
.
Здесь y
max
= s/2 – максимальное расстояние до срединной
поверхности;
I = s
3
/12 – момент инерции, также отнесенный к
единице длины кругового контура вдоль заделки оболочки.
Подставив значения максимального момента, момента инерции I и
расстояния
y
max
в предыдущую формулу, для максимального
напряжения, действующего в опасном сечении, получаем:
2
2
2
2
max
19.0
6
32
s
pD
s
pD
r
(7.17)
Для составления условий прочности отметим, что пластина при
действии внутреннего давления испытывает двухосное напряженное
состояние. Первым главным напряжением в опасном сечении
является напряжение
σ
r
, вторым главным напряжением - σ
t
, а третье
σ
m
пренебрежимо мало по сравнению с первыми двумя. Первая (для
хрупких материалов) и третья (для пластичных материалов) гипотезы
прочности приводят, как и в отношении оболочек другого типа, к одной
и той же форме условия прочности:
2
2
19.0
s
pD
, (7.18)
из которого для расчетного значения толщины оболочки вытекает
следующее соотношение:
][
19.0
p
Ds
(7.19)
Интересно сравнить расчетную толщину оболочек различного типа,
необходимую для обеспечения условия прочности, при одних и тех же
условиях (внутреннем давлении, диаметре, механических свойствах
материала). Пусть, например, диаметр оболочки равен 2 м,
допускаемое напряжение 140 МПа, коэффициент прочности сварного
шва 0.9 и внутреннее давление 50 атм. Тогда для сферической
оболочки, используя формулу (7.3) и заменяя в ней σ на допускаемое
напряжение, получим для s значение 0.79 см. Для эллиптической и
цилиндрической оболочек по формулам (7.16) и (7.12) получим
значение расчетной толщины стенки в два раза больше: 1.59 см.
Формула (7.9) для конической оболочки даст величину 2.25 см.
160
Наконец, при тех же условиях для плоской оболочки с помощью
соотношения (7.19) придем к значению 17.4 см.
Таким образом, использование плоских оболочек при изготовлении
технологических аппаратов, работающих при избыточном давлении,
связано с вынужденным применением стальных листов большой
толщины. В этом состоит недостаток плоских оболочек.
7.5. Устойчивость тонкостенных оболочек под действием наружного
давления
Тонкостенные элементы корпусов аппаратов под действием
внешних нагрузок, вызывающих сжатие стенок, могут
потерять
устойчивость
первоначальной геометрической формы (искривиться,
сплющиться, образовать складки и т. п., рис. 48). К нагрузкам,
способным вызвать потерю устойчивости обычно относятся вес
аппарата, его внутренних устройств и рабочей среды; ветровая и
снеговая нагрузка, если аппарат установлен вне помещения на
открытой площадке; наружное сжимающее давление, если аппарат
снабжен теплообменной рубашкой с греющим паром высокого
давления или работает под вакуумом (при пониженном давлении).
Ниже рассмотрена устойчивость оболочек только для последнего
случая, как наиболее распространенного.
Нарушение работоспособности оболочек, связанное с потерей
устойчивости, происходит при достижении сжимающими нагрузками
(наружного давления) некоторого
критического значения. По своей
физической природе потеря устойчивости оболочек во многом схожа с
потерей устойчивости прямолинейных стержней при воздействии
осевых сжимающих сил (см. подраздел 5.10). Она состоит во
внезапном скачкообразном изменении геометрической формы.
Минимальное наружное давление, приводящее к потере
устойчивости, называется
критическим (сравните с критической
силой, вычисляемой по формуле Эйлера (5.46)).
Поскольку любую оболочку вращения можно представить как набор
взаимосвязанных колец, первой стадией расчета оболочек на
устойчивость является расчет на устойчивость колец (рис. 48, б). Этот
вопрос представляет и самостоятельный интерес, т. к. корпуса
технологических аппаратов очень часто снабжаются
кольцами
жесткости
для увеличения несущей способности оболочек.
Задача на устойчивость колец формулируется следующим
образом. Пусть известны параметры кольца: средний радиус
r
ср
,
момент инерции поперечного сечения I, модуль продольной упругости
материала
Е. Кольцо нагружено внешней обжимающей нагрузкой q,
величина которой отнесена к единице длины кольца. Так что q
представляет собой распределенную нагрузку с размерностью Н/м.
При небольших значениях обжимающей нагрузки кольцо сохраняет