Лубенцова В.С. Математические модели и методы в логистике

Подождите немного. Документ загружается.

130

ента выпуска можно моделировать, используя информацию о рас-

пределении наработки на отказ агрегатов автомобиля. Под отказом

агрегата здесь следует понимать замену неисправной детали, входя-

щей в данный агрегат, в ходе текущего ремонта, которая требует раз-

борки агрегата и приводит к целодневным простоям автомобиля в

текущем ремонте. Статистическая информация об отказах агрегатов

может быть получена на АТП из имеющейся отчетности.

Интенсивность

(

)

λ «исправен – исправен, простаивает по ор-

ганизационным причинам (нет водителя, нет шин, бездорожье и т.

п.)» можно принять постоянной величиной, зависящей от времени

простоя автомобилей по организационным причинам. Определяются

дни простоя по организационным причинам на основании статисти-

ческой отчетности АТП. При установлении конкретной величины

(

)

λ необходимо проанализировать простои автомобилей по при-

чинам отсутствия работы, водителя, необеспеченности шинами, топ-

ливом, запасными частями и так далее, и разработать мероприятия

по снижению или устранению этих простоев.

Интенсивность

(

)

λ «исправен – снятие агрегата для отправки

его в КР» (агрегатный метод ремонта) определяется по формуле

( ) ( )

λϕ

∑∑

, (7.18)

где

(

)

ϕ – плотность распределения наработки до k-го капиталь-

ного ремонта агрегата, 1

=÷

; М – число учитываемых агрегатов

автомобиля. Величина

(

)

λ представляет собой параметр потока

отказов автомобиля, связанных с капитальным ремонтом (КР) его

агрегатов. Объясняющие уровень интенсивности

(

)

λ факторы –

параметры распределений пробегов до КР агрегатов автомобиля.

Интенсивность

(

)

λ «исправен – замена агрегата при списа-

нии» определяется по формуле

( ) ( )

λϕ

∑∑

(7.19)

где

(

)

ϕ – плотность распределения наработки до списания n-то

агрегата, М – число учитываемых агрегатов. Величина

(

)

λ пред-

ставляет собой параметр потока отказов автомобиля, связанных со

131

списанием его агрегатов.

Интенсивность

(

)

λ «исправен – исправен, не работает (вы-

ходные и праздничные дни)» можно принять постоянной величиной,

зависящей от времени простоя в выходные и праздничные дни. Учи-

тывая, что большинство организаций грузоотправителей и грузопо-

лучателей в указанные дни, как правило, не работают, важным меро-

приятием, влияющим на уровень

(

)

λ , является согласование с

грузоотправителями режима работы подвижного состава в местах

погрузочно-разгрузочных работ.

Интенсивность

(

)

λ «исправен – списание автомобиля» опре-

деляется по формуле

( )

(

)

( )

λ =

−

(7.20)

где

(

)

(

)

– функция и плотность распределения пробега ав-

томобиля до списания.

Объясняющими уровень

(

)

λ факторами являются параметры

распределения пробега автомобиля до списания.

Интенсивности восстановления

не зависят от пробега

и принимаются равными обратным величинам времени нахождения

автомобиля в КР и ТО-2 соответственно.

Интенсивность восстановления

определяется временем про-

стоя автомобиля в ТР. Потребность в ТР выявляется в результате на-

блюдения за работой автомобиля на линии, в процессе контрольно–

диагностических работ и выполнения ТО. Поскольку возникновение

неисправностей, устраняемых при ТР, относится к категории случай-

ных событий, то дать исчерпывающую конкретную количественную

характеристику данному виду ремонта не представляется возмож-

ным. Поэтому объем работ ТР и время на его проведение определя-

ются (планируются) посредством удельных норм трудоемкости и

времени простоя на 1000 км пробега. Нормативы удельного времени

простоя в ТР устанавливаются статистически для подвижного соста-

ва одного типа при пробеге с начала эксплуатации, составляющем

50-75% пробега до первого КР.

Данные нормативы объема работ и времени их выполнения кор-

ректируются в зависимости от пробега с начала эксплуатации. Время

простоя автомобиля за одну постановку его в ТР можно определить,

132

разделив нормативное время простоя в ТР на параметр (интенсив-

ность) потока отказов, связанных с ним, на одном и том же интерва-

ле пробега с начала эксплуатации автомобиля.

Рассчитанное таким образом время простоя автомобиля за одну

постановку его в ТР по интервалам пробега с начала эксплуатации

используется для определения интенсивности перехода «текущий

ремонт – исправен» на данных интервалах пробега

µ = , (7.21)

где

– время устранения одного отказа на j-м интервале.

Полученные результаты могут быть аппроксимированы. Ис-

пользуемые в данных расчетах нормативы простоя автомобиля в ТР

не учитывают фактическую обеспеченность АТП производственно-

технической базой, уровень организации ТО и ремонта и ряда других

факторов. Это снижает реальность прогноза коэффициента выпуска.

Поэтому в основу определения

(

)

µ целесообразно положить фак-

тические данные о времени простоя в ТР автомобилей исследуемого

АТП. Число отказов (заявочных ремонтов) автомобилей также уста-

навливается на основании статистической отчетности предприятия.

Фактическое время простоя автомобилей в ТР включает в себя и

время простоя в ожидании ремонта из-за отсутствия необходимых

запасных частей. Варьируя время простоя в ТР из-за отсутствия за-

пасных частей, а, значит, и величину

(

)

µ , можно количественно

оценить изменение величины коэффициента выпуска автомобилей

в зависимости от обеспеченности АТП запасными частями и про-

анализировать влияние снабжения АТП запасными частями на ко-

нечные результаты работы предприятия.

Интенсивности восстановления

(

)

µ ,

(

)

µ ,

(

)

µ ,

(

)

можно приять постоянными величинами, не зависящими от пробега

L и определять по фактическому времени простоя на основании ста-

тистических данных конкретного АТП.

Для прогнозирования производственной программы АТП необ-

ходима информация о технико-эксплуатационных показателях рабо-

ты подвижного состава. Эти данные получают по результатам моде-

лирования перевозочного процесса. Вся информация разделяется на

постоянную, используемую для всех АТП, и переменную, включаю-

133

щую данные для каждого конкретного предприятия. Выделяются два

вида информации: нормативно-справочная и статистическая. Резуль-

таты обработки первичной статистической информации используют-

ся для прогнозирования параметра и ведущей функции потока отка-

зов, коэффициента выпуска, которые, в свою очередь, образуют ин-

формационную базу для прогноза показателей производственной

программы АТП и прогноза потребности в материальных ресурсах,

необходимых для обеспечения прогнозируемой программы. При

этом характеристики нестационарного потока отказов представляют

собой постоянную информацию для АТП, имеющих близкие условия

эксплуатации, а коэффициент выпуска прогнозируется для каждого

конкретного парка дифференцированно по возрастным группам ав-

томобилей каждой марки.

Исходная информация отличается значительным разнообразием

и большим объемом. Решение задачи прогнозирования производст-

венной программы и необходимого материально-технического обес-

печения с последующей экономической оценкой затрат на производ-

ство транспортных услуг практически можно реализовать только с

использованием ЭВМ.

ЛЕКЦИЯ 15

7.5. Расчет коэффициента выпуска автомобилей

и коэффициента технической готовности

Вероятности состояний автомобиля

,,...,

PPP

как функции

пробега в случае марковского процесса с дискретными состояниями

и непрерывным временем удовлетворяют определенного вида диф-

ференциальным уравнениям (уравнениям Колмогорова), записывае-

мым в виде:

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

000

;

..........................

;

..........................

1...1,

ciii

LPLLPL

LPLin

λµ

−

∂

=−+



∂



∂



=−−

∂



∂



=−=−



∂



∑∑

(7.22)

134

где

(

)

– вероятность нахождения автомобиля в i-том состоянии,

(

)

λ – интенсивность перехода автомобиля из нулевого в i-тое со-

стояние,

(

)

µ – интенсивность перехода из i-того в нулевое со-

стояние,

– коэффициент, отражающий связь между наработками в

километрах пробега (среднесуточный пробег).

Число уравнений в системе ДУ (7.22) зависит от числа состоя-

ний автомобиля. Вероятность нахождения автомобиля в состоянии

«исправен, работает»

(

)

представляет собой коэффициент вы-

пуска

(

)

α , а сумма вероятностей

(

)

(

)

(

)

047

PLPLPL

++ – коэффи-

циент технической готовности автомобиля

ТГ

Поскольку большинство интенсивностей перехода зависят от

пробега, то решение системы (7.22) производится с помощью мето-

дов численного интегрирования.

Согласно расчётам, проведённым на основе статистических дан-

ных эксплуатации автомобиля, все потоки, переводящие автомобиль

из состояния в состояние, являются пуассоновскими или сводятся к

ним путём рассмотрения процесса эксплуатации на малых интерва-

лах пробега (1-2 тыс. км) и корректировки исходного потока отказов

деталей для исключения последствия. Таким образом, процесс, про-

текающий в системе, является марковским.

7.6. Описание процесса функционирования

группы автомобилей

Необходимо учесть, что для расчета производственной про-

граммы АТП необходимо зачастую определять показатели работы

группы автомобилей определенной модели jj-го возраста (коэффици-

ент выпуска и годовой пробег автомобиля jj-ой возрастной группы).

Для описания процессов, протекающих в системе транспортного об-

служивания, воспользуемся специальным математическим аппара-

том – теорией непрерывных марковских цепей. Этот аппарат даёт

возможность составить линейные дифференциальные уравнения для

вероятностей состояний, а также линейные алгебраические уравне-

ния для предельных вероятностей состояний, отражающих относи-

тельное время пребывания в каждом из них.

В случаях, когда число состояний велико, и требуется найти

средние значения характеристик процесса, используют «метод дина-

135

мики средних». Удобство его заключается в том, что, зная возмож-

ные состояния одного (условного) автомобиля, можно моделировать

процесс функционирования группы из любого числа автомобилей.

Схема, изображающая процесс работы условного автомобиля

определенной модели, аналогична схеме (рис. 7.2) лишь с той разни-

цей, что через

обозначены средние интенсивности потоков

событий, переводящих группу автомобилей из состояния

в со-

стояние

и наоборот. При этом каждое состояние характеризуется

средней численностью автомобилей

(

)

, находящихся в нем в

момент времени t.. Очевидно, что для любого t сумма численностей

всех состояний равна общей численности автомобилей исследуемой

группы:

()

NNt

∑

. (7.23)

Величина

(

)

для любого t представляет собой случайную вели-

чину, а вообще, при меняющемся t – случайную функцию времени.

Зная граф состояний и соответствующие интенсивности пере-

хода

, определим средние численности автомобилей

(

)

(

)

(

)

(

)

012

,,,...,

NLNLNLNL

как функции пробега L.

Согласно графу состояний система дифференциальных уравне-

ний для средних численностей состояний запишется следующим об-

разом:

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

000

0000

..........................

ciii

NLLLNL

NLLPLLNL

NLL

λµ

−

∂

=−+



∂



∂



=−−

∂



∂



=−



∂



∑∑

(7.24)

Отношение

(

)

равно коэффициенту выпуска автомобилей опре-

деленной модели на пробеге L с начала их эксплуатации, а отноше-

136

ние

(

)

(

)

(

)

047

NLNLNL

++



– коэффициенту технической готов-

ности автомобилей.

Рассмотрим все потоки событий, переводящие условный авто-

мобиль из состояния в состояние. Характер потока отказов автомо-

биля, переводящего условный автомобиль из состояния «исправен,

работает» в состояние «находится в текущем ремонте», не изменяет-

ся. При определении его величины учитывается возрастная структу-

ра автомобилей данной модели.

Как указывалось, наработка до первого капитального ремонта

автомобиля подчиняется нормальному закону распределения с коэф-

фициентом вариации 0,1 – 0,33. Вместе с тем следует отметить зна-

чительное абсолютное рассеивание пробегов до первого капитально-

го ремонта автомобиля в исследуемых группах подвижного состава.

Размах между минимальным и максимальным пробегами может

составить примерно пробег, равный среднему пробегу до первого

капитального ремонта этих автомобилей.

Таким образом, поток событий, который переводит автомобиль

в состояние «капитальный ремонт», протекает на значительном ин-

тервале пробега. В этом потоке интенсивность

(

)

λ (среднее число

событий в единицу пробега) зависит от пробега, то есть поток явля-

ется нестационарным.

Очевидно, на малом интервале пробега автомобиля (1-2 тыс. км)

интенсивность

(

)

λ меняется сравнительно медленно. В этом слу-

чае закон распределения наработки до капитального ремонта можно

приближенно считать показательным, а интенсивность

(

)

λ при-

нимать равной среднему значению

(

)

λ на этом интервале. Анало-

гичные утверждения справедливы относительно потоков отказов,

переводящих условный автомобиль в состояния «капитальный ре-

монт агрегата», «списание агрегата».

Общий поток отказов, связанный с попаданием автомобилей ис-

следуемой группы в ТО-2, получается путем наложения (суперпози-

ции) потоков «ТО-2» этих автомобилей. Как показывают расчеты,

распределение интервала пробега между событиями в этом потоке

подчиняется показательному закону. Можно предположить, что по-

ток «ТО-2» исследуемых автомобилей является пуассоновским, при

этом вероятность попадания на участок L ровно m событий выража-

137

ется формулой

( )

,0,1,...

Pem

−







, (7.25)

где

– интенсивность потока, отк/1000 км.

Проверим наличие этого свойства у потока «ТО-2» условного

автомобиля. Средний поток «ТО-2» условного автомобиля можно

получить путем случайного прореживания общего потока событий;

каждое событие (ТО-2 конкретного автомобиля) независимо от дру-

гих с вероятностью

(N – число автомобилей в исследуемой

группе) сохраняется в потоке, а с вероятностью

(

)

−

– «выбрасы-

вается» (Р – преобразование потока). В результате этой операции

получим пуассоновский поток с интенсивностью P

. Действи-

тельно, все свойства исходного потока при Р – преобразовании со-

храняются, а интенсивность умножается на Р.

Для подтверждения этого и доказательства того, что общий по-

ток «ТО-2» автомобилей исследуемой группы является пуассонов-

ским, рассчитаем число возможных ТО-2 автомобилей Mercedes на

любом интервале пробега и сравним с фактическим числом прове-

денных ТО-2 в группе. Допустим, что поток ТО-2 условного автомо-

биля является пуассоновским, тогда количество возможных ТО-2

автомобилей исследуемой группы на интервале можно определить

по формуле

ТО-2

∑

, (7.26)

где N – число автомобилей в исследуемой группе (N=47 шт.), Р

–

вероятность проведения m ТО-2 автомобиля (условного) на пробеге

L, 1,2,...,

mmm

. Верхняя граница

mmm

устанавливается в зави-

симости от величины интервала L. Средняя интенсивность потока

ТО-2 условного автомобиля равна

0,129

470,164NL

λ===

∆⋅

(отк./1000км). (7.27)

Результаты расчета сведены в табл. 7.1.

138

Т а б л и ц а 7.1

Количество ТО-2 автомобилей Mersedes по интервалам пробега

Число ТО-2, шт.

Величина интер-

вала, тыс. км

расчетное

среднее фактиче-

ское

Ошибка, %

30 3,89 4 2,75

Согласно данным табл. 7.1 поток ТО-2 условного автомобиля

исследуемой группы с достаточной степенью точности согласуется с

пуассоновским.

Образ потока отказов, связанного со списанием автомобиля, яв-

ляется условным. Действительно, если автомобиль отказывает в тот

момент, когда происходит первое событие данного потока, то совер-

шенно все равно, продолжается ли после этого поток отказов или

прекращается; судьба автомобиля от этого уже не зависит. В случае,

когда элемент (автомобиль) не подлежит восстановлению, поток от-

казов является пуассоновским.

Поток отказов автомобиля, связанный со списанием, является

нестационарным, так как пробег до списания подвижного состава

подчиняется закону распределения, отличному от показательного.

Очевидно, на малом интервале пробега автомобиля (1–2 тыс. км) ин-

тенсивность отказов меняется сравнительно медленно, в таком слу-

чае закон распределения событий можно приблизительно считать

показательным и для описания процесса эксплуатации автомобиля

использовать марковскую схему.

Характер остальных потоков событий, связанных с процессом

работы группы автомобилей, не изменяется.

ЛЕКЦИЯ 16

7.7. Использование метода динамики средних

для определения средних численностей состояний

Из вышеизложенного следует, что все средние потоки, перево-

дящие условный автомобиль из состояния в состояние, либо пуассо-

новские, либо сводятся к ним путем рассмотрения процесса эксплуа-

тации на малых интервалах пробега (1–2 тыс. км) и корректировки

139

исходного потока отказов деталей для исключения последействия.

Это позволяет использовать метод динамики средних для описания

процесса эксплуатации группы автомобилей.

В табл. 7.2 приведены формулы для расчета основных интен-

сивностей перехода

. Для решения системы дифференциаль-

ных уравнений (7.24) необходимо задаться начальными численно-

стями состояний N

(L),

0,...,8

, а также знать величину среднесу-

точного пробега

Значения параметров

(

)

λ ,

(

)

λ ,

(

)

λ модели (3.2) могут

быть определены двумя способами. Согласно первому способу, по-

лученные значения параметров потока отказов автомобиля, связан-

ных с его текущим ремонтом, капитальным ремонтом и списанием

его агрегатов, аппроксимируются экспоненциальными зависимостя-

ми вида

( )

...

ααα

+++

= ,

где x – пробег автомобиля с начала эксплуатации, тыс. км, i – номер

состояния, в котором находится автомобиль, i = 3, 5, 6.

Т а б л и ц а 7.2

Интенсивности перехода

для расчета комплексных

показателей надежности автомобилей Mersedes

Интенсивность

Формула, принятая в рас-

чете

Примечания

Исправен -

капитальный ремонт

( ) ()

∑

λϕ

()

πσ

−



−





Плотность рас

пределения

наработки до к-го капи-

тального ремонта авто-

мобиля –

(

)

,50,5

Lmϕσ

Исправен -

проходит ТО-2

() ()

02 ТОi

LfL

∑

()

(

)

ТО

LLλ

−

ТОi

– плотность распре-

деления наработки до i-

го

ТО-2;

средняя перио

дичность

ТО-2,

ТО

тыс. км