Лубенцова В.С. Математические модели и методы в логистике

Подождите немного. Документ загружается.

120

( )

00,91530,22310,3567

01.2040,6931

00,1054

00,6931

∞





∞∞



−=

∞∞∞





∞∞∞



∞∞∞∞



Согласно алгоритма Форда-Фалкерсона, имеем:

( )

00,92(2)0,22(3)0,36(4)0,33(3)

01,2(3)0,69(5)

00,11(5)

00,69(5)





∞∞



−=

∞∞∞





∞∞∞



∞∞∞∞



Элементы полученной матрицы умножаем на (–1) и находим ан-

тилогарифм. В результате получаем матрицу вероятностей безава-

рийного проезда:

[ ]

10,4(2)0,8(3)0,7(4)0,72(3)

010,3(3)00,5(5)

00100,9(5)

00010,5(5)

00001







Например (см. рис. 6.12), максимальная вероятность безаварий-

ного проезда по пути 1–3–5 равна 0,8·0,9=0,72.

121

ГЛАВА 7. ЛОГИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К УПРАВЛЕНИЮ

АВТОТРАНСПОРТНЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ

ЛЕКЦИЯ 14

7.1. Статистическая вероятность безотказной работы

и коэффициент безопасности

Производственная программа автотранспортного предприятия

включает производственные программы по эксплуатации и по тех-

ническому обслуживанию (ТО) и ремонту подвижного состава.

Для расчета производственной программы по эксплуатации под-

вижного состава используются два вида информации, характери-

зующие, с одной стороны, условия и интенсивность эксплуатации

автомобилей, а, с другой, – определяющие их техническое состояние.

Первый вид информации включает результаты моделирования плана

выполнения транспортных услуг – показателей перевозочного про-

цесса: время движения на маршруте, продолжительность погрузо-

разгрузочных работ, продолжительность смены и т.д.

Второй вид информации, определяющий техническое состояние

автомобилей, включает периодичности проведения ремонтно-

профилактических воздействий (периодичности ТО-1, ТО-2, капи-

тальных ремонтов), время простоя в ТО и ремонте, сроки службы

автомобилей и агрегатов, перечень стратегий проведения ремонта

подвижного состава и т.д. Вопросы методического и программного

обеспечения прогнозирования этих показателей рассмотрены в рабо-

те [5].

Основными итоговыми показателями расчета производственной

программы по эксплуатации подвижного состава являются коэффи-

циент технической готовности, коэффициент выпуска, годовые про-

беги автомобилей и провозные возможности автопредприятия

(ATП). Величина провозных возможностей АТП в значительной сте-

пени зависит от коэффициента выпуска автомобилей.

Коэффициент выпуска автомобилей, по существу, является ве-

роятностью безотказной работы автомобилей. Действительно, веро-

ятность безотказной работы это вероятность того, что в пределах за-

данной наработки отказ объекта не возникнет. Статистически веро-

ятность безотказной работы P(t) определяется отношением количест-

ва оставшихся работоспособных объектов N(t) к моменту наработки t

к общему числу объектов N(0):

122

()

(

)

()

(

)

(

)

()

(

)

()

000

NtNNtrt

NNN

−

==−=− , (7.1)

где

(

)

r – количество отказавших объектов к моменту t.

Коэффициент выпуска автомобилей представляет собой отно-

шение количества эксплуатирующихся к моменту t автомобилей

к общему количеству автомобилей в парке

– состав парка:

пр

эспэ

спспсп

ААА

−

==−=− , (7.2)

где

пр

– количество автомобилей, которые к моменту t простаивают

по различным причинам (находятся в ремонте, ТО-2, без водителя,

без шин, бездорожье, др.).

Простое сравнение формул (7.1) и (7.2) позволяет говорить о

том, что коэффициент выпуска автомобилей и вероятность безотказ-

ной работы автомобилей — понятия идентичные.

Безопасность работы общественного транспорта можно выра-

зить через вероятность безотказной работы

(

)

∆

– свойство под-

вижного состава выполнять все свои рабочие функции (сохранять

работоспособность) на маршруте движения в заданных пределах в

течение определенного периода времени.

Используя теорию вероятности, выведем формулу определения

вероятности безотказной работы.

Если на маршруте l эксплуатируется N

количество подвижного

состава l-го вида общественного транспорта и за период времени

∆

из них выйдет из строя, то вероятность появления отказа подвиж-

ного состава на данном маршруте будет:

( )

∆= . (7.3)

Согласно теории вероятности подвижной состав на маршруте

может находиться в двух состояниях: быть работоспособным или

неработоспособным. Тогда сумма их вероятностей

(

)

(

)

PTQT

∆+∆=

. (7.4)

Отсюда вероятность безотказной работы на данном маршруте l рав-

на:

123

( ) ( )

ililil

ilil

mNm

QTPT

−

∆=−∆=−= . (7.5)

Показатель безопасности i-го вида общественного транспорта на

маршруте l определяется по формуле:

(

)

( )

НОМ

∆

′

∆

, (7.6)

где

(

)

НОМ

∆

– номинальная безотказность работы i-того вида

транспорта на маршруте l за определенный период времени

∆

. Но-

минальная безотказность работы принимается на основании сущест-

вующих нормативных документов или устанавливается с использо-

ванием статистической отчетности работы i-того вида подвижного

состава на маршруте l за предыдущие плановые периоды времени

∆

7.2. Характеристика марковских процессов

Для моделирования коэффициента выпуска автомобиля вос-

пользуемся аппаратом марковских дискретных случайных процессов

с непрерывным временем.

Случайный процесс, протекающий в системе S, называется мар-

ковским процессом (или «процессом без последействия») если он

обладает следующим свойством: для каждого момента времени t

вероятность любого состояния системы в будущем (при t > t

) зави-

сит только от её состояния в настоящем (при t = t

) и не зависит от

того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как

развивался процесс в прошлом).

Случайный процесс называется процессом с дискретными со-

стояниями, если возможные состояния системы

123

SSS

… можно

перечислить (перенумеровать) одно за другим, а сам процесс состоит

в том, что время от времени система S скачком (мгновенно) перехо-

дит из одного состояния в другое.

Случайный процесс называется процессом с непрерывным вре-

менем, если переход системы из состояния в состояние возможен в

любой (наперёд неизвестный) случайный момент времени t.

На рис. 7.1 представлен граф состояний системы S.

124

Здесь

– известные плотности вероятности перехода для всех пар

состояний

;

– число состояний. В общем случае

(

)

ijij

λλ= :

(

)

lim

∆→

∆

, (7.7)

где

(

)

∆

– вероятность того, что система, находившаяся в момент

времени t в состоянии

, за время

∆

перейдет в состояние

≠

Зная размеченный граф состояний (граф с известными плотно-

стями вероятности перехода), можно определить вероятности со-

стояний как функции времени:

(

)

(

)

(

)

,,...,

PtPtPt

. (7.8)

Эти вероятности удовлетворяют дифференциальным уравнениям

(ДУ) определённого вида, так называемым уравнениям Колмогорова:

(

)

() ()

ijijijj

dPt

PtPt

λλ=−+

∑∑

. (7.9)

В левой части каждого уравнения стоит производная вероятно-

сти состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько

стрелок связано с данным состоянием.

Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член

имеет знак «–», если в состояние – знак «+».

Каждый член равен произведению плотности перехода, соответ-

……

Р и с. 7.1. Граф состояний системы S

125

ствующей данной стрелке, умноженной на вероятность того состоя-

ния, из которого выходит стрелка.

Решая эти уравнения, мы получим вероятности (7.8).

7.3. Анализ возможных состояний автомобиля

Представим автомобиль как некоторую систему S с дискретны-

ми состояниями

,,...,

SSS

, которая переходит из состояния в со-

стояние под влиянием случайных событий (отказов). На стадии пла-

нирования работы автомобиля целесообразно рассматривать сле-

дующие состояния, в которых он может находиться в процессе экс-

плуатации и которые характеризуются целодневными простоями:

– исправен, работает;

– находится в капитальном ремонте (КР);

– проходит ТО-2;

– находится в текущем ремонте (ТР);

– исправен, не работает по организационным причинам (без

водителя, без шин, без запасных частей);

– не работает, снятие агрегата для отправки в капитальный

ремонт;

– не работает, списание агрегата, замена на новый;

– исправен, не работает (выходные и праздничные дни);

– списывается.

Надо отметить, что в настоящее время вышеперечисленные со-

стояния автомобиля планируются при разработке годовой програм-

мы работы АТП, при этом состояния

объединяются в од-

но состояние – «находится в ТР».

Для анализа процесса эксплуатации автомобиля как случайного

процесса с дискретными состояниями удобно воспользоваться гео-

метрической схемой – так называемым графом состояний (рис. 7.2).

Граф состояний изображает возможные состояния автомобиля и

его возможные переходы из состояния в состояние. На рис. 7.2 через

обозначены плотности вероятностей перехода автомобиля

из состояния

в состояние

. Например,

– плотность вероят-

ности перехода автомобиля из состояния «исправен, работает» в со-

стояние «находится в текущем ремонте».

126

Можно считать, что события, переводящие автомобиль из со-

стояния в состояние, представляют собой потоки событий (например,

потоки отказов). Если все потоки событий, переводящие систему (ав-

томобиль) из состояния в состояние, пуассоновские (стационарные

или нестационарные), то процесс, протекающий в системе, будет

марковским, а плотности вероятности перехода

в непрерывной

цепи Маркова представляют собой интенсивности потока событий,

переводящего систему из состояния

в состояние

Рассматриваемые состояния автомобиля

характеризуются

средним числом дней пребывания автомобиля в каждом состоянии

. Показатели Д

находят отражение в статистической отчетности

АТП. Отношение

P = , (7.10)

где

– число календарных дней в году, можно трактовать как ве-

роятность нахождения автомобиля в j-м состоянии.

Для определения расчётов необходимо знать значения интен-

сивностей перехода

то есть, характер их изменения. Эти

данные могут быть получены в результате статистической обработки

большого информационного материала.

Р и с. 7.2. Граф состояний автомобиля

127

7.4. Информационная база прогнозирования

транспортных услуг

Исходная статистическая информация, необходимая для опреде-

ления

(

)

λ – интенсивности перехода из 0-го в i состояние;

(

)

µ – интенсивности перехода из i-го в нулевое состояние; N

(L) –

средней численности автомобилей, находящихся в состоянии i; l

–

среднесуточного пробега, может быть получена следующим обра-

зом. Величина среднесуточного пробега автомобилей, как правило,

определяется в результате моделирования перевозочного процесса. В

противном случае расчет может быть осуществлен с использованием

комплекса трендовых моделей прогнозирования, тогда в качестве

исходной информации используются динамические ряды среднесу-

точного пробега, полученные в результате обработки статистическо-

го материала конкретного АТП. Прогнозные расчеты пополнения

парка могут быть выполнены по различным методикам.

Распределение автомобилей по возрастным группам, определе-

ние среднего пробега с начала эксплуатации в каждой возрастной

группе и начальных численностей состояний (на начало планируемо-

го периода) может быть проведено в следующей последовательно-

сти.

Распределение автомобилей по возрастными группам (по пробе-

гу с начала эксплуатации) проводится путем определения номера

возрастной группы j, в которую попадает k-й автомобиль с данным

пробегом с начала эксплуатации

н.э.

и подсчета числа автомобилей

, попавших в эту группу:

н.э.





∆



. (7.11)

Средний пробег с начала эксплуатации для автомобилей j-й воз-

растной группы

н.э.

определяется по формуле средней арифметиче-

ской величины. В принятых выше обозначениях она имеет вид

н.э.

∑

. (7.12)

Далее подсчитывается число автомобилей

в j-й возрастной

128

группе, находящихся в i-м состоянии

(

)

=÷

Вероятности i-го состояния автомобилей j-й возрастной группы

на начало планируемого периода определяются по формуле

= . (7.13)

Остановимся теперь на определении параметров

модели

функционирования автопарка. Важность этого вопроса состоит в

том, что заданием множества параметров обеспечивается возмож-

ность получения различных альтернативных вариантов изменения

характеристик состояний автопарка (в том числе,

(

)

(

)

(

)

(

)

047

ТГ

PLPLPLK

++=), так как совокупность временных харак-

теристик состояний парка определяется уровнем параметров модели.

Анализ формирования уровня каждого параметра необходимо про-

водить на основе статистической информации конкретного АТП.

Интенсивность

(

)

λ «исправен – капитальный ремонт (КР)

автомобиля» будет зависеть от числа КР, которые предполагается

провести за период эксплуатации до списания:

( ) ( )

λϕ

∑

, (7.14)

где

(

)

ϕ – плотность распределения ресурса автомобиля до

-го

капитального ремонта.

Исходной информацией для моделирования

(

)

ϕ могут слу-

жить:

– нормативные данные, откорректированные с учетом возраста

подвижного состава;

– статистические данные АТП о наработках до КР.

Последние наиболее объективно отражают сложившуюся практику

использования автомобилей.

Если полнокомплектный ремонт автомобилей не проводится, то

(

)

Lλ

Фактором, объясняющим уровень параметра

(

)

λ , является

ресурс до КР автомобиля, варьируя который, можно установить ра-

циональные сроки службы автомобиля.

Интенсивность

(

)

λ «исправен – технической осмотр (ТО-2)»

129

определяется по формуле:

( ) ( )

ТО-2

LfL

∞

∑

, (7.15)

где

(

)

ТО-2

– плотность распределения до i-го ТО-2.

Зная закон распределения

(

)

ТО-2

пробега до i-го ТО-2 и ис-

пользуя метод статистического моделирования, можно определить

поток ТО-2 и его изменение в зависимости от пробега с начала экс-

плуатации. Поток попадания автомобилей в ТО-2 стабилизируется,

начиная с определенного пробега

, величина которого зависит от

модели автомобиля. На интервале пробега от 0 до

поток ТО-2

может быть аппроксимирован, на интервале

(

)

∞

интенсивность

(

)

λ определяется по формуле:

( )

ТО-2

λ = (7.16)

Основным фактором, объясняющим уровень

(

)

λ , является

периодичность проведения ТО-2.

Информационное, методическое и программное обеспечение

оценки периодичности проведения ТО-2 подробно рассмотрено [5].

Интенсивность

(

)

λ «исправен — текущий ремонт» представ-

ляет собой суммарный параметр потоков отказов деталей автомоби-

ля, лимитирующих надежность (ДЛН) и приводящих к целодневным

простоям при устранении их отказов:

( ) ( )

λω

∑

, (7.17)

где

(

)

ω – параметр потока отказов f-ой детали, F – число ДЛН,

приводящих к целодневным простоям при устранении их отказов.

Параметр потока отказов деталей

(

)

ω – основная характери-

стика нестационарного потока отказов – является фактором, объяс-

няющим уровень

(

)

λ – средний возраст эксплуатации совокупно-

сти автомобилей определенной модели.

Отметим, что при отсутствии данных о параметрах распределе-

ний всех деталей, лимитирующих надежность автомобиля, параметр

потока отказов автомобиля

(

)

λ для прогнозирования коэффици-