Лобасова М.С. Тепломассообмен. Практикум

Подождите немного. Документ загружается.



Тепломассообмен. Учеб. пособие к практ. занятиям 11

Дифференциальное уравнение теплопроводности:











где







– коэффициент температуропроводности, м

/с.

Плотность теплового потока (Вт/м

) в случае теплопроводности

c1 c2

().qtt







Распределение температуры (°С) в стенке

tt x



Тепловой поток (Вт) через поверхность

F твердой стенки

.FqQ





Для многослойной плоской стенки, состоящей из

n однородных слоев,

плотность теплового потока

c1 c( 1)















где





– термическое сопротивление теплопроводности i-го слоя стенки, а









– полное термическое сопротивление теплопроводности многослойной

стенки.

Распределение температуры в i-м слое определяется по формуле

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Р аздел 1. Стационарная теплопроводность



Тепломассообмен. Учеб. пособие к практ. занятиям 12

c( ) c( 1)

tt q









Коэффициент теплопередачи, Вт/(м

·°С) от одной жидкой среды к дру-

гой через разделяющую их твердую стенку













где

R – полное термическое сопротивление теплопередачи многослой-

ной плоской стенки.

Температуры поверхностей стенки:

с1 ж1

tt q



с2 ж2

.tt q



Температуры в плоскости соприкосновения слоев

c( ) c( 1)

tt q









Распределение температуры внутри пластины при наличии внутренних

источников тепла в случае симметричных условий охлаждения:

() ( )

tx t x





  



Распределение температуры внутри пластины при наличии внутренних

источников тепла в случае несимметричных условий охлаждения:

ж1

()

vv v

qx qx q

tx t x x  





с1 ж1

tt



с2 ж2

()

qs x







МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Р аздел 1. Стационарная теплопроводность



Тепломассообмен. Учеб. пособие к практ. занятиям 13

ж2 ж1

tt s





 















Линейная плотность теплового потока (Вт/м) для цилиндрической

стенки в случае теплопроводности

c1 c 2

()









Распределение температуры (°С) внутри цилиндрической стенки

c1 c1 c2

() ( )

tr t t t

 

Количество тепла (Вт), проходящее через цилиндрическую поверх-

ность величиной

F в единицу времени,

c1 c 2

2()

lt t



  



Для многослойной цилиндрической стенки, состоящей из

n однород-

ных слоев, линейная плотность теплового потока (Вт/м)

c1 c( 1)

()















МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Р аздел 1. Стационарная теплопроводность



Тепломассообмен. Учеб. пособие к практ. занятиям 14

где





– линейное термическое сопротивление отдельного слоя стен-

ки, а









– полное линейное термическое сопротивление теплопро-

водности многослойной цилиндрической стенки.

Температура в плоскости соприкосновения слоев

c( 1) c1

















Линейная плотность теплового потока (Вт/м) цилиндрической стенки в

случае теплопередачи

ж1 ж2

11 2 2

()

11 1

ddd

















Температуры поверхностей (

°С) цилиндрической стенки

с1 ж1





c( 1) ж2







Температура в плоскости соприкосновения слоев

c( 1) ж1







 



 





Количество тепла (Вт), передаваемое трубой длиной

l в единицу вре-

мени,

lqQ





Для цилиндрической трубы, толщина стенок которой мала по сравне-

нию с диаметром, можно воспользоваться упрощенными формулами как для

плоской стенки. Если

8,1



, то коэффициент теплопередачи

k 







, а тепловой поток

ж1 ж2

()

Qk dlt t



   

. Для уменьшения

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Р аздел 1. Стационарная теплопроводность



Тепломассообмен. Учеб. пособие к практ. занятиям 15

ошибки в качестве расчетной следует брать ту поверхность, со стороны ко-

торой коэффициент теплоотдачи меньше, то есть:

если



, то



;

если



, то



;

если



, то





Критический диаметр цилиндрической стенки

кр







Критический диаметр изоляции

из

кр. из







Распределение температуры (°С) в цилиндрическом стержне при нали-

чии внутренних источников тепла:

ж 0

() ( )

qr q

tr t r r



  



Температуры на поверхности и на оси цилиндра:

сж







0c 0

tt r



Плотность теплового потока (Вт/м

) на поверхности стержня





Для бесконечно длинной цилиндрической стенки (трубы), если тепло

отводится только через наружную поверхность трубы, то на внутренней по-

верхности плотность теплового потока будет равна нулю, и здесь мы будем

иметь максимальное значение температуры. Распределение температуры (°С)

по радиусу трубы:

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Р аздел 1. Стационарная теплопроводность



Тепломассообмен. Учеб. пособие к практ. занятиям 16

222

21 2 1

ж2

22 2 22

() 1 1 2ln

qr r qr r r r

tr t

rrrr



 

  





 

     

  





 

  



 

Температура на наружной поверхности трубы

с2 ж2

qr r













 















Температура на внутренней поверхности трубы

21 11

с1c2

222

12ln

qr r r r

rrr





 







   

 







 





Удельный тепловой поток с единицы теплоотдающей поверхности

qr r



























Если тепло отводится только через внутреннюю поверхность, то на

внешней поверхности будет равна нулю плотность теплового потока и тем-

пература будет максимальна. Распределение температуры (°С) по радиусу

трубы:

222

12 2 1

ж1

11 2 1 2

() 1 2ln

qr r qr r r r

tr t

rrrr

 

  



 

   

  



 

  

 

Температура на внутренней поверхности трубы

с1 ж1

qr r































Температура на наружной поверхности трубы

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Р аздел 1. Стационарная теплопроводность



Тепломассообмен. Учеб. пособие к практ. занятиям 17

21 2

c2 c1

2ln 1

qr r r













  















Если тепло отводится через обе поверхности, то задача распадается на

две отдельные задачи. Максимальное значение температуры

и нулевое

значение плотности теплового потока будут находиться в какой-то точке

внутри цилиндра. Поэтому можно разбить цилиндр на два по этому значению

радиуса и отдельно решать две предыдущие задачи. Искомое значение ра-

диуса и соответствующая ему максимальная температура определяются из

условий сшивки обоих решений:

21 c1c2

()4()

2ln

qr r t t







Для стержня бесконечной длины тепловой поток (Вт), отданный

стержнем в окружающую среду,

1 ж p

()Qtt uf





Для стержня конечной длины

l обозначим







. Тогда температу-

ра на конце ребра

1 ж

ch( )





Количество тепла, отдаваемое поверхностью ребра в единицу времени,

1 ж p

() th()Qtt uf ml 

Тепловая эффективность ребра прямоугольного профиля





)(th

Распределение температуры в ребре треугольной формы:

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Р аздел 1. Стационарная теплопроводность



Тепломассообмен. Учеб. пособие к практ. занятиям 18

(2 )

Imlx

Iml



Полный тепловой поток, проходящий через ребро треугольного профи-

ля,

2(2)(2),

(2 ) (2 )

Q L dx I m lx dx I ml

Iml mIml

 

 



где

)2(

mlI

– модифицированная функция Бесселя I рода, первого порядка, а

для вычисления интеграла использовалась рекуррентная формула

)()(

zIzdzzzI





Эффективность ребра треугольного профиля

(2 )

Iml

ml I ml





1. Решить дифференциальное уравнение теплопроводности в общем

виде:







со следующими граничными условиями: t(0) = t

, t() = t

. От-

вет:

c1 c2

tt x



 



Первое интегриров

ание дифференциального уравнения







дает

/ Cdxdt 

После второго интегрирования получим

CxCt





Подставляем граничные условия: при

х = 0 t = t

= t

; при

х =  t = t

c1 c 2

ttt











. Тогда

c1 c2

tt x









МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Задачи к разделу 1



Тепломассообмен. Учеб. пособие к практ. занятиям 19

2. Решить одномерную задачу теплопроводности для пластины с внут-

ренними источниками тепла:











. Граничные условия: при









c ж

() /

tt tx





     

Поскольку граничные условия для обеих сторон пластины одинаковые,

температурное поле внутри пластины должно быть симметричным относи-

тельно плоскости

х = 0. Тепло с одинаковой интенсивностью отводится через

левую и правую поверхности тела. Одинаково и тепловыделение в обеих по-

ловинах пластины. Решить задачу для правой половины пластины.

Ответ:



()

tx t x



  



3. Решить уравнение теплопроводности в цилиндрических координа-

тах:









со следующими граничными условиями: t(r

) = t

t(r

) = t

Ответ:



c1 c1 c 2

ln( / )

tt t t

 

Решит

ь задачу, воспользовавшись заменой переменных

u 

4. Решить задачу теплопроводности с внутренними источниками тепла

в цилиндрических координатах:

ttq











. Граничные условия:

а) условие симметрии в центре стержня: при

r = 0





r

drdt

;

б) теплоотдача с поверхности: при

r = r





c ж

/ ( )

dt dr t t





  

Ответ:



ж 0

()

qr q

tr t r r  



5. Решить нестационарную одномерную задачу теплопроводности без

внутренних источников тепла в декартовых координатах:

  







Начальные условия: при  = 0

00ж



  

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Задачи к разделу 1



Тепломассообмен. Учеб. пособие к практ. занятиям 20

Граничные условия из-за симметрии задачи запишем только для одной

половины пластины:

при

x = 0





  

; при х = 









  



Решить дифференциальное уравнением методом Фурье.

Ответ

ctg( ) .



 



6. Вычислить плотность теплового потока через плоскую однородную

стенку, толщина которой значительно меньше ширины и высоты, если стенка

выполнена: а) из стали [

 = 50 Вт/(м ·

°С)]; б) из бетона [ = 1,1 Вт/(м ·

°С)];

в) из диатомитового кирпича [

 = 0,11 Вт/(м ·

°С)]. Во всех трех случаях

толщина стенки

 = 50 мм. Температуры на поверхностях стенки поддержи-

ваются постоянными:

с1

= 100 °С и t

с2

= 90 °С.

Ответ: а)

q = 10000 Вт/м

; б) q = 220 Вт/м

; в) q = 22 Вт/м

7. Плотность теплового потока через плоскую стенку толщиной

 = 100 мм

q = 70 Вт/м

. Определить разность температур на поверхностях

стенки и численные значения градиента температуры в стенке, если она вы-

полнена а) из латуни [ = 70 Вт/(м·°С)]; б) из красного кирпича

[ = 0,7 Вт/(м·°С)]; в) из пробки [ = 0,07 Вт/(м·°С)].

Ответ: а)

0,1t

°С и |grad t| = 1 °С/м; б) 10t



 °С и

|grad t| = 100 °С/м; в)100t

 °С и |grad t| = 1000 °С/м.

8. Определить потерю теплоты Q (Вт) через стенку из красного кирпи-

ча длиной l = 5 м, высотой h = 4 м и толщиной

 = 500 мм, если температуры

на поверхностях стенки поддерживаются t

с1

= 110 °С и t

с2

= 40 °С. Коэффи-

циент теплопроводности красного кирпича

 = 0,7 Вт/(м

·°С).

Ответ: Q = 1960 Вт.

9. Определить коэффициент теплопроводности материала стенки, если

при толщине ее



=50 мм и разности температур на поверхностях





°С

плотность теплового потока q = 175 Вт/м

Ответ:

 = 0,35 Вт/(м·°С).

10. Плоская стенка выполнена из шамотного кирпича толщиной

 = 250 мм. Температура ее поверхностей t

= 1350 °С и t

= 50 °С. Коэффи-

циент теплопроводности шамотного кирпича является функцией от темпера-

туры

 = 0,838

(1 + 0,00007t) . Вычислить и изобразить в масштабе распреде-

ление температуры в стенке.

Ответ: