Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем

Подождите немного. Документ загружается.

(это неравенство было доказано для t

= 0, но, очевидно, оно верно

также и для любого t

6= 0), где ν — произвольное положительное

число, C

> 0 — некоторая константа, зависящая от ν, а

α = max

Re λ

В силу (7) α < 0. Выберем ν > 0 так, чтобы α + ν < 0. Тогда из (9)

будем иметь

A(t−t

)

k ≤ M ∀t ∈ [t

, +∞),

где M — некоторая положительная константа. Отсюда и из формулы

(8) получаем

kx(t)k ≤ ke

A(t−t

)

k · kx

k ≤ M · kx

k. (10)

Пусть ε — произвольное положительное число. Тогда если

k <

=: δ,

то в силу (10)

kx(t)k < ε для всех t ∈ [t

, +∞).

Поэтому тривиальное решение x(t) ≡ 0 (положение равновесия) си-

стемы (6) устойчиво по Ляпунову (продолжаемость решения x(t) на

бесконечный интервал [t

, +∞) следует из его вида (8)).

Так как в силу (8) и (9)

kx(t)k ≤ C

(α+ν)(t−t

)

то, учитывая, что α + ν < 0, получаем

lim

t→+∞

x(t) = 0.

Следовательно, тривиальное решение x(t) ≡ 0 асимптотически устой-

чиво в целом. Достаточность условия теоремы доказана.

2. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть положение равновесия x = 0 систе-

мы (6) асимптотически устойчиво в целом. Покажем сначала, что

Re λ

≤ 0 (j = 1, . . . , m). (11)

Действительно, допустим, что существует собственное число λ

(1 ≤ r ≤ m) такое, что Re λ

= α

> 0. Тогда система (6) имеет

нетривиальное решение

η(t) = e

где ξ

— собственный вектор матрицы A, соответствующий собствен-

ному числу λ

. Отсюда

kη(t)k = |e

| · kξ

k = e

· kξ

k → +∞ при t → +∞.

Последнее противоречит условию асимптотической устойчивости

в целом положения равновесия системы (6). Таким образом, имеют

место неравенства (11).

Предположим теперь, что найдется хотя бы одно собственное чис-

ло λ

(1 ≤ s ≤ m) такое, что

Re λ

= 0,

т.е. λ

= iβ

, β

∈ R (i — мнимая единица). Тогда система (6) имеет

решение (комплексное)

ϕ(t) = e

= (cos β

t + i sin β

t)ξ

где ξ

— собственный вектор матрицы A, соответствующий собствен-

ному числу λ

. Отсюда

kϕ(t)k = kξ

k 6= 0,

и, значит, ϕ(t) 6→ 0 при t → +∞, что противоречит асимптотической

устойчивости в целом тривиального решения x(t) ≡ 0. Следователь-

но,

Re λ

< 0 (j = 1, . . . , m).

Теорема 1 доказана полностью.

О п р е д е л е н и е 4. Если каждое решение линейной системы

(6) асимптотически устойчиво в целом, то систему (6) называют

асимптотически устойчивой в целом.

Следующая теорема сводит вопрос об асимптотической устойчиво-

сти системы (6) к асимптотической устойчивости нулевого решения

x(t) ≡ 0.

Теорема 2. Для асимптотической устойчивости в целом ли-

нейной системы (6) необходимо и достаточно, чтобы тривиальное

решение x(t) ≡ 0 этой системы было асимптотически устойчивым

в целом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость условия теоремы очевидна.

Докажем достаточность. Пусть тривиальное решение x(t) ≡ 0

асимптотически устойчиво в целом. Если η(t) — некоторое фиксиро-

ванное, но произвольное решение системы (6), а x(t) — любое другое

ее решение, то в силу (8)

(

) =

A(t−t

)

, η

(

) =

A(t−t

)

где x

∈ R

, η

∈ R

и x(t) − η(t) = e

A(t−t

− η

). (Заметим, что

разность x(t) − η(t) есть тоже решение системы (6).)

Далее, повторяя рассуждения доказательства достаточности тео-

ремы 1 установим, что решение η(t) асимптотически устойчиво в це-

лом.

Теорема 2 доказана.

Из теорем 1 и 2 следует следующая

Теорема 3. (Критерий асимптотической устойчивости ли-

нейной системы.) Линейная система (6) асимптотически устой-

чива в целом тогда и только тогда, когда все собственные чис-

ла λ

(A) матрицы A имеют отрицательные вещественные части:

Re λ

(A) < 0 (j = 1, . . . , n).

В дальнейшем будем называть матрицу A устойчивой или гур-

вицевой, если все ее собственные числа λ

(A) лежат в левой полу-

плоскости: Re λ

(A) < 0 (j = 1, . . . , n).

Отметим, что утверждение теоремы 2 справедливо также и для

линейных систем с переменной матрицей: A = A(t). А именно, имеет

место

Теорема 4. Линейная система

˙x = A(t)x (12)

с (вещественной) кусочно-непрерывной на интервале I

= (a, +∞)

(a ∈ R) матрицей-функцией A(t) асимптотически устойчива (в

целом) тогда и только тогда, когда тривиальное решение x(t) ≡ 0

этой системы асимптотически устойчиво (в целом).

Систему (12) (как и (6)) называют асимптотически устойчивой

(в целом), если все ее решения асимптотически устойчивы (в целом).

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 4. Необходимость условия тео-

ремы очевидна.

Докажем достаточность. Пусть тривиальное решение x(t) ≡ 0

системы (12) асимптотически устойчиво. Тогда оно устойчиво (по

Ляпунову), т.е. по заданному числу ε > 0 можно найти такое δ(ε),

что для любого решения x(t) системы (12) с начальным условием

x(t

) = x

∈ I

, x

∈ R

k < δ(ε), (13)

будем иметь

kx(t)k < ε для всех t ∈ [t

, +∞). (14)

Пусть теперь η(t) — произвольное решение системы (12). Для любого

другого решения x(t) системы (12) разность (как легко проверить)

z(t) = x(t) − η(t) тоже есть решение этой системы. Следовательно,

из неравенства

kx(t

) − η(t

)k < δ(ε),

в силу (13), (14), вытекает неравенство

kx(t) − η(t)k < ε ∀t ∈ [t

, +∞).

Последнее означает, что решение η(t) устойчиво по Ляпунову (в силу

замечания 1 из п.1 все решения x(t) системы (12) продолжаемы на

интервал [t

, +∞) ).

Так как для произвольного решения x(t) системы (12) (в силу

асимптотической устойчивости x(t) ≡ 0)

lim

t→+∞

x(t) = 0,

то и

lim

t→+∞

kx(t) − η(t)k = 0.

Следовательно, решение η(t), а вместе с ним и система (12) (в силу

произвольности η(t)), асимптотически устойчиво в целом. Теорема 4

доказана.

§ 2. Алгебраические критерии устойчивости

1. Проблема Рауса–Гурвица

В связи с доказанным в § 1 критерием асимптотической устойчи-

вости линейных дифференциальных систем (теорема 3) возникает

следующая алгебраическая задача (так называемая проблема Рауса–

Гурвица [48,92,113,135,228,276]): требуется узнать, лежат ли все кор-

ни данного многочлена в левой полуплоскости комплексного пере-

менного. Другими словами, требуется установить необходимые и

достаточные условия, при которых все корни данного алгебраиче-

ского многочлена имеют отрицательные вещественные части.

Эта проблема широко обсуждалась в литературе (подробное и де-

тальное описание алгоритмов, связанных с проблемой Рауса–Гурвица

можно найти, например, в [48,86,92,113,135]).

Здесь мы докажем наиболее распространенные критерии Эрмита-

Михайлова, Рауса и Гурвица, позволяющие дать положительный от-

вет на поставленный выше вопрос.

2. Необходимое условие устойчивости многочлена. Устано-

вим вначале простое необходимое условие устойчивости многочлена.

Рассмотрим многочлен степени n с вещественными коэффициен-

тами

a(p) = a

+ a

n−1

+ . . . + a

∈ R, k = 0, . . . , n). (1)

О п р е д е л е н и е 1 . М н о г о ч л е н a(p) называется у с т о й-

ч и в ы м или г у р в и ц е в ы м , если все его корни имеют отрица-

тельные вещественные части, т.е. лежат по левую сторону от

мнимой оси плоскости комплексного переменного.

Устойчивые многочлены обычно называют м н о г о ч л е н а м и

(п о л и н о м а м и) Г у р в и ц а.

Теорема 1. (Теорема Стодолы.) Если многочлен a(p) в (1) с

> 0 устойчив, то все его коэффициенты положительны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть p

, ¯p

= α

±iβ

(j = 1, . . . , `) — ком-

плексные корни (β

6= 0) (i – мнимая единица) и p

= γ

(s = 1, . . . , r)

— вещественные корни многочлена (1). Обозначим через µ

(j =

1, . . . , `) кратность корня p

= α

+ iβ

(так как коэффициенты мно-

гочлена a(p) действительны, то сопряженный корень ¯p

= α

− iβ

имеет тоже ту же кратность µ

). Через ν

обозначим кратность ве-

щественного корня p

= γ

. Тогда

j=1

2µ

s=1

= n.

Используя известное разложение многочлена a(p) на вещественные

линейные двучлены (соответствующие его вещественным корням γ

)

и вещественные трехчлены (соответствующие парам сопряженных

корней α

± iβ

), получаем

a(p) = a

j=1

(p − α

− iβ

)

(p − α

+ iβ

)

s=1

(p − γ

)

или

a(p) = a

j=1

− 2α

p + α

+ β

)

s=1

(p − γ

)

. (2)

В силу условия теоремы 1 α

< 0, γ

< 0. Поэтому коэффициенты во

всех двучленах и трехчленах в правой части равенства (2) положи-

тельны и, следовательно, положительными будут и коэффициенты

многочлена a(p). Теорема 1 доказана.

Замечание. Условия теоремы Стодолы являются лишь необхо-

димыми, но вовсе, не достаточными для устойчивости многочлена

произвольной степени n > 2. Ниже, в примерах, будет показано, что

условия теоремы Стодолы для многочлена второй степени являются

и достаточными для его устойчивости, а для многочленов третьей

степени — нет, т.е. из положительности его коэффициентов, вообще

говоря, не следует его устойчивость.

3. Критерий Эрмита-Михайлова. Пусть m — число нулей (с

учетом их кратностей) многочлена (1) с положительной веществен-

ной частью. Предположим, что многочлен a(p) не имеет корней на

мнимой оси, т.е. a(iω) 6= 0 ∀ω ∈ R. Тогда можем определить функ-

цию

ϕ(ω) = Arg a(iω), (3)

где под Arg p понимается некоторая непрерывная ветвь многознач-

ной функции

arg p ± 2kπ, k ∈ Z

(arg p — главное значение аргумента: −π < arg p ≤ π). Это означает,

что при переходе годографа многочлена a(p) через луч

{Re p ≤ 0, Im p = 0} на комплексной плоскости при ω = ω

берем

ту ветвь функции (3), которая обеспечивает непрерывность такого

перехода, т.е. непрерывность функции ϕ(ω) в точке ω

. Не умаляя

общности, можно считать, что ϕ(0) = 0.

О п р е д е л е н и е 2. Множество точек {p ∈ C : p = a(iω),

ω ∈ R} комплексной плоскости C называется годографом многочле-

на a(p). Иногда этот годограф называют годографом Михайлова или

амплитудно-фазовой характеристикой многочлена a(p).

Через ∆ϕ(ω)

+∞

−∞

будем обозначать приращение функции ϕ(ω), ко-

гда аргумент ω изменяется от −∞ до +∞.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 2. Для любого многочлена

a(p) = a

+ a

n−1

+ . . . + a

, a

> 0 (a

∈ R, k = 0, ··· , n),

не имеющего корней на мнимой оси (a(iω) 6= 0 ∀ω ∈ R), справедлива

следующая ф о р м у л а Э р м и т а — М и х а й л о в а

∆ϕ(ω)

+∞

−∞

≡ ∆ Arg a(iω)

+∞

−∞

= π(n − 2m), (4)

где m — число корней многочлена a(p) в правой полуплоскости с

учетом их кратностей.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть λ

(j = 1, ··· , m) и ρ

(` = 1, ··· , n − m) — нули многочлена a(p) с положительными и

отрицательными вещественными частями, соответственно (каждый

нуль считается столько раз, какова ее кратность).

Представив многочлен a(p) в виде произведения

a(p) = a

j=1

(p − λ

) ·

n−m

`=1

(p − ρ

и затем, применив известную теорему об аргументе произведения

комплексных чисел (так как по условию теоремы a(iω) 6= 0 для лю-

бого ω ∈ (−∞, +∞), то при p = iω, −∞ < ω < +∞, все сомножители

правой части последнего равенства ненулевые), получим следующее

равенство:

∆ϕ(ω)|

+∞

−∞

≡ ∆Arg a(iω)|

+∞

−∞

= ∆Arg a

+∞

−∞

j=1

∆Arg (iω − λ

+∞

−∞

n−m

`=1

∆Arg (iω − ρ

+∞

−∞

(5)

Очевидно,

∆Arg a

+∞

−∞

= 0.

Вычислим

∆Arg (iω − λ

+∞

−∞

, ∆Arg (iω −ρ

+∞

−∞

Для этого сначала рассмотрим на комплексной плоскости числа

, iω, iω − λ

и соответствующие им векторы (рис. 6)

Рис. 6. К доказательству теоремы 2: Re λ

> 0.

Вектор, соответствующий числу iω −λ

, при увеличении ω от −∞

до +∞ поворачивается монотонно по часовой стрелке, при этом ко-

нец этого вектора скользит вверх, все время оставаясь на прямой

Re p = −Re λ

, так, как это показано на рис.6. Поэтому,

∆Arg (iω − λ

+∞

−∞

= −π (j = 1, ··· , m).

Рассмотрим теперь на комплексной плоскости числа ρ

, iω, iω −ρ

и соответствующие им векторы (рис.7).

Вектор, соответствующий числу iω −ρ

, при увеличении ω от −∞

до +∞ поворачивается монотонно против часовой стрелки, причем

конец этого вектора скользит вверх, все время оставаясь на прямой

Re p = −Re ρ

, так, как это показано на рис.7. Следовательно,

∆Arg (iω − ρ

+∞

−∞

= π (k = 1, ··· , n − m).

Рис. 7. К доказательству теоремы 2: Re ρ

< 0

Из последних двух равенств и разложения (5) следует, что

∆ϕ(ω)|

+∞

−∞

= −mπ + (n − m)π = π(n − 2m).

Таким образом, установлена формула (4) и, тем самым, доказана

теорема 2.

Из теоремы 2 следует

Критерий Эрмита—Михайлова. Пусть многочлен a(p) в (1)

степени n с a

> 0 не имеет корней на мнимой оси, т.е.

a(iω) 6= 0 ∀ω ∈ R. Тогда для устойчивости многочлена a(p) необхо-

димо и достаточно, чтобы

∆ϕ(ω)

+∞

−∞

= nπ. (6)

Действительно, полагая m = 0 в формуле (4), получим (6).

Замечание 1. В силу вещественности коэффициентов a

(r = 0, . . . , n) многочлена a(p) справедливы следующие равенства:

Re a(¯p) = Re a(p) = Re a(p),

Im a(¯p) = Im a(p) = −Im a(p)

(где ¯z — сопряженное для z). В частности, при p = iω имеем

Re a(−iω) = Re a(iω),

Im a(−iω) = −Im a(iω).

Отсюда следует, что годограф многочлена a(p) симметричен относи-

тельно вещественной оси (рис.8).

Рис. 8. Годограф многочлена a(p)

Поэтому вместо равенства (6) можно записать следующее условие:

∆ϕ(ω)

+∞

= n ·

. (7)

Замечание 2. Пусть m = 0, т.е. многочлен a(p) — устойчив (все

нули многочлена a(p) расположены в левой полуплоскости.) Тогда,

как было отмечено в процессе доказательства теоремы 2, для много-

члена a(p) вектор a(iω) при увеличении ω от −∞ до +∞ монотонно

поворачивается против хода часовой стрелки на угол n ·

. Так как

a(0) = a

> 0 (в силу теоремы Стодолы это необходимо), то годо-

граф Михайлова многочлена a(p), выходя из точки a

положитель-

ной полуоси {Re p > 0, Im p = 0}, при возрастании ω от 0 до +∞

будет последовательно пересекать полуоси {Re p = 0, Im p > 0},

{Re p < 0, Im p = 0}, {Re p = 0, Im p < 0}, проходя через n квад-

рантов.

Обратно, если годограф Михайлова многочлена a(p) степени n

без чисто мнимых корней, выходя из точки a(0) = a

> 0 поло-

жительной полуоси {Re p > 0, Im p = 0}, при возрастании ω от 0

до +∞ последовательно по одному разу пересекает n − 1 полуосей

{Re p = 0, Im p > 0}, {Re p < 0, Im p = 0} , . . . асимптотически стре-

мясь к n-й полуоси, то угол поворота вектора a(iω), очевидно, равен