Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем

Подождите немного. Документ загружается.

n ·

, и, следовательно, в силу формулы (7) многочлен a(p) является

устойчивым.

Примеры. Пользуясь критерием Эрмита—Михайлова, получить

условия устойчивости для многочлена:

1) второй степени

a(p) = a

+ a

p + a

, a

> 0;

2) третьей степени

a(p) = a

+ a

p + a

, a

> 0

(где a

, a

— вещественные числа).

1) (n = 2). Имеем

a(iω) = a

(iω)

+ a

(iω) + a

= (a

− a

ω)

+ ia

ω.

Из уравнений

Re a(iω) = 0 и Im a(iω) = 0

находим значения ω

и ω

, соответствующие точкам пересечения го-

дографа Γ = {a(iω), ω ∈ [0, +∞)} многочлена a(p) с полуосями

Re p > 0 и Im p > 0. Ими будут, очевидно,

= 0 и ω

соответственно. При этом

a(iω

) = a

, a(iω

) = ia

. (8)

В силу теоремы Стодолы для устойчивости многочлена a(p)

(n = 2) необходимо, чтобы a

> 0, a

> 0.

В силу замечания 2, для устойчивости многочлена a(p) необходимо

и достаточно, чтобы годограф Γ = {a(iω), ω ∈ [0, +∞)} многочлена

a(p), выходя при ω = 0 из точки a

положительной полуоси Re p > 0

при возрастании ω от 0 до +∞ пересекал один раз полуось Im p > 0,

асимптотически стремясь к полуоси Re p < 0 (при этом вектор a(iω)

должен поворачиваться монотонно против хода часовой стрелки).

При этом, очевидно, что lim

ω→+∞

arg a(iω) = π.

Отсюда и из (8) получаем необходимые и достаточные условия

устойчивости многочлена 2-й степени:

> 0, a

> 0.

Мы видим, что для многочленов 2-й степени необходимые усло-

вия устойчивости, даваемые теоремой Стодолы, являются также и

достаточными. Но для многочленов 3-й степени это уже не так, что

будет видно из следующего примера.

2) (n = 3). Имеем

a(iω) = (−a

+ a

) + iω(−a

+ a

Как и выше, из уравнений

−a

+ a

= 0 и ω(−a

+ a

) = 0

находим значения ω

(k = 0, 1, 2), соответствующие точкам пересе-

чения годографа Γ многочлена a(p) с полуосями Re p > 0, Im p > 0,

Re p < 0. Ими будут соответственно

= 0, ω

, ω

При этом

a(iω

) = a

a(iω

) = i

−

a(iω

) = a

−











(9)

По теореме Стодолы для устойчивости многочлена a(p) (n = 3) необ-

ходимо, чтобы a

> 0, a

> 0.

Далее, проводя рассуждения аналогичные, как в предыдущем па-

раграфе, из (9) и соотношения

lim

ω→+∞

Arg a(iω) =

3π

в силу замечания 2 получаем необходимые и достаточные условия

устойчивости многочлена a(p) третьей степени

> 0, a

−

> 0, a

−

< 0

или

> 0, a

> a

Последние условия иногда называются условиями Вышнеградского.

Как видим, уже для многочлена 3-й степени одной положительно-

сти коэффициентов многочлена не достаточно для его устойчивости

— сверх этого требуется еще выполнение неравенства

> a

4. Критерий Рауса. Здесь мы изложим метод Рауса для опре-

деления числа m корней с положительной вещественной частью ве-

щественного многочлена a(p), следуя в основном [48]. Алгоритм Ра-

уса позволяет для любого вещественного многочлена (т.е. многочле-

на с вещественными коэффициентами) определить в конечное число

арифметических действий, имеет ли данный многочлен m корней

в правой полуплоскости Re p > 0 комплексного переменного p. В

частном случае m = 0 этот алгоритм дает критерий устойчивости

данного многочлена.

4.1. Индексы Коши. Прежде чем приступить к описанию алго-

ритма Рауса напомним понятие индекса Коши вещественной рацио-

нальной функции и приведем теорему Штурма об индексе.

О п р е д е л е н и е 3. Р а ц и о н а л ь н о й в е щ е с т в е н н о й

ф у н к ц и е й называется функция R, заданная с помощью формулы:

R(x) =

g(x)

f(x)

, f (x) 6= 0 (x ∈ R), (10)

где f(x) и g(x) — произвольные вещественные многочлены.

Без умаления общности можно считать, что в (10) многочлены

f(x) и g(x) взаимно просты, т.е. не имеют общих корней.

Точки, в которых рациональная функция (10) не определена, т.е.

корни многочлена f (x), называются ее полюсами. Кратностью (или

порядком) полюса называется его кратность как корня многочлена

f(x).

Пусть x

— полюс кратности ν

рациональной функции R(x), т.е.

f(x) = (x − x

)

(x),

где f

) 6= 0. (Здесь f

(x) — некоторый многочлен.)

Число

g(x

)

(11)

называется главным коэффициентом функции R в полюсе x

. (Это

число отлично от нуля по определению.) Ясно, что

= lim

x→x

(x − x

)

R(x).

О п р е д е л е н и е 4. И н д е к с о м рациональной функции

R(x) в п о л ю с е x

кратности ν

называется число Ind

R(x),

определяемое формулой

Ind

R =







+1, если ν

нечетно и A

> 0;

−1, если ν

нечетно и A

< 0;

0, если ν

четно,

(12)

(где A

— число, определяемое формулой (11)).

О п р е д е л е н и е 5. И н д е к с о м К о ш и Ind

R(x) раци-

ональной функции R(x) на интервале (a, b) (a < b — вещественные

числа; либо a = −∞, либо b = +∞) называется сумма индексов

этой функции по всем полюсам x

, лежащим в этом интервале:

Ind

R(x) :=

a<x

Ind

R(x). (13)

(Если в интервале (a, b) нет полюсов, то считаем Ind

R(x) := 0.)

Таким образом, индекс Ind

R(x) есть разность между числом раз-

рывов с переходом от −∞ к +∞ и числом разрывов с переходом от

+∞ к −∞ при изменении аргумента от a к b.

Формулу (13), с учетом (12), можно переписать в следующем виде:

Ind

R(x) =

a < x

< b

− нечетно

sign A

, (14)

где суммирование распространено на все полюсы x

нечетного по-

рядка ν

, лежащие в интервале (a, b), а число A

— главный коэффи-

циент функции R в полюсе x

(под sign A мы понимаем +1 или −1

в зависимости от того, A > 0 или A < 0).

Пусть

f(x) = a

(x − x

)

···(x − x

)

(15)

— вещественный многочлен, имеющий m различных корней x

, ··· , x

с кратностями ν

, ··· , ν

соответственно и среди этих корней только

первые ` вещественны (` ≤ q).

Тогда легко проверить, что

(x)

f(x)

i=1

x − x

j=1

x − x

+ R

(x), (16)

где R

(x) — вещественная рациональная функция, не имеющая ве-

щественных полюсов.

Из (14) и (16) имеем

Ind

(x)

f(x)

j=1

sign ν

= `.

Таким образом, имеет место следующее

Предложение 1. Число различных вещественных корней много-

члена f(x), находящихся внутри интервала (a, b) равно индексу

Ind

(x)

f(x)

Как хорошо известно, произвольная вещественная рациональная

функция R(x) =

g(x)

f(x)

(f(x) — многочлен (15)) представима в виде

R(x) =

j=1

(j)

x − x

+ ··· +

(j)

(x − x

)

+ R

(x), (17)

где A

(j)

(j = 1, ··· , `) — вещественные числа (x

— вещественные

корни многочлена f(x), а R

(x) не имеет вещественных полюсов.

Следовательно, из (14) и (17) получаем

Ind

R(x) =

a < x

< b

− нечетно

sign A

(j)

. (18)

Одним из методов вычисления индекса Ind

R(x) является метод ,

основанный на классической теореме Штурма.

О п р е д е л е н и е 6. Ряд вещественных многочленов

(x), f

(x), ··· , f

(x) (a < x < b) (19)

называется р я д о м Ш т у р м а в интервале (a, b), если он об-

ладает следующими двумя свойствами по отношению к интервалу

(a, b):

◦

из f

(x) = 0, где x ∈ (a, b), следует

k−1

(x) · f

k+1

(x) < 0, k = 2, ··· , s − 1;

◦

(x) 6= 0 при x ∈ (a, b).

Теорема 3. (Теорема Штурма об индексе.) Если (19) — ряд

Штурма в (a, b), а V (x) — число перемен знака в этом ряду при

фиксированном значении x ∈ (a, b), то

V (a) − V (b) = Ind

(x)

. (20)

(Здесь под V (a) при a > −∞ понимается значение V (a + ε), где

ε > 0 — столь малое число, что в промежутке (a, a + ε] ни одна

функция f

(x) (k = 1, ··· , s) ряда (10) не обращается в нуль. Точно

так же, если b < +∞, то V (b) := V (b − ε), где ε > 0 определяется

аналогично.)

Д о к а з а т е л ь с т в о . При изменении x от a до b значение

V (x) может изменяться лишь при переходе через нуль какой-либо из

функций ряда (19). В силу свойства 1

◦

ряда Штурма при переходе

через нуль функции f

(x) (k = 2, ··· , s −1) значение V (x) не может

измениться. Поэтому V (x) может измениться только при переходе

через нуль функции f

(x) (поскольку f

(x) имеет постоянный знак

на (a, b) в силу свойства 2

◦

), при этом теряется или приобретается

одна перемена знака в ряду (19) в зависимости от того, переходит

отношение f

(x)/f

(x) от −∞ к +∞ или наоборот, т.е. имеет место

равенство (20). Теорема 3 доказана.

Замечание 1. Теорема Штурма остается в силе и для ряда, по-

лучаемого из ряда (19), умножением всех членов f

(x) (k = 1, ··· , s)

на один и тот же произвольный многочлен d(x) (полученный ряд

называется обобщенным рядом Штурма), поскольку последняя опе-

рация не меняет ни правой, ни левой части равенства (20).

Замечание 2. Если даны два произвольных многочлена f(x) и

g(x) таких, что степень g(x) меньше или равна степени f(x), то при

помощи алгоритма Евклида всегда можно построить обобщенный

ряд Штурма, который начинался бы с функций f(x) и g(x).

Действительно, принимая f

(x) ≡ f(x), f

(x) ≡ g (x) и обозначая

через −f

(x) остаток от деления f

(x) на f

(x), через −f

(x) — оста-

ток от деления f

(x) на f

(x) и т.д., будем иметь следующую цепочку

равенств

(x) = q

(x)f

(x) − f

(x),

(x) = q

(x)f

(x) − f

(x),

··· ··· ··· ···

k−1

(x) = q

k−1

(x)f

(x) − f

k+1

(x),

··· ··· ··· ···

s−1

(x) = q

s−1

(x)f

(x).











(21)

Последний не равный тождественно нулю остаток f

(x) является

наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x), а также всех

многочленов ряда (19), построенного с помощью (21). Если при этом

(x) 6= 0 при x ∈ (a, b), то полученный ряд (19) в силу (21) является,

очевидно, рядом Штурма. Если же многочлен f

(x) имеет корни в

интервале (a, b), то ряд (19) является обобщенным рядом Штурма

(так как после деления всех членов этого ряда на f

(x) он становится

рядом Штурма).

Из замечаний 1 и 2 следует, что индекс любой рациональной функ-

ции R(x) может быть определен с помощью теоремы Штурма. Для

этого достаточно представить рациональную функцию R(x) в виде

R(x) = Q(x) +

g(x)

f(x)

, (22)

где Q(x), f(x), g(x) — многочлены, причем степень g(x) меньше сте-

пени f(x), и применить теорему Штурма к обобщенному ряду, по-

строенному для многочленнов f (x) и g(x) при помощи алгоритма

Евклида (21).

Таким образом, имеет место

Предложение 2. Для любой рациональной функции R(x)

(a < x < b)

Ind

R(x) = V (a) −V (b), (23)

где V (x) — число перемен знака при фиксированном x ∈ (a, b) в обоб-

щенном ряде Штурма, построенном для многочленов f(x) и g(x)

при помощи алгоритма Евклида (21); (здесь f(x) и g(x) — много-

члены из (22), а V (a) и V (b) определены как в теореме Штурма).

Положив в (23) R(x) = f

(x)/f(x), из предложений 1 и 2 получаем,

что число вещественных корней многочлена f(x) внутри интервала

(a, b) равно V (a) − V (b).

Предложение 3. Для любой рациональной функции R(x), удо-

влетворяющей условиям

R(a) = R(b) = 0 (a < b)

справедлива формула

Ind

R(x) = −

∆Arctg R(x)

, (24)

где под ∆Arctg R(x)|

понимается приращение некоторой непрерыв-

ной ветви Arctg R(x) многозначной функции arctg R(x)+kπ (k ∈ Z).

В частности, если a = −∞, b = +∞, то формула (24) имеет место

для любой правильной рациональной дроби R(x) (т.е. такой дроби, у

которой в представлении (22) Q(x) ≡ 0, а степень g(x) меньше, чем

степень f(x)).

Для доказательства предложения 3 достаточно ввести фазовую

функцию

Φ(x) = Arctg R(x)

(из-за очевидного равенства (см.(22))

Ind

Q(x) +

g(x)

f(x)

= Ind

g(x)

f(x)

функцию Φ достаточно ввести для правильной рациональной дроби

g(x)

f(x)

) и принять во внимание тот факт, что при изменении x от a к

b полюсам функции R(x) с переходом от −∞ к +∞ соответствуют

пересечения фазовой кривой

ξ = f (x), η = g(x) (a < x < b)

(на плоскости переменных (ξ, η)) с осью ξ = 0 в направлении против

часовой стрелки, а полюсам с переходом от +∞ к −∞ – по часовой

стрелке.

4.2. Алгоритм Рауса. Рассмотрим случай, когда многочлен a(p)

в (1) не имеет корней на мнимой оси. В этом случае (см. теорему 2)

справедлива формула Эрмита–Михайлова (4).

1. Введем новые (не совсем обычные) обозначения для коэффици-

ентов многочлена a(p) (α

:= a

6= 0):

a(p) = α

+ β

n−1

+ α

n−2

+ β

n−3

+ α

n−4

+ β

n−5

+ ··· . (25)

(Здесь α

= a

, β

= a

2k+1

, k = 0, 1, 2, ···.)

Полагая в (25) p = iω, будем иметь

a(iω) = i

(ω) − if

(ω)), (26)

(ω) = α

− α

n−2

+ α

n−4

− ···

(ω) = β

n−1

− β

n−3

+ β

n−5

− ···

. (27)

Воспользуемся индексом Коши. Используя формулы (24), (26) и

учитывая, что при умножении многочлена a(p) на произвольное ком-

плексное число приращение ∆ Arg a(iω) не изменяется, будем иметь

∆ Arg a(iω)|

+∞

−∞

∆ Arg

a(iω)

+∞

−∞

= −

∆Arctg

(ω)

+∞

−∞

= Ind

+∞

−∞

(ω)

Отсюда и из форомулы Эрмита–Михайлова (см.(4)) следует, что

Ind

+∞

−∞

(ω)

= n −2m (28)

(где f

(ω) и f

(ω) — многочлены (27)).

2.Для определения индекса, стоящего в левой части равенства (28),

используем теорему 3 (Штурма). Построим обобщенный ряд Штур-

ма (см. выше, замечание 2 к теореме 3) для многочленов f

(ω) и

(ω) при помощи алгоритма Евклида (21):

(ω), f

(ω), ··· , f

(ω). (29)

100

Рассмотрим регулярный случай, когда r = n + 1. В этом слу-

чае в ряде (29) в силу равенств (21) степень каждого многочлена

(ω) (j = 2, ··· , n + 1) меньше на единицу степени предыдущего

j−1

(ω) и, тем самым, степень последнего многочлена f

(ω) (r =

n + 1) равна нулю, т.е. f

n+1

(ω) = const 6= 0. Поэтому ряд (29)

в регулярном случае является обычным рядом Штурма. Посколь-

ку многочлены f

(ω) и f

(ω) имеют наибольший общий делитель

n+1

(ω) = const 6= 0, то эти многочлены не обращаются в нуль од-

новременно, т.е. (см. (26)) a(iω) 6= 0 для всех ω ∈ R и, тем самым, в

регулярном случае имеет место формула (28).

Используя равенства (21), найдем коэффициенты многочленов

(ω), ··· , f

n+1

(ω) в ряду (29). Имеем (см. (21)):

(ω) =

ωf

(ω) − f

(ω) = γ

n−2

− γ

n−4

+ γ

n−6

+ ··· ,

где

= α

−

− α

= α

−

− α

, ··· .

(30)

Далее,

(ω) =

ωf

(ω) − f

(ω) = δ

n−3

− δ

n−5

+ ··· ,

где

= β

−

− β

, δ

= β

−

− β

, ··· . (31)

Коэффициенты остальных многочленов f

(ω), ··· , f

n+1

(ω) находят-

ся совершенно аналогично.

Заметим, что при этом каждый из многочленов в ряду (29)

(r = n + 1) является четной или нечетной функцией.

Составим теперь с х е м у Р а у с а

, α

, ··· ,

, β

, ··· ,

, γ

, ··· ,

, δ

, ··· ,

··· ··· ··· ···

(32)