Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем

Подождите немного. Документ загружается.

§ 2. Специальная форма систем с полностью управляемой

парой (A, b).

Здесь мы покажем, к какому специальному виду можно привести

систему

˙x = Ax + bu, y = c

∗

x (x ∈ R

) (1)

со скалярным входом u ∈ R и скалярным выходом y ∈ R, где A —

(n × n)-матрица, а b и c векторы из R

, если пара (A, b) полностью

управляема.

Теорема . Пусть в системе (1) b и c — векторы (т.е. m = ` = 1)

и пара (A, b) полностью управляема. Тогда систему (1) невырож-

денным линейным преобразованием можно привести к следующему

виду:











˙x

= x

˙x

n−1

= x

˙x

= −a

− . . . − a

+ u,

y = c

+ . . . + c

(2)

где числа a

(j = 1, . . . , n) являются коэффициентами характери-

стического многочлена

det(pI − A) = p

+ a

n−1

+ . . . + a

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу свойства (I

) полной управляемости

(см. теорему из §1) векторы











= b,

n−1

= (A + a

I)b,

n−2

= (A

+ a

A + a

n−1

I)b,

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

= (A

n−1

+ a

n−2

+ . . . + a

I)b

линейно независимы и, следовательно, образуют базис в R

. Матри-

ца A преобразует векторы этого базиса в следующие:











= e

n−1

− a

n−1

= e

n−2

− a

n−1

. . . . . . . . . . . .

= −a

(3)

(в последнем равенстве использовано тождество Гамильтона—Кэли).

Сделаем в системе (1) линейное преобразование

x = Sξ, ξ ∈ R

(det S 6= 0),

где S – матрица перехода от исходного базиса ε = (ε

, . . . , ε

) (где

– единичный вектор, у которого i-ая координата есть 1, а осталь-

ные координаты – нули) к новому базису (e

, . . . , e

). В результате ,

система в новых координатах ξ примет вид

ξ =

Aξ +

bu, y = ˜c

∗

ξ, (4)

где

A = S

−1

AS,

b = S

−1

b, ˜c = S

∗

Из равенств (3) следует, что в (4)

A =







0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

−a

. . . −a







b =













Теперь, сделав переобозначение ξ → x, из (4) получим (2). Теорема

2 доказана.

Следствие. Если в системе (1) b и c – векторы, пара (A, b) пол-

ностью управляема и u(t) ∈ C

n−1

, то систему (1) можно привести

к одному уравнению

N(D)y = M(D)u, D :=

где

N(D) = D

+ a

n−1

+ . . . + a

M(D) = c

n−1

+ . . . + c

— многочлены от оператора дифференцирования D.

Д о к а з а т е л ь с т в о следует из доказанной выше теоремы и

теоремы 2 из § 1, гл. I.

§ 3. Наблюдаемость

Перейдем теперь к понятию полной наблюдаемости.

Рассмотрим систему

˙x = Ax + bu, y = c

∗

x (x ∈ R

, u ∈ R

, y ∈ R

), (1)

где A, b, c — вещественные постоянные матрицы.

О п р е д е л е н и е 1. С и с т е м а (1) называется п о л н о-

с т ь ю н а б л ю д а е м о й (или п а р а (A, c) называется

п о л н о с т ь ю н а б л ю д а е м о й ), если для любых t

< t

любых троек вектор-функций (u

(t), x

(t), y

(t)), (u

(t), x

(t), y

(t)),

заданных на [t

, t

] и удовлетворяющих (1), из соотношений

(t) = u

(t), y

(t) = y

(t) ∀t ∈ [t

, t

]

(т.е. равенства входов и выходов) следует

(t) = x

(t) ∀t ∈ [t

, t

]

(т.е. равенство состояний).

Таким образом, система (1) полностью наблюдаема, если по точ-

ным измерениям входа u(t) и выхода y(t) можно однозначно опреде-

лить состояние x(t). Поэтому иногда употребляется термин “восста-

навливаемость системы” вместо термина “полная наблюдаемость”.

Определение 1 эквивалентно следующему определению.

О п р е д е л е н и е 1

. С и с т е м а (1) (или п а р а (A, c))

называется п о л н ос т ь ю н а б л ю д а е м о й , если для любого

T > 0 и любой тройки (x(t), u(t), y(t)), заданной на [0, T ] и удовле-

творяющей (1), из соотношений

u(t) = 0, y(t) = 0 ∀t ∈ [0, T ] (2)

следует, что

x(t) = 0 ∀t ∈ [0, T ]. (3)

Поясним определение 1

Ясно, что при u(t) ≡ 0 на [0, T ] и начальном условии x(0) = 0

первое уравнение системы (1) имеет только единственное нулевое

решение x(t) ≡ 0 на [0, T ]. Следовательно, соответствующий выход

y(t) = c

∗

x(t) будет тоже нулевым: y(t) ≡ 0 на [0, T ].

Теперь, обратно: пусть при нулевом входе (u(t) ≡ 0 на [0, T ]) вы-

ход y(t) тоже нулевой (y(t) ≡ 0 на [0, T ]). Спрашивается, можно ли

определить состояние x(t) однозначно, и будет ли оно нулевым ?

Вообще говоря, ответ на этот вопрос отрицателен. Может оказаться

так, что состояние x(t) ≡ 0 не является единственным, для которо-

го выход y(t) оказывается нулевым. В последнем случае говорят о

ненаблюдаемости системы.

Покажем эквивалентность определений 1 и 1

Ясно, что из полной наблюдаемости системы в смысле определе-

ния 1 следует и полная наблюдаемость в смысле определения 1

Обратно, пусть система (1) полностью наблюдаема в смысле опре-

деления 1

. Далее, пусть (u

(t), x

(t), y

(t)) и (u

(t), x

(t), y

(t)) — лю-

бые две тройки вектор-функций, фигурирующие в определении 1.

Тогда, вычитая из системы тождеств (на [t

, t

])

˙x

(t) ≡ Ax

(t) + bu

(t), y

(t) ≡ c

∗

(t)

систему

˙x

(t) ≡ Ax

(t) + bu

(t), y

(t) ≡ c

∗

(t),

получим тождества (на [t

, t

])

d(x

(t) − x

(t))

≡ A

(t) − x

(t)

+ b

(t) − u

(t)

(t) − y

(t) ≡ c

∗

(t) − x

(t)

т.е. тройка (u

(t), x

(t), y

t)) вектор-функций

(t) = x

(t) − x

(t), u

(t) = u

(t) − u

(t), y

(t) = y

(t) − y

(t)

удовлетворяет системе (1) для t ∈ [t

, t

]. В силу стационарности

системы (1) сдвиг любого её решения вдоль оси t есть снова решение,

поэтому тройка (η

(t), ξ

(t), ζ

(t)), где

(t) = x

(t + t

), η

(t) = u

(t + t

(t) = y

(t + t

), t ∈ [0, T ], T = t

− t

также удовлетворяет системе (1), т.е.

(t) ≡ Aξ

(t) + bη

(t), ζ

(t) ≡ c

∗

(t)

на [0, T ].

Пусть выполнены равенства

(t) = u

(t), y

(t) = y

(t) ∀t ∈ [t

, t

Тогда имеют место также равенства

(t) = 0, ζ

(t) = 0 ∀ ∈ [0, T ].

Из последних соотношений в силу полной наблюдаемости системы

(1) в смысле определения 1

следует, что

(t) = 0, ∀t ∈ [0, T ],

т.е. x

(t) = x

(t) ∀t ∈ [t

, t

]. Следовательно, система (1) наблюдаема

в смысле определения 1.

Теорема 1. (Теорема двойственности Калмана.) Для полной

наблюдаемости пары (A, c) необходимо и достаточно полной управ-

ляемости пары ( A

∗

, c).

Таким образом, каждое из условий (I

)—(V III

) теоремы о кри-

териях полной управляемости из §1 после замены A и b соответ-

ственно на A

∗

и c становится необходимым и достаточным усло-

вием полной наблюдаемости пары (A, c).

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения 1

полная наблюдае-

мость пары (A, c) означает, что для любой тройки функций

(u(t), x(t), y(t)), t ∈ [0, T ], удовлетворяющей системе (1) из равенств

(2) следует равенство (3). Поскольку

˙x(t) = Ax(t) ∀t ∈ [0, T ],

то x(t) = e

x(0) ∀t ∈ [0, T ], т.е. для вектора z = x(0), в силу второго

равенства (2), выполнено соотношение

∗

z = 0 ∀t ∈ [0, T ]

или

∗

c = 0 ∀t ∈ [0, T ]. (4)

Так как матричная экспонента e

является невырожденной мат-

рицей при любом t (см. следствие 2 из § 2, гл.I), то условие (3):

x(t) = e

z ≡ 0 на [0, T ] равносильно условию z = 0. Поэтому полная

наблюдаемость пары (A, c) означает, что соотношение (4) выполня-

ется лишь при z = 0. Таким образом, полная наблюдаемость па-

ры (A, c) равносильна, в силу свойства (II

) теоремы из § 1, полной

управляемости пары (A

∗

, c). Теорема 1 доказана.

Критерий полной управляемости и полной наблюдаемости систе-

мы (1) можно сформулировать в терминах её передаточной функции

W (p) = c

∗

(A − pI)

−1

Для этого введем следующее понятие.

О п р е д е л е н и е 2. Передаточная функция W (p) называется

н е в ы р о ж д е н н о й , если для любого корня p

многочлена ∆(p) =

det(pI − A) существует такой минор µ(p) матрицы W (p), что

lim

p→p

∆(p)µ(p) 6= 0. (5)

Замечание 1. В случае, когда в системе (1) вход u и выход y —

скаляры, т.е. m = ` = 1, данное выше определение означает, что ска-

лярную функцию W (p) нельзя представить в виде отношения мно-

гочленов со степенью знаменателя меньше, чем n (где n — порядок

матрицы A).

Действительно,в этом случае

µ(p) = W (p) =

ν(p)

∆(p)

где ν(p) — многочлен степени не выше n − 1, а ∆(p) — многочлен

степени n. По данному выше определению невырожденность W (p)

означает, что для любого корня p

многочлена ∆(p)

lim

p→p

ν(p) = ν(p

) 6= 0,

т.е. что многочлены ∆(p) и ν(p) не имеют общих корней и, следова-

тельно, степень знаменателя ∆(p) в представлении W (p) не может

сделаться меньше, чем n.

Замечание 2. В случае, когда W (p) — матрица-строка (m > 1,

l = 1) или матрица-столбец (m = 1, l > 1) минорами µ(p) матрицы

W (p) являются ее элементы W

(p) = ν

(p)/∆(p), где ν

(p) — много-

члены степени не выше n −1. Поэтому условие (5) означает, что для

любого корня p

многочлена ∆(p) найдется такой элемент W

(p), что

lim

p→p

(p) = ν

) 6= 0.

Отсюда следует, что матрицу W (p) = ν(p)/∆(p), где ν(p) — матрица-

строка или матрица-столбец с элементами ν

(p), нельзя представить

в виде отношения многочленов матричного и скалярного – со степе-

нью знаменателя меньше, чем n.

Ниже нам понадобится следующее алгебраическое утверждение.

Лемма Шура. Пусть A, B, C, D — матрицы соответственно

порядков n × n, n × m, m × n, m × m.

Если det A 6= 0, то

det

A B

C D

= det A · det(D − CA

−1

B). (6)

Если det D 6= 0, то

det

A B

C D

= det D · det(A − BD

−1

C). (7)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть det A 6= 0. Определим матрицу Q =

−A

−1

B. По правилу перемножения блочных матриц имеем

A B

C D

¶µ

0 I

A 0

C D − CA

−1

(Здесь I

, I

, — единичные (n ×n)- и (m ×m)-матрицы.) Беря опре-

делители обеих частей последнего равенства и применяя к правой

части правило Лапласа разложения определителя по n строкам, по-

лучим (6).

Аналогично и при det D 6= 0, определив матрицу Q = −D

−1

C, из

соотношения

A B

C D

¶µ

Q I

A − BD

−1

C B

0 D

приравнивая определители обеих частей и используя правило Ла-

пласа, получим (7). Лемма Шура доказана.

Следствие. Пусть K и M — матрицы порядка n × m. Тогда

det(I

+ KM

∗

) = det(I

+ M

∗

K).

В частности, в случае m = 1 (когда K и M — векторы-столбцы)

имеем

det(I

+ KM

∗

) = 1 + M

∗

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя формулы (6) и (7), получим

det

−M

∗

K I

= det(I

+ KM

∗

det

−M

∗

K I

= det(I

+ M

∗

K).

Из последних двух равенств вытекает утверждение вышеприведен-

ного следствия.

Имеет место следующая

Теорема 2. (Критерий полной управляемости и полной на-

блюдаемости.) Для полной управляемости и полной наблюдаемо-

сти системы (1) необходимо и достаточно, чтобы передаточная

функция W (p) была невырожденной.

Замечание. Теорема 2 в скалярном случае (m = ` = 1) уста-

навливалась независимо многими авторами. В векторном случае

(m + ` > 2) эта теорема установлена А.Н.Чуриловым [170].

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.

1. Скалярный случай (m = l = 1).

Обозначим

∆(p) = det(pI −A), ν(p) = W (p)∆(p),

V (p) = ∆(p)(pI −A)

−1

, v(p) = V (p)b.

)

(8)

Здесь, очевидно, ∆(p) и ν(p) — скалярные, v(p) — векторный и V (p)

— матричный многочлены.

Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть система (1) полностью управляема и

наблюдаема. Предположим, что функция W (p) вырождена, вопреки

утверждению теоремы 2.

Последнее означает, что в представлении

W (p) =

ν(p)

∆(p)

многочлены ν(p) и ∆(p) имеют общий корень p

ν(p

) = 0, ∆(p

) = 0.

Векторный многочлен v(p) имеет вид

v(p) = p

n−1

+ . . . + pv

n−2

+ v

n−1

где коэффициенты v

, . . . , v

n−1

— некоторые постоянные векторы из

. Так как пара (A, b) полностью управляема, то векторы

, . . . , v

n−1

линейно независимы. В самом деле, иначе мы имели бы,

что ранг матрицы (v

, . . . , v

n−1

), столбцами которой являются век-

торы v

, . . . , v

n−1

меньше, чем n. Записывая этот факт через строки

матрицы, будем иметь

∗

= 0 (i = 0, . . . , n − 1)

для некоторого вектора d 6= 0. Тогда, очевидно, d

∗

v(p) = 0 ∀p ∈ C,

т.е. в силу (8)

∗

(pI − A)

−1

b = 0 ∀p ∈ C

(так как ∆(p) = 0 лишь в конечном числе точек p

∈ C, k = 1, . . . , n).

Последнее соотношение противоречит свойству (III

) полной управ-

ляемости системы (1).

Так как

(pI − A)v(p) = ∆(p)b, ν(p) = −c

∗

v(p),

то

I − A)v(p

) = 0, c

∗

v(p

) = 0. (9)

В силу доказанной выше линейной независимости векторов

, . . . , v

n−1

v(p

) 6= 0. (10)

Соотношения (9) и (10) в силу свойства (V I

) полной управляемо-

сти означают, что пара (A

∗

, c) неполностью управляема, или же по

теореме двойственности Калмана, что пара (A, c) неполностью на-

блюдаема. Получили противоречие. Следовательно, функция W (p)

невырождена.

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть теперь W (p) невырождена. Докажем,

что тогда пара (A, b) полностью управляема, а пара (A, c) полностью

наблюдаема.

Предположим противное, т.е. что или пара ( A, b) неполностью уп-

равляема, или пара (A, c) неполностью наблюдаема. Поскольку в

обоих случаях доказательство проводится совершенно аналогично,

то допустим, что пара (A, b) неполностью управляема.

Тогда по свойству (V III

) существует такая неособая матрица S,

что матрицы

A = S

−1

AS и

b = S

−1

b имеют вид (10) или (11) из §1.

Пусть они имеют вид (10):

A =

0 A

b =

, ˜c = S

∗

c =

|{z}

(Для случая, когда

A и

b имеют вид (11) из §1, рассуждения ана-

логичны). В силу свойства инвариантности передаточной функции

(см. §2, гл. I)

W (p) =

W (p) = ˜c

∗

(

A − pI)

−1

Обозначим

¯v

(p)

¯v

(p)

= (

A − pI)

−1

Тогда из равенства

(

A − pI)

¯v

(p)

¯v

(p)

или

− pI

0 A

− pI

¶µ

¯v

(p)

¯v

(p)

находим

¯v

(p) = (A

− pI

)

−1

¯v

(p) = 0,

при условии, что

det(A

− pI

) 6= 0, det(A

− pI

) 6= 0.

Здесь I

и I

– единичные матрицы порядков n

и n

. Следовательно,

W (p) =

W (p) = (c

∗

) ·

¯v

(p)

¯v

(p)

= c

∗

− pI

)

−1

Итак, мы представили функцию W (p) в виде отношения многочле-

нов со степенью знаменателя n

< n (n

— порядок матрицы A

Последнее означает, что функция W (p) вырождена, что противоре-

чит нашему предположению.