Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем

Подождите немного. Документ загружается.

где ξ

∈ C

— произвольный вектор, и повторяя рассуждения, про-

веденные для функции ϕ(p) (см. п.2), получим в силу свойства един-

ственности аналитической функции, что ψ(p) ≡ 0 для всех точек p

комплексной плоскости, за исключением собственных значений λ

(A)

матрицы A.

Имеет место представление (см., например, [184, с.50, § 2, гл.I]),

2πi

(pI − A)

−1

dp (t ∈ R), (20)

где Γ — окружность, содержащая внутри себя все собственные зна-

чения λ

(A) матрицы A и ориентированная в положительном на-

правлении (т.е. область, ограниченная Γ, во время обхода Γ остается

слева) (i — мнимая единица). Из (20) и (19), где Ω

= C\{λ

(A)},

получаем

∗

b =

2πi

∗

(pI − A)

−1

dp = 0 ∀t ∈ R (z

6= 0).

Отсюда следует свойство (II

), которое эквивалентно (II

). Тем са-

мым, установлено свойство (II

6. Импликация (I

) ⇒ (III

). Пусть выполнено (I

), т.е. суще-

ствует ненулевой вектор z

∈ R

такой, что

∗

b = 0 (k = 0, 1, . . . , n − 1). (21)

Пусть

det(pI − A) = p

+ d

n−1

+ . . . + d

По теореме Гамильтона—Кэли [48]

+ d

n−1

+ . . . + d

= O

, (22)

где O

, I

— нулевая и единичная (n × n)-матрицы соответствен-

но. Умножая обе части равенства (22) последовательно на A, A

, . . .,

получим

n+1

+ d

+ . . . + d

A = O

n+2

+ d

n+1

+ . . . + d

= O

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(23)

Из (22) и (23) следует, что матрицы A

, A

n+1

, A

n+2

, . . . являются ли-

нейными комбинациями матриц I

, A, A

, . . . , A

n−1

i=0

(k)

(k = n, n + 1, . . .).

Поэтому

∗

b =

n−1

i=0

(k)

∗

b = 0 (k = n, n + 1, . . .).

Итак, с учетом (21), имеем

∃ z

∈ R

, z

6= 0 : z

∗

b = 0 (k = 0, 1, 2, . . .). (24)

Разложим матричную функцию R(p) = (pI −A)

−1

в ряд по степе-

ням 1/p. Очевидно,

(pI − A)

−1

= p

−1

I −

−1

Очевидно, что если λ — собственное значение матрицы A, то λ/p

— собственное значение матрицы A/p. Поэтому при достаточно боль-

ших |p| все собственные значения матрицы A/p будут лежать внутри

единичного круга и, следовательно, имеет место разложение ([56])

I −

−1

= I + p

−1

A + p

+ . . . =

∞

k=0

, (25)

причем ряд (25) сходится при |p| > |Λ|, где Λ — максимальное по

модулю собственное значение матрицы A. Поэтому

R(p) = (pI − A)

−1

∞

k=0

, (|p| > |Λ|). (26)

Учитывая (24), из (26) получаем, что существует ненулевой вектор

∈ R

∗

(pI − A)

−1

b =

∞

k=0

−k

∗

b = 0

для любого p ∈ ∆, где ∆ — внешность круга радиуса |Λ| с центром

в точке 0. Последнее означает, что выполнено (III

7. Импликация (V

) ⇒ (I

). Прежде всего заметим, что матрица

K, определяемая формулой (9), неотрицательно определена. Дей-

ствительно, для любого z ∈ R

имеем

∗

Kz =

∗

b)(z

∗

dt =

∗

dt ≥ 0, (27)

т.е. z

∗

Kz ≥ 0 ∀z ∈ R

Пусть теперь справедливо (V

), т.е. существуют такие числа

< t

и существует такой ненулевой вектор z

∈ R

, что

∗

= 0. С учетом последнего равенства, из (27) получаем, что

∗

dt = 0.

Последнее равенство необходимо влечет тождество

∗

b ≡ 0 на [t

, t

]. (28)

В силу свойства единственности аналитической функции из (28) сле-

дует (см. рассуждения п.2), что справедливо также тождество

∗

b ≡ 0 на (−∞, +∞). (29)

Дифференцируя последовательно тождество (29), имеем

∗

b ≡ 0 ∀t ∈ (−∞, +∞) (k = 0, 1, 2, . . .). (30)

Положив в равенстве (30) t = 0, получим

∗

b = 0 (k = 0, 1, 2, . . .),

где z

6= 0, т.е. не выполняются соотношения (4). Тем самым уста-

новлено свойство (I

8. Импликация (п.упр.) ⇒ (V

). Докажем эквивалентное утвер-

ждение: (V

) ⇒ (п.упр.).

Предположим, что имеет место (V

), т.е. K > 0 для любых t

< t

Пусть t

, t

∈ R — произвольные числа, а x

, x

∈ R

— произвольные

векторы. Требуется найти такое управление u(t), t ∈ [t

, t

], чтобы

для соответствующего решения x(t) системы (1) были справедливы

равенства:

x(t

) = x

, x(t

) = x

. (31)

Будем искать требуемое управление u(t) в виде

u(t) = b

∗

−t)

c, (32)

где c ∈ R

— некоторый постоянный вектор, подлежащий определе-

нию. Тогда, поступая аналогично п.4, имеем:

− e

A(t

−t

)

A(t

−s)

∗

−s)

c ds =

−t

∗

т.е. получаем уравнение

− e

= K

c, (33)

где T = t

− t

, K

∗

dt, для определения вектора c.

Так как по условию матрица K

> 0, то det K

6= 0. Следователь-

но, существует обратная матрица K

−1

. Из уравнения (33) находим

c = K

−1

− e

). (34)

При указанном выборе управления в виде (32), где c определяется

согласно (34), соответствующее решение x(t) удовлетворяет услови-

ям (31). Следовательно, пара (A, b) полностью управляема.

9. Эквивалентность (V III

) ⇐⇒ (п.упр.).

9.1. Пусть справедливо утверждение (V III

), т.е. существует неосо-

бая матрица S такая, что имеют место равенства (10) или (11).

Сделаем в системе (1) линейное преобразование

x = Sξ.

Получим систему

ξ =

Aξ +

bu,

y = ˜c

∗

ξ,

(35)

где

A = S

−1

AS,

b = S

−1

b, ˜c = S

∗

c. Положим ξ = (ξ

, ξ

)

∗

, где ξ

и ξ

— векторы размерностей n

и n

соответственно (n

+ n

= n). Тогда

первое уравнение системы (35), примет вид (см. (10), (11))

(

= A

+ A

+ b

= A

или

(

= A

+ A

+ b

(36)

Из (36) видим, что ξ

= ξ

(t) или ξ

= ξ

(t) не зависит от управле-

ния u = u(t). Поэтому за счет выбора управления u(t) на интерва-

ле (t

, t

) невозможно удовлетворить соответствующее решение ξ(t)

условию ξ(t

) = ξ

при произвольном ξ

∈ R

. Следовательно, пара

(

b), значит, и пара (A, b) неполностью управляема.

9.2. Пусть имеет место утверждение ( п.упр.) — пара (A, b) непол-

ностью управляема. Тогда по доказанному выше (см. п.6, п.7)

( п.упр.)

(п.7)

⇒ (V

)

(п.6)

⇒ (I

и, следовательно, линейная оболочка L, натянутая на столбцы мат-

рицы R = (b, Ab, . . . , A

n−1

b) (см.(2)) не совпадает со всем простран-

ством R

. Так как по теореме Гамильтона-Кэли матрица A

являет-

ся линейной комбинацией матриц I

, A, . . . , A

n−1

(см. (22)), то ли-

нейное подпространство L ⊂ R

инвариантно относительно A. В

самом деле, пусть b

∈ R

(j = 1, . . . , m) — столбцы матрицы b:

b = (b

, b

, . . . , b

), и пусть x ∈ L. Тогда по самому определению L

имеем

x =

n−1

k=0

j=1

, α

∈ R.

Применяя к обеим частям последнего равенства оператор A, и за-

меняя матрицу A

ее выражением из (22) — линейной комбинацией

матриц I

, A, . . . , A

n−1

– получаем, что вектор

Ax =

n−1

k=0

j=1

k+1

(α

∈ R)

тоже является линейной комбинацией векторов матрицы R, т.е.

Ax ∈ L.

Обозначим через n

размерность линейного пространства L, а че-

рез n

— размерность прямого дополнения L пространства L до R

т.е. R

= L⊕ L (n

+ n

= n). Пусть

, s

, . . . , s

, s

, . . . , s

соответственно базисы в L и L. Образуем матрицы

= (s

, s

, . . . , s

) и S

= (s

, . . . , s

), столбцами которых

являются векторы базисов {s

}

j=1

и {s

}

j=n

пространств L и L

соответственно. Положим

S = (S

, S

Тогда столбцы матрицы S, очевидно, образуют базис во всем про-

странстве R

. Стало быть, S — неособая матрица.

Так как подпространство L инвариантно относительно A, то

∈ L (j = 1, . . . , n

), и, поэтому,

= α

+ . . . + α

(j = 1, . . . , n

), (37)

где α

∈ R (i = 1, 2, . . . , n

). Равенство (37) можно записать в виде

следующего матричного равенства

= S

, (38)

где A

— (n

× n

)-матрица, j-й столбец которой состоит из чисел

, . . . , α

Рассмотрим теперь As

, где j = n

+ 1, . . . , n. Так как векторы

}, (j = 1, . . . , n

; n

+ 1, . . . , n) (столбцы матрицы S) образуют

базис в R

, то имеют место разложения

= β

+ . . . + β

+ γ

+1j

+ . . . + γ

(j = n

+ 1, . . . , n).

(39)

Равенства (39) можно записать в виде одного матричного равенства

= S

+ S

, (40)

где A

— некоторая (n

×n

)-матрица, j-й столбец которой состоит

из чисел β

, . . . , β

, а A

— тоже некоторая (n

× n

)-матрица с

j-м столбцом, состоящим из чисел γ

+1j

, . . . , γ

По определению L столбцы матрицы b принадлежат L, следова-

тельно

= δ

+ . . . + δ

(j = 1, 2, . . . , m), (41)

где δ

∈ R (i = 1, . . . , n

Равенства (41) эквивалентны матричному равенству

b = S

, (42)

где b

— некоторая (n

×m)-матрица, j-й столбец которой образован

из чисел δ

, . . . , δ

Матричные равенства (38), (40), (42) можно записать, очевидно, в

виде

AS = S

0 A

, S

= b.

Отсюда следует, что матрицы S

−1

AS и S

−1

b имеют вид (10). Таким

образом, (п.упр) ⇒ ( V III

10. Эквивалентность (п.упр) ⇐⇒ (V I

10.1. Пусть имеет место свойство (V I

), т.е. существуют ненулевой

вектор z

∈ C

и число p

∈ C такие, что

∗

= p

, z

∗

b = 0. (43)

Для произвольного комплексного числа p, отличного от собственных

значений матрицы A, используя (43), получаем

∗

(A − pI) = z

∗

− p). (44)

Из очевидного равенства

∗

(A − pI)(A − pI)

−1

= z

∗

с учетом (44), имеем

∗

(A − pI)

−1

= z

∗

− p)

−1

Умножая последнее равенство справа на b и используя второе равен-

ство из (43), получим

∗

(A − pI)

−1

= 0,

т.е. имеет место свойство (III

). Следовательно (см. выше п.5 и п.4),

(III

) ⇒ (II

) ⇒ (п.упр),

т.е. пара (A, b) неполностью управляема.

10.2. Пусть система не является полностью управляемой. Тогда в

силу вышедоказанного (см. п.9) имеет место свойство (V III

), т.е.

существует такая неособая матрица S, что матрицы

A = S

−1

AS и

b = S

−1

имеют вид (10) или (11). Пусть, для определенности, они имеют вид

(10) (когда

A и

b имеют вид (11), рассуждения аналогичны).

Пусть p

∈ C — какое-либо собственное значение матрицы A

∗

, а

6= 0 — соответствующий ему собственный вектор:

∗

= p

∈ C

Тогда для вектора ˜z

= (0, z

)

∗

∈ R

имеем

∗

˜z

∗

= p

˜z

;

∗

˜z

= 0.

Так как

∗

= S

∗

)

−1

∗

= b

∗

)

−1

то

∗

)

−1

˜z

= p

∗

)

−1

˜z

, b

∗

)

−1

˜z

= 0.

Последние равенства означают, что

∗

= p

, b

∗

= 0,

где z

= (S

∗

)

−1

˜z

, причем z

6= 0 в силу того, что S — неособая

матрица, т.е. свойство (V I

) выполнено.

Таким образом, мы показали, что полная управляемость пары

(A, b) равносильна выполнению свойства (V I

11. Эквивалентность (III

) ⇐⇒ (IV

11.1. Пусть справедливо (IV

), т.е.

rank (d

, . . . , d

n−1

) < n, (45)

где d

, . . . , d

n−1

— коэффициенты многочлена (8). Из неравенства

(45) следует, что существует ненулевой вектор z

∈ R

такой, что

∗

= 0, . . . , z

∗

n−1

= 0. (46)

Умножая обе части равенства (8) слева на z

∗

и учитывая (46), полу-

чим

∗

(pI − A)

−1

b = 0

для всех p, отличных от собственных значений матрицы A, т.е. вы-

полнено свойство (III

) (за множество Ω можно принять множество

C\{λ

(A)}, где λ

(A) — собственные числа матрицы A).

11.2. Пусть выполнено (III

), т.е. существует такой ненулевой век-

тор z

∈ C

, что имеет место равенство (7). Тогда из равенства (8)

получаем, что

∗

n−1

+ . . . + z

∗

= 0 ∀p ∈ Ω, (47)

где Ω ⊂ C — множество, фигурирующее в (III

) теоремы 1.

Очевидно, что из (47) следуют равенства (46), которые означают

выполнение свойства (IV

Таким образом, нами доказана цепочка импликаций (13) и, значит,

имеем место (12). Тем самым, теорема 1 доказана полностью.

Из теоремы 1 вытекают следующие следствия.

Следствие 1. Пусть пара (A, b) полностью управляема. Тогда

для любой (n × m)-матрицы s пара (A + bs

∗

, b) также полностью

управляема.

Действительно, по доказанной выше теореме полная управляе-

мость равносильна свойству (IV

). Поэтому, предполагая, что вы-

полнены равенства

(A + bs

∗

)

∗

z = pz, b

∗

z = 0

для какого-либо p ∈ C и z ∈ C

, будем иметь:

∗

z = pz, b

∗

z = 0.

Отсюда, используя свойство (V I

), получим, что z = 0. Следователь-

но, пара (A + bs

∗

, b) полностью управляема.

Следствие 2. Если пара (A, b) полностью управляема, то пол-

ностью управляема также и пара (

b), где

A = S

−1

AS,

b = S

−1

(S — произвольная вещественная неособая матрица).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим матрицу

R = (

b, ··· ,

n−1

b).

Легко видеть, что

R = S

−1

где R — матрица (3). Поскольку при умножении матрицы на неосо-

бую матрицу ее ранг не изменяется, то

rank

R = rank R.

Отсюда, в силу полной управляемости пары (A, b), согласно свойству

) теоремы будем иметь

rank

R = n.

Следовательно, в силу того же свойства (I

) пара (

b) полностью

управляема.

Следствие 3. Если пара (A, b) полностью управляема, и λ

—

произвольное собственное число матрицы A, то дефект (разность

между порядком матрицы и ее рангом) d матрицы (A − λ

I) не

превосходит ранга матрицы b.

В частности, если m = 1, то d = 1.

Действительно, пусть r — ранг матрицы b. Предположим, что

d > r. Поскольку при умножении матрицы на неособую матрицу

ее ранг не изменяется, то

rank (A − λ

I) = rank J,

где J = S

−1

(A−λ

I)S — каноническая (жорданова) форма матрицы

(A − λ

I), S — некоторая неособая матрица.

Так как число линейно независимых столбцов у матрицы b равно

r, а у матрицы J (и значит, у матрицы (A−λ

I)) равно n−d, то число

линейно независимых столбцов матрицы (A −λ

I, b) не превосходит

r + n − d, т.е.

rank (A − λ

I, b) ≤ r + n − d. (48)

Поскольку r + n −d < n, то из (48) следует, что выполнено свойство

(V II

), равносильное неуправляемости пары (A, b), что противоре-

чит условию. Следовательно, d ≤ r, что и утверждалось.

Замечание 1. Так как, очевидно, дефект матрицы A −λ

I равен

числу жордановых клеток в канонической форме матрицы A, отве-

чающих собственному значению λ

, то в случае m = 1, т.е. когда b

— одностолбцовый вектор, из полной управляемости пары (A, b) (в

силу следствия 3) следует, что каждому собственному значению λ

матрицы A отвечает лишь одна жорданова клетка в канонической

форме матрицы A.

Замечание 2. Из свойства (V III

) вытекает, к какому виду (36)

может быть приведена система, если она неполностью управляема.

Из (36) видно, что в неполностью управляемой системе всегда мо-

жет быть выделена подсистема, в которой отсутствует управляющее

воздействие.