Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем
Подождите немного. Документ загружается.
111
в противном случае — о линейной нестационарной стабилизации
системы (1).
В случае линейной стационарной стабилизации данное выше опре-
деление означает, что система (1) стабилизируема (или тройка (A, b, c)
стабилизируема), если существует такая обратная связь (2), где s —
постоянная (` × m)-матрица, что замкнутая система (3) асимптоти-
чески устойчива, т.е. матрица A + bs
∗
c
∗
гурвицева.
§ 4. Стабилизируемость полностью управляемой системы
(стабилизируемость пары (A, b))
Здесь мы дадим решение задачи стационарной стабилизируемости
для линейной системы
˙x = Ax + bu, x ∈ R
n
, u ∈ R
m
, (1)
где A и b — вещественные постоянные (n × n)− и (n × m)-матрицы
соответственно, x — вектор состояния, u — вектор управления или
входа, m ≥ 1 (выходом y систeмы (1) является вектор состояния, т.е.
y = x).
Требуется найти (n × m)-матрицу s (вещественную) такую, что-
бы матрица A + bs
∗
была гурвицевой, т.е. чтобы спектр σ(A + bs
∗
)
матрицы A + bs
∗
лежал в левой полуплоскости.
1. Вспомогательные утверждения. Докажем вначале некото-
рые леммы, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Отметим, что при невырожденном преобразовании переменных
x = Qy, y ∈ R
n
, (2)
где Q — неособая матрица (det Q 6= 0), система (1) переходит в си-
стему
˙y =
e
Ay +
e
bu (y ∈ R
n
),
где
e
A = Q
−1
AQ,
e
b = Q
−1
b.
Лемма 1. Пусть полностью управляемая система (1) невырож-
денным преобразованием переменных (2) приведена к виду
(
˙y
1
= λy
1
+
e
b
1
u, y
1
∈ R,
˙y
2
= Cy +
e
b
2
u, y
2
∈ R
n−1
,
(3)
112
где λ ∈ R, C — матрица порядка (n−1)×n,
e
b
1
= (
e
b
11
, ··· ,
e
b
1m
),
e
b
∗
1
∈
R
m
,
e
b
2
— матрица порядка (n − 1) × m, u = (u
1
, ··· , u
m
)
∗
∈ R
m
,
y = (y
1
, y
2
)
∗
.
Тогда существует ортогональное преобразование
u = T v (v ∈ R
m
),
(T T
∗
= I, I — единичная (m × m)-матрица) такое, что в преобра-
зованной матрице-строке b
0
1
=
e
b
1
T первый элемент b
0
11
6= 0 (здесь
b
0
1
= (b
0
11
, ··· , b
0
1m
)).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
e
b
11
= 0 (если
e
b
11
6= 0, то, полагая
T := I, получаем утверждение леммы 1). Тогда в силу полной управ-
ляемости системы (1) существует такой номер k ∈ {2, ··· , m}, что
e
b
1k
6= 0. Действительно, в противном случае в системе (3) матрицы
коэффициентов при переменных y и u приняли бы вид
˜
A =
µ
λ 0
C
1
C
2
¶
} 1
} n − 1,
e
b =
µ
0
e
b
2
¶
} 1
} n − 1
|{z}
1
|{z}
n−1
и в силу свойства (V III
у
) теоремы 1 из § 1, гл.II система (1) была
бы неполностью управляемой.
Введем переобозначения
v
1
= u
k
, v
k
= u
1
, v
j
= u
j
(j 6= 1, k).
Последние равенства можно записать в виде
u = T v, (4)
113
где
T =
(k)
0
.
.
. 1
.
.
. 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
. 0
.
.
. 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 1
(k)
(5)
(матрица T порядка m ×m получается из единичной I
m
перестанов-
кой 1-го и k-го столбцов). Очевидно, что у матрицы b
0
=
e
bT элемент
b
0
11
=
f
b
1k
6= 0. Лемма 1 доказана.
Замечание. В силу леммы 1, без умаления общности, можно все-
гда считать, что в (3)
e
b
11
6= 0.
Лемма 2. Пусть полностью управляемая система (1) невырож-
денным преобразованием переменных (2) приведена к виду
˙y
1
= λ
1
y
1
+ λ
2
y
2
+
e
b
1
u, y
1
∈ R,
˙y
2
= λ
3
y
1
+ λ
4
y
4
+
e
b
2
u, y
2
∈ R,
˙y
3
= Dy +
e
b
3
u, y
3
∈ R
n−2
,
(6)
где λ
j
∈ R, (j = 1, 2, 3, 4), D — матрица порядка (n − 2) × n,
e
b
i
= (
e
b
i1
, ··· ,
e
b
im
),
e
b
∗
i
∈ R
m
, (i = 1, 2),
e
b
3
— матрица порядка
(n − 2) × m, u = (u
1
, ··· , u
m
)
∗
∈ R
m
, y = (y
1
, y
2
; y
3
)
∗
.
Тогда существует ортогональное преобразование u = T v (v ∈
R
m
; T T
∗
= I) такое, что в преобразованных матрицах — строках
b
0
1
=
e
b
1
T, b
0
2
=
e
b
2
T
по крайней мере один из первых элементов b
0
11
, b
0
21
отличен от ну-
ля: b
0
11
6= 0 или b
0
21
6= 0 (здесь b
0
i
= (b
0
i1
, ··· , b
0
im
), i = 1, 2).
114
Д о к а з а т е л ь с т в о . Оно проводится аналогично доказатель-
ству леммы 1. В силу полной управляемости системы (1) согласно
свойству (V III
у
) теоремы 1 из § 1, гл.II должно быть:
e
b
1
6= 0 и
e
b
2
6= 0.
Если
e
b
11
6= 0 или
e
b
21
6= 0, то утверждение леммы 2 доказано (T := I).
Пусть
e
b
11
=
e
b
21
= 0. Тогда, в силу сказанного выше, по крайней ме-
ре одно из чисел
e
b
i2
··· ,
e
b
im
(i = 1, 2), скажем
e
b
ik
, k ∈ {2, ··· , m}, от-
лично от нуля. Далее, сделав преобразование (4), (5), получим утвер-
ждение леммы 2. Лемма 2 доказана.
Замечание. В силу леммы 2, без умаления общности, всегда мож-
но считать, что в (6) или
e
b
11
6= 0, или
e
b
21
6= 0.
Лемма 3. Пусть
B =
µ
b
1
b
3
b
2
b
4
¶
C =
µ
α −β
β α
¶
— матрицы порядков (2 × 2), (b
i
, α, β ∈ R, i = 1, 2, 3, 4), причем
β 6= 0, и по крайней мере один из элементов b
i
отличен от нуля.
Тогда существует такая вещественная матрица
R =
µ
r
1
r
3
r
2
r
4
¶
(r
i
∈ R, i = 1, 2, 3, 4), что матрица C + BR имеет только веще-
ственные собственные значения.
Д о к а з а т е л ь с т в о очевидно. Действительно, если:
1) b
1
6= 0, то положим
r
1
= r
2
= r
4
= 0, r
3
= β/b
1
;
2) b
2
6= 0, то положим
r
2
= r
3
= r
4
= 0, r
1
= −β/b
2
;
3) b
3
6= 0, то положим
r
1
= r
2
= r
3
= 0, r
4
= β/b
3
;
4) b
4
6= 0, то положим
r
1
= r
3
= r
4
= 0, r
2
= −β/b
4
.
Во всех четырех случаях 1)—4) матрица C + BR имеет только
вещественные собственные значения. Лемма 3 доказана.
Совершенно аналогично предыдущей лемме доказывается
115
Лемма 4. Если
B =
µ
b
1
b
2
¶
, C =
µ
α −β
β α
¶
— матрицы порядков 2 × 1 и 2 × 2 соответственно (b
i
, α, β ∈ R;
i = 1, 2), причем β 6= 0, |b
1
| + |b
2
| 6= 0, то существует такая ве-
щественная матрица-строка R = (r
1
, r
2
), что матрица C + BR
имеет только вещественные собственные значения.
Следующие две леммы позволяют по заданной матрице с неве-
щественными собственными значениями построить другую матрицу,
все собственные значения которой уже вещественны.
Лемма 5. Пусть Λ и B — вещественные (n × n)- и (n × m)-
матрицы соответственно, пара (Λ, B) полностью управляема и все
собственные значения матрица Λ невещественны.
Тогда существует (m × n)-матрица (вещественная) R такая,
что все собственные значения матрицы Λ + BR вещественны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть λ
1
,
¯
λ
1
; ··· , λ
`
,
¯
λ
`
; λ
j
,
¯
λ
j
=
α
j
± iβ
j
, β
j
6= 0 (j = 1, ··· , `; n = 2`) — собственные значения мат-
рицы Λ с учетом их кратностей (каждая пара λ
j
,
¯
λ
j
выписывается
столько раз, какова кратность λ
j
(
¯
λ
j
) как корня характеристического
уравнения det (pI − Λ) = 0 ).
Приведем матрицу Λ к вещественной "нижней"жордановой нор-
мальной форме [48]:
e
Λ = Q
−1
0
AQ
0
= diag {K
1
(λ
1
), ··· , K
q
(λ
q
)}, (q ≤ `),
где Q
0
— неособая матрица (det Q
0
6= 0), K
σ
(λ
σ
), (σ = 1, ··· , q) —
"нижняя"жорданова клетка размера κ
σ
≥ 2, (
P
q
σ=1
κ
σ
= n):
K
σ
(λ
σ
) =
C
σ
O
2
. . . O
2
O
2
E
2
C
σ
. . . O
2
O
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
O
2
O
2
. . . C
σ
O
2
O
2
O
2
. . . E
2
C
σ
,
C
σ
=
µ
α
σ
−β
σ
β
σ
α
σ
¶
, E
2
=
µ
1 0
0 1
¶
, O
2
=
µ
0 0
0 0
¶
.
116
Перенумеровав подряд все (2 × 2)-матрицы C
σ
, стоящие вдоль
главной диагонали, перепишем
e
Λ в виде
e
Λ =
C
1
O
2
. . . O
2
F
2
C
2
. . . O
2
O
2
F
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. C
l−1
O
2
O
2
O
2
. . . F
2
C
`
, (7)
где F
2
либо двумерная единичная, либо двумерная нулевая матрица.
1) Построим (m × n)-матрицу
e
R
1
такую, чтобы матрица
e
Λ
1
=
e
Λ +
e
B
e
R
1
,
где
e
B = Q
−1
0
B, имела вид:
e
Λ
1
=
µ
D
1
0
G
1
Ω
1
¶
} 2
} n − 2
,
|{z}
2
|{z}
n−2
(8)
где D
1
— (2 × 2)-матрица, имеющая два (быть может равных) ве-
щественных собственных значения, Ω
1
— (n − 2) × (n − 2)-матрица,
собственные значения которой суть λ
2
,
¯
λ
2
; ···λ
`
,
¯
λ
`
, а G
1
— некоторая
(n − 2) × 2-матрица.
Для этого положим
e
R
1
=
µ
R
0
11
0
0 0
¶
} 2
} m − 2
|{z}
2
|{z}
n−2
(m ≥ 2), (9)
где (2 ×2)-матрица R
0
11
подлежит определению (в случае m = 1, R
0
11
– матрица-строка размерности 2). Пусть
e
B =
Ã
e
B
11
e
B
12
e
B
21
e
B
22
!
} 2
} n − 2
|{z}
2
|{z}
m−2
(m ≥ 2), (10)
(в случае m = 1,
e
B
11
и
e
B
21
— одностолбцовые матрицы размерностей
2 × 1 и (n − 2) × 1 соответственно). Так как пара (Λ, B) полностью
управляема, то в силу леммы 2 (см. замечание)
e
B
11
6= 0.
117
Из (7), (9), (10) имеем
e
Λ +
e
B
e
R
1
=
Ã
C
1
+
e
B
11
R
0
11
0
F +
e
B
21
R
0
11
Ω
1
!
} 2
} n − 2
| {z }
2
|{z}
n−2
, (11)
где
Ω
1
=
C
2
O
2
. . . O
2
F
2
C
3
. . . O
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
O
2
O
2
. . . C
`
, F =
F
2
O
2
.
.
.
O
2
. (12)
(Ω
1
— (n − 2) × (n − 2)-матрица, F — (n − 2) × 2-матрица).
По лемме 3 (при m = 1 по лемме 4) существует матрица R
0
11
такая,
что матрица
C
1
+
e
B
11
R
0
11
имеет только вещественные собственные значения. Следовательно,
матрица (11) имеет вид (8), где
D
1
= C
1
+
e
B
11
R
0
11
, G
1
= F +
e
B
21
R
0
11
.
При этом имеем
e
Λ
1
=
e
Λ +
e
B
e
R
1
= Q
−1
0
(Λ + B
e
R
1
Q
−1
0
)Q
0
. (13)
Так как в силу (13) матрица
e
Λ
1
подобна матрице
Λ
1
= Λ + BR
1
, (14)
где R
1
=
e
R
1
Q
−1
0
, и, значит, их собственные значения совпадают, то
матрица Λ
1
имеет два вещественных (быть может равных) и n − 2
невещественных собственных значений, причем в силу следствия 1
теоремы 1 из § 1, гл.II пара (Λ
1
, B) полностью управляема, поскольку
полностью управляема пара (Λ, B).
2) Далее, в матрице (8), где Ω
1
определяется из (12), перестанов-
кой 1-й и 3-й, 2-й и 4-й строк и 1-го и 3-го, 2-го и 4-го столбцов, пе-
реставим местами матрицы D
1
и C
2
, расположенные вдоль главной
118
диагонали. Эта операция, как легко убедиться, равносильна умно-
жению матрицы
e
Λ
1
слева и справа на ортогональную матрицу
T
1
=
0 0 1 0 0 . . . 0
0 0 0 1 0 . . . 0
1 0 0 0 0 . . . 0
0 1 0 0 0 . . . 0
0 0 0 0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 0 0 . . . 1
4
n − 4
| {z }
4
| {z }
n−4
(матрица T
1
получается из единичной матрицы перестановкой 1-й
и 3-й, 2-й и 4-й строк). Матрица T
1
e
Λ
1
T
1
имеет те же собственные
значения, что и матрица Λ
1
(так как
e
Λ
1
подобна Λ и T
−1
1
= T
∗
1
=
T
1
), но она, вообще говоря, уже не имеет нижнего треугольного вида
(8). Поэтому сделаем над этой матрицей преобразование подобия (с
матрицей подобия P
1
)
e
e
Λ
1
= P
−1
1
(T
1
e
Λ
1
T
1
)P
1
, (det P
1
6= 0)
приводящее её к нижнему треугольному виду, например, к веще-
ственной "нижней"жордановой нормальной форме:
e
e
Λ
1
= Q
−1
1
e
Λ
1
Q
1
=
C
2
O
2
O
2
. . . O
2
F
2
e
D
1
O
2
. . . O
2
O
2
F
2
C
3
. . . O
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
O
2
O
2
O
2
. . . C
`
, (15)
где Q
1
= T
1
P
1
,
e
D
1
— (2×2)-матрица, имеющая только вещественные
собственные значения (те же, что и матрица D
1
).
119
Пусть
e
e
B = Q
−1
1
e
B =
e
e
B
11
e
e
B
12
e
e
B
21
e
e
B
22
} 2
} n − 2
|{z}
2
|{z}
m−2
, (16)
(при m = 1,
e
e
B
11
и
e
e
B
21
— одностолбцовые матрицы размерностей 2×1
и (n − 2) × 1 соответственно).
Поскольку пара (Λ
1
, B) полностью управляема, то в силу след-
ствия 2 теоремы 1 из § 1, гл.II полностью управляемой будет и пара
(
e
Λ
1
,
e
B). Поэтому по лемме 2 (см. замечание)
e
e
B
11
6= 0.
Как и в п.1) построим (m ×n)-матрицу
e
R
2
такую, чтобы матрица
e
e
Λ
2
=
e
e
Λ
1
+
e
e
B ·
e
R
2
имела вид
e
e
Λ
2
=
µ
D
2
0
G
2
Ω
2
¶
} 2
} n − 2
|{z}
2
|{z}
n−2
, (17)
где D
2
— (2 × 2)-матрица, имеющая два (быть может равных) ве-
щественных собственных значения, Ω
2
— (n − 2) × 2-матрица, соб-
ственные значения которой суть λ
3
,
¯
λ
3
, ··· , λ
`
,
¯
λ
`
, а G
2
-некоторая
(n − 2) × 2-матрица.
Для этого полагая
e
R
2
=
µ
R
00
11
0
0 0
¶
} 2
} m − 2
|{z}
2
|{z}
m−2
, (m ≥ 2), (18)
(при m = 1, R
00
11
— однострочная матрица размерности 1 × 2), как и
в п.1), используя лемму 3 (при m = 1 лемму 4), найдем матрицу R
00
11
такую, чтобы матрица
C
2
+
e
e
B
11
R
00
11
имела только вещественные собственные значения.
120
С учетом (15), (16) и (18) получаем, что матрица
e
e
Λ
1
+
e
e
B
e
R
2
имеет
вид (17), где
D
2
= C
2
+
e
e
B
11
R
00
11
,
Ω
2
— матрица, получающаяся из Ω
1
(см. (12)) заменой C
2
на
e
D
1
, а
G
2
= F +
e
e
B
2
R
00
11
.
При этом в силу (13) и (14) имеем
e
e
Λ
2
=
e
e
Λ
1
+
e
e
B
e
R
2
= Q
−1
1
(
e
Λ
1
+
e
B
e
R
2
Q
−1
1
)Q
1
=
= Q
−1
1
Q
−1
0
(Λ
1
+ B
e
R
2
Q
−1
1
Q
−1
0
)Q
0
Q
1
.
Матрица
Λ
2
= Λ
1
+ BR
2
, (19)
где R
2
=
e
R
2
Q
−1
1
Q
−1
0
, подобна матрице
e
e
Λ
2
и, поэтому, имеет четы-
ре вещественных (среди которых могут быть равные) и n − 4 неве-
щественных собственных значений λ
3
¯
λ
3
, ··· , λ
`
,
¯
λ
`
, причем согласно
следствию 1 теоремы 1 из § 1, гл.II пара (Λ
2
, B) будет полностью
управляемой.
Из (19), с учетом (14), имеем
Λ
2
= Λ + B(R
1
+ R
2
).
Продолжая этот процесс, как и выше, будем последовательно по-
лучать матрицы R
3
, R
4
, ··· , R
k
, ···, и соответственно матрицы
Λ
3
, Λ
4
, ··· , Λ
k
, ··· (аналогичные (14) и (19)), причем матрица Λ
k
бу-
дет иметь 2k вещественных и 2(` − k) невещественных собственных
значений. Через ` шагов, очевидно, получим матрицу
R = R
1
+ ··· + R
`
такую, что матрица
Λ
`
= Λ
`−1
+ BR
`
= Λ
`−2
+ B(R
`−1
+ R
`
) = ··· = Λ + BR
имеет только вещественные собственные значения. Тем самым, лем-
ма 4 доказана.
Совершенно аналогично лемме 5 доказывается
Лемма 6. Пусть A и B — произвольные (n × n)- и (n × m)-
матрицы соответственно, причем пара (A, B) полностью управ-
ляема.