Лекции по механике разрушения

Подождите немного. Документ загружается.

1. Представления древних о прочности и разрушении –

прeдыстория механики разрушения

Говоря о разрушении, нельзя обойти стороной вопросы о том, как устроено

твердое тело, что держит его в целостности, почему оно не рассыпается при любой

деформации.

Представления о природе прочности и деформативности неизбежно связаны с

общефизическими теориями, в первую очередь с учением о строении материи. Это

просматривается уже на заре развития науки. Сюда относятся, в частности, поиски

той первоосновы, на которой зиждется мироздание.

В отличие от ионийцев Эмпедокл (ок. 490-ок. 430 до н.э.) в основу мироздания

положил не единую первосущность, а четыре независимых элемента (стихии):

огонь, воздух, воду и землю. Он наделял их вечностью, неизменностью и

однородностью. По его учению, все тела состоят из названных элементов,

количественное соотношение которых определяет свойства того или иного тела.

Пустоту Эмпедокл не признавал. “Нет во всей вселенной нигде пустоты: и откуда ей

взяться?” – писал он.

По дошедшим до нас источникам трудно установить, каковы были причины

прочности тел, на которые указывал Эмпедокл. Известны ссылки на Любовь

(Дружбу) как начало, противоборствующее Вражде (Ненависти). Эмпедокл,

перенося эти этические понятия на всю природу, приписывал им роль причин,

приводящих в движение материю. Если вражда разъединяет, разрушает вещи, то

Любовь соединяет их, создает стабильность.

К рассматриваемой проблематике следует, по-видимому, отнести еще

свидетельство Платона о том, что каждое из фигурирующих у Эмпедокла

первоначал (огонь, вода, земля и воздух) “…носилось по воле присущей ему

случайной силы, а там, где они сталкивались, они прилаживались друг к другу

благодаря некоторому сродству: теплое к холодному, сухое к влажному, мягкое к

твердому. Словом, все необходимо и согласно судьбе смешалось путем слияния

противоположных начал…”.

Большой вклад в понимание сущности материи внесли античные атомисты.

Демокрит утверждал, что атомы бесконечно разнообразны по величине и

форме. В частности, среди них есть такие, которые обладают всякого рода

крючками, ушками, петельками, зацепками, впадинами, выступами и прочими

деталями, посредством которых может происходить сцепление атомов друг с

другом (рис. 1).

Рис. 1. Предполагаемая форма атома

В отличие от Демокрита Эпикур считал невозможным существование атомов с

выступами, крючками и т.п., т.к. они были бы хрупки, разрушимы. Эпикур говорил,

что “нет ни крючкообразных, ни трезубцеобразных, ни закрученных атомов; ведь

такие формы хрупки, тогда как атомы не поддаются внешнему воздействию и

неразрушимы”.

Понимая, что без выступающих деталей объяснение сцепления атомов

становится затруднительным, Лукреций, стоявший в целом на позициях Эпикура, в

вопросе о форме атомов вернулся к точке зрения Демокрита. Свои представления на

этот счет он выразил следующим образом:

Что, наконец, представляется нам затверделым и плотным,

То состоять из начал крючковатых должно несомненно,

Сцепленных между собой наподобие веток сплетенных.

Картины, сходные сравнению сцепившихся атомов со сплетенными ветками,

Лукреций рисует и в других местах своей поэмы, прямо указывая, что сцеплением

атомов обеспечивается сопротивление тел внешним воздействиям, их прочность:

…раз на деле начал сцепления между собою

Многоразличны и вся существует материя вечно,

Тело вещей до тех пор нерушимо, пока не столкнется

С силой, которая их сочетанье способна разрушить.

Прочность тел ставится в прямую зависимость от формы атомов, создающей

предпосылки к большей или меньшей степени сцепления, а также от их размера и

веса:

…маковых зерен высокую кучу рассеять

До основанья легко и ничтожному веянью ветра,

Но никогда ни камней, ни колосьев, наваленных грудой,

Не разнесет он. И так, чем тела будут меньше и глаже,

Тем и подвижность у них непременно окажется большей.

Те же, напротив, тела, что увесистей будут, а также

Шероховатей, всегда обнаружат и большую стойкость.

Здесь под телами Лукреций подразумевает атомы. Вот еще пример,

иллюстрирующий представления Лукреция о природе прочности:

Вещи, в которых их ткань совпадает взаимно с другою,

Так что, где выпуклость есть, у другой оказалась бы там же

Впадина, – эта их связь окажется самою тесной.

Есть и такие еще, что крючками и петлями будто

Держатся крепко и так друг с другом сцепляются вместе.

Из этого отрывка видно, что механизм взаимного соединения составных частей

тел у Лукреция неоднозначен: наряду с ранее называвшимися связями типа крючков

и петель здесь вводится понятие о ткани вещей, плотное взаимное соприкосновение

частей которой (мы могли бы эти части назвать волокнами) удерживает последние в

связном состоянии. Хотя из текста неясно, как именно Лукреций толкует строение

ткани вещей, здесь можно видеть предвосхищение той трактовки природы

прочности, которую впоследствии использовал Галилей для тел, имеющих

волокнистое строение.

Резюмируя изложенное выше, можно сказать, что основу прочности тел древние

атомисты видели в неразрушимости и недеформируемости атомов, которая сама по

себе являлась для них основным, исходным положением. Всякого рода

механические связи между атомами позволяют последним образовывать тела,

способные сопротивляться внешним силам; при этом атомы, входящие в состав тел,

находятся в непрерывном движении относительно друг друга. Под действием

внешних сил они изменяют взаимное положение, вследствие чего происходят

деформации тел.

Спрашивается, дают ли представления античных атомистов возможность

построить модель деформируемого тела, обладающего некоторым критерием

прочности? Ответ на этот вопрос зависит от того, рассматривать ли атомы,

образующие тело, взаимно неподвижными или находящимися во взаимном

движении.

В первом случае, т.е. когда твердые, неизменяемые атомы, которые, войдя в

зацепление друг с другом, взаимно покоятся, не движутся, представить себе

деформации тел и их разрушение под действием определенных статических

нагрузок невозможно. В самом деле, система абсолютно твердых, неизменяемых тел

может быть:

а) геометрически изменяемой. Такая система вообще не способна

сопротивляться внешним нагрузкам;

б) геометрически неизменяемой. В этом случае никакие статически

приложенные силы, сколь бы они ни были велики, не смогут вызвать ни

деформаций, ни разрушения. Правда, если говорить о динамическом действии сил,

то деформации тел можно объяснить перегруппировкой атомов (например,

перескакиванием их с зацепки на зацепку, с крючка на крючок), происходящей от

встряхивания; разрушение можно представить как полную потерю связей,

зацеплений от очень сильного встряхивания. Но при этом картина все равно будет

чисто качественной и довольно неопределенной.

Иначе дело обстоит, если вместе с древними атомистами рассматривать атомы,

образующие тело, находящимися в непрерывном взаимном движении. Древние

атомистические концепции, дополненные некоторыми элементарными знаниями,

появившимися позднее, позволяют построить качественную и количественную

теорию деформаций и разрушения тел.

Приведем один из возможных вариантов модели деформируемого тела,

обладающего определенными прочностными критериями, исходя из того, что тело

образуют абсолютно твердые атомы, находящиеся в непрерывном взаимном

движении.

Представим себе, что тело (для простоты будем считать, что оно имеет форму

прямого бруса) состоит из параллельных волокон, имеющих периодически

повторяющуюся структуру (рис. 2). В каждом из них чередуются атомы, центры

тяжести которых находятся на оси волокна, и сочленения из одинаковых атомов,

образующих ромбические фигуры. Атомы, входящие в ромбические сочленения,

при желании можно отнести к разряду тех, которые Эпикур назвал приведенными

сплетением в наклонное положение. Число ромбических сочленений в составе

каждой ячейки равно k. Все атомы соединены между собой таким образом, что

могут беспрепятственно поворачиваться вокруг соединений, как вокруг шарниров.

Все волокна вращаются вокруг своих осей; при этом вращательное движение

наклонных атомов ромбических фигур по своему характеру близко к тому

дрожательному, вибрирующему (в смысле периодического возвращения в одно и то

же положение) движению, о котором говорили древние.

Рис. 2. Структура элементарного волокна

Пусть на тело действует продольная сила Р, равномерно распределенная на все

волокна. Если число волокон равно n, то на долю каждого из них придется сила Р/n,

а на каждое ромбическое сочленение (при числе их k в каждой ячейке) – сила P/nk.

Рис. 3. Система сил в ромбическом сочленении

На рис. 3 схематически изображено одно такое ромбическое сочленение,

выделенное из ячейки. Оно находится в состоянии равновесия под действием

продольных растягивающих сил P/nk и центробежных сил F, приложенных к

наклонным атомам в их центрах тяжести.

Если линейная скорость вращения центра тяжести С любого наклонно

расположенного атома равна v, а масса атома – m, то F=mv

/r. Обозначив угол

наклона оси атома к плоскости, перпендикулярной оси волокна, через , будем

иметь r = b cos  и F=mv

/b cos , где b = CB – расстояние от центра тяжести С

наклонного атома до точки B присоединения его к атому, расположенному вдоль

оси волокна.

Взяв сумму моментов сил, действующих на наклонный атом, относительно

точки B, получим:

(P/2nk) a cos  = Fbsin ,

откуда

P = 2nkF(b sin /a cos ) = 2nk(mv

/a)(sin /(1-sin

)). (1)

Здесь а=АВ – расстояние между противоположными точками прикрепления

рассматриваемого атома к соседним атомам.

Пока к волокну не приложена внешняя нагрузка, центры тяжести всех атомов,

образующих ромбическую фигуру, расположены в плоскости, перпендикулярной

оси волокна, т.е.  = 0. Если первоначальная длина волокон, соответствующая

такому ненагруженному состоянию равна L, а длина каждого атома-вставки,

находящегося на оси волокна, равна l, то в составе волокна имеется t = L/l атомов-

вставок и t – l ячеек, составленных из наклонных атомов. Так как t – очень большое

число, то число ячеек может быть принято равным L/l. Под действием

растягивающего усилия точки В и В

расходятся на расстояние ВВ

= 2,

представляющее собой удлинение в пределах одной ячейки.

Полное удлинение волокон

L = 2t = 2(L/l). (2)

Вернувшись к формуле (1) и подставив в нее sin  = /a, получим:

 

nk2P







При малых деформациях, когда отношение /a

невелико по сравнению с

единицей, приближенно можно записать:



nkP

откуда

2nkmv



. (3)

Подставив (3) в (2), получаем:

lnkmv

PLa



. (4)

Если считать, что волокна находятся друг от друга на равных расстояниях, а

площадь поперечного сечения бруса равна S, то можно ввести величину f = S/n, так

что n = S/f. После этого (4) приобретает вид

lkmv

lSkmv

fPLa















Входящая сюда величина kmv

l/a

f представляет собой константу, зависящую от

геометрических особенностей атомного строения тела, массы и скорости движения

атомов; она характеризует деформационные свойства тела и соответствует его

модулю упругости.

Обозначив

lkmv



, (5)

получим

L 

т.е. закон Гука.

Использованная модель тела дает объяснение не только продольным, но и

поперечным деформациям, имеющим обратный знак: когда диагональ ромба,

совпадающая с осью волокна, увеличивает длину, перпендикулярная ей поперечная

диагональ уменьшается.

Разрушение тела можно представить в различных вариантах как нарушение

сцепления атомов при достижении ими определенного предельного угла наклона.

Одна из возможных интерпретаций этого явления иллюстрируется рисунком. Концы

атомов, находящихся на оси волокна, разветвлены, и за них зацепляются

крючкообразные концы атомов, входящих в ромбовидные сочленения (рис. 4).

Пока углы наклона атомов невелики, это зацепление обеспечивает прочное

состояние волокна. Когда конец крюка наклонного атома оказывается на линии

действия реакции, удерживающего его ответвления, наступает предельное

состояние, за которым следует соскакивание крюка с ответвления, т.е. разрушение

волокна. Имея величину угла , на который конец крюка заходит за осевую линию

АБ наклонного атома, нетрудно найти, чему равен угол 

разр

, отвечающий этому

предельному состоянию. Отсюда получается



разр

= a sin

разр

ΔL

разр

=2(L/l)

разр

И, наконец,

разр

ESP 



 sin2

Такое разрушение имеет, можно сказать, хрупкий характер. Если крюк

наклонного атома дополнительно снабдить прямолинейным удлинением, на конце

которого имеется еще один крюк (на рис. 4 показаны штриховыми линиями), то,

прежде чем произойдет полное расцепление атомов, возникнут перемещения без

увеличения нагрузки, имитирующие явление, подобное пластическим деформациям.

Тот факт, что разрушение начинается в некотором месте, может быть объяснен

наличием в этом месте атома с уменьшенным углом охвата (дефектный атом).

Рис. 4. Нарушение сцепления атомов

При описанной модели критерием прочности служит достижение

определенного угла наклона атомов, т.е. определенных деформаций. Следовательно,

если прибегать к современной терминологии, здесь мы имеем дело со второй

теорией прочности.

Приведенное построение модели деформируемого тела, наделенного

прочностными характеристиками, конечно, не есть реконструкция рассуждений

античных атомистов. Цель состоит в том, чтобы показать, к каким результатам

древняя атомистическая концепция могла бы легко привести, если бы древние

располагали несколько большими знаниями в области механики (по сути, им не

хватило для этого лишь знания формулы центробежной силы). Что касается

использованного здесь элементарного математического аппарата, то он без труда

мог бы быть изложен на языке античной математики. Во всяком случае подобные

построения были доступны последователям Демокрита и Эпикура, жившим в XVII

в.

Известны многочисленные попытки древних понять и описать природу

разрушения.

Описывая гибель вещей, Эмпедокл пользуется чисто механическими

представлениями, когда говорит, что соединение элементов “разлетается,

разодранное”.

У ионийского натурфилософа Анаксимена (ок. 588-ок. 525 до н.э.)

обнаруживаются зачаточные представления теории деградации. Излагая его

взгляды, Сенека писал: “…все рушится от ветхости, и нет ничего, что было бы

защищено от старости. Сия даже твердое и великой крепостью наделенное изнуряет.

И подобно тому, как в старых зданиях некоторые части и без удара отваливаются,

так и в этом совокупном теле земли случается, что части его от ветхости

отрешаются, отрешившись падают…”. В конце цитаты речь идет о явлениях,

связанных с землетрясениями. Здесь же говорится, что “…ни одна, тем более

крупная, часть не может оторваться от того, с чем она сцеплена, без колебания

последнего”. Из этих слов следует, что разрушение понимается как динамический

процесс.

Признано, что от Эмпедокла берет начало теория пор. Согласно ей тела

содержат полости – поры разнообразных размеров и форм. Эти поры обладают

сечениями, размеры и формы которых “зависят от рода вещества:…сечения могут

быть широкими или узкими, кольцеобразными, квадратными или щелевидными”.

Лукреций, который во многом придерживался идей Эмпедокла, указывает, что коль

скоро различные вещи состоят из отличающихся друг от друга частиц, то “должны

различаться все промежутки, пути (что порами мы называем)”, присущие этим

вещам. Сечения пор он описывает следующим образом:

…надо одним быть поменьше, другим же – побольше:

И треугольны у тех они будут, у этих – квадратны,

Многие круглы из них, а иные и многоугольны.

Как иллюстрацию общего положения о необходимости достижения некоторого

минимума воздействий для реализации того или иного изменения можно

рассматривать рассуждение Аристотеля (384 – 322 до н.э.) о разрушении камней

каплями воды или корнями растений. Он писал: “Ведь ни расти, ни убывать нельзя

непрерывно, но всегда имеется и среднее [состояние]; рассуждение здесь такое же,

как и в том случае, когда капля точит камень и вырастающие на камнях растения

раскалывают их. Ведь если капля отбила и удалила столько-то – это не значит, что

перед этим в половинное время она удалила половину, а как бывает при

вытаскивании корабля на берег: капли в такое-то время приводят в движение

столько-то, но часть их не произведет такого движения ни в какое время.

Отделенный кусочек делится на много [частей], но ни одна из них не двигается по

отдельности, а все вместе. Ясно, таким образом, что нет необходимости все время

чему-либо отделяться [от камня] из-за того, что убыль делима до бесконечности, но

время от времени отделяется целый кусочек. То же относится и к качественному

изменению, каково бы оно ни было: если изменяющееся делимо до бесконечности,

это не значит, что делимо и качественное изменение, но оно часто происходит сразу,

как, например, замерзание”.

Следовательно, по Аристотелю, не всякая причина (сила) способна произвести

соответствующее действие. Процесс, обусловленный каким-либо непрерывно

нарастающим воздействием, может иметь непрерывный, пороговый характер.

Применительно к явлениям разрушения тел такая концепция закономерна. Заметим,

что в рассуждениях Аристотеля о камнях, постепенно отбивающих частицы камня,

есть нечто, напоминающее теорию накопления повреждений.

В суждениях Аристотеля о прочности упоминаются и некоторые побочные

факторы, например, размеры тел. Роль последних характеризуется следующим

образом: “Вполне естественно, конечно, что большие [тела] ломаются скорее, чем

малые, потому что они, подобно крупному, вообще легко распадаются, так как

ударяются о многие другие”. Здесь констатация факта, нашедшего впоследствии

правильное объяснение у Галилея, сопровождается весьма причудливой

мотивировкой.

Для характеристики прочностных свойств тел Аристотелем используются

термины “ломкость” и “хрупкость”. “Различие в том, что, ломая, производят

разъятие и разделение на крупные части, а крошится [тело] на любое, большее двух

число частей”. Хрупки тела, которые крошатся. Приведенное описание излома тел

отвечает классическому представлению о разрушении по одному сечению.

Ломкость и хрупкость могут, согласно Аристотелю, или существовать по

отдельности, или сопутствовать друг другу. Пример ломкого тела – древесина

(разламывается, но не крошится). К хрупким отнесены лед и камень, которые якобы

крошатся, но не ломаются (увы, следствие недостатка наблюдательности). Телом

же, обладающим ломкостью и хрупкостью одновременно, названа обожженная

глина (и крошится, и ломается). Эти свойства объясняются наличием и

особенностями расположения пор. Если в твердом теле имеется множество

пересекающихся друг с другом пор, то такое тело крошится, т.е. является хрупким.

Если же поры вытянуты в одном направлении, тело ломко. Сочетание пор обоих

видов придает телам хрупкость и ломкость одновременно.

Таким образом, мы видим, что Аристотелю были известны основные виды

деформаций и разрушения тел. Он дал свое истолкование их природы. Все изложено

им на качественном уровне, о количественных зависимостях в области

сопротивления материалов в его время не могло быть и речи. Использованная им

при рассмотрении частных вопросов терминология имеет оттенок неуклюжести.

Понятия как бы переплетаются, натыкаются друг на друга. Бывает, что одному и

тому же термину в разных случаях придается различный смысл. И наоборот, одно и

то же, или весьма близкое, кроется за разными терминами.

Но все названные недостатки простительны, так как их причины, понятные нам,

были обусловлены обстоятельствами времени. В первую очередь это недостаточный

объем накопленных эмпирических данных, низкий технологический уровень

античного производства.

Герон Александрийский (I в. до н.э. – I в. н.э.) ставил прочность тел в

зависимость от рассеянных внутри него пустот: чем они мельче, тем прочнее тело.

Эта естественная точка зрения совпадает со взглядами атомистов. Говоря об

исключительных свойствах алмаза, Герон придерживается, по-видимому,

общепринятой в древности традиции, например, Лукреций выделяет алмаз в ряду

твердых и прочных тел. Причину особой стойкости алмаза против внешних

воздействий Герон усматривает в чрезвычайно малой величине рассеянных в нем

пустот.

В Древнем Китае ученые, в частности Мо Ди (479-381 г. до н.э.), исследовали

причины разрушения твердых тел. Интересно, что прочность ставилась ими в

зависимость от гладкости и сплошности тела.

XVII в. положил начало науке Нового времени. В XVII в. вновь пробуждается

интерес к античному атомистическому учению. Наибольший вклад в его

возрождение и развитие принадлежит Пьеру Гассенди (1592-1655), который был

поборником атомизма в трактовке Эпикура-Лукреция. Помимо ссылок на античные

источники, он использовал некоторые данные современной ему науки.

В свое время Лукреций и Эпикур расходились во взглядах на возможность

существования атомов, наделенных тонкими выступами, крючками и тому

подобными деталями, играющими роль при взаимном сцеплении атомов. В этом

вопросе Гассенди твердо встал на позиции Лукреция, совпадающие со взглядами

Демокрита. Он считает необходимым подчеркнуть неразрушимость атомов

независимо от их формы. “Следует еще заметить, – пишет он, – что хотя атомы

угловаты и крючковаты, нет основания полагать, что они почему-либо могут быть

попорчены или сломаны, ибо углы и крючки атомов той же природы, что и самая

середина, и одинаковой с ней плотности: они незыблемо связаны между собой, так

что не существует силы, которая могла бы повредить атом в целом или какую-либо

его часть, не исключая и самую крайнюю”.

Из учения о строении тел вытекают взгляды на природу их прочности и

деформативности. Начнем с того, что вышеуказанной иерархии материальных

объектов Гассенди ставит в соответствие градацию прочности. Первоначала-атомы

абсолютно неразрушимы, образованные ими молекулы уже могут разрушаться, но

прочность их еще очень велика. По мере того как соединяющиеся между собой

молекулы создают все более крупные агрегаты, прочность последних уменьшается.

Одним словом, чем крупнее объект, тем меньше его прочность.

Описывая процесс разрушения, Гассенди замечает, что “тела не всегда

распадаются непосредственно на атомы, а большей частью на молекулы или же на

части из них состоящие и представляющие собой своего рода сложные тела…”.

Характерным штрихом учения Гассенди является представление о возможности

разрушения тел без внешних воздействий. Он говорит об ошибочности мнений тех,

“кто полагает, что рожденная вещь может существовать вечно”, и продолжает: “Где

то соединение, которое не подвержено распаду? Или где та вещь, которая, имея

начало, не имела бы конца? Ведь если мы даже предположим, что прекратилось

действие внешних сил, разрушающих связь [атомов], то существует внутреннее

движение и неодолимый напор атомов внутри даже самых плотных и прочных тел,

отчего в конце концов должен последовать их распад”. Так внутренняя энергия

атомов, побуждающая их к вечному движению, предстает в роли разрушительницы

тел. Здесь можно усмотреть некий прообраз деградационной теории.

Оригинально объяснял причину прочности тел Декарт. “Ничто не сцепляет

частиц твердых тел одну с другой, кроме того, они по отношению друг к другу

находятся в состоянии покоя. Не думаю, чтобы можно было вообразить цемент,

который сцеплял бы частицы твердых тел крепче, чем их сцепляет их собственный

покой”, – утверждал он.

Далее он пишет: “…для образования самого твердого тела, какое только можно

себе представить, достаточно, чтобы все его частицы плотно соприкасались друг с

другом, так, чтобы между ними не оставалось никакого пространства и чтобы ни

одна их них не находилась в движении. Ведь какой клей или какую замазку, кроме

этого, можно было бы себе представить, чтобы они лучше сцепились друг с

другом?”.

Значит, по Декарту, никаких сил взаимодействия между частицами тел не

существует, их удерживает друг возле друга лишь инерция покоя; преодоление этой

инерции относительного покоя приводит к разделению частиц, т.е. к разрушению

(или, при нагревании, разжижению) тела. Причину различной прочности разных тел

Декарт видит в различной степени подвижности их частиц.

Замечание Декарта о пропорциональности разрушающей силы числу пар

разделяемых частиц, по-видимому, можно считать эквивалентом того, что

разрушающая сила пропорциональна площади сечения тела. Здесь же можно

усмотреть формулировку теории прочности, критерием которой является сила,

необходимая для разделения одной пары частиц. Поскольку все частицы,

составляющие тело, предполагаются одинаковыми (коль скоро общее разрушающее

усилие пропорционально количеству их пар), то на долю поверхности раздела одной

пары частиц приходится некоторая определенная часть общей площади сечения.

Если эту площадь поверхности раздела одной пары частиц принять за единицу, то

теория прочности Декарта будет соответствовать первой теории прочности.

Говоря о прочности, Ломоносов чаще всего употребляет слово “сцепление”.

Природа, физическая сущность прочности тел интересовала его с самых первых

шагов научной деятельности.