Лекции по механике разрушения
Подождите немного. Документ загружается.
Здесь ΔU – изменение упругого потенциала пластины вследствие наличия трещины,
- поверхностная энергия единицы свободной поверхности.
Упругая энергия U пластины с трещиной равна U
0
– ΔU, где U
0
– упругий
потенциал пластины без трещины. Величина ΔU равна произведению средней
площади области концентрации напряжений (пропорциональной а
2
), на среднее
значение плотности упругого потенциала (пропорциональной
2
/Е)
.,/
0
22
0
UUUEaU
Здесь множитель
0
может зависеть только от коэффициента Пуассона.
Так как величина U
0
не зависит от а, то в критическом состоянии 2Е =
0
2
а.
Отсюда получается следующая зависимость нагрузки от длины трещины
aE /
1
.
Здесь
1
– множитель порядка единицы (для плоского напряженного состояния
/2
).
Последняя формула, которая представляет собой выражение для разрушающей
нагрузки в зависимости от длины начальной трещины, является основным
достижением теории Гриффитса.
Примерно до 50-х годов считалось, что теория Гриффитса применима только к
хрупким материалам типа стекол; большинство же конструкционных материалов
проявляет пластические свойства при разрушении. Следующий значительный шаг в
становлении механики разрушения связан с экспериментальными исследованиями
Дж.Ирвина (1948 г.) и Е.Орована (1950 г.), предложившими использовать теорию
Гриффитса для разрушения пластичных металлов с учетом понятия энергии,
затрачиваемой на развитие пластических деформаций вблизи трещины.
11. Связь интенсивности высвобождения энергии с
коэффициентом интенсивности напряжений
Поставим задачу определить количество высвобожденной энергии при росте
трещины от длины а до (а+а). При постоянной нагрузке высвобожденная
потенциальная энергия равна высвобожденной энергии деформации в условиях
заданной деформации при а 0. Вместо общего энергетического подхода
Гриффитса сконцентрируем внимание на области вершины трещины, малой по
сравнению с размерами тела в целом, но достаточно большой по отношению к
межатомным расстояниям, что дает возможность применить линейно-упругую
теорию.
Рис. 42. К определению работы, затрачиваемой на рост трещины
51
Работа, необходимая на продвижение трещины на а, должна быть равна
изменению энергии деформации. Эта работа равна половине произведения
необходимых для закрытия трещины поверхностных сил, действующих на берегах
трещины, на соответствующие перемещения. Множитель ½ введен потому, что
перемещение пропорционально поверхностным силам. Под перемещениями точек
поверхности трещины следует понимать перемещения в области а.
Согласно первоначальному предложению Ирвина, интенсивность
высвобождения энергии может быть представлена следующим образом
dx
uv
aa
U
G
a
yzxyy
a
0
0
222
2
lim
.
Входящие в эту зависимость компоненты напряжений могут быть определены
по асимптотическим формулам для напряжений, действующих в вершине трещины.
После подстановки и взятия интеграла для плоской деформации получается
следующая зависимость
222
2
1
2
1
2
1
IIIIII
KKKG
.
Итак, получили непосредственную связь между интенсивностью
высвобождения энергии и коэффициентами интенсивности напряжений.
12. Пластическая зона у вершины трещины
Выше использовали допущение, что вокруг трещины существует поле
напряжений упругости. В таком случае в вершине трещины напряжения должны
стремиться к бесконечности. Однако в реальных материалах, прежде чем
напряжения станут чрезмерно большими, появятся пластические деформации.
Таким образом, обычно под действием внешних сил у вершины трещины появится
пластическая зона. В линейной механике разрушения размеры этой зоны достаточно
важны. Точное определение конфигурации и размеров пластической зоны является
сложной задачей. Ирвином предложена приближенная поправка на пластичность,
которой можно пользоваться в том случае, когда размеры пластической зоны малы
по сравнению с длиной трещины.
В целях упрощения на начальном этапе ограничимся задачей о плоском
напряженном состоянии. На рис. 43 показано распределение напряжений
y
перед
вершиной трещины при = 0. На участке длиной r
p
*
перед вершиной трещины
напряжение
y
выше предела текучести материала. В первом приближении можно
заменить напряжение
y
, действующее на этом участке, пределом текучести. Размер
пластической зоны может быть задан величиной r
p
*
. Воспользовавшись
асимптотическими формулами, запишем
2
3
sin
2
sin1
2
cos
2 r
K
I
y
.
52
Если положить = 0, r = r
p
*
и
y
=
т
и провести соответствующие преобразования,
можно установить
2
2
2
*
*
2
2
1
2
Т
Т
I
p
p
I
Т
a
K
rи
r
K
.
Рис. 43. Распределение напряжений
упругости перед трещиной и оценка
пластической области на основе
баланса нагрузок
Рис. 44. Конфигурация
пластических областей,
полученных по критерию
текучести Мизеса и изменение
пластической области по толщине
листа
Следует обратить внимание на то, что при использовании такой аппроксимации
не учитывают нагрузку, которой на рис. 43 соответствует заштрихованная часть
графика. В результате этого величина r
p
*
оказывается заниженной по сравнению с
реальным размером пластической зоны. Поэтому целесообразно воспользоваться
второй аппроксимацией, в основе которой лежит изложенное ниже равновесие
нагрузок. При этом Ирвин рассуждал следующим образом. Пластические
деформации, существующие у конца трещины, вызывают некоторое изменение в
распределении напряжений. Можно положить, что такое распределение существует
для более длинной трещины по сравнению с действительно существующей.
На рис. 43 показано, что действительная трещина имеет длину а. Перед этой
трещиной образуется пластическая зона размером r
p
. Распределение напряжений
вокруг пластической зоны приближенно можно представить таким же
распределением напряжений, которое получается при замене длины трещины а на
а
*
=а+а (а << а). Если считать, что имеет место равновесие нагрузок, то следует
положить, что заштрихованная на этом рисунке область А равна заштрихованной
области В. Тогда с использованием асимптотических выражений можно установить,
что
.
22
2
2
*
2
2
2
2
p
ТТ
I
Т
r
aaa
или
aa
K
Из условия А = В
0
.
2
ТТ
dr
r
aa
a
53
Из этих формул с учетом a << a можно установить следующее
.2
**
ppp
rarилиra
Таким образом, можно видеть, что при второй аппроксимации, когда принимали во
внимание равновесие нагрузок, размер пластической зоны получался в два раза
больше по сравнению с размером, соответствующим первой аппроксимации.
Эффективную длину трещины а
*
можно представить в виде суммы а+r
p
*
.
Коэффициент интенсивности напряжений для такой трещины может быть
представлен в следующем виде
.
2
1
2
2
**
Т
pI
araaK
Параметр r
p
*
носит название поправки Ирвина на пластичность.
Для плоской деформации нельзя просто воспользоваться приведенными выше
зависимостями. Прежде чем приступить к рассмотрению такого состояния, следует
проанализировать различие, существующее в конфигурациях пластических зон при
плоском напряженном состоянии и плоской деформации. Для этого следует
использовать условие текучести Мизеса, представленное через главные напряжения
,2
2
2
13
2
32
2
21 Т
а также асимптотические выражения для компонентов напряжений. Для главных
напряжений можно записать следующие зависимости
ПД
r
K
ПНС
r
K
r
K
,
2
cos
2
2
,0
2
sin1
2
cos
2
,
2
sin1
2
cos
2
21
3
21
.
Если подставить последние формулы в условие Мизеса, воспользовавшись
обозначениями пластической зоны, можно определить форму границы, отделяющей
упругую область от пластической. В таком случае можно записать
- для плоского напряженного состояния
22
2
2cossin
2
3
1
2
Т
r
K
,
- для плоской деформации
2
2
2
2
2cos121sin
2
3
2
Т
r
K
.
Если в этих зависимостях положить r = r
p
(), то можно получить расстояние от
вершины трещины до границы, отделяющей упругую область от пластической.
Таким образом,
54
- для плоского напряженного состояния
cossin
2
3
1
4
2
2
2
Т
p
K
r
,
- для плоской деформации
cos121sin
2
3
4
2
2
2
2
Т
p
K
r
.
Рассмотрим различия, существующие между плоским напряженным состоянием
и плоской деформацией. При различных построим соответствующие графики.
Такие графики представлены на рис. 44. Здесь в качестве единицы длины
использована величина (K/
Т
)
2
. Форма и размеры пластической зоны,
соответствующей плоскому напряженному состоянию, существенно отличается от
формы и размеров пластической зоны, характерной для плоской деформации. В
целом можно считать, что при одинаковых внешних силовых воздействиях
пластическая зона при плоской деформации меньше пластической зоны при
плоском напряженном состоянии. Следует иметь в виду, что в случае толстых
пластин со сквозной трещиной на поверхностях определяющим является плоское
напряженное состояние, а внутри пластины – плоская деформация. Поэтому вдоль
фронта трещины пластическая зона будет изменяться с минимальными размерами в
центральной части листа. Характер такого изменения представлен на рис. 44.
Рассмотрим теперь величину поправки Ирвина для плоской деформации. Для
этого в последнее выражение, соответствующее плоской деформации, подставим
= 0. В результате получим
.21
2
21
*
2
2
2
p
Т
p
r
K
r
В данном случае по сравнению с плоским напряженным состоянием появляется
коэффициент (1-2)
2
, который приводит к уменьшению рассматриваемого
параметра. Это видно из рис. 44.
Таким образом, пластическая зона при плоской деформации по сравнению с
пластической зоной при плоском напряженном состоянии по своей величине
является очень небольшой. Это, по-видимому, является результатом того, что при
плоской деформации эффективный предел текучести оказывается значительно выше
предела текучести при одноосном растяжении. Для учета этого часто используют
коэффициент стеснения пластической деформации. Он представляет собой
отношение максимального напряжения
max
к пределу текучести: =
max
/
Т
. В этом
случае эффективный предел текучести выражается произведением
Т
. Обычно
сложное напряженное состояние может быть представлено главными
напряжениями. Можно ввести два новых параметра и представить главные
напряжения через максимальное
2
= n
1
,
3
= m
1
. При этом условие текучести
Мизеса запишется в виде
.211
22
1
222
Т
mmnn
55
Тогда для коэффициента стеснения пластической деформации можно установить
.1
21
22
1
mnmnmn
Т
Подставив значения и положив = 0, получим для плоского напряженного
состояния при n = 1 и m = 0 = 1, для плоской деформации при n = 1 и m = 2 = 1/
(1-2).
Положим, например, что коэффициент Пуассона = 1/3. При плоском
напряженном состоянии
max
=
1
=
Т
, а при плоской деформации
max
=
1
=
Т
3
Т
. Таким образом, в действительности при плоской деформации напряжение
оказывается в три раза выше. Перед вершиной трещины в ее плоскости при = 0
распределение напряжений будет иметь вид, приведенный на рис. 45.
Следовательно, при плоском напряженном состоянии напряжения в пластической
зоне равны
Т
, а при плоской деформации напряжения равны
Т
непосредственно в
вершине трещины, после чего происходит резкое повышение напряжения до
эффективного напряжения текучести 3
Т
.
Рис. 45. Распределение напряжений у вершины трещины
при плоском напряженном состоянии и плоской деформации
Таким образом, можно видеть, что по величине и форме пластической области,
а также по распределению напряжений в ней плоская деформация существенно
отличается от плоского напряженного состояния. Это обстоятельство тесно связано
с особенностями разрушений, с которыми приходится иметь дело в случае плоских
пластин. Из рис. 46 можно установить следующее. Ввиду того, что в окрестностях
центральной плоскости пластины определяющей является плоская деформация,
разрушение должно происходить в плоскости xz, где действуют максимальные
нормальные напряжения. В окрестностях же свободных поверхностей пластины
доминирующим является плоское напряженное состояние, и стеснение
пластических деформаций оказывается не столь значительным. Это позволяет
считать, что разрушение в основном происходит в результате сдвига по плоскостям,
расположенным под углом 45
0
к поверхности пластины (плоскости xy) под
действием максимальных касательных напряжений. Получающийся при этом вид
излома, который можно наблюдать у поверхностей пластины, носит название губ
среза.
56
Рис. 46. Плоскости максимальных касательных напряжений у вершины трещины
при плоском напряженном состоянии и плоской деформации
13. Использование коэффициента интенсивности
напряжений в рамках линейной упругой механики
разрушения
13.1. Критерий разрушения К
с
КИН используется в рамках ЛУМР как силовой критерий разрушения, не
требующий объяснений, связанных с энергетическим балансом при
распространении трещины, как в основополагающей работе Гриффитса. В основе
силового критерия лежит предпосылка, согласно которой разрушение возникает
тогда, когда у трещины в пределах достаточно большой области напряжение
превышает предельное значение. Эту предпосылку можно непосредственно связать
с КИН, характеризующим поля напряжений в соответствии с асимптотическими
формулами для компонент напряжений и деформаций. КИН зависит от нагрузки и
конфигурации образца. Даже в том случае, когда схема приложения нагрузки и
конфигурации образцов оказываются различными, при одинаковых КИН поля
напряжений оказываются одинаковыми. Предельное значение К, при котором
возникает разрушение, можно обозначить символом К
с
, который отражает одну из
характеристик материала, носящую название вязкости разрушения.
Расчет на прочность, предлагаемый механикой хрупкого разрушения, включает
в себя следующие основные моменты:
а) выбор формы, размера и местоположения наиболее опасного
трещиноподобного дефекта;
б) определение КИН на фронте трещины с учетом внутренних напряжений
металлургического, технологического или эксплуатационного происхождения;
в) выбор критерия локального разрушения на фронте трещины, изучение
докритического развития трещины и отыскание критического (предельного)
состояния, которое соответствует выходу конструкции на нерасчетный режим
(например, разрушению).
Первый из этих вопросов решается на основе натурных и лабораторных
наблюдений и во многом пока зависит от интуиции инженера.
Второй вопрос решается на основе методов классической теории упругости.
На последнем этапе расчета на прочность вычисленное значение наибольшего
К
I
(как определенной функции нагрузок, размеров тела и длины начальной
трещины) приравнивается некоторому критическому значению этого коэффициента,
57
характеризующему сопротивление материала отрыву на фронте трещины
нормального разрыва.
Практически наиболее важную роль играют следующие критические КИН:
а) вязкость разрушения К
Ic
(при монотонном нагружении до начала локально
нестабильного разрушения в условиях стесненной плоской деформации);
б) величина К
с
(при монотонном нагружении пластин со сквозными
трещинами);
в) величина К
Y
(при циклическом нагружении);
г) величина К
Iscc
(в условиях длительного нагружения постоянной нагрузкой в
коррозионно-активной среде).
Величина К
с
изменяется в пределах (1…3) К
Ic
. Величина К
Y
представляет собой
практический предел усталости, она равна примерно (0.1…0.05) К
Ic
. Пороговый
коэффициент интенсивности напряжений К
Iscc
существенно зависит от внешней
среды, он может меняться в пределах (0.1…1) К
Ic
.
Если К
I
меньше К
Y
(или соответственно К
Iscc
), то трещина не растет. На самом
деле это заключение справедливо только для некоторой фиксированной базы
испытания, играющей роль гарантийного срока (менее 10
8
– 10
9
циклов для К
Y
и
менее года для К
Iscc
).
Указанный метод расчета хрупкой прочности по критическим КИН нельзя
считать вполне удовлетворительным, так как он не учитывает медленного
докритического развития усталостных и коррозионных трещин. Однако ясно, что
этот фактор идет в запас прочности, поэтому в ряде случаев бывает достаточно
получаемых оценок.
Размерности КИН: напряжение (длина)
1/2
или сила/(длина)
3/2
.
К примеру, 0.825 кН/мм
3/2
= 825 Н/мм
3/2
= 825 H/(мммм
1/2
) = 825
H/мм
2
мм/мм
1/2
= 825 МПа(0.001 м)
1/2
= 26 МПам
1/2
.
Температурные зависимости вязкости разрушения (МПам
1/2
)
Сталь Температура, К
213 233 253 273 293
Статическое нагружение
10ХСНД 70 71 71 70 68
09Г2С 65 61 59 58 57
Вст3сп 54 55 56 56 56
Ст20 51 52 53 55 58
15Х2НМФА 102 115 124 141 154
Динамическое нагружение
10ХСНД 23 28 38 50 60
09Г2С 39 43 48 60 68
Вст3сп 24 25 31 40 50
Ст20 20 22 27 33 43
15Х2НМФА 58 66 75 81 87
13.2. Ограничения линейной упругой механики разрушения
Уравнения ЛУМР, являясь приближенными, имеют верхний и нижний пределы
применимости. Это связано с тем, что решения с использованием КИН приводят к
58
сингулярности напряжения у вершины трещины при r = 0, и хотя они могут давать
достаточно хорошую оценку величины пластической зоны, они не применимы для
описания поля деформации внутри пластической зоны и, следовательно, не
пригодны для описания процесса вязкого разрушения внутри пластической зоны.
Пределы применимости модели интенсивности упругих напряжений становятся
очевидными при высоком уровне напряжений. Тогда К-решения фактически уже не
описывают действительного поля напряжений, и, следовательно, истинных
размеров пластической зоны. Это может привести к неоправданно консервативным
результатам расчетов, так как перераспределение напряжений в результате
пластического течения и притупления вершины трещины, связанного с ним, делают
допустимыми более высокие эксплуатационные нагрузки, особенно для
высокопластичных материалов.
Принято, что ЛУМР может быть использована при соблюдении условий r
p
a/50, W/50, B/50, где W, B – ширина и толщина пластины. При этом напряжения не
должны превосходить
т
/5. В конечном итоге испытания на основе методов ЛУМР и
применение концепции К
Ic
для материалов с высокой вязкостью и пластичностью
(хрупкому разрушению предшествует развитие большой пластической зоны у
вершины трещины) требуют весьма крупных образцов, в которых трещины и их
пластические зоны не зависят от границ образца и достигается плоское
деформированное состояние, т.е. выполняется условие B 2.5(K/
т
)
2
.
Также недоступна для описания аппаратом ЛУМР трещина, возникшая у дна
надреза, т.е. находящаяся в пластической зоне. Здесь справедливо условие r
p
> a, и,
очевидно, ЛУМР не может быть применена в такой ситуации.
За пределами указанных ограничений применение ЛУМР дает ошибку,
возрастающую с ростом отношения размера пластической области к размеру
упругой области. До какого момента можно допускать существование указанной
ошибки? Ответ на этот вопрос зависит от тех требований, которые приняты при
проектировании.
В случае разрушения хрупких материалов в ЛУМР вводят соответствующую
поправку на пластичность, что позволяет уменьшить эту ошибку.
В заключение отметим, что нижний предел размеров любой трещины, которая
поддается описанию на основе законов механики сплошной среды, можно найти,
введя понятие размера минимальной пластической зоны, например, субъячейки, т.е.
10 мкм, что дает минимальную длину трещины 0.5 мм. При меньших размерах
ЛУМР становится неприменимой, и трещины длиной менее 0.5 мм рассматриваются
как короткие.
14. Оценка коэффициента интенсивности напряжений
14.1. Аналитические методы
В настоящее время аналитическими методами теории упругости решено
большое количество задач для различных конфигураций твердого тела, трещины и
условий нагружения.
59
Плоские статические задачи. В задачах о плоской деформации и плоском
напряженном состоянии КИН определяются по асимптотике комплексного
потенциала Ф(z) в конце разреза.
Разрезы вдоль одной и той же прямой или вдоль одной и той же окружности в
бесконечной упругой плоскости. Если совокупность математических разрезов
расположена вдоль одной и той же прямой или вдоль одной и той же окружности и
других границ упругое тело не имеет, то могут быть решены следующие краевые
задачи:
а) на разрезах произвольно задана нормальная и касательная нагрузка;
б) на разрезах заданы произвольные смещения;
в) на одном берегу разрезов задаются смещения, а на другом берегу – нагрузки;
г) участки с произвольно заданными смещениями или нагрузками чередуются
любым образом вдоль нижнего и верхнего берегов разрезов;
д) берега разрезов взаимодействуют, причем касательное напряжение
взаимодействия произвольным образом зависит от нормального давления;
е) касательное напряжение на разрезах обращается в нуль, участки с
произвольно заданным нормальным смещением или с нормальной нагрузкой
расположены произвольно на берегах разрезов.
Для указанных типов задач можно найти КИН; некоторые случаи рассмотрены
ниже.
Если в упругой плоскости имеется один прямолинейный разрез и
сосредоточенные сила и момент приложены симметрично к верхнему и нижнему
берегам щели (рис. 47), то
2
0
2
0
0
0
2
0
2
,
1
xll
xlP
K
xl
Ml
xlQ
xll
K
III
.
Для распределенных на некотором участке верхнего берега щели нагрузок (рис.
48) имеем
Рис. 47 Рис. 48 Рис. 49
,
1
1
2
11arcsinarcsin
2
2
2
2
2
l
bc
l
b
l
c
l
b
l
cl
K
I
2
2
2
2
11arcsinarcsin
2
1
1
2
l
b
l
c
l
b
l
cl
l
bc
K
II
.
В случае, изображенном на рис. 49, имеем
60