Лекции по механике разрушения

Подождите немного. Документ загружается.

приложенной нагрузки. При этом результаты количественно несколько отличаются

от представленных.

Введение в рассмотрение нескольких рядов заклепок действие подкрепляющих

ребер сказывается в появлении нового качественного эффекта – стабилизации

трещин.

Конструкционное торможение трещин ремонтными заплатами.

Постановка ребер жесткости может производиться как при создании конструкции,

так и после непосредственного обнаружения трещин, появившихся в процессе ее

эксплуатации. В последнем случае в качестве ребра, наряду с обычными

стрингерами могут применяться и ребра в виде полос или заплат-дублеров,

приваренных, приклеенных или приклепанных к конструкции (рис. 71). В

отдельных случаях такие ребра, помимо торможения трещин, могут обеспечивать

также герметичность, местную прочность конструкции, защиту от коррозии и т.п.,

т.е. могут выполнять несколько функций.

Рис. 71. Лист с трещиной

и приклепанной

заплатой

Рис. 72. КИН в листе

с трещиной и

заплатой: 1 – H/b=0.6;

2 – H/b=1; 3 – H/b=2

Рис. 73. КИН для двух

разных жесткостей

ремонтной заплаты: 1 –

S=0.5; 2 – S=2

Основными факторами, влияющими на КИН в связи установкой ремонтных

заплат, являются форма заплаты и ее жесткость. На рис. 72 показано изменение

коэффициента интенсивности напряжений в функции отношения длины трещины к

ширине заплаты для трех размеров заплаты. Видно, что КИН сначала (по мере

увеличения длины трещины) уменьшается, пока вершины трещины не достигнут

края заплаты. Когда вершины трещины находятся под заплатой, КИН также

уменьшается с уменьшением размера заплаты. Когда же трещина выходит за

пределы заплаты, КИН быстро увеличивается.

КИН рассчитаны также для двух значений жесткости S=tE/t

. Видно (рис. 73),

что более жесткая заплата с меньшей S уменьшает КИН.

Результаты расчетов указывают, что жесткость заплаты является основным

фактором (по сравнению с размерами заплаты и числом точек ее скрепления с

пластиной), определяющим ее влияние на КИН.

Конструкционное торможение трещин разгружающими отверстиями.

Следует заметить, однако, что использование приведенных выше результатов и

выводов существенно ограничивается принятым при решении предположением о

возможности сноса сил взаимодействия пластин и ребер жесткости в срединную

плоскость пластин. Такой подход, строго говоря, правомерен лишь для случая

симметричного относительно срединной плоскости пластин, расположения ребер. В

противном случае изгибные напряжения, действующие в пластине, могут не только

уменьшить подкрепляющий эффект ребер жесткости, но и привести к увеличению

КИН в конце трещины. С этой точки зрения наиболее достоверные результаты

получены для методов конструкционного торможения трещин, основанных на

использовании разгружающих отверстий. Такие отверстия не вносят нежелательный

эксцентриситет, более просты в исполнении и не требуют дополнительных затрат

металла. На рис. 74 приведена зависимость КИН для трещины, распространяющейся

между двумя отверстиями, от геометрии трещины и отверстий.

Рис. 74. Схема остановки трещины

Достигаемое в рассмотренном случае значительное снижение КИН

способствует переходу неравновесной трещины (или трещины усталости) в

равновесную. Однако увеличение КИН при приближении трещины к отверстию

приводит к разгону развивающейся трещины, что не позволяет надежно

использовать такую схему торможения.

При распространении реальных трещин возможно также отклонение ее

траектории от прямолинейной вплоть до захвата трещины отверстием. При этом на

первом этапе происходит постепенное исчезновение сверхострого концентратора в

вершине трещины при достижении отверстия. Второй этап – вторичное появление

зоны сверхконцентрации напряжений и появление трещины на противоположной

стороне отверстия. И хотя вторая стадия значительно продолжительнее первой,

полной остановки трещины не наблюдается.

Влияние отверстий на развитие усталостных трещин состоит в следующем.

Если на пути развивающейся усталостной трещины встречается круглое отверстие,

то тормозящий эффект этого отверстия, проявляющийся после входа в него

трещины (независимо от размера и местоположения отверстия), практически

компенсируется ускорением роста трещины при ее приближении к отверстию (за

счет увеличения КИН) и увеличением размера повреждения (за счет присоединения

к повреждению самого отверстия).

Иначе обстоит дело, если разгружающее отверстие просверлено в кончике

трещины после ее обнаружения. Эффективность такого приема определяется

различного рода факторами: устранением сверхконцентрации напряжений и

наиболее поврежденного материала в кончике трещины, появлением остаточных

сжимающих напряжений в процессе холодной обработки и уменьшением

чувствительности материала к концентрации напряжений и т.п. Количественная

оценка столь многофакторного явления очень сложна. Можно использовать

следующий инженерный подход к оценке эффективности торможения трещин с

помощью засверливания ее концов, основанный на принципе равнопрочности.

Учитывая что элементы конструкции содержат как правило, концентраторы

напряжений, представляется возможным выбрать из них те, которые работают в

условиях, аналогичных элементам, содержащим трещину. Тогда можно считать, что

достаточный эффект торможения засверленной по краям трещины достигнут, если

теоретический коэффициент концентрации для образовавшегося при засверловке

концентратора не больше, чем для концентраторов в элементах-аналогах

(выполненных из одинакового материала), т.е., когда достигнута равнопрочность

элементов. Такой подход дает ошибку в безопасную сторону для большинства

практически реализуемых случаев, когда эффективный коэффициент концентрации

напряжений не больше теоретического. И хотя оценка получается относительной, и

на вопрос о времени появления вторичной трещины следует ответ: “Практически не

раньше, чем у концентратора-аналога”, данный подход представляется наиболее

целесообразным на сегодняшний день. Таким образом, в первом приближении

задача может быть сведена к определению концентрации напряжений при

статическом нагружении.

Известно, что коэффициент концентрации напряжений определяется в

основном длиной концентратора и радиусом кривизны его контура в точке действия

максимальных напряжений. Это позволяет в ряде случаев при определении

концентрации напряжений изучаемый концентратор заменить на эквивалентный,

решение для которого имеется. Можно ввести понятие эквивалентного эллипса,

позволяющее определить максимальный коэффициент концентрации напряжений

для концентратора в виде трещины с отверстиями в ее концах в пластине при

растяжении. Около концентратора описывается эллипс (полуэллипс) с большой

осью (полуосью), равной длине концентратора, и минимальным радиусом в

вершине, равным радиусу отверстия. В таблице представлены теоретические

коэффициенты концентрации напряжений эквивалентного эллипса для различных

случаев засверловки отверстия.

Четвертая схема в таблице соответствует взаимодействию круглого отверстия –

инициатора трещины и разгружающего отверстия. Из формулы видно, что при

больших отношениях l/R засверливание концов трещины малоэффективно, т.к.

коэффициент концентрации напряжений может принимать достаточно большое

значение. Его уменьшение может быть достигнуто за счет замены формы

разгружающих отверстий, например, на эллиптические. Однако изготовление такого

отверстия трудоемко. Поэтому более целесообразным представляется

использование системы основных и дополнительных (деконцентраторов)

разгружающих отверстий, эквивалентных заменяемому эллиптическому отверстию.

Некоторые такие возможные схемы приведены в таблице. Значение N указывает

долю коэффициента концентрации напряжений при наличии дополнительных

разгружающих отверстий в сравнении с их отсутствием. Практически в среднем

тридцатипятипроцентное уменьшение коэффициента концентрации засверленной по

концам трещины определяется сглаживанием траектории главных напряжений

растяжения в районе разгружающих отверстий.

Очевидно, что эффективное использование систем разгружающих отверстий и

ребер жесткости возможно лишь для торможения равновесных трещин. Для

торможения же быстроразвивающихся хрупких трещин наиболее перспективным

является применение стопперов в виде пластин или полос из стали с повышенными

вязкостными характеристиками, вваренными в основную конструкцию.

Способность стоппера тормозить трещину зависит как от характеристик его

материала, так и от размеров стоппера, его расположения относительно места

зарождения трещины и направления ее распространения. Отметим лишь, что

использование стопперов предполагает знание слабых мест конструкции,

подверженных трещинообразованию, и предусматривается, как правило, еще на

стадии проектирования конструкции или в проектах модернизации.

Теоретические коэффициенты концентрации напряжений

Конструктивная схема Выражение для коэффициента

концентрации

121 

121



















1sin21 



1215.0

















Варианты разгружающих отверстий у вершины трещины

16. Напряженное и деформированное состояние в вершине

трещины в упругопластической области. Раскрытие трещины

В области, где не удовлетворяется условие маломасштабной текучести, нельзя

использовать коэффициент интенсивности напряжений. Подход, связанный с

использованием поправки Ирвина на пластичность здесь дает существенную

погрешность и необходимы другие критерии и подходы. Из рассмотрения

деформаций в вершине трещины непосредственно вытекает критерий раскрытия

трещины (COD).

16.1. Модель Дагдейла

Одним из методов, который позволяет при плоском напряженном состоянии

определить длину пластической области перед трещиной. На рис. 75, а показана

трещина длиной 2l. Трещина находится в пластине, в которой на значительном

удлинении от нее действует растягивающее напряжение . У вершин трещины

образуются пластические области r

. При составлении своей модели Дагдейл

поступил как показано на рис. 75, б, в. Он предположил, что существует некоторая

фиктивная упругая трещина, которая состоит из действительной трещины и

дополнительной вместо пластической зоны. Участок действительной трещины

имеет свободные поверхности, а участок вместо пластической зоны представляет

собой область, где действуют растягивающие напряжения 

Рис. 75. Пояснение к модели Дагдейла

Таким подходом можно пользоваться и при анализе напряжений упругости,

возникающих в растягиваемых телах, часть берегов трещины в которых подвержена

действию напряжения 

. Для определения длины пластической зоны r

Дагдейл

рассмотрел следующее. В вершинах пластических зон напряжение равно 

особенность напряжений отсутствует. Поэтому в таких точках КИН обращается в

нуль. Используя КИН К

рассматриваемой трещины, обусловленный удаленными

напряжениями, и КИН К

из-за напряжений 

, действующих на берегах трещины,

можно записать условие К

+К

=0. Для бесконечной пластины с трещиной К

=(b)

1/2

(рис. 76). Таким образом, осталось найти КИН К

. Это можно сделать следующим

образом. Как показано на рис. 76, в точке с координатой х на берегах трещины

действуют две сосредоточенные силы Р. В этом случае для точек А и В КИН можно

представить зависимостями















Рис. 76. Действие на трещину сосредоточенной раскрывающей нагрузки

Когда при l  x  b действуют равномерно распределенные растягивающие

напряжения, в предположении, что Р= – 

dx, можно установить следующее

































Интегрируя, получим

 

blbK

arccos2





Следовательно

 

0arccos2

 blbbKK



Полученную зависимость можно преобразовать к виду

 



2cos

Отсюда для длины пластической зоны можно получить выражение

    

12sec1 

Тp

llbllbr



При маломасштабной текучести, т.е. в случае  << 

, разлагая в ряд последнее

выражение и отбрасывая члены более высокого порядка, получаем























Представляет интерес сопоставить полученный результат с поправкой Ирвина, т.е. с

  

Тpp

Krr





Приходим к выводу, что сравниваемые зависимости хорошо совпадают, если не

принимать во внимание небольшое различие в коэффициентах.

Перейдем теперь к определению раскрытия трещины, основанному на модели

Дагдейла. Окончательный результат имеет вид

























secln

При маломасштабной текучести









На рис. 77 приведены зависимости безразмерных длины пластической области и

раскрытия трещины от относительного напряжения, полученные из модели

Дагдейла. Эти зависимости сопоставлены с результатами, установленными при

маломасштабной текучести. Факты свидетельствуют, что если относительное

напряжение не превышает 0.4…0.5, то можно считать, что допущение о

маломасштабной текучести справедливо.

Рис. 77. Раскрытие трещины в вершине и длина пластической области по модели

Дагдейла: 1 – безразмерная длина пластической области;

2 – безразмерное раскрытие трещины;

3 – результаты при маломасштабной текучести

16.2. Модель Билби-Коттрелла-Суиндена

Билби, Коттрелл и Суинден, не используя модель Дагдейла, проанализировали

рассматриваемую задачу, полагая, что приемлемой является теория непрерывно

распределенных дислокаций. Они применили приведенную на рис. 78 модель,

согласно которой сама трещина и пластические области, расположенные по ее

концам, могут быть заменены некоторым фиктивным распределением дислокаций.

В такой модели трещина типа III (продольный сдвиг) может быть представлена

винтовыми дислокациями, а трещина типа II (поперечный сдвиг) – краевыми

дислокациями.

Рис. 78. Модель Билби-Коттрелла-Суиндена (трещина типа II)

Из рассматриваемой модели вытекает следующая зависимость для раскрытия

трещины

 























Моделями Дагдейла и Билби-Коттрелла-Суиндена удобно пользоваться для

оценки COD в диапазоне полномасштабной текучести. Однако при равенстве

напряжений пределу текучести вдали от трещины пластические области становятся

бесконечно большими. При этом указанные модели теряют смысл и не могут быть

использованы для полной текучести. Чтобы обойти эти трудности, следует принять

во внимание, что в реальных материалах происходит деформационное упрочнение.

При этом в формулах предел текучести можно заменить пределом прочности.

16.3. Критерий разрушения COD

Как и в случае ЛУМР, использование критерия разрушения COD основано на

допущении, что разрушение наступает, когда раскрытие трещины в вершине 

достигает некоторого критического значения 

, характерного для рассматриваемого

материала. Необходимо иметь в виду, что на настоящем этапе обоснование такого

допущения является еще несовершенным. Тем не менее, измерение 

материалов,

разрушающихся после общей текучести, представляет определенную ценность, так

как позволяет оценивать их относительную вязкость при данной температуре.

При этом должно быть ясное представление о том, что значение 

относится

только к началу движения трещины, и в отличие от параметра К

не характеризует

точку полной нестабильности разрушения, полученную из энергетических

соотношений. Разница между 

при начале роста трещины и при наступлении

полной нестабильности ее развития может быть существенной.

Таким образом, можно считать, что среди критериев разрушения, основанных

на использовании COD, можно выделить величину 

появления устойчивой

трещины у затупившейся ее вершины, являющуюся параметром, который можно

рассматривать в большей степени как константу материала. Если говорить о

применимости 

для оценки материала, то не обязательно следует иметь в виду

проверку в широком диапазоне толщин и форм образцов. Важными являются

случаи, при которых используют глубокие исходные разрезы. Это позволяет

добиться значительной степени стеснения, с которой приходится иметь дело на

практике. Полученная для таких случаев величина 

по крайней мере может

служить критерием безопасности для низкопрочных конструкционных материалов,

обладающих высокой пластичностью, у которых перед окончательным

разрушением происходит окончательный рост трещины. Следует также отметить,

что использование при проектировании величины 

идет в запас прочности.

16.4. Оценка раскрытия трещины

16.4.1. Определение раскрытия трещины на основе центра поворота

При помощи представленного на рис. 79 центра поворота можно описать COD у

образца, в котором под действием изгибной нагрузки возникает полная текучесть.

Рис. 79. Центр поворота образца для испытаний на трехточечный изгиб

и компактного образца

Полагают, что относительно этого центра происходит поворот половинок

образца как твердых тел. Здесь b

– остаточная длина сечения. Расстояние от

вершины трещины до центра поворота можно представить как rb

=r(b-l), где r –

коэффициент поворота. Раскрытие трещины на поверхности образца равно V

определяется датчиками раскрытия. Исходя из простых геометрических

соображений, можно найти раскрытие трещины в вершине

 

Zlbrl

lbr









Образцы для изгиба приняты за стандартные для определения предельных значений

COD в лабораторных условиях. При этом по результатам измерения перемещений с

помощью датчиков раскрытия оценивают COD по специальным формулам. При

составлении таких формул принимали во внимание также эффект, который вносит

упругая деформация как в области маломасштабной текучести, так и в области

полномасштабной текучести.

16.4.2. Решение при помощи МКЭ

Точное определение COD при помощи МКЭ оказывается затруднительным.

COD представляет собой раскрытие трещины в вершине. Для его точного

определения необходимо использовать решение, учитывающее большие

деформации. В обычных программах МКЭ полагают, что деформации являются

малыми. При этом считают, что узлы в вершине трещины фиксированы. Поэтому в

месте расположения таких узлов раскрытие трещины оказывается равным нулю.

Чтобы по результатам такого решения оценить COD, приходится использовать

различные приемы.

Экстраполяция. Предположим, что можно исключить из рассмотрения один-

два узла, которые располагаются в окрестности вершины трещины. При этом

перемещения других узлов, расположенных на трещине, укладываются почти на

одну прямую линию. Если для такой линии выполнить экстраполяцию до вершины

трещины, то можно получить соответствующую оценку для COD (рис. 80).

Рис. 80. Раскрытие трещины в вершине при трехточечном изгибе