Лекции по Экономической кибернетике

Подождите немного. Документ загружается.

Тема 1. Введение. Основные понятия кибернетики

Предмет, методы и основные понятия

Несмотря на существенные различия в определении кибернетики и в

трактовке тех или иных ее понятий, бесспорными остаются объект и цели ее

изучения.

Объект изучения - динамические системы.

Предмет – информационные процессы, связанные с управлением ими.

Цель изучения – создание принципов, методов и технических средств

для достижения наиболее эффективных в том или ином смысле результатов

управления.

Уже давно ученые обнаружили сходство некоторых процессов

управления в системах различной материальной природы и попытались

использовать эти аналоги в исследованиях и практических приложениях. Так,

например, 200 лет назад французский врач Кенэ после открытия

кровообращения у человека применил идею замкнутого кругооборота к

экономическим отношениям.

Кибернетика показала, что сходство процессов управления в различных

системах носит вполне закономерный характер, что субстратом этих процессов

является информация, что информационные процессы независимо от природы

носителей информации подчиняются общим количественным

закономерностям. Она показала плодотворность использования аналогии

процессов управления для их познания и совершенствования. В этом

отличительная черта кибернетического подхода к изучению процессов, а его

основным инструментом познания является их логико-математическое и

физическое моделирование.

Несмотря на широкую общность идей, кибернетика - конкретная наука.

Ее конкретность проявляется в том, что качественные черты, присущие

системам, составляют основу, на которой строятся кибернетические методы их

изучения. Именно на этой почве формируются конкретные приложения

кибернетики в экономике, предметом изучения которой являются процессы

управления и связанные с ними процессы передачи и обработки информации в

экономических системах.

1.2. Модель и моделирование

В процессе деятельности человека вырабатывается система

представлений о тех или иных свойствах объекта и их взаимосвязи. Она

формируется в виде описания объекта на обычном языке, фиксируется на

бумаге языком рисунка, чертежа, графика, уравнений или реализуется в виде

макетов, механизмов и устройств. Всё это обобщается в едином понятии

модель, а исследование объектов познания на их моделях называется

моделированием.

Предметом изучения с помощью моделирования могут быть конкретные

или абстрактные предметы, действующие или проектируемые системы,

существующие и проектируемые процессы.

Моделирование приобретает особое значение при изучении объектов,

недоступных прямому наблюдению и исследованию или неподдающихся

экспериментированию в необходимых масштабах.

Методы моделирования и его цели разнообразны, и они определяют

характер моделей.

Различают геометрическое моделирование – оно передает в наглядной

форме пространственные свойства объекта, его внешний вид, соотношение и

взаимосвязь его частей.

Методы физического моделирования изучают физико-химические,

технологические, экономические процессы происходящие в оригинале. Как

правило, физическое моделирование осуществляется на основе логико-

математической модели изучаемого процесса. Являющегося промежуточным

звеном между объектом и его физической моделью.

Математическое моделирование – с его помощью сочетаются

качественные и количественные аспекты анализа, формируются точные методы

совершенствования моделируемого процесса и его целенаправленного

развития. Разумная абстракция, допустимая идеализация модели необходимы

для содержательного выявления основных закономерностей и для обеспечения

реальных возможностей практического использования моделей.

Тема 2. Система. Элемент системы

Говоря о системе, обычно имеют ввиду совокупность элементов и

реализующиеся между ними определенные интересующие нас отношения с

фиксирующими свойствами. Например, экономической системой можно

назвать предприятие как совокупность цехов. Вместе с тем предприятие

является лишь частью системы более высокого ранга – отрасли общественного

производства.

Любой объект, принятый в качестве отправного, может быть представлен

как элемент ( или подсистема) некоторой системы более высокого ранга и как

система, по отношению к которой существуют некоторые совокупности систем

более низкого ранга. Поэтому при анализе и проектировании конкретной

системы возникает проблема определения того «участка» иерархии, которая

входит в ее компетенцию и прежде всего элемента, принимаемого в качестве

«первичного».

Любой объект обладает неограниченным множеством свойств. Однако

при формировании системы над данным множеством объектов, принимаемых в

качестве элементов, последние выступают как носители тех свойств, которые

существенны для изучаемых функций. Так при планировании деятельности

предприятия существенными свойствами его элементов (цехов) являются их

производственные мощности и площади, количество рабочих, фонд заработной

платы и тому подобные.

Элемент системы М – объект, выполняющий определенные функции и

не подлежащий дальнейшему расчленению. Его связь с внешней средой, к

которой в данном случае относятся и другие элементы схемы, моделируются с

помощью входов и выходов данного элемента. Предполагается, что через

входы он испытывает воздействие на среды, а через выходы сам воздействует

на нее (Рис 1.1).

Взаимодействие относительно обособленной системы со средой

моделируется с помощью конечного числа входов и выходов.

Введем еще одно понятие - внутреннее состояние элемента. С его

помощью количественно характеризуются существенные свойства самого

реального объекта. Внутренне состояние элемента отображает интересующие

нас потенциальные характеристики реального объекта, то есть количество

информации, его пропускная способность и др.

Сопоставим с ним к-мерный вектор G, так, что попарно различным

состояниям отвечают соответствующие значения этого вектора. Его

компоненты (G

, G

, …, G

) называют координатами состояния.

Векторы и множества допустимых значений их компонентов

характеризуют возможные состояния элементов и интенсивности их входов и

выходов. С их помощью описывается способ функционирования элемента.

(1.1)

Изменение состояния реального объекта не может происходить

мгновенно. В элементе конкретной системы, моделирующем данный объект,

этот переходной процесс описывается в общем случае системой

дифференциальных уравнений, связывающих координаты состояния элементов

с интенсивностями его входов.

Рисунок 1.1

При анализе и проектировании системы чаще всего имеют дело с

зависимостями между входами элементов и его выходами. Это обуславливается

тем, что конечной целью управления системы обычно является не приведение

ее в заданное состояние, а достижение требуемого воздействия на внешнюю

среду. Поэтому элемент рассматривается как динамический преобразователь

входов в выходы:

{Y} = {Ω} {x, t} , (1.2)

где Ω – символическое обозначение совокупности преобразования

каждого входа в каждый выход.

Отметим важные частные случаи преобразования (1.2).

, G

, …, G

Х=Х

, Х

, …, Х

Y=Y

, Y

, …, Y

G=G

, G

, …, G

1. Если длительность переходного процесса в реальном объекте

пренебрежительно мала в сравнении с длительностью рабочего процесса, то им

пренебрегают и считают, что требуемые изменения его состояния происходят

мгновенно то есть G=G(x). Тогда для данного случая зависимость (1.2) будет

выглядеть как:

{Y} = {Ω} {X} (1.3)

и элемент рассматривается как статический преобразователь.

2. Для линейного статического преобразователя соотношение (1.3)

принимает вид:

Y=QX, (1.4)

где Q – матрица постоянных коэффициентов преобразований, т.е.

параметров элементов.

Связи в системе

Функционирование системы в качестве единого целого обеспечивается

связями между ее элементами. В экономических системах связи могут

организовываться в плановом порядке или складываться стихийно под

воздействием рыночного механизма. Состав элементов и способов объединения

определяет структуру системы. Формирование связей между элементами при

их объединении в конкретную систему будем рассматривать как реализацию

определенного соотношения над их входами и выходами.

Для описания системы будем пользоваться двумя способами:

1) Графический (схематический)

2) Аналитический – система уравнений

Схема преобразователя для упрощения будем обозначать с одним входом

и одним выходом Y

(Рис1.2.)

Точки α

и β

условные «концы» входа и выхода, не

Рисунок 1.2.

примыкающими к элементу, назовем входными и выходными полюсами.

Противопоставим однозначно каждому из полюсов число dU–Uдопустимый

диапазон (ограничение) интенсивности входа (выхода) и размерность r

материального вещественного потока, протекающего через вход (выход).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Схемой над множеством элементов {М} назовем

набор из {М}, для которого указано, какие их полюса считаются

отождествленными (совмещенными). Причем отождествлять можно только

полюса, к которым отнесена одна и та же размерность R. Отождествленному

полюсу приписывается число d.

D = min (d

, d

)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Полюс схемы называется входным (внешним), если в

него не поступают никакие выходы элементов схемы, в противном случае он

считается выходным. Для полюсов схемы индуктивно определяется отношение

подчиненности:

1. β  α – полюс β элемента подчинен полюсу α.

2. β  α и γ  β, то γ  α.

3. В остальных случаях отношение подчиненности не имеет места.

По схеме (Рис 1.3.) легко определить какие из полюсов системы являются

входными и выходными и какие из полюсов ее элементов отождествлены

(совмещены). Скажем, полюс β

– результат отождествления выходного полюса

элемента q

(№1) и входного полюса элемента  (№5).

Обратим внимание на полюса 

, 

, 

, которые лежат на замкнутой петле.

Требование подчиненности этих полюсов будет соблюдено, если элементы

φ(№4), Σ(№6) и f(№7) - преобразователи с запаздыванием их выходов

относительно входов. В противном случае причинно обусловленная связь

между ними пропадают и понятия «вход» и «выход» теряют смысл.

От схематического описания перейдем к аналитическому. При этом

предполагается, что каждый из элементов выполняет преобразования

свойственный ему до его подключения.

Рисунок 1.3.

Для каждого из ее элементов возьмем соответствующее ему уравнение

связи между его входами и выходами с той оговоркой, что функциональные

переменные переименовываются в соответствии с принятыми в системе. В

нашем случае (для упрощения будем предполагать, что элементы являются

статическими преобразователями) будут выглядеть следующим образом:

= q

(i=1.3)

= Y

+ Y

ﻻ

= φ(Х

, Y

)

= f (Y

, Y

) (1.5)

= Y

+ Y

= f

, Y

)

Число степеней свободы  системы определяется как разность между

числом независимых переменных  и числом уравнений связи между ними . В

нашем случае =8, =12, =4 то есть система обладает четырьмя степенями

свободы.

При заданных четырех входах (Х

) поведение детерминированной

системы будет однозначно определено функцией Y = F [X

(t)] (i=1…4)

описывающей траекторию выхода. Она может быть получена из (1.5) после

соответствующих подстановок переменных.

Пример:

= q

(i=1,3,4);

= X

+ Y

;

= φ

, Y

);

= φ

, Y

);

= Y

+ Y

;

= f (Y

, Y

Тема 3. Управление экономической системой.

Основные понятия.

Управление системой призвано обеспечить ее целенаправленное

поведение при изменяющихся внешних условиях. Это достигается ее

надлежащей организацией, под которой будем понимать структуру системы и

способы функционирования ее элементов. В системе, организация которой

определена при ее создании, управление сводится к обеспечению расчетных

значений ее переменных – внутреннего состояния и выходов – при отклонениях

внешних условий и параметров системы от расчетных.

При изучении объекта в целях управления им, он описывается

информационно связанными элементами двух типов:

1. Управляемыми элементами – моделирующими реализуемые

объектом материально-вещественные преобразования;

2. Управляющими элементами - моделирующими процесс

переработки информации, связанной с управлением объектом.

Рисунок 2.1.

При формировании системы (Рис 2.1.) ее управляемые элементы

объединяются в управляемую часть, называемую управляемым объектом

(SU).

Совокупность управляющих элементов образует управляющую часть,

называемую управляющей системой (SV).

Обе части взаимодействуют с помощью конечного числа связей.

В дальнейшем управляющее воздействие будем интерпретировать как

управляющие входы Xv, для которых заданы допустимые диапазоны и их

изменение или конечное множество допустимых значений.

Управление сложной системой сопряжено с необходимостью

привлечения больших объемов информации, поэтому структура управляющей

системы (SV) строится по иерархическому принципу.

1. Каждый m-уровень осуществляет управление m-1 ступенью и

одновременно управляется m+1 уровнем. Все уровни информационно связаны

между собой.

2. Информация, поступающая от объекта управления, движется в

противоположном направлении - от нижних уровней к верхним и при этом

последовательно «сжимается». Низший уровень управления информирует

высший лишь о результатах своей деятельности, но не о внутренних процессах,

связанных с ее реализацией.

Внешняя информация

3. Чем самостоятельнее функционирует каждый уровень управления, тем

больше информации он «поглощает» и тем меньше ее поступает от него в

последующий уровень. Максимальная самостоятельность каждого уровня

управления в рамках компетенции и последовательное «сжатие» информации –

главные условия эффективности многоуровневого управления.

4. Функционирование управляемой системы как единого целого,

достигается согласованием целей управления каждым ее элементом и их

совокупностей с целями стоящими перед системой. Это значит, что иерархии

управляющей системы ставится в соответствие иерархия целей.

Устойчивость и качество управления.

Для поведения управляемой динамической системы характерно два

режима: установившийся и переходной.

Режим является установившимся, если на рассматриваемом интервале

времени положение изображающей точки системы остается неизменным или ее

движение носит строгий периодический характер.

В первом случае говорят, что система пребывает в равновесии, во втором

– в стационарном состоянии. Во всех остальных случаях имеет место

переходной (нестационарный) процесс и траектория изображающей точки

определяется принятым способом управления системой и ее динамическими

свойствами.

Общее и строгое определение устойчивости равновесия динамической

системы дано русским математиком Ляпуновым в 1892 году: «Пусть Z –

область допустимых отклонений системы от состояния равновесия. Оно

является устойчивым, если для любого заданного Z(а) можно указать такую

область Q(в) (включающую точку равновесия), что траектория любого

движения, начавшегося в области Q(в), никогда не достигнет границ области

Z».

Допустим, что изменение запаса некоторого ресурса на предприятии в

плановом периоде определено функцией G(t), которую будем рассматривать

как траекторию равновесия изображающей точки этой системы. Из-за

возмущений возникло отклонение g фактической траектории от заданной.

Говорят, что управление обеспечивает динамическое равновесие системы, если

отклонение нигде не превзойдет допустимой величины. В этом

содержательный смысл понятия устойчивости.

Естественным является стремление выбрать такой вариант, который

обеспечивает максимальную эффективность управления, достижение его цели

наилучшим в данных конкретных условиях способом. Эта задача становится

разрешимой только тогда, когда существует количественный показатель

эффективности. Такой показатель называют критерием оптимальности.

Обычно он задается как функция входных и выходных переменных. Такую

функцию называют целевой, поскольку она дает количественную меру цели

управления.

Каждому варианту уравнения соответствует определенное значение

целевой функции, и задача оптимального управления заключается в том, чтобы

найти и реализовать такой вариант управления, при котором целевая функция

принимает экстремальное значение при данных конкретных условиях

управления.

Таким образом, оптимизация управления требует:

1. выбора и формулировки целей управления и в соответствии с нею,

формирования критерия оптимальности;

2. учета ограничений, определяемых конкретными условиями

управления, - то есть ограничений по ресурсам, результатам, качеству

времени, надежности и так далее.

Типы управления.

Простейшим типом является так называемое жесткое управление. Его

программа (план) строится в предположении полной определенности будущих

воздействий среды и состояния SU. Считают, что влияние непредвиденных

возмущений несущественно или объект управления надежно от них защищен.

Примером жесткого управления является управление движением городского

транспорта с помощью светофора, который не учитывает ситуацию на дороге

(на перекрестке).

Она строится по разомкнутой схеме (Рис.2.2):

SU- управляемый объект, а SV состоит из органа управления (ОУ) и

исполнительного органа (ИО). Первый воспринимает программу (ПР)

управления входом объекта (интенсивностью X

τ), определяющую

предписанный выход Y

τ, расшифровывает ее в последовательность

управляющих воздействий X

vτ, поступающих в ИО.

Рисунок 2.2

ИО

ОУ

vτ

Y τ

τ X

ПР

Последний обеспечивает требуемую интенсивность входа X

vτ=X

τ . На

схеме это воздействие обозначено символом «два треугольника», а

информационный канал показан штриховой линией.

Второй тип управления – это управление с обратной информационной

связью (Рис.2.3). Этот тип принципиально отличен от рассмотренного тем, что

при реализации его программы дополнительно привлекается информация о

фактическом поведении управляемого объекта (информация обратной связи).

Управление осуществляется по замкнутой схеме информационного воздействия

SV и SU.

Как и в предыдущей схеме, ОУ располагает программой, задающей

интенсивность выхода Y

(t)= φ[x

(t)]. По каналу обратной связи (ОС) в ОУ

поступает также информация о фактической интенсивности выхода Y(t). Орган

управления по отклонениям δy(t)=Y(t)-Y

(t) вырабатывает управляющую

функцию, необходимую для ликвидации отклонения. Это воздействие

реализуется ИО (на схеме оно обозначено +).

Рисунок 2.3.

Обратная информационная связь, обеспечивающая уменьшение

отклонения, называется отрицательной.

Программа управления с обратной связью обычно строится в

предположении, когда считаются известными законы распределения внешних

воздействий или возможные диапазоны их изменения, и программа

рассчитывается по наиболее вероятным значениям этих воздействий.

Параметры SV выбирают из условий обеспечения устойчивости поведения

системы при изменении внешних воздействий и требований к качеству

управления.

Наличие информационных обратных связей является отличительной

чертой кибернетических систем, а управление ими по отклонениям обычно

рассматривается как первая ступень в их развитии.

ПРИМЕР: Рассмотрим процесс стабилизации цены на некоторый товар

путем уравнивания спроса С с предложением на него П. Спрос и предложение

ОУ

X(t)

X+Xv

Y(t)

Xv(t)

ОС

ПР

ИУИО