Лекции по Экономической кибернетике
Подождите немного. Документ загружается.
Труд: 2Х
1
+ 4Х
2
≤ 2000,
2
*
200 + 400 = 2000 = b
1
; Y
1
= 40/3.
Оборудования: 2Х
1
+ Х
2
≤ 800,
2
*
200 + 400 = 800 = b
3
; Y
3
= 20/3.
Чем выше величина оценки Y
i
, тем острее дефицитность i-го ресурса. В
нашем примере труд более «дефицитен», чем оборудование 40/3 > 20/3.
Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на функционал
Величина объективно обусловленной оценки того или иного ресурса
показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции,
если бы объем данного ресурса увеличился на единицу (на основании теоремы
об оценках ∆f(x) = Y
i
∆b
i
). Так, в нашем примере увеличение фонда времени
работы оборудования на один млн., (∆b
3
= 1) привело бы к росту максимальной
прибыли на 6,6 единиц (∆f(x) =Y
i
∆b
s
=20/3
*
1=6.6).
В связи с этим понятна и нулевая оценка, полученная для сырья.
Поскольку сырье используется не полностью, то увеличение его запасов не
повлияет на оптимальный план выпуска продукции и сумму его прибыли.
Однако, необходимо иметь в виду, что оценки позволяют судить об
эффекте не любых, а лишь сравнительно небольших изменений объема
ресурсов. При резких изменениях сами оценки могут стать другими.
Значение второго свойства состоит в том, что оно позволяет выявить
направление мероприятий по устранению «узких» мест, обеспечивающие
наибольший экономический эффект, а также целесообразные изменения в
структуре выпуска продукции с позиции общего оптимума.
Однако для данной функции оценок оптимального плана весьма
существенное значение имеет их предельный характер.
Точной мерой влияния ограничения на функционал являются оценки
лишь при малом приращении ограничения.
Рассмотрим модель исходной задачи в матричной форме.
,0
,
max
X
BXA
XCf
где
Х
=(Х
1
, Х
2
, ..., Х
n
) - вектор неизвестных,
С
= (С
1
,С
2
,…,С
n
) - вектор коэффициентов при неизвестных в целевой
функции;
В=(b
1
,b
2
,…,b
n
) – вектор свободных членов ограничений исходной
задачи.
mnmm
n
n
aaa
aaa
ааа
А
21
22221
11211
- матрица коэффициентов в системе
ограничений.
Приведем задачу к канонической форме, для чего введем m
дополнительных переменных. Задача примет вид:
,0
max
X
BXA
XСF
где вектор неизвестных переменных Х будет теперь иметь размерность
n+m. Размерность матрицы А также изменится и будет m(n+m).
Пусть известен оптимальный план. Разобьем вектор Х на 2 подвектора:
Х
*
> 0 и Х
0
= 0. В первый включим неизвестные, вошедшие в базис
оптимального решения, то есть ненулевые в оптимальном плане.
Соответственно матрицу А разобьем на две подматрицы: А
*
(размерностью m
.
m) и A
0
(размерностью m
.
n).
Первую из них сформируют те столбцы матрицы А, которые
соответствуют ненулевым неизвестным в оптимальном плане. Тогда матрица
А
*.
Х
*
+ А
0.
Х
0
= В. Так как произведение А
0.
Х
0
= 0, то А
*.
Х
*
=В.
Умножив обе части последнего равенства на матрицу, обратную матрице
А
*
, получим А
*-1 .
А
*
Х
*
= А
*-1 .
В. Так как произведение А
*-1
А
*
= Е, где Е -
единичная матрица, то получим Х
*
= А
*-1 .
В. Обозначим А
*-1
через D , тогда
Х
*
= D
.
B (7.12).
Матрица D характеризует влияние ресурсов на величину выпуска
продукции Х. Изменим размер выделяемых ресурсов, то есть дадим
приращение ∆В вектору В. Тогда Х+∆Х = D (В+∆В) = DB + D∆B.
С учетом того, что Х=DB, можно записать выражение
∆Х = D∆B (7.13).
Это соотношение определяет величину структурных сдвигов в выпуске
продукции при изменении ограничений исходной задачи.
Второе свойство двойственных оценок означает, что изменение значений
величины b
i
приводит к увеличению или уменьшению функций f(
x
). Это
изменение определяется величиной Y
i
и может быть установлено лишь тогда,
когда при изменении величин b
i
значения переменных Y
i
соответствующей
двойственной задачи в оптимальном плане остаются неизменными. В связи с
этим необходимо определить такие интервалы изменения каждого из
свободных членов системы линейных уравнений АХ = В, в которых
оптимальный план двойственной задачи не меняется. Это имеет место тогда,
когда среди компонент вектора Х = ВD отсутствуют отрицательные
компоненты. При этом следует помнить, что элементы матрицы D= А
*-1
,
обратной матрицы А, составленной из компонент векторов Х базиса, который
определяет оптимальный план задачи,
взяты из столбцов векторов, образующих
первоначальный единый базис.
Исходя из этого, получаем следующие оценки нижних и верхних
пределов устойчивости двойственных оценок при изменении каждого
ограничения в отдельности. Пределы уменьшения (нижняя граница)
определяются по тем X
k
, (k=U1,…,m) для которых соответствующие элементы
d
ki
> 0:
ik,k
k
-
i
/dX min b
для d
k,i
> 0 (7.14)
Пределы увеличения (верхняя граница) определяются по тем X
k
, для
которых d
k,i
U<U0.
ik,k
k
i
/dX max b
для
d
k,i
< 0 (7.15).
Ослабление какого-либо i-го ограничения приводит к тому, что с
определенного момента можно изменять структуру (набор векторов) в базисе
плана, но это ведет к скачкообразному уменьшению величины оценки. Так
продолжается до тех пор, пока i-й ресурс вообще перестанет быть дефицитным
и оценка обратится в ноль.
Определим интервалы устойчивости двойственных оценок в нашем
примере. Матрица А имеет следующий вид:
12
14
42
A
После приведения задачи к канонической форме матрица А примет
следующий вид:
10012
01014
00142
A
С ненулевыми значениями в оптимальный план вошли Х
1
*
= 200, Х
2
*
=
400, и Х
4
*
U=U200. Следовательно, матрица А
*
будет составлена из первого,
второго и четвертого столбцов матрицы А:
0 1 2
1 1 4
0 4 2
А
*
Для вычисления интервалов устойчивости необходимо найти матрицу
D=A
*-1
.
3/713/1
3/103/1
3/206/1
D
;
При определении интервалов устойчивости по формулам (7.14, 7.15)
примем:
Х
1
*
= 200 = Х
k = 1
; Х
2
*
= 400 = Х
k = 2
; Х
4
*
= 200 = Х
k = 3
.
Интервалы устойчивости первого ресурса, труд, равны:
∆b
1
(-)
= min {x
2
/d
21
; x
3
/d
31
} = min (400/1/3; 200/1/3) = min (1200; 600) = 600;
∆b
1
(+)
U=U|Umax (x
1
/d
11
) | = | max (200/-1/6) | = 1200.
b
1
= {b
1
- b
1
(-)
; b
1
+b
1
(+)
} = {2000 - 600; 2000 + 1200} = {1400; 3200}
То есть при изменении запасов ресурса «труд» в пределах 1400 до 3200
единиц его двойственная оценка не изменится.
Второй ресурс «сырье» в оптимальном плане используются не
полностью, и поэтому не имеет верхней границы интервалов устойчивости.
∆b
2
(-)
= (x
3
/d
31
) = 200/1 = 200;
b
2
= {b
2
- ∆b
2
(-)
; b
2
}= {1400 – 200; 1400} = {1200; 1400}.
Интервалы устойчивости третьего ресурса «оборудование» - равны:
∆b
3
(-)
= (x
1
/d
13
) = 200/ 2/3 =300;
∆b
3
(+)
= | max {x
2
/d
23
; x
3
/d
33
} | = | max {-1200; -85,714} | = |85,714| =85,7144;
b
3
= (b
3
-∆b
3
(-)
; b
3
-∆b
3
(+)
) = {800-300; 800+85,714}= {500; 885,714}.
В нашем примере определим величину изменения объема прибыли от
реализации продукции при увеличении ресурса «труд» на 12 единиц. Эти
изменения находятся в интервалах устойчивости двойственных оценок, в связи
с чем можно воспользоваться двойственностью оценок оптимального плана:
∆f(x) = 40/3
.
12 = 160=Y1∆b
i
.
Следовательно, объем прибыли увеличится на 160 единиц.
Такой же ответ мы получили бы, если бы решили задачу с новыми
ограничениями по ресурсу «труд».
Новый оптимальный план равен:
X
1
*
=198;
X
2
*
=404;
f(x)=32160.
∆ f(x)=32160-32000=160.
Как видно, структурных сдвигов не произошло, но значения переменных
в плане изменились: продукции вида А может быть выпущено на две единицы
меньше, а продукции вида Б – на четыре единицы больше. Значение целевой
функции при новых ограничениях увеличится на 160 единиц.
Свойство 3. Оценки – инструмент определения эффективности отдельных
вариантов с позиции общего оптимума
Это свойство вытекает из второй теоремы двойственности:
если X
j
> 0, то
m
i
jiji
CYa
1
,
, j = 1, ..., n
если
j
m
i
iji
CYa
1
.
, то X
j
= 0 j = 1, ..., n
Согласно этим положениям, для положительных значений неизвестным в
оптимальном плане (X
j
> 0) соответствующие сопряженные условия в системе
ограничений двойственной задачи обращается в равенство, а для нулевых
значений (X
j
U=U0), не вошедших в оптимальный план, сопряженные с ними
двойственные условия, обращаются в неравенства.
В рассмотренной задаче на получение максимальной прибыли величина Y
i
–
это оценка ресурса. Если ресурс «оборудование», то это прокатная оценка
оборудования (тенге /станко-час). Она характеризирует ограниченность фонда
времени работы оборудования i, что не позволяет применять i-е оборудования
лишь при тех технологических способах. При одних технологических способах
«недополучают» прибыль, а при других – используют менее эффективные
ресурсы.
В оптимальный план задачи на получение максимальной прибыли может
быть включен лишь тот способ (вариант), для которого прибыль,
недополученная из-за отвлечения дефицитных ресурсов, покрывается
полученной прибылью C
j
. Разница между недополученной и полученной
прибылью служит характеристикой способа производства:
∆j =
m
i
jjij
CYa
1
,
если ∆j > 0, то производить невыгодно,
если ∆j ≤ 0 – производство выгодно.
С помощью объективно обусловленных оценок можно определять
эффективность новых технологических способов производства и
рентабельность новых изделий.
Вернемся к нашему примеру. Мы составили оптимальный план
производства максимизирующий прибыль от реализации продукции. При этом
были получены объективно обусловленные оценки используемых ресурсов. В
дальнейшем предприятию были предложены на выбор три новых изделия, за
счет которых можно расширить номенклатуру выпускаемых изделий. Затраты
ресурсов на каждое изделие и прибыль от реализации представлены в
следующей таблице 7.4.:
Таблица 7.4.
Ресурсы Объективно
обусловленные
оценки ресурсов
Затраты ресурсов
на одно изделие
В Г Д
Труд 40/3 6 4 2
Сырье 0 2 1 3
Оборудование 20/3 3 1 2
Прибыль на
одно изделие
80 70 45
Определим изделия, выгодные для предприятия, с точки зрения принятия
критерия.
Для решения задачи воспользуемся соотношением: ∆j =
m
i
jjij
CYa
1
и
рассчитаем характеристики новых изделий.
Для изделия В: ∆В=6
.
40/3+0
.
2+20/3
.
3-80=20.
Следовательно выпускать это изделие невыгодно, то есть затраты на его
изготовление не покрываются полученной прибылью ∆В=100-80=20 >0.
Для изделия Г: ∆Г=4
.
40/3+20/3-70=160/3+20/3-70=180/3-70=60-70=-10, -
10<0 – производство изделия выгодно.
Для изделия Д: ∆Д=2
.
40/3+(20/3)
.
2-45=80/3+40/3 - 45=40-45=-5, -5<0, то
есть изделие выпускать выгодно.
Свойство 4. Оценки – инструмент балансирования
суммарных затрат и результатов
Это свойство вытекает из первой теоремы двойственности, где
устанавливается связь между функционалами прямой и двойственной задач, то
есть f(x)=g(y).
Это свойство позволяет в целом составить и сбалансировать затраты и
результаты экономической системы. В широком смысле под результатом
понимается вклад в достижение общей цели системы, а под затратами –
упущенные возможности достижения этой цели.
В конкретных задачах такого рода соотношение затрат - результаты в
точке оптимума (то есть равновесие затрат и результатов) имеет различное
экономическое содержание.
В нашей задаче экономический смысл равенства функционалов прямой и
двойственной задачи состоит в том, что максимум прибыли может быть
получен лишь при минимуме недополученной прибыли от использования
дефицитных ресурсов.
Тема 12. Управление как информационная система
Структура процесса
Информационные процессы в системах управления можно рассматривать
в двух аспектах:
- преобразование;
- движение информации.
В первом случае внимание концентрируется на этапах и способах
преобразования; информации в функциональных блоках управляющей
системы. Во втором случае изучается передача информации между этими
блоками.
Основным элементом преобразования информации в управляющей
системе любого масштаба и уровня является процесс принятия решения.
Вокруг него организуется все частные преобразования информации:
наблюдение и анализ, фильтрация данных, память, размножение данных и
другие.
Под решением будем понимать некоторое предписание к действию для
объекта управления. Обычно разрабатывается несколько вариантов такого
предписания. Выбор наилучшего варианта будем называть принятием
решения, а процесс, включающей разработку альтернатив - процесс принятия
решения.
Этапы принятия решений
1. Процесс принятия решения начинается с получения данных. Текущая
информация поступает к плановику. С одной стороны, здесь существенна
достоверность данных. Если данные о объекте поступают из разных
независимых источников, то достоверность данных плановик оценивает
методами статистики. С другой стороны, важна сама способность плановика,
воспринимать и опознавать поступающие данные. Технология опознавания
образов плановиком меняется по мере накопления знаний и опыта. Объем
поступающей информации для опознавания становится меньше, поскольку он
располагает все большим базовым объемом информации.
2. На втором этапе осуществляется фильтрация данных применительно к
каждому отдельному процессу принятия решения или к их классу. В
планировании обычно используются три вида фильтров (либо их комбинация):
- отсечка ненужных или недостоверных данных;
- агрегация данных;
- типологическая выборка данных.
При отсечке множество данных разбивается на два класса: X -
пропускаемых и
X
- отсекаемых данных. С помощью признаков отсечки
пропускается, например лишь данные об определенных изделиях или о
выполнении плана определенными предприятиями.
При агрегации множество элементов разбивается на классы агрегации и
выбирается способ агрегации, то есть перехода к макроэлементам
n
,
заменяющим каждый класс так, чтобы сохранить интересующие плановика
характеристики. Например, объединение различных видов проката в показатель
"прокат черных металлов".
При типологической выборке производится разбиение множества
N на классы эквивалентности N’, N” и отбор элементов n’, n”… -
представителей из каждого класса.
3. На следующих этапах осуществляется структуризация данных,
обеспечивающая постановку задачи принятия решения. Плановик имеет дело
со многими ситуациями. В потоке поступающих данных ему приходится
сопоставлять их друг с другом, чтобы поставить конкретную задачу принятия
решения.
Выявляя условия задачи принятия решения, плановик должен
определить:
1. множество управляемых факторов М, состоящее из элементов
(векторов) m;
2. множество учитываемых им неуправляемых факторов S, состоящее из
векторов s;
3. множество исходов W, состоящее из элементов (векторов) w,
изоморфных упорядоченным парам (m, s).
Выделения множеств M и S относится непосредственно к структуризации
поступающих к плановику данных. Знания и опыт помогают ему выделить
факторы, определить их значимость, степень возможного изменения и
воздействия на них. Множество же исходов плановик должен «рассчитывать» и
сформировать. Здесь широко используются аналитические модели экономики
или ее подсистем.
4. При формировании альтернатив решения плановик всегда сталкивается
с неопределенностью. Поэтому естественным продолжением структуризации
данных, особенно при формировании множества W, является прогнозирование,
то есть возможность реализации каждой альтернативы и следствий ее
реализации.
После прогнозирования плановик способен из множества потенциально
возможных альтернатив х выделить подмножество осуществимых
альтернатив х.
5. С самого начала у плановика имеется целевая ориентация. Ее
актуализация позволяет из множества возможных альтернатив х выделить
подмножество желательных альтернатив
х
, которое определяется по
желательности исходов. В итоге образуется множество допустимых
альтернатив Х как пересечение множества осуществимых и множества
желательных альтернатив: Х = х
х
. Оно образует первую компоненту
собственно задачи принятия решения: {x,≥}.
6. Следующий этап связан со второй компонентой этой задачи, то есть с
выявлением предпочтений плановика. Под предпочтением: будем понимать
любой способ устранения неопределенности при выборе альтернатив из
множества X. В общем случае плановик должен упорядочить альтернативы от
лучшей к худшей, причем некоторые он может считать равноценными (X
1
≥
X
2
≥…≥ Xn).
Обычно плановик оценивает альтернативы по многим признакам, с
различной точки зрения. Решение, принимаемое по нескольким профилям
предпочтения (или критериям) будем называть сложным решением. В случае
если решение принимается по одному профилю или критерию, является
простым решением.
7. Следующим пунктом является акт выбора лучшей альтернативы, то есть
собственно принятие решения. В его основе лежит определенная модель и
процедура - от прямого перебора и сравнения альтернатив, до развитых
эвристических и формальных методов.
Поэтому необходимой предпосылкой принятия решения является
разработка приемлемой модели и процедуры выбора альтернатив.
Возможны три случая:
- определенность - если относительно каждого действия m известно,
что оно неизменно приводит к некоторому конкретному исходу w. Здесь все
функциональные зависимости являются детерминированными. И
соответственно применяют детерминированные методы решения
(динамическое программирование, теории графиков).
- риск, если каждое действие m приводит к одному из множеств
возможных частных исходов, но каждый исход имеет известную вероятность
появления р(w). (В этом случае применяют стохастическое программирование,
теорию массового обслуживания).
- неопределенность - если вероятности исходов неизвестны или даже
не имеют смысла. Плановик знает все свои альтернативные стратегии и
множество исходов, а также может задать предпочтение на этом множестве.
Для решения используются теория статистических решений и различные
эвристические методы.
8. После того, как выбрана единственная альтернатива, плановик должен
еще раз интерпретировать и оценить принятое решение. Такая интерпретация и
проверка являются содержательными, а их характер определяется
особенностями объекта решения.
9. Если результаты проверки оказались удовлетворительными, плановик
должен сформировать это решение в виде директив исполнителям,
обеспечивающим реализацию решения. В сложных производственно-
технологических комплексах «перевод» решения в директивы требует
специальных информационных преобразователей, поскольку исполнительные
блоки специализированны функционально и могут в различных комбинациях
реализовать разные по целям и содержанию решения.
Формирование сложного решения
Описанное выше предполагает один профиль предпочтения или критерии
решения, то есть. в случай простого решения. Принятие сложного решения мы
разобьем на два этапа. Плановик выделяет некоторое множество признаков
(точек зрения) {a}=A, по которым он оценивает альтернативы {x}=X.
На первом этапе по каждому отдельному признаку ( a
А)
осуществляется выбор лучшей с точки зрения альтернативы X*
а
X. Если
плановик имеет по данному признаку функцию полезности Ua (x), то для
лучшей альтернативы будет выполняться соотношение: Ua (Х*
a
)=max Ua (х).
На втором этапе необходимо осуществить согласованный выбор
единственной альтернативы X*, то есть подучить сложное решение. Процедура
выбора здесь существенно зависит от сравнимости самих признаков а и от
способа задания предпочтения на множестве альтернатив {x} по каждому
признаку.
Рассмотрим несколько основных случаев:
1. Признаки не сравнимы. Плановик вообще не может сопоставить их
друг с другом и тем более сказать какая из них важнее, но по каждому
отдельному признаку у него есть своя функция Ua (x).
2. Признаки упорядочены. Плановик имеет не только функции
полезности Ua (x) по каждому отдельному признаку оценки альтернатив, но
может упорядочить и сами признаки по их важности а
1
> a
2
>…>a
n
. В этом
случае он начинает последовательно пропускать множество альтернатив через
фильтры признаков, начиная с наиболее важного признака. Лучший в качестве
исходного множества брать не X а П то есть, переговорное множество,
«очищенное» от совместно худших альтернатив.
На первом шаге надо отобрать множество альтернатив X
1
П , таких
что U
а1
(x: х
Х
1
) = max U
a1
(Х), то есть лучших по первому наиболее
важному признаку. На втором шаге уже из этого множества Х
1
отбираются
альтернативны, образующие множество X
2
Х
1
, такие что лучшие по
первому и относительно лучшие по второму признаку и так далее. Однако на
практике зачастую приходится делать уступки по первому, хотя и наиболее
важному признаку, чтобы получить хорошее решение по некотором другим
признакам.
3.Признаки количественно сравнимы. В этом случае функции
полезности U
а
(х) по каждому признаку сравнимы друг с другом в единой
количественной шкале и плановик может каждому признаку приписать вес
а
.
Тогда сложное решение сводится к простому и за совокупный критерий этого
решения принимается максимизация функция
a
Aa
a
xU
. Если по каждому
отдельному признаку задан лишь профиль предпочтения X
1
А
≥ X
2
А
≥…≥ X
М
А
, а
сами признаки имеют веса
а1
,
а2
,…,
аn
, тогда можно применить
голосование признаков, причем каждый имеет столько голосов, каков его вес.